“半角”模型旋轉(zhuǎn)變換幾何練習

1、考點五：角含半角、等腰三角形的（繞頂點）旋轉(zhuǎn)重合法核心母題如圖，在正方形ABCD中,E、分別是BC、D邊上的點，ZEAF=45，求證:EF=BE+DF.專題IE明題-分祈如圏，作輔助線，首先證AAFEAilFG,進而得到EF二FG問題即可解決（解苔XE明：.AB=AD,把山斑繞點丸逹時針施轉(zhuǎn)至AADS,可便肛與同重合，如囹：-.ZBAE=ZDAG,VZBAD=90,ZEAF=45:ZBAE,ZEAF=ZPAG,-/ZADC=ZB=gO,.ZFEG=180c，點FlDiG共線m在ZXAFE和2UFG中,JA=AG2EAF=jAAFEAAFG（SAS）j-.EF=rGs即：EF=BE+DF點評雅查

2、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定艮其性質(zhì)拘核心構(gòu)苣而戰(zhàn)孑解題的關(guān)龍是作輔助線，枸造全等三角形.變式一：如圖，E、F分別是邊長為1的正方形ABCD的邊BC、CD上的點，若AECF的周長是2,求ZEAF的度數(shù)？CB0ZHA.E=90ZEkF=45【考點翌等三角形的判定與性質(zhì)：正方形的性質(zhì).分析li-CD至H,使得DH=BE)連接AH,得出ABEAADKj可得FHEF,即可證朋4AFEAkFH,可itZEkF=ZHkF,根lgZHkE=ZEkD=90即可解題.匚第吾期：延長CD至H,使得BH=BE,連接止H,Bj【點評慕題考查了全等三角形的判定，考察了全等三角形対應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中求證AATEAA

3、FH是解題的關(guān)鍵.CE+UF+EDW,BC+CD=2?Er=BE+FI!aadh是虹E逆時針選痢Cl度世成,.AABEAkDH,.ZDH=ZBE?AEAHjBE=DHj.F二ElF+D)二DF十FE二EF,ZHAE=ZEAD=90,.AAFEAkFH,(SSS)佗ZEkF=ZHkF5/在AAFE和脈H中iEF=FH,變式二：如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD邊上的點，ZEAF=45,AG丄EF,求證：AG=AB.匚考點璇蒔的性質(zhì),全等三角形的劉定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì).【專斃IE明題.1分析班根據(jù)正方形的性質(zhì)得礎(chǔ)二mZBAD=9OS,則可把ADE繞直山順時皆施轄叮存到ABQ,如圖，

4、根擁旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得心虹,ZIAQ=9O,ZAB=ZE=90,則可判斷點Q在為的延長線上，由ZEAPS得到MQATH呼-ZIAF=45,然后根據(jù)“SAS判斷HQMZXME,得到FQ=FE,再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊上的高相等得到結(jié)論.明：叮四邊&BCD為正方形，.AB=ADjZBD=gO!.把丸叮繞點亢順時針施輕如。得到肛Q,如冋.AQ=AE,ZEXQ=OQ,ZXBQ=ZD=90Q,而ZABC=90,點Q在怖的証長線上，.ZEAF=45C,-.ZQAF=90-ZEAF=45,-Zeaf=Zqaf?AAFQ和丸FE中，iAF=Af7護=EAF,AQ=AE.-.AAFQAJlFE(SkS)s-.FQ=FE

5、,丫冊丄FQ,AG丄FE,.AE=AG.1點評慕題考查了離蒔的性質(zhì)：對應(yīng)點到龍藉中心的產(chǎn)離相等；對應(yīng)虐與號轎中心所連絨段的夾甫等于旅轉(zhuǎn)甫；決轉(zhuǎn)前、后的圖形全等-也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì).綜合：在正方形ABCD中，若M、N分別在邊BC、CD上移動，且滿足MN二BM+DN,求證：.ZMAN=45.cacmn二2AB.AM、AN分別平分ZBMN和ZDNM.練習1、如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC,ZA=ZC=90,ZB=135,K、N分別是AB、BC上的點，若BKN的周長是AB的2倍，求ZKDN的度數(shù)？2、已知：正方形ABCD中，ZMAN=45,ZMAN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，它的

