高三數(shù)學(xué)高考專題講座高考中常用數(shù)學(xué)的方法

1、高考中常用數(shù)學(xué)的方法配方法、待定系數(shù)法、換元法一、知識(shí)整合配方法、待定系數(shù)法、換元法是幾種常用的數(shù)學(xué)基本方法.這些方法是數(shù)學(xué)思想的具體體現(xiàn)，是解決問題的手段，它不僅有明確的內(nèi)涵，而且具有可操作性，有實(shí)施的步驟和作法.配方法是對(duì)數(shù)學(xué)式子進(jìn)行一種定向的變形技巧，由于這種配成“完全平方”的恒等變形使問題的結(jié)構(gòu)發(fā)生了轉(zhuǎn)化，從中可找到已知與未知之間的聯(lián)系，促成問題的解決.待定系數(shù)法的實(shí)質(zhì)是方程的思想，這個(gè)方法是將待定的未知數(shù)與已知數(shù)統(tǒng)一在方程關(guān)系中，從而通過解方程(或方程組)求得未知數(shù).換元法是一種變量代換，它是用一種變數(shù)形式去取代另一種變數(shù)形式，從而使問題得到簡化，換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化.二、例題解析例1

2、.已知長方體的全面積為11,其12條棱的長度之和為 24,則這個(gè)長方體的一條對(duì)角線長為().(A) 2 3(B) 14(C)5(D)6分析及解：設(shè)長方體三條棱長分別為x, y, z,則依條件得：2( xy+yz+zx)=11,4( x+y+z)=24.而欲求的對(duì)角線長為4x2 + y2 + z2 ,因此需將對(duì)稱式x2 + y2 +z2寫成基本對(duì)稱式 x+y+z及xy+yz+zx的組合形式，完成這種組合的常用手段是配方法.故 x2 +y2 +z2 =(x + y+ z)2 2(xy+ yz +xz) =62-11=25vx2 + y2 +z2 =5,應(yīng)選 C x例2 .設(shè)Fi和E為雙曲線一4-y

3、2 =1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上且滿足/ F1PE=90 ,則AFiP桎的面積是().(A)1、.5(B)2(C)2(D) . .5分析及解：欲求S由FiF21|PFi | |PF2 |2(1),而由已知能得到什么呢?由/FiPE=90，得 |PF1 |2 +|PF2 |2 = 20(2),又根據(jù)雙曲線的定義得| PF|-| PE|=4(3),那么(2)、(3)兩式與要求的三角形面積有何聯(lián)系呢？我們發(fā)現(xiàn)將(3)式完全平方，即可找到三個(gè)式子之間的關(guān)系.即IIPFi | -1 PF2 I|2=|PFi |2 |PF2 |2 -2|PFi | |PF2 |=16, TOC o 1-5 h z 1f

4、 2 f 21故 |PFi|PF2|(| PFi | | PF2 | -16)4=2 HYPERLINK l bookmark4 o Current Document 221 . S式訐2 =|PF1 門 PF2l=1，, 選(A).注：配方法實(shí)現(xiàn)了 “平方和”與“和的平方”的相互轉(zhuǎn)化、5例3.設(shè)雙曲線的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，準(zhǔn)線平行于x軸，離心率為 火，已知點(diǎn)P(0,5)至ij該雙曲線上的點(diǎn)的最近距離是2,求雙曲線方程. TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark70 o Current Document 225分析及解：由題意可設(shè)雙曲線方程為4與=1, e = 2, /

5、.a=2b,因此所求雙曲a2 b22線方程可寫成：y2-4x2=a2 (1),故只需求出a可求解.設(shè)雙曲線上點(diǎn) Q的坐標(biāo)為(x, y),則| PQ|= %,x2 +(y-5)2 (2),二,點(diǎn)Q(x, y)在雙曲線(22y-+(y-5)2 (3),此時(shí)|PQ|2表示為變量 HYPERLINK l bookmark21 o Current Document 44y的二次函數(shù)，利用配方法求出其最小值即可求解.252 a由(3)式有 | PQ | = (y 4) +5 一 (y a 或 y4分類4二次曲線的對(duì)稱軸為y=4,而函數(shù)的定義域 yna或yw-a,討論.(1)當(dāng)aW4時(shí)，如圖(1)可知函數(shù)在

6、y=4處取得最小值，2.令 5a-=4，得 a2=4所求雙曲線方程為4(2)當(dāng)a4時(shí)，如圖(2)可知函數(shù)在y=a處取得最小值， TOC o 1-5 h z .52 a2.2令 5(a-4) +5- = 4，得 a =49, 444x2”:1.492所求雙曲線方程為L49注：此題是利用待定系數(shù)法求解雙曲線方程的，其中利用配方法求解二次函數(shù)的最值問題，由于二次函數(shù)的定義域與參數(shù) a有關(guān)，因此需對(duì)字母a的取值分類討論，從而得到兩個(gè)解 同學(xué)們?cè)诮獯饠?shù)習(xí)題時(shí)應(yīng)學(xué)會(huì)綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解題例4.設(shè)f(x)是一次函數(shù)，且其在定義域內(nèi)是增函數(shù)，又f，f (x) =4x 12,試求f(x)的表達(dá)式.分析及解：因

