小學六年級奧數(shù)總復習之十-(祥解)-小學升初中之六年級奧數(shù)(祥解集)

1、六年級上冊2分數(shù)的乘法、除法1例1 解：原式 5+1527/20=33例2 解：原式例3：A=(451+567450)/(451 567-116) B=450/451, 試比較A與B的大小分析：這類的大數(shù)相乘的題一定要冷靜，切不要一上手就相乘相加，面是要分 析各數(shù)之間的關(guān)系，然后與B進行經(jīng)較，或者分子上下項進比較，分子 是450 567，而分母是451 567，只要將451化成450+1這題便立即可 解，可見分析的重要性。解： A=451+567*450/ (450+1)*567-116 =(451+567*450)/(451+567*450)=1 B=450/451B例4：當3/10( )/

2、1217/20時， 里可以填些什么整數(shù)？ 分析：通分分母即可解：36/120( )*10/120102/120,即可填4、5、6、7、8、9、10這七個數(shù)3分數(shù)乘法、除法1 分數(shù)的大小比較 例1：將以下分數(shù)從小到大排列起來： 2/5, 3/7, 10/23 ,12/29, 15/37.分析：因為分母較大，常規(guī)的通分后數(shù)字很大，很易計錯，考慮將分子通分， 那么有分子相同，分母越大，分數(shù)值越小。解： 分子的最小公倍數(shù)是60， 即：60/150, 60/140, 60/138, 60/145, 60/148. 因此，60/15060/148 60/145 60/140 60/138 原分為的從小到大

3、排列為 2/5 15/37 12/29 3/7 10/23例2：A43/45 ,B=57/59,試比較A與B的大小分析：因為通分分式的分子與分母都比較大，這樣情況下，因為數(shù)值與1比較 接近，可考慮與1的差，分析差的大小，差越小那么分數(shù)越大，差越大那么 分數(shù)越小。解：1A143/45=2/45 1-B=1-57/59=2/59, 因為2/592/45,因此 BA例3：比較4/9與9/19的大小分析 通過比較，可發(fā)現(xiàn)分子、分母分別與另外的分子、分母相乘的數(shù)值不大，因此可考慮兩數(shù)相除，通過與1進行比較，大于1，那么分子的數(shù)大于分母的數(shù)，如小于1，那么分母的數(shù)大于分子的數(shù)。解：4/99/19=4*19

4、/9*9=76/81 1, 那么可以判定，分母的數(shù)大于分子的數(shù)，因此4/99/193分數(shù)乘法、除法1-1 分數(shù)的大小比較 例4：試比較111/1111與1111/11111的大小解：分析：倒數(shù)之后，整數(shù)位相同，小數(shù)位分子相同，通過兩個數(shù)的 倒數(shù)，倒數(shù)后數(shù)值越大，其原值越小。 因為：111/1111的倒數(shù)是1111/111=10+1/111 1111/11111的倒數(shù)是 11111/1111=10+1/1111, 因為10+1/111110+1/111 所以1111/11111111/1111例5：下面四個算式中，那個算式最小，哪個算式最大？ 15 153/4 2/3 15.24/5 14.8

5、73/74分析：通過與15的比較來分析各個數(shù)的大小， 15 15 153/4 2/315 4/3 2/3=15 8/915*(1-1/9) =15-15/9k1) 元素放到x個抽屜里，那么至少有一個抽屜里含有 m+1 或更多個元素。6-抽屜原理1例1某班有學生37人，他們都訂閱了?小主人報?、?少年文藝報?、?少學生優(yōu)秀作文?三種報刊的一種、二種或三種。其中至少有幾位同學訂的報刊相同？解：訂一種的有：3種情況； 訂二種的有：3種情況； 訂三種的有：1種情況。 共有情況：3+3+1=7種情況。即看做10個抽屜所以有：37=75+2 因此至少有6個學生訂的報刊是相同的。例2幼兒園大班里有120個小