6、兩邊分別交CB、DC（或它們的延長線）于點M、N.當ZMAN繞點A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時（如圖1）,易證BM+DN=MN.（1）當ZMAN繞點A旋轉(zhuǎn)到BMHDN時（如圖2）,線段BM、DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出猜想，并加以證明；（2）當ZMAN繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時，線段BM、DN和MN之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的猜想.匸考點丁說崔的咗底：仝竿三毎F?不聲壬匕性舌：王左羽胸隹馬-CtSlII芳題；圧軸強.【畀析】（I計-r：歸刪戍77,111岸F、F.叩-亡#汗別口|借判厶旗“竺hrilUl詣肝=叭,（2DJIEM=O.邁因方辻與（1）類像.【解言丁謡：一；汕+DM=my皿

7、丄.證明:如圖IGAIDN點上順時轉(zhuǎn)施擷0得到厶施E，回刁運靜E、E、K三點#線囹形亙丘誦)，./FAcn0-z-nAM=.snc-心=冊,買.二1也M-4腫，fAE-A-t!AjLEMAAIK巾ZJJ/=NAMA=A-AAEUANM(S/l；，-HE=MM，.MEBn+BMDW+BM,3I+DM-JKs(?)D1J-EM=NN.在縱段DN上載取DQ=EM，AD-ABJAadq-Aabm，DQ=3M1.-AADQAAPITin、-DAQ=.-二在八Ain和八昭q中，AOASDF之間的關(guān)系是EFhE-DF,理由是：在上截取駙刃F,連接側(cè)，.Z1BC+ZD=10O,ZADC+ZADF=1803M=

8、DFAAABMAADF(SAS),.AF=AH,ZDAFZBAM,/ZBAE=2ZEAF?.ZDAT+ZBAE=ZEAF,/.ZEAE+ZBAM=ZEAM=ZEAF、在卩砸和MAE中，fAE=AEFA=ZMAE,AF=AMAAFAEAMAE(SAS),.EFEHBE+BMBE+DF,即EF=BI+DF.(2)IS：EP.BE.DFZIB的關(guān)粟是EF=BE-DF,理由是：在為上截取珊二DF,連接別，ZAECZD=lSOi?ZADC+ZADILSO0?-.ZABC=ZABF,在ZU跚和ADF中!fA2=ADZ5=BF-.AAEMAADF(SAS),AF=AN!ZDAF=ZEAMjZBjW=2EAF

9、=2ZEAD+ZDA.F)=2(ZEAD+ZBAM)=2EAF+(GAD+G刖)yvZBJlD=(ZBAM4ZEAD)4-ZMAE-.ZMAE=ZEAFAFAEOALlkE,A=AAE=,AF=AM-.AFAEAMAE(SAS),EF=EN=BE-BH=BE-DFi即EF=BE-DF.8、如圖，在AABC中，ZACB=90,AC=BC,P是厶ABC內(nèi)一點，且PA=3,PC=2,PB=1.求ZBPC的度數(shù)【專卷丁計算題.【分析血點C作CD丄CP,使CBCP2連接CD,PD,AD,根卿2BC,由同角的親角相等得到夾角相等，利用S昭的三角形收D與三角形MF全等！利用全等三角形耐應(yīng)邊相等！吋應(yīng)角相等得

10、到AD=BP=1,ZADC=ZBPC,在直角三角形MF中，利用勾股定理求岀肚的忙，由ADAF的匠，利用勾般定理的逆定理得到三角冊MF芮直角三韜形，由Z4+Z5求出/ADC度數(shù)，即JZBFC度數(shù).【解吾確：過點匚作匚D丄匚F,使CD=CF=2,連接EFD,ABVZl+Z2=ZACB=90c，=ZDCF=Z3+Z2,AZ1=Z3,在厶匚虹和匚盯中，CD=CPJZ3=Z1,AC=3CACADIAIZBF（SAS）,ADA=PB=1,ZALCZBFC,在等flRtADCF中，Z4=45,根據(jù)勾股定理得：DF2=CD2+CF2=22+22=8,.Dr2+DA2=8+1=9,AF2=32=9,.DT2+D

11、A2=kF2,AADF直角三角形，即Z5=90,則ZBPC=ZADC=Z4+Z5=45O+90=135.半角模型a=B且0+Y=1800.條件：2思路：（1）、延長其中一個補角的線段（延長CD到E,使ED=BM，連AE或延長CB到F,使FB二DN，連AF）:結(jié)論：MN=BM+DNMV二2ABAM、ANI分別平分ZBMN和ZDNM(2)對稱(翻折)BMc思路:分別將AABM和“dDN以AM和AN為對稱軸翻折，但一定要證明M、P、N三點共線.(ZB+ZD=l8Oo且AB=)例題應(yīng)用：例1、在正方形ABCD中，若M、N分別在邊BC、CD上移.CACMN二2ABACMN思路同上略.AM、AN分別平分Z