7、為此函數(shù)的模式已知，故此題需用待定系數(shù)法求出函數(shù)表達(dá)式1 ,設(shè)一次函數(shù) y=f(x)= ax+b ( a0),可知 f1(x) = (x b), a TOC o 1-5 h z 1 111, f f(x) 二 (x -b) -b = x - (ab b) = 4x -12 a aa a口 =4(且a 0)(1)比較系數(shù)可知：a1 2(ab+b)=12(2)、a11斛此方程組，得 a =, b=2,所求f(x)=x+2.2222例5.如圖，已知在矩形ABCD 中，C(4,4),點(diǎn) A 在曲線 x +y = 9 (x0, y0)上移動(dòng),且AB, BC兩邊始終分別平行于 x軸，y軸，求使矩形ABCD

8、的面積為最小時(shí)點(diǎn) A的坐標(biāo).分析及解：設(shè)A（x, y）,如圖所示，則SABCD =（4- x）（4- y） 此時(shí)S表示為變量x, y的函數(shù)，如何將S表示為一個(gè)變量x（或y）的函數(shù)呢？有的同學(xué)想到由 已知得x2+y2=9,如何利用此條件？是從等式中解出 x（或y）,再代入（1）式，因?yàn)楸磉_(dá)式有開方 顯然此方法不好.如果我們將（1）式繼續(xù)變形，會(huì)得到S=16-4（ x+y）+xy （2）這時(shí)我們可聯(lián)想到x2+y2與x+y、xy間的關(guān)系，即（x+y） 2=9+2xy. TOC o 1-5 h z r, t2 -9, A因此，只需設(shè)t=x+y,則xy=-9 ,代入(2)式22-t2 -9127得S=1

9、6-4t += (t4)2十一(3) S表本為變量t的二次函數(shù)，2220 x3,0y3, 3t3,求卜的取值范圍. x2 X解：（2）2乂2戶)2 =盧xx2x2 )2x12 ;(x1 +x2)_22 -2 3,xx2以 x1 +x2 =-2k ,x1x2 =4 代入整理得(k2-2)2 5,又= A=4k2-16 0,.Jk -2 巨*5 解得底(-叫心十 75)uj2+5+g. k2 -4 _ 02x = 2 cos 日 y = sine例7.點(diǎn)P(x, y)在橢圓 + y2 =1上移動(dòng)時(shí)，求函數(shù)u=x2+2xy+4y2+x+2y的最大值. 42解：點(diǎn)P(x,y)在橢圓 + y2 =1上移

10、動(dòng)，可設(shè)J 4 TOC o 1-5 h z 22u = x 2xy 4y x 2y= 4cos2 ? 4sin c cos 4sin2 u 2 cos1 2 sin 二 HYPERLINK l bookmark60 o Current Document .2.= 2(cos【 sin) cos sin 1令 cos6 + sin 日=t, sin 日 +cos日=22 sin(6 HYPERLINK l bookmark66 o Current Document 11 93是 u=2(t2t 1) -2(t -)2-,(|t| . 2). HYPERLINK l bookmark68 o Cu

11、rrent Document 22當(dāng)t= 2，即sin(6 +、)= 1時(shí),u有最大值.0=2- +-(k Z)時(shí)，Umax4=62.2.例8.過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線 l與橢圓/ c、22(x3) +豈_=1相交于A, B兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓恰好通過橢圓的左焦點(diǎn)F,求直線l解：設(shè) A(x1,y1),B(x2,y2)的傾斜角.直線l的方程為y=kx,將它代入橢圓方程整理得(1 3k2)x2-6x 3 =0 (*)6由韋達(dá)7E理，X1，X2 = 2 (1), X1X21 3k232 (2)1 3k2又 F(1,0)且 AF BF,.-. kAF kBF-1即x1 -1十二x2 - 1將y = 3 , y2 = kx2代入上式整理得2(k 1) XiX2 = Xix2 -1,21將(1)式,(2)式代入，解得k =一.3注：本題設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為參數(shù)，“設(shè)而不求”故直線l的傾斜角為一或6,以這些參數(shù)為橋梁建立斜率為6k的方程求解.例 9.設(shè)集合 A= x|4x 2x+ +a=0,xw R(1)若A中有且只有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)a的取值集合B;(2)當(dāng)a C B時(shí)，不等式x2-5x-60且方程4x2x4+a=0化為t2-2t+a=0 (*),A中有且只有一個(gè)元素等價(jià)于方程(*)有且只有一個(gè)正根，