6、朋友，各種玩具有364件。把這些玩具分組小朋友，是否會有人得到4件或以上的玩具？解： 364=1203+4 ，把120個小朋友看作120抽屜，可知至少有一個抽屜里有3+1=4個玩具。即至少有人會得到4件或以上的玩具。例3把25個乒乓球放在幾個盒子里，才能至少有一個盒子里有7個球？解：因為 25=64+1 ； 將乒乓球放到最多4個盒子里抽屜里，才能保證至少有一個抽屜里有6+1=7個乒乓球。6-抽屜原理2例4布袋里有4種不同顏色的球，每一種都有10個。最少取出多少個球，才能保證其中一定有3個球的顏色是一樣的？解：把4種不同的色看成4個抽屜，把球看成元素。 于是3-24+1=9個球。所以最少取出9個

7、球， 才能保證其中一定有3個球的顏色是一樣的。根據(jù)抽屜原理，要使其中一個抽屜里至少有3個顏色一樣的球， 那么取出的球的個數(shù)應比抽屜個數(shù)的2倍多1.將a件物品放入n個抽屜中，如果an=m.b，其中b是自然數(shù)，那么由抽屜原理就可以得到，至少有一個抽屜中的物品不少于(m+1)件。 (例76-抽屜原理3例5)從1，2，3，4，5. 。14，15.這個15個數(shù)中，任取9個數(shù)，其中一定有二個數(shù)的和為17，為什么？解：可以將2，15，3，14、4，13、5，12、6，11、7，10、8，9、1，分為8組數(shù)，因此任取9個數(shù)，一定會出現(xiàn)一至七組中的任意一組，也就是17，所以說法成立。例6)；如圖，兩行10列共，

8、共20外小方格，將每個小方格上涂上紅色，黃色，藍色的其中一種。證明：無論怎樣涂色，其中至少有兩列，它們的染色方式相同。解：三種顏色的組合有紅，紅、紅，黃、紅，藍、黃,紅、黃，黃、黃，藍、藍，紅、藍，黃、藍，藍，一黃九染色的方式，可以看做是9個抽屜，10列小格的的染色方式，看作是10個萍果，10個萍果放進9個抽屜里，必定有一個抽屜有2個萍果，即有兩列的染色方式相同。例7有紅、黃、藍三種顏色的小珠子各4顆混放在口袋里，為了保證一次能取到2顆相同的珠子，一次至少要了多少顆珠子？解：三種顏色看做三個抽屜，因此13+1=4，所以一次摸4顆，肯定 會有至少2顆的顏色是相同的。6-抽屜原理4例7)在邊長為3

9、的正方形內(nèi)，任意放入28個點，求證：必有4個點，以它們?yōu)轫旤c的的四邊形的面積一定不超過1.解：可將正方形分為9個邊長為1的小正方形，為了不例有4點落在 一個小正方形內(nèi)，在每個正方形內(nèi)都平均放3個點，這樣有3*9 27個點，可到第28個點時，無論放在那個小正方形內(nèi)，都會 出現(xiàn)一個小正方形內(nèi)有四個點，其四個頂點為四邊的面積一定 不超過1，所以求證成立。例8)某校五年級學生的身高都在140至150之間包括140和150，且都為整數(shù)，那么至少從多少學生中能找到4個身高相同的學生？解：140至150之間有11個整數(shù)，可看做11個抽屜，抽屜里至少有3 個人，那么有11*333個，再增加一個，必然會現(xiàn)現(xiàn)四個

10、身高相 同的學生即33+134個人。例9)在1至12的自然數(shù)中，任取7個數(shù)，其中一定有二個數(shù)的差等于六，為什么？解：將1至12的數(shù)分為12，6、11，5、10，4、 9，3、8，2、7，1六組，它們的差為6， 即六個抽屜，因此取第7個時，必然會是其中一個抽屜的數(shù)字， 其差必定會是6，所以命題成立。6-抽屜原理4-1例10某班有39名小學生，他們都訂閱了?小朋友? ?兒童時代? ?少年報? 中的一種或幾種，那么其中至少有多少學生訂的報刊種類完全相同？解：訂的種類有： 一種報的有3種類型； 二種報的有3種類型 ； 三種報的有1種類型。共有 3+3+1=7種類型。 397=54 根據(jù)抽屜原理，至少有

