高三數(shù)學(xué)章末綜合測(cè)試題平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入

1、2013 屆高三數(shù)學(xué)章末綜合測(cè)試題（6）平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的）已知向量 a, b且AB = a+2b, BC =-5a + 6b, CD = 7a-2b,則一定共線的三點(diǎn)是（A.A, B,B.B,C.B, C,D.C,解析A 由題意 BD=2a+4b=2AEA,B, D共線.2.設(shè)P是 ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),BC + BX = 2前則()A.B. PC+ PA = 0C.PB+PC=0.D. PA+PB + PC = 0解析 B 因?yàn)锽C + BA = 2BP),所以點(diǎn)P為線段AC

2、的中點(diǎn)，故選 B.已知O是 AB叫在平面內(nèi)一點(diǎn),D為BC邊中點(diǎn)，且2OA施OC= 0,那么（）A.A0= OD B.A0= 2ODC.A0= 3OD D . 2AO= OD解析 A由2OAf OB OC= 0可知，O是底邊BC上的中線 AD的中點(diǎn)，故AO= OdA.a= (1,2) , b=( -2, 4) , | c| 二乖.若(a+b) - c = 5,則 a 與 c 的夾角解析C a+b=( 1, 2) = a,所以a與c的夾角即a+b與c的夾角的補(bǔ)角.5、宜a+b , c 55兀 D.61,兀設(shè) a + b 與 c 的夾角為 0 ,則 cos 0 =-;=f=；= = ,故 0 =,|

3、a + b|c| 也x 巡 23一右、，2兀 夾角為工-.35.已知代一3,0） , B（0,2） , O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) C在/AO咕，且/ AOC= 45。，設(shè)OC=入OAv Ob入e r）,則入的值為（1A . 1 B. 3 C.122 D. 3解析 A如圖，過(guò)C作CHx軸于點(diǎn)E,則 | OEf=|CEf = 2,所以 Oc=OOb=入 O/vOb 即 Ot 入 OA 所以( 2,0)=入(3,0),故入=2.故選A.36. （2011 湖南十二校聯(lián)考）平面上有四個(gè)互異的點(diǎn) a b、c D,滿足（AB-BC -（AD-CD=0,則三角形ABC是（.直角三角形B.等腰三角形.等腰直角三角形D

4、.等邊三角形解析b (Afe-BC) (Ab-CD = (Afe-BC (超前=(Ab-Bc)- AC= ( Ab-的（曲的 = |AB|2|的2=0,故|AB = |BC,即abb等腰三角形.（2011 杭州月考）已知定義在復(fù)數(shù)上的函數(shù)f （x）滿足f（x）=J：.、一 ix R,x,x?R,f (1 + i)=(0 C解析 C (I +i) ?R, . f(1 +i) =(1 i)(1 +i)=1 i 2=2.8.如圖所示，非零向量OA = a, oB=b,且 BCLOA C為垂足，若oC =入a(入w0),則入=（A.a - bB.|a|b|C.D |a|b|.a - b解析bCOA,即

5、 bCoC? (OC-OB) - oC=0? |oC|2-oB - oC = 0,即入2| a|2入a b = 0,解得 入= 2.|a|a 1 i（2011 濟(jì)南一模）設(shè)a是實(shí)數(shù)，且1a-2-是實(shí)數(shù)，則a=（） TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark52 o Current Document -A. 2 B .1 C . 1 D . 2解析 B 因?yàn)槎∈?二- = 十二=考一學(xué)i是實(shí)數(shù)，所以 a=- 1. 1 + I 22222.已知點(diǎn)A（ 2,0）、B（3,0）,動(dòng)點(diǎn)P（x, y）滿足pA pB=x：則點(diǎn)P的軌跡是（）A .圓 B .橢圓 C .雙曲線 D .

6、拋物線解析 D -. PA=(-2-x, -y) , P=(3-x, -y), PA - P = x： ( -2-x)(3 x) + y2=x2,化簡(jiǎn)得 y2=x+6.已知向量a = （1,1） , 2a+b= （4,2）,則向量a, b的夾角為（）A.解析由 a= (1,1 ) , 2a+b=(4,2),得 b= (4,2) -2(1,1) =(2,0).設(shè)向量 a,b的夾角為 a 220,則cos 而廠=勾2= 2 兀e=y. （2011 寶土氐質(zhì)量調(diào)查）已知點(diǎn)A, B, C在圓x2+y2=1上，滿足2OAAB+AC=0（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），又| AB| = | OA ,則向量BA&向量反

