高一數(shù)學(xué)數(shù)列綜合提高知識精講

1、高一數(shù)學(xué)數(shù)列綜合提高【本講主要內(nèi)容】數(shù)列綜合提高數(shù)列綜合問題，數(shù)列的實際應(yīng)用【知識掌握】【知識點精析】本章是高考命題的主體內(nèi)容之一，應(yīng)切實進行全面、深入地復(fù)習(xí)，并在此基礎(chǔ)上，突出解決下述幾個問題：(1)等差、等比數(shù)列的證明須用定義證明，值得注意的是，若給出一個數(shù)列的前n項和Sn ,則其通項為an, S(n=1), Sn -Sn(n2,ne N).若a1 = 滿足a1 = S2 S1,則通項公式可寫成a。=Sn -(2)數(shù)列計算是本章的中心內(nèi)容，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式及其性質(zhì)熟練地進行計算，是高考命題重點考查的內(nèi)容.(3)解答有關(guān)數(shù)列問題時，經(jīng)常要運用各種數(shù)學(xué)思想.善于使

2、用各種數(shù)學(xué)思想解答數(shù) 列問題，是我們復(fù)習(xí)應(yīng)達到的目標.函數(shù)思想：等差等比數(shù)列的通項公式，求和公式都可以看作是n的函數(shù)，所以等差等比數(shù)列的某些問題可以化為函數(shù)問題求解.分類討論思想：用等比數(shù)列求和公式應(yīng)分為 Sn = a1(1 q)(q # 1)及Sn =na(q=1);i-q已知Sn求an時，也要進行分類；整體思想：在解數(shù)列問題時，應(yīng)注意擺脫呆板使用公式求解的思維定勢，運用整體思想求解.(4)在解答有關(guān)的數(shù)列應(yīng)用題時，要認真地進行分析，將實際問題抽象化，轉(zhuǎn)化為數(shù) 學(xué)問題，再利用有關(guān)數(shù)列知識和方法來解決.【解題方法指導(dǎo)】例1.三個正數(shù)成等差數(shù)列，它們的和等于15,如果它們分別加上1、3、9就成等

3、比數(shù)列,求這三個數(shù).分析：利用等差數(shù)列及等比數(shù)列的性質(zhì).解：設(shè)這三個正數(shù)分別為 a-d,a,a+d,其中d為公差，則有(a -d) a (a d) =15,. a =5由題意可得，(5-d +1)M(5 + d +9) = (5 + 3)2例(6d)M(14 + d) = 64,解得d =2,或d = 10,由題意d = 10,舍.故這三個正數(shù)分別為 3, 5, 7.例2.(2005北京文17)數(shù)列 2 ),得 Hn 書=二 Hn (n2),333一 11 4 一 一又 a1=,所以 an=-(-)n(n 2),3 n 3 3 HYPERLINK l bookmark30 o Current

4、Document 1n =1數(shù)列Gn的通項公式為an= 4 n/,3(3)口 ？(II )由(I)可知a2,a4,|,a2n是首項為1, , , 4 21 ,公比為(4)2,項數(shù)為n的等比數(shù)歹U,33a?1142na4a6 III a2n =q33 Y23=3(4)2n7 3-1-例3.已知等差數(shù)列 an的前n項的和為Sn,且a2=1, S1 =33.(I)求 an的通項公式；1、a(II )設(shè)bn = ( 一)n ,求證：數(shù)列bn為等比數(shù)列;2分析：利用等差數(shù)列的前n項和的公式.(I)解：由題意可得，&1=11(a1a11)=11(a2+a10), 22得 a10 = 5.1ao a2 8d

5、，d 2,八、，八、1 n,an =a2 +(n-2)d =1 + (n2)父一=一.1 n1(2)2, TOC o 1-5 h z 22,、1a1c(II )證明：bn = ( - ) n,bn = ( )2 ,22bn 1bn1 n (2)2，1 人，勺。，而6”2-2 一 ,222，數(shù)列bn是以三為首項，以 三為公比的等比數(shù)列.22【考點突破】【考點指要】高考試題中考查數(shù)列知識的解答題多是綜合性問題，常將數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式、 三角、解析幾何等內(nèi)容綜合起來考查.考查形式多樣，可以是小題(選擇題、填空題)，也可以是大題形式出現(xiàn)，所占的分值為514分.(1)探索性問題在高考中出現(xiàn)的頻率較

