隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線(xiàn)性系統(tǒng)

1、隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線(xiàn)性系統(tǒng)現(xiàn)代通信原理隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線(xiàn)性系統(tǒng) 通信的目的在于傳輸信號(hào)，信號(hào)和系統(tǒng)總是聯(lián)系在一起的。通信系統(tǒng)中的信號(hào)或噪聲一般都是隨機(jī)的，因此在以后的討論中我們必然會(huì)遇到這樣的問(wèn)題：隨機(jī)過(guò)程通過(guò)系統(tǒng)（或網(wǎng)絡(luò)）后，輸出過(guò)程將是什么樣的過(guò)程？ 這里，我們只考慮平穩(wěn)過(guò)程通過(guò)線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的情況。 隨機(jī)信號(hào)通過(guò)線(xiàn)性系統(tǒng)的分析，完全是建立在確知信號(hào)通過(guò)線(xiàn)性系統(tǒng)的分析原理的基礎(chǔ)之上的。我們知道，線(xiàn)性系統(tǒng)的響應(yīng)vo(t)等于輸入信號(hào)vi(t)與系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)的卷積，即vo(t)=vi(t)*h(t)= 若 vo(t) Vo(), vi(t) Vi(), h(t) H()，則有 Vo()=H

2、()Vi() (2.4 - 2)若線(xiàn)性系統(tǒng)是物理可實(shí)現(xiàn)的，則 vo(t)=或 如果把vi(t)看作是輸入隨機(jī)過(guò)程的一個(gè)樣本，則vo(t)可看作是輸出隨機(jī)過(guò)程的一個(gè)樣本。顯然，輸入過(guò)程i(t)的每個(gè)樣本與輸出過(guò)程o(t)的相應(yīng)樣本之間都滿(mǎn)足式（2.4 - 4）的關(guān)系。這樣，就整個(gè)過(guò)程而言，便有 o(t)= (2.4 - 5)我們先確定輸出過(guò)程的數(shù)學(xué)期望、 自相關(guān)函數(shù)及功率譜密度，然后討論輸出過(guò)程的概率分布問(wèn)題。 1. 輸出過(guò)程o(t)的數(shù)學(xué)期望 Eo(t)= eh( ) i(t-)d 式中利用了平穩(wěn)性假設(shè)Ei(t-)=Ei(t)=a(常數(shù))。 又因?yàn)?H(W)=求得H(0)=所以Eo(t)=aH

3、(0) 由此可見(jiàn), 輸出過(guò)程的數(shù)學(xué)期望等于輸入過(guò)程的數(shù)學(xué)期望與直流傳遞函數(shù)H(0)的乘積，且Eo(t)與t無(wú)關(guān)。 2. 輸出過(guò)程o(t)的自相關(guān)函數(shù) Ro(t1, t1+)=Eo(t1)o(t1+) =E 根據(jù)平穩(wěn)性 Ei(t1-)i(t1+-)=Ri(+-) 有Ro(t1, t1+) 可見(jiàn), o(t)的自相關(guān)函數(shù)只依賴(lài)時(shí)間間隔而與時(shí)間起點(diǎn)t1無(wú)關(guān)。 若線(xiàn)性系統(tǒng)的輸入過(guò)程是平穩(wěn)的，那么輸出過(guò)程也是平穩(wěn)的。 3. 輸出過(guò)程o(t)的功率譜密度 對(duì)式（2.4 - 7）進(jìn)行傅里葉變換, 有令則有Po()=即 Po()= 可見(jiàn)，系統(tǒng)輸出功率譜密度是輸入功率譜密度Pi()與系統(tǒng)功率傳輸函數(shù)|H()|2的

4、乘積。 例 23 帶限白噪聲。試求功率譜密度為n0/2的白噪聲通過(guò)理想矩形的低通濾波器后的功率譜密度、自相關(guān)函數(shù)和噪聲平均功率。理想低通的傳輸特性為H()= K0e-jwt 0 其他 解 由上式得|H()|2= ，|H。輸出功率譜密度為Po()=|H()|2Pi()= ， |H 可見(jiàn)， 輸出噪聲的功率譜密度在|H內(nèi)是均勻的， 在此范圍外則為零，如圖 2 - 5（a）所示，通常把這樣的噪聲稱(chēng)為帶限白噪聲。其自相關(guān)函數(shù)為圖2-5 帶限白噪聲的功率譜和自相關(guān)函數(shù) 式中，H=2fH。由此可見(jiàn)，帶限白噪聲只有在=k/2fH(k=1, 2, 3, )上得到的隨機(jī)變量才不相關(guān)。它告訴我們，如果對(duì)帶限白噪聲按

5、抽樣定理抽樣的話(huà)，則各抽樣值是互不相關(guān)的隨機(jī)變量。這是一個(gè)很重要的概念。 如圖 2 - 5（b）所示，帶限白噪聲的自相關(guān)函數(shù)Ro()在=0 處有最大值，這就是帶限白噪聲的平均功率: Ro(0)= n0fH4. 輸出過(guò)程o(t)的概率分布 從原理上看，在已知輸入過(guò)程分布的情況下，通過(guò)式（2.4 - 5），即 總可以確定輸出過(guò)程的分布。其中一個(gè)十分有用的情形是：如果線(xiàn)性系統(tǒng)的輸入過(guò)程是高斯型的，則系統(tǒng)的輸出過(guò)程也是高斯型的。 因?yàn)閺姆e分原理來(lái)看， 上式可表示為一個(gè)和式的極限，即 由于i(t)已假設(shè)是高斯型的，所以，在任一時(shí)刻的每項(xiàng)i(t-k)h(k)k都是一個(gè)高斯隨機(jī)變量。因此，輸出過(guò)程在任一時(shí)刻得到的每一隨機(jī)變量，都是無(wú)限多個(gè)高斯隨機(jī)變量之和。由概率論得知，這個(gè)“和”的隨機(jī)變量也是高斯隨機(jī)變量。這就證明，高斯過(guò)程經(jīng)過(guò)線(xiàn)性系統(tǒng)后其輸出過(guò)程 仍為高