局部線性化和微分

1、關(guān)于局部線性化與微分第一張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月4.3.1 微分的概念1引例問此薄片面積改變了多少? 設(shè)薄片邊長為 x , 面積為 A(x) , 面積的增量為關(guān)于x 的線性主部高階無窮小時為故當(dāng)邊長從在取得增量 時，變到一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,邊長由其第二張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月2“以直代曲”的定量描述當(dāng)函數(shù) 在 處可導(dǎo)且 時，所以當(dāng) x 充分接近 x0 時，有以直代曲：局部線性化：4.3.1 微分的概念第三張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 比較函數(shù) 在 附近比較函數(shù)的增量與該點切線縱坐標(biāo)的增量。例14.3.1 微分的概念第四張，PPT

2、共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月2“以直代曲”的定量描述當(dāng)函數(shù) 在 處可導(dǎo)且 時，所以當(dāng) x 充分接近 x0 時，有以直代曲：局部線性化：4.3.1 微分的概念第五張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月即內(nèi)有定義，處的增量 可以表示為3微分的定義或 , 定義4.3.1設(shè)函數(shù) 在的某鄰域則稱函數(shù) 在 處可微（或可微分），稱為 在 處的微分，記為在一般點 x 處的微分，簡記為若存在與 無關(guān)的常數(shù) ，使函數(shù)在點 4.3.1 微分的概念第六張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 設(shè)函數(shù) 在 的某鄰域 內(nèi)有定義，則函數(shù) 在 可微的充要條件是 在 處可導(dǎo)，且 在點 處的微分為或 函數(shù)可微的條件 當(dāng)

3、，有定理4.3.14.3.1 微分的概念第七張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 設(shè) ，證明 在任何點 處可微，且 對任何 ，有例2證此時，所以，得，即一般地,4.3.1 微分的概念第八張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月從而微分形式可以寫成由此得到，或若 和 互為反函數(shù)，則有對復(fù)合函數(shù)4.3.1 微分的概念第九張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月和 ，并求 在 處的局部線性化例3解，, 所以，在點 處的局部線性化函數(shù)為因為已知函數(shù) ，求函數(shù) .4.3.1 微分的概念第十張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 函數(shù)的增量是曲線的縱坐標(biāo)的增量，它的微分是對應(yīng)的切線的縱坐標(biāo)的

4、增量，這兩者的差是橫坐標(biāo)增量的高階無窮小。4微分的幾何意義對應(yīng)切線的縱坐標(biāo)的增量。微分的幾何意義4.3.1 微分的概念第十一張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月5基本初等函數(shù)的微分公式根據(jù)函數(shù)微分的表達式函數(shù)的微分等于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以自變量的微分.由此可以得到基本初等函數(shù)的微分公式。例如：4.3.1 微分的概念第十二張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月4.3.2 微分法則與微分不變性 設(shè)函數(shù) 在 處可導(dǎo),定理4.3.2 這里為書寫方便將 簡記為 （3） .（2） ；處可微，且 （1） ；（四則運算）則 、 和在第十三張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月定理4.3.3 （復(fù)合運算

5、）其中 和 均可微，則函數(shù) 設(shè)有復(fù)合函數(shù) ，也可微，且 因此，無論是自變量，還是中間變量，微分公式微分形式的不變性的形式保持不變，將此性質(zhì)稱為4.3.2 微分法則與微分不變性 第十四張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月求函數(shù) 的微分 例4解4.3.2 微分法則與微分不變性 第十五張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月例5解（1）將下面給出的微分形式寫成某一函數(shù)的微分： （1） ； （2） ；（2） （3）（4） （3） ； （4） .4.3.2 微分法則與微分不變性 第十六張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月4.3.3 微分在近似計算中的應(yīng)用 ，有近似公式 若函數(shù) 在 處可微，

6、則對于充分小它說明：用線性函數(shù) 來近似時，所產(chǎn)生的誤差是 的高階無窮小，即第十七張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月使用原則:4.3.3 微分在近似計算中的應(yīng)用 特別當(dāng)很小時,第十八張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月利用微分計算 的近似值。例6函數(shù)為. 設(shè)解則利用公式函數(shù)為則利用公式得4.3.3 微分在近似計算中的應(yīng)用 第十九張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月例7證 令，則由近似公式有證明近似公式 ，由此公式計算的近似值并通過圖形觀察，考察當(dāng)時， x 應(yīng)在什么范圍取值？ 4.3.3 微分在近似計算中的應(yīng)用 第二十張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月，下面估計使不等式

7、成立的的范圍4.3.3 微分在近似計算中的應(yīng)用 第二十一張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月常見的近似公式有：這里要求 (1)(2)(3)(4)(5)4.3.3 微分在近似計算中的應(yīng)用 第二十二張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月例8解將麥克風(fēng)的插頭視為圓柱形，其截面半徑 ，長 ，為了提高它的導(dǎo)電性能，要在插頭的側(cè)面鍍上一層厚為 的純銅，試估算一下鍍一個這樣的插頭需要多少克銅？（銅的比重為 ） 用初等方法完全可以解決這個問題，所需要的銅為 不過此時計算量較大用微分的方法來估算4.3.3 微分在近似計算中的應(yīng)用 第二十三張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月因為當(dāng) 較小時有 由于

8、 當(dāng) ， ， 時，所以，鍍一個這樣的插頭估計需要純銅例8將麥克風(fēng)的插頭視為圓柱形，其截面半徑 ，長 ，為了提高它的導(dǎo)電性能，要在插頭的側(cè)面鍍上一層厚為 的純銅，試估算一下鍍一個這樣的插頭需要多少克銅？（銅的比重為 ） 4.3.3 微分在近似計算中的應(yīng)用 第二十四張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月內(nèi)容小結(jié)與作業(yè)1. 微分概念 微分的定義及幾何意義 可導(dǎo)可微2. 微分運算法則微分形式不變性 :( u 是自變量或中間變量 )3. 微分的應(yīng)用近似計算第二十五張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月2. 設(shè)由方程確定,求1. 設(shè) 且則思考與練習(xí)解:方程兩邊求微分,得當(dāng)時由上式得第二十六張，PPT共二十八頁