6、高，一般有兩種形式：不知問題的結(jié)論，需經(jīng)過自己去發(fā)現(xiàn)、 去探索，從而得出結(jié)論.具體的思維過程是“觀 察分析一一歸納假設(shè)一一推理論證”.其中觀察分析是基礎(chǔ)，猜想是關(guān)鍵.“是否存在”型問題.解決這類問題的思路是：假設(shè)滿足題設(shè)條件的對象存在，在此 基礎(chǔ)上，或?qū)ふ页鰧ο蟠嬖诘臈l件，從而肯定假設(shè)，或推導(dǎo)出與題設(shè)或事實矛盾的結(jié)論，從 而推翻假設(shè).(2)數(shù)列型應(yīng)用問題也是高考考查的熱點，解題思想主要有以下幾點：讀題分析哪些構(gòu)成等差數(shù)列，哪些構(gòu)成等比數(shù)列，有無遞推關(guān)系式；明確是求數(shù)列通項，還是求數(shù)列前 n項和，還是求遞推公式；將問題轉(zhuǎn)化成數(shù)列問題解決.【典型例題分析】例1. (2005上海卷理20題)假設(shè)某市

7、2004年新建住房400萬平方米，其中有 250萬平方米是中低價房.預(yù)計在今后的若干年內(nèi)，該市每年新建住房面積平均比上一年增長8%另外，每年新建住房中，中低價房的面積均比上一年增加50萬平方米.那么，到哪一年底，(1)該市歷年所建中低價房的累計面積(以 2004年為累計的第一年)將首次不少于4750萬平方米？(2)當(dāng)年建造的中低價房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%?解：(1)設(shè)中低價房面積形成數(shù)列 an,由題意可知an是等差數(shù)列，其中 a1 =250,d =50 ,則 Sn =250n + n(n-1) x50-25n2 +225n,2令 25n2 +225n 之4750,即 n2

8、 +9n -190 之 0,而 n 是正整數(shù)，.n 2 10.到2013年底，該市歷年所建中低價房的累計面積將首次不少于4750萬平方米.(2)設(shè)新建住房面積形成數(shù)列bn,由題意可知bn是等比數(shù)列，其中匕=400, q =1,08，則 bn =400(1.08)n4.由題意可知 an 0.85bn ,有 250 +(n1) 50 400(1.08)n, 0.85由計算器解得滿足上述不等式的最小正整數(shù)n =6.到2009年底，當(dāng)年建造的中低價房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%評述：本題主要考查學(xué)生運用所學(xué)數(shù)列知識解決實際問題的能力，以及數(shù)學(xué)建模能力.例2. ( 2005全國卷n文18

9、題) 已知an是各項為不同的正數(shù)的等差數(shù)列，1lg a1,lg a2,lga4成等差數(shù)列，又 bn =,n=1, 2, 3. a2n(I)證明為等比數(shù)列；(n)如果數(shù)列 tn 前3項的和等于,求數(shù)列an)的首項&和公差d .24(I)證明：- lg a，lg a2,lg a4成等差數(shù)列,21gs二七勺十也外,即后工的由又設(shè)等差數(shù)列 n的公差為d,則(a1 +d)2 =ai(a1 +3d),解得 d2 = a1d ,從而 d(d a1) =0，丁 d = 0,d = a1 = 0,而)r = 為 + (2* -= 2 d TOC o 1-5 h z L 11 1 HYPERLINK l book

10、mark40 o Current Document 久=r叼 d 2a因此， &n是首項b1 =1，公比為工的等比數(shù)列.2d21.11.7(II )斛：- b1 +b2 +b3 = (1 +一十一)=, HYPERLINK l bookmark47 o Current Document 2d2424 d = 3.% 二 3例3. (2005湖南卷理20題)自然狀態(tài)下的魚類是一種可再生資源，為持續(xù)利用這一資 源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強度對魚群總量的影響.用xn表示某魚群在第 n年- . . . * . . . - 、 . . . . . .年初的總量，nC N,且X10.不考慮其它因素

11、，設(shè)在第n年內(nèi)魚群的繁殖量及捕撈量都與Xn成正比，死亡量與 Xn2成正比，這些比例系數(shù)依次為正常數(shù)a, b, c.(I)求Xn+1與Xn的關(guān)系式；(n)猜測：當(dāng)且僅當(dāng) X1, a, b, c滿足什么條件時，每年年初魚群的總量保持不變？ (不要求證明)(III )設(shè)a=2, b=1,為保證對任意 X1C (0, 2),都有Xn0, nCN*,則捕撈強度b 的最大允許值是多少？ 證明你的結(jié)論.解：(I)從第n年初到第n+1年初，魚群的繁殖量為aXn,被捕撈量為bXn,死亡量為CX2因此Xn 1 -Xn = aXn -bXn - CX2, n N * .(*)即Xn 1 = Xn(a -b 1 一C