7、方向上的投影為（1_1A . 1 B. 1 C. 2 D 2解析 c 由 2OAAfe+AC(Oaf岫+(OAfAC = O拼Oc= 0,得Ob=Oc即q b, C三點(diǎn)共線.又|AB = |Oa=1,故向量BM向量 西向上的投影為IBAcOS T-= 2.32二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中橫線上 ）.設(shè)向量 a與 b 的夾角為 0 , a=(3,3) , 2b-a=(-1,1),則 cos 0 =解析 .2= (3,3) , 2b-a=(-1,1) , .-=(1,2),acos 0 =.|a|b|3 ：11010 .咯案】花.如果復(fù)數(shù)Z=甘（沖的實(shí)部和虛部互

8、為相反數(shù)，則b的值等于解析 z =2-bi 1-i 2-b 2+ bUi 1-i2-b 2+bI ,由2-=2-，得 b=0.【答案】15. (2011 宣城調(diào)研)已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù) z滿足不3=2i ,則z =解析由題意得，“白t一1 316.對(duì)于n個(gè)向量as 32,，an,若存在n個(gè)不全為零的實(shí)數(shù) k1, k2,，kn,使得，an是線性相關(guān)的.按此規(guī)定，能使向量k1a1 + k2a2+ kn3n=0 成乂,則稱向量 a1，32,31 = (1,0) , a=(1 , 1), a3= (2,2)是線性相關(guān)的實(shí)數(shù)k1, k2, k3的值依次為(只需寫(xiě)出一組值即可).解析根據(jù)線性相關(guān)的定義，

9、k2+2k3 = 0,得 k1(1,0) +k2(1 , 1) + k3(2,2) =0? ”k2+2k3=0,令 k3=1,則 k2=2, k1 = - 4, kb k2, k3的一組值為一4,2,1.【答案】-4,2,1三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17. (10分)如圖，在任意四邊形 ABC由，E為AD的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，證明：解析 因?yàn)镕為BC的中點(diǎn)，所以BF+ CF= 0,連接 AF DF,則有 AB+ DC= Ab+ DO BF+ CF=AB+ Bf+ Dc Cf= Af+ DF 而Af= Ae+Ef Df=招 Ef,又E為AD的

10、中點(diǎn)，所以A& DE= 0.所以 Af+ Df= Ae+ Ef+ DeEf= 2EF,所以 AB+ Db= 2ef18. (12分)計(jì)算下列各式的值:解析(1)(2)2+4i；4i 1 2UT2=4= 2i.2i2 + 4i 2 + 4i(2)1 + i2 =2i =2 i.+ i 3 =次+ i 3= i i = 0.2D是CB的中點(diǎn)，E是AB上一點(diǎn)，且19. (12 分)已知 AB8, / C是直角，GA CB,AE= 2EB 求證：ADL CE解析建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,設(shè) A(a,0),則 R0, a), E(x, y).D是 BC的中點(diǎn)， D& a；即(xa, y) = 2( -x

11、, a-y),x- a= 2x, -|y=2a2y,ax = 3.I y = |a.3. Ab= Jo, a 卜(a,0) = j-a,.AEZLCE,即 ADL CEa 2 a _ .AD, CE= ax -+ -ax - = 0.3 3220. (12 分)已知點(diǎn) A(2,0)、R0,2)、C(cos a,sin a), O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且 0Voe v(i)若|oA+oC| =,求oB與oC的夾角;(2)若 aC BC,求 tan a 的值.解析 (1)由已知可得OA = (2,0),1a =1,OC = (cos a , sin a ),且 I OA + OCI =17,72 + cos

12、 a2+ sin 2 & =，7,化簡(jiǎn)得 cos0V a Tt , sin a又. oB = (0,2) , cos加 oC .3|0B| OC|兀,. oB, oc(2) AC = (cos a 2, sin a ) , B= (cos a ,sin由 AC，BC,得(cos a 2, sin a ) (cos a即(cos a 2)cos a + sin a (sina 2) = 0,化簡(jiǎn)得,sin a + COS a12sin 2 a+ cos2 a + 2sina COS2Sin a+ cos2 a + 2sin sin a +COS ac COS14即 3tan 2 a +8tan

13、a +3 = 0,4 7解得 tan a =一一33由得，Sin a COS a =8LT兀.0 且 0V a Tt ,- |COS a | , tan a4+y7321. (12分)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知圓x2+y212x+32=0的圓心為 Q過(guò)點(diǎn)R0,2)且斜率為k的直線與圓 Q相交于不同的兩點(diǎn)A B(1)求k的取值范圍;(2)是否存在常數(shù)k,使得向量 oA+oB與pQ共線？如果存在，求出 k的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解析 (1)圓的方程可寫(xiě)成(x 6)2+y2=4,所以圓心為 Q6,0),過(guò)R0,2)且斜率為k的直線方程為y=kx+2,代入圓的方程得2,一、 2 一 _x + (kx + 2) -12x + 32=0,整理，得(1 + k2)x2 + 4(k-3)x+36=0.直線與圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn) A B等價(jià)于222A