11、6個小朋友訂的報刊是完 全相同的。6-抽屜原理5例11 一個幼兒園大班里有40個小朋友，班里有各種玩具125件，把這些玩具分給小朋友，是否會有人得到4件或4件以上的玩具？解：125=340+5 根據(jù)抽屜原理，每人分3件玩具后，還剩下5件玩具，無論剩下的玩具怎樣分，肯定會有人得到4件或4件以上的玩具。例12口袋里有三種不同顏色的小球假設(shè)干個足夠多，每次摸2個，要保證有5次所摸到的結(jié)果是一樣的，至少要摸多少次？解: 三種顏色，每次摸2個，共有6種情況，可看作是6個抽屜， 46=24次，第25次，無論怎樣摸，肯定會和前24次的其中一次的結(jié)果是一樣的，即會有5次相同的摸到的結(jié)果。6-抽屜原理6例13六

12、年級共有46人名學生，他們參加了課外興趣小組。活動內(nèi)容有音樂、美術(shù)、書法和作文，每人可參加1個、2個、3個、或4個興趣小組。問班中至少有幾名學生參加的工程完全相同？解：參加1個興趣班的有：4種情況。 參加2個興趣班的有：6種情況。 參加3個興趣班的有：4種情況。 參加4個興趣班的有：1種情況。所以總參加興趣班的的類型： 4+6+4+1=15類型因此 46=153+1 所以至少有4名學生參加的興趣班是完全相同的。例14 一副撲克牌共54張，其中113點各有4張，還有兩張王的撲克。至少要取出幾張牌，才能保證其中必有4張牌的點數(shù)相同？解：要取的牌數(shù) 4-313+1=40； 另加兩張王，共40+2=4

13、2張， 才能保證其中必有4張的點數(shù)相同。6-抽屜原理6-1例15朝陽幼兒園有50個小朋友，現(xiàn)在拿出420本卡通分給他們，試證明：至少有4個小朋友分到的卡通書一樣多每個小朋友都要分到卡通書。解：考慮最極端的情況下： 3個小朋友分到1本； 3個小朋友分到2本； 3個小朋友分到3本； 3個小朋友分到4本。 3個小朋友分到15本； 3個小朋友分到16本，還剩下2個小朋友分到17本， 這本的分法共需要的書數(shù)為 31+2+3+4+5+。+15+16+217=442本，而442420, 因為那怕不夠一本，都會必有4個小朋友分到的卡通書數(shù)是相同 的，所以至少有4個小朋友分到的卡通是一樣多的結(jié)論成立。6-抽屜原

14、理7例16將400張新年賀卡分給假設(shè)干名同學，每人都能分到，但都不能超過11張，試證明：至少有7個同學得到的新年賀卡的張數(shù)相同。解：將11張賀卡看做11個抽屜，把同學的人數(shù)看做元數(shù)。 如果每一個抽屜至少有一個元素，這樣就有 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=66 而40066=6+4. 所以每個抽屜里都有6個元素，還剩下4個， 因而這4張賀卡無論怎樣分，都會使得至少有一個抽屜里有7個 元素，即7張賀卡，因此結(jié)論成立。六年級下冊 7整理和復習 2-空間與圖形例1一個長方體的體積是1560，它的長、寬、高均為自然數(shù)，它的棱長之和最少是_。 答： 140 由于1560=35813，根據(jù)