12、BMN和ZDNM；動，且滿足MN二BM+DN,求證：ZMAN=45例1拓展：在正方形ABCD中，已知zman=45。，若M、N分別在邊CB、DC的延長線上移動，試探究線段MN、BM、DN之間的數(shù)量關(guān)系.例2在四邊形ABCD中，ZB+ZD=180。，AB=AD,若E、F分別在邊BC、CD上，且滿足EF二BE+DF求證:”=2ZEAD.BDBBE提示:練習鞏固：如圖，在四邊形ABCD中，ZB=ZD=90。,AB=AD,若E、F分別在邊BC、CD上的點，且/EAF=2ZBAD-.求證：EF=BE+DFABBE提示:半角鋼題:如國r將蜒點廣順時針族轉(zhuǎn)抄.得g門”連瞎*仍”則也血丹，CtJ-CV,XAC

13、D-8CNtp-ZfCD=ACM-tZACD=ZACM-ZBC=殲巒“ytdcv.AMJCAAATrW-ACV-jr又易得41血=4卯+4于=餅.-在KlAliWD中,有川十/=z2,故應(yīng)選竦習：L如醫(yī)r正方形朋的邊辰酣1.R.M上備存一成P一?若口陀的周隹為2求ZPT(?的眞數(shù)a嚴nEM3h如圖fiF示在等腫直角的斜邊異&上収兩點Af*N,使WCV-45記卻-m剛7.AV-h,求證：以-ft,”為邊氏的二角吃的形狀是直角三角冊.乙E、F分別是正方形遊D的邊必、8上的點，旦血丄EF丿為垂足求證：All=AB.cliU4h已知：如圖lRt4yC中,tABA點D*F分別為線段證上兩動點,若Zfll

14、L_4刖-探究線段月少比曲三條馥段7間的欝量夫系4明的思路是：把心反騎點沖順時針旌轉(zhuǎn)也戶，得到，宦結(jié)FD便問題導到解決一請你參考小明的思路探究并解;夬下列問題：皿髓噩）、虛、2T三條線段之同與在的數(shù)量式系式并對你的猜想給予證明；冊當朋點E在線段童口上動點D運動在線段延氏議上時，如圖2,其它條件不變.中探究的結(jié)論是否炭生改變？請說明你的猜思井給予證朗.1、如圖正方形血CD的邊按為L他，一血上各存一點P、0,若2腔的周長為廠求ZPC0的度爲斡：出加牝境點（?虞轉(zhuǎn)附到乂釦的位置，（?0=?F.-妊幺十廿7十qp=ij又鋰4如+廿+Pfl=2,QD+BP=QP.又DQ=/iF,/.PQ=PF.：W=Z

15、FWP.又&CF=9(r.煙三4尸.求證:屈mAB解：延長冊至存r使mdf,連結(jié),易證匹個G竺ADF,ADj則.4D=I=n*CDCN,ZACD=ZJiC,故也Z-&C討q乙CD-乙4山CAlQfP_4S45iZAJC*拭而SMDC呂AA0Qj貝l|.WD=JtV=x.flnZZ14.W=45-h45*=9CF,故桿彥角三角形HMD中百川+=?.法2；蒯門用上一習討的對稱變換“也龍儲懈答.如圖所示,収何泊對秫軸博趙翻折到包違易證ACPN和ACifV關(guān)于C.V對稱，且APA-1N為直甬三角形井且可得加一j!A/_砒,帕-臨7剛i.圏iDE4.已知：如圄1在RIA砧中r/他,Ali=Aif點門，E分別為氏段HT上兩動點若ZLkAEAS3，探兗馥段冊ADEr取三聲理之間的散雖關(guān)系，小明的思路是：把吐壯匸繞點衛(wèi)順時針旋轉(zhuǎn)期.得到也UH連結(jié)EDt便冋題得到解決請你螯考小明的思路舷井解決下列問題：刪FD、DE、匸三磁尿之間存枉的數(shù)量羔系式，井對悔的猜銀給予證明；2）當動點在線尿上總點D運動在舗匚酋延妙上時其它條祥平變（1）中探究的結(jié)論是否友生改變?請說明悔的猜禺井給予還明(1)加=防+曲證明：很據(jù)ilC繞點詼時針施轉(zhuǎn)財?shù)玫紸ECABir.4E=AEt,ZE4C=Z：4fi