12、Xn), n N * .(*)(II )若每年年初魚群總量保持不變，則Xn恒等于X1, n C N*,從而由(*)式得a bXn(a -b CXn)恒等于 0,n = N*,所以 a -b -CX1 = 0即X1 =.c因為X10,所以ab. a - b 猜測：當(dāng)且僅當(dāng)ab,且x1 =9時，每年年初魚群的總量保持不變.c(出)若b的值使得Xn0, nCN*由 Xn+1=Xn (3bXn), n C N*,知0Xn3 b, n C N*, 特別地，有 0X13b. 即 0Vb0.又因為 Xk+1=Xk ( 2 Xk) 二 ( Xk 1 ) 2+1 10, n C N*,則捕撈強度b的最大允 許值

13、是1.評述：本題考查函數(shù)、數(shù)列的遞推關(guān)系、 不等式以及數(shù)學(xué)歸納法等基礎(chǔ)知識，考查知識 的綜合運用和解決問題的創(chuàng)新能力.切入點是遞推關(guān)系的得出，以及對b通過特殊情況的猜出.【綜合測試】一、選擇題： TOC o 1-5 h z .已知等差數(shù)列an中，a7+a9 =16,a4 =1，則a2的值是()A. 15B. 30C. 31D. 64.如果as a 2,，a8為各項都大于零的等差數(shù)列，公差 dw0,則有()A. a Qa4a5 B. a Qa4+a5D. a Q=a4a5.設(shè)S是等差數(shù)列aj的前n項和，若&=35,則24=()A. 8B. 7C. 6D. 5.設(shè)an 是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若a

14、 +a2 +a3 =15 , a1a2a3 = 80 ,則a1 1 . a12- a 1 于A. 120B. 105C. 90D. 75.若2a =3 , 2b =6, 2c =12 ,則數(shù)列 a,b,c ()A.是等差數(shù)列但不是等比數(shù)列C.是等差數(shù)列又是等比數(shù)列B.是等比數(shù)列但不是等差數(shù)列D.既不是等差數(shù)列又不是等比數(shù)列6.已知數(shù)列12，乂成等差數(shù)列,IhbhY成等比數(shù)列,則a2 a1的值是b2B.-21 5 1C. 一或一22D. 12二、填空題：.數(shù)列Gn , I 滿足an bn = 1e0 = n2 +3n + 2,則bn )的前10項和等于 .若a0,數(shù)列l(wèi)oga,10g3占a,10

15、g4a, ,的和大于90,則該數(shù)列至少有 項, TOC o 1-5 h z 2a1.數(shù)列an中，an+=(n = N*),右a7 =一，則 a6 =.2 a。2.等差數(shù)列an中，0 = 36, S3 = 104,等比數(shù)列bn中，bs=a5，b7=a7,則 b6 =.、解答題.已知數(shù)列an滿足 a1 =4,an =4 (n 2), bn =. anan/(I)求證：數(shù)列&n是等差數(shù)列；(II)求數(shù)列an的通項公式.(2005湖南卷文16題)已知數(shù)列l(wèi)og 2(an 1)(n wN*)為等差數(shù)列，且a1 =33 =9.(i)求數(shù)列an的通項公式；(n)證明+a2 - a1 a3 - a2an 1

16、- an綜合測試答案、選擇題:1. A提示：利用等差數(shù)列的性質(zhì)，若m+n=p+q則aman a p aq2. BD提示:利用等差數(shù)列的前n項和公式Snn(ai an)BAA提示:提示:利用等差中項的性質(zhì).利用等差中項及等比中項的性質(zhì).二、填空題:57. 12解析：因為 anbn =1,an = (n 1)(n - 2),所以bn(n 1)(n 2) n 1 n 2一 111111于無 bn 的前 10 項和 S10 = ( )+( ) + + ()2 33 411 122 12 128. 13解析：an = logn 1a a = n . 1,Snn(2 n 1)n2 3n90, n 12, 2所以至少有13項.23提示：利用遞推公式進行計算._4、，2三、解答題(I)證明：由an一2d處三an Janan則an 4(a。-2) 2ani2(an4 -2)2(an 工-2)2an2,1所以一anl an 21一，即 bn bn2又b1=a1 -2所以bn 是以1為首項,2(II )解：由(I