15、“n個整數(shù)之積一定，那么這n個整數(shù)越接近，其和越小，所以它的棱長之和最少是： 10+12+134=140例2 選項中有3個立方體，其中不是用左邊圖形折成的是例二、直角三角形ABC的三條邊分別是5cm, 3cm和4cm，將它的直角邊AC對折到斜邊AB上，使AC 與AD重合，如以下圖，那么圖中陰影局部(未重疊局部)的面積是多少cm2？解：分析 當AC=4時 AD=4 DB=5-4=1 三角形AED的面積為4倍三角形DEB的面積，即三角形ABC面積的1/1+4+4，所以得S=3*4*1/1+4+4/2=2/3 當AC=3時，S=3*4*1/2+3+3/2=1。571 行程問題一相遇問題 1根本公式：

16、路程速度時間；路程時間速度；路程速度時間 關(guān)鍵問題：確定行程過程中的位置 1-相遇問題：速度和相遇時間相遇路程請寫出其他公式 2-追擊問題：追擊時間路程差速度差寫出其他公式 時鐘問題也一樣道理3-流水問題：順水行程船速水速順水時間 逆水行程船速水速逆水時間 4-靜水速度順水速度逆水速度2 5-水 速順水速度逆水速度2 6-過橋問題：關(guān)鍵是確定物體所運動的路程例1：從甲地到乙地的路程分為上坡、平路、下坡三段，各段路程之比是1：2：3，某人走這三段路所用的時間之比是4：5：6。他上坡時的速度為每小時2.5千米，路程全長為20千米。此人從甲地走到乙地需多長時間？分析：要求從甲地走到乙地需多長時間，先

17、求上坡時用的時間。 上坡的路程為201/(1+2+3)=10/3千米，上坡的時間為 10/32.5=4/3小時，從甲地走到乙地所需的時間為： 4/34/(1+2+3)=5小時 也可以這樣算：因時間之比為4：5：6， 所以平路時間為5/4*4/3=5/3小時； 下坡的時間為：=6/4*4/3=2小時，合計4/3+5/3+2=5小時。 答：此人從甲地走到乙地需5小時。72 行程問題 (相遇問題 2“相遇問題二人從兩地出發(fā)，相向而行和“相離問題兩人背向而行兩種。速度和相遇離時間=相遇離路程； 相遇離路程速度和=相遇離時間； 相遇離路程相遇離時間=速度和。 速度差追及拉開時間=追及拉開路程。 例題2：

18、甲、乙兩班學生到離校21千米的飛機場參觀，一輛汽車一次只能坐一個班的學生。為了盡快到達機場，兩個班商定，由甲班先坐車，乙班步行，同時出發(fā)。甲班學生在中途下車步行去機場，汽車立即返回接途中步行的乙班同學。兩班學生步行的速度相同，汽車的速度是步行的11倍，汽車應在距機場多少千米處返回接乙班同學，才能使兩班同學同時到達機場學生上下車及汽車換向時間不計算？分析:如下圖，汽車到達甲班學生下車的地方又返回到與乙班學生相遇的地點，汽車所行路程應為乙班不行的11倍，即比乙班學生多走10倍，因此汽車單程比乙班步行多102=5倍。汽車返回與乙班相遇時，乙班步行的路程與甲班學生步行到機場的路程相等。由此得出汽車送甲

19、班學生下車地點到幾長的距離為學校到機場的距離的1/7。列算式為 211+5+1=3千米答：汽車應在距飛機場4.8千米處返回接乙班學生，才能使兩班學生同時到達飛機場。74 行程問題 三列車過橋問題 橋長+列車長速度=過橋時間； 橋長+列車長過橋時間=速度； 速度過橋時間=橋、車長度之和。 例1*：甲、乙兩人沿鐵路線相向而行，速度相同一列火車從甲身邊開過用了6秒，4分后火車又從乙身邊開過用了5秒，那么從火車遇到乙開始，再過多少分甲、乙兩人相遇？解：甲、乙兩人沿鐵路線相向而行，速度相同，從甲身邊開過用了 6秒，從乙身邊開過用了5秒，說明火車與甲是同向而行，與乙 是相向而行，于是 甲行6秒的路程+火車

20、車長=火車行6秒的路 程火車車長-乙行5秒的路程=火車行5秒的路程 由此知，火車 行1秒的路程等于每人行11秒的路程，即火車的速度是人行速 度的11倍，火車從甲身邊開過到與乙相遇用了4分，這段路程 讓人步行需要411=44分，由于在火車行駛4分/里，甲向前 行了4分，實際余下的人步行需44-4=40分，現(xiàn)這40分的路段由 甲乙兩人相向而行，且速度相同，所以還需402=20分相遇75 行程問題 四行船問題公式 1例1：一條輪船往返于A、B兩地之間，由A地到B地是順水航行，由B地到A地是逆水航行。船在靜水中的速度是每小時20千米，由A地到B地用了6小時，由B地到A地所用的時間是由A地到B地所用時間

21、的1.5倍，求水流速度。分析：設(shè)水流速度為每小時x千米，那么船由A地到B地行駛的路程為 20+x6千米，船由B地到A地行駛的路程為 20 x61.5千米。 列方程為20+x6=20 x61.5 x=4 答：水流速度為每小時4千米。1一般公式： 靜水速度船速+水流速度水速=順水速度； 船速-水速=逆水速度； 順水速度+逆水速度2=船速； 順水速度-逆水速度2=水速。 2兩船相向航行的公式： 甲船順水速度+乙船逆水速度=甲船靜水速度+乙船靜水速度 3兩船同向航行的公式： 后前船靜水速度-前后船靜水速度=兩船距離縮小拉大速度75 行程問題 四行船問題公式 1-1例題2：有一船行駛于120千米長的河中

22、，逆行需10小時，順行要6小時，求船速和水速。分析: 這題條件中有行駛的路程和行駛的時間，這樣可分別算出船 在逆流時的行駛速度和順流時的行駛速度，再根據(jù)和差問題 就可以算出船速和水速。解：列式為逆流速：12010=12千米/時 順流速：1206=12千米/時 船速：20+122=16千米/時 水速：20122=4千米/時例題3：輪船以同一速度往返于兩碼頭之間。它順流而下，行了8小時；逆流而上，行了10小時。如果水流速度是每小時3千米，求兩碼頭之間的距離。分析:因為水流速度是每小時3千米，所以順流比逆流每小時快6千 米。如果怒六時也行8小時，那么只能到A地。那么A、B的距離 就是順流比逆流8小時

23、多行的航程，即68=48千米。而這段航 程又正好是逆流2小時所行的。由此得出逆流時的速度。解：列算式為:3+3810810=240千米 答：兩碼頭之間相距240千米76 行程問題 四行船問題公式 2例題4：汽船每小時行30千米，在長176千米的河中逆流航行要11小時到達，返回需幾小時？分析:依據(jù)船逆流在176千米的河中所需航行時間是11小時，可以求出 逆流的速度。返回原地是順流而行，用行駛路程除以順流速度， 可求出返回所需的時間。解：逆流速：17611=16千米/時 所需時間：17630+3016=4小時 答：返回原地需4小時。例題5： 有甲、乙兩船，甲船和漂流物同時由河西向東而行，乙船也同時

24、從河東向西而行。甲船行4小時后與漂流物相距100千米，乙船行12小時后與漂流物相遇，兩船的劃速相同，河長多少千米？分析:漂流物和水同速，甲船是劃速和水速的和，甲船4小時后，距漂流物100千米，即每小時行1004=25千米。乙船12小時后與漂流物相遇，所受的阻力和漂流物的速度等于劃速。這樣，即可算出河長。解：列算式為 船速：1004=25千米/時 河長：2512=300千米 答：河長300千米。722 復雜的行程問題 22用比與分數(shù)求解例1甲乙兩車同時從東西兩站出發(fā)，相向而行，3小時后，甲車恰好行完全程 一半，而乙車距甲車還有45千米，甲乙兩車的速度比是4：3. 求東西兩站相距多少千米?解：甲車

25、所走的路程是(1/2)x千米， 乙車所走的路程是 (1/2)x-45 因為路程的比與速度的比成正比。所以 (1/2)x：【 (1/2)x-45】=4：3 解方程得 x=360千米例2三種動物賽跑，兔子的速度是狐貍的2分之3倍，松鼠與兔子的速度之比是1比2，松鼠每分鐘比狐貍少跑15米。問狐貍每分鐘跑多少車？解： 解法一設(shè)狐貍的速度為x ,那么松鼠的速度為 x-15 , 兔子的速度為3/2)x ,依據(jù)題意得 x-15): (3/2)x=1:2 解得x=60米。 特別加料1-【工程問題公式】例1、一桶油用去2/5 ，還剩下48千克，這桶油原來重多少千克？解：分部除以局部等于整體，因此 48/1-2/

26、5=80千克例2一件工作，甲獨做10小時完成，乙獨做12小時完成，丙獨做15小時完成，現(xiàn)在三人合作，但甲因中途另有任務提前撤出，結(jié)果6小時完成，甲只做了多少小時？答案1小時1一般公式： 工效工時=工作總量； 工作總量工時=工效； 工作總量工效=工時。 2用假設(shè)工作總量為“1的方法解工程問題的公式： 1工作時間=單位時間內(nèi)完成工作總量的幾分之幾； 1單位時間能完成的幾分之幾=工作時間。 特別加料2-【盈虧問題公式1】1一次有余盈，一次不夠虧，可用公式： 盈+虧兩次每人分配數(shù)的差=人數(shù)。 例如，“小朋友分桃子，每人10個少9個，每人8個多7個。問：有多少個小朋友和多少個桃子？ 解7+910-8=1

27、62 =8個人數(shù) 108-9=80-9=71個桃子 或88+7=64+7=71個答略 2兩次都有余盈，可用公式： 大盈-小盈兩次每人分配數(shù)的差=人數(shù)。 例如，“士兵背子彈作行軍訓練，每人背45發(fā)，多680發(fā)；假設(shè)每人背50發(fā)，那么還多200發(fā)。問：有士兵多少人？有子彈多少發(fā)？ 解680-20050-45=4805 =96人 4596+680=5000發(fā) 或5096+200=5000發(fā)答略 3兩次都不夠虧，可用公式： 大虧-小虧兩次每人分配數(shù)的差=人數(shù)。 特別加料2-【盈虧問題公式1-1】例如，“將一批本子發(fā)給學生，每人發(fā)10本，差90本；假設(shè)每人發(fā)8本，那么仍差8本。有多少學生和多少本本子？

28、解90-810-8=822 =41人 1041-90=320本答略 特別加料4 【方陣問題公式】 實心方陣 ：外層人數(shù)的平方=總?cè)藬?shù)空心方陣:最外層每邊人數(shù)-層數(shù)層數(shù)4=中空方陣的人數(shù)。 總?cè)藬?shù)4層數(shù)+層數(shù)=外層每邊人數(shù)。 例如，有一個3層的中空方陣，最外層有10人，問全陣有多少人？ 解一 先看作實心方陣，那么總?cè)藬?shù)有 1010=100人 再算空心 局部的方陣人數(shù)。從外往里，每進一層，每邊人數(shù)少2， 那么進到第四層，每邊人數(shù)是 10-23=4人 所以，空心局部方陣人數(shù)有 44=16人 故這個空心方陣的人數(shù)是 100-16=84人 解二 直接運用公式。根據(jù)空心方陣總?cè)藬?shù)公式得 10-334=84人特別加料5-最小公倍數(shù)問題例1-一個數(shù)除以9余8，除以6余5，這個數(shù)加上1就能被5整除，那么符合條件的最小自然數(shù)是_。解