測(cè)量與地圖學(xué)3

1、第二章地圖的數(shù)學(xué)(shxu)基礎(chǔ)共五十二頁(yè)3.地圖投影的定義 球面上任一點(diǎn)的位置用地理坐標(biāo)（、）表示，而平面上點(diǎn)的位置用直角坐標(biāo)（x, y）或極坐標(biāo)（r，）表示，所以要將地球(dqi)球面上的點(diǎn)轉(zhuǎn)移到平面上，必須采用一定的數(shù)學(xué)方法來(lái)確定地理坐標(biāo)與平面坐標(biāo)之間的關(guān)系。 這種在球面和平面之間建立點(diǎn)與點(diǎn)之間函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)方法，稱為地圖投影。共五十二頁(yè)二、地圖投影(d t tu yn)的基本方法1.幾何投影（透視投影）：假想地球是一個(gè)透明體，光源位于球心(qixn)，然后把球面上的經(jīng)緯網(wǎng)投影到平面上，就得到一張球面經(jīng)緯網(wǎng)投影。地圖投影面除平面之外，還有可展成平面的圓柱面和圓錐面；光源除位于球心(qix

2、n)之外，還可以在球面、球外，或無(wú)窮遠(yuǎn)處等。 利用光源把地球面上的經(jīng)緯網(wǎng)投影到平面上的方法叫幾何投影或幾何透視法。這是人們最早用來(lái)解決地球球面和地圖平面矛盾的方法。共五十二頁(yè)共五十二頁(yè)2.數(shù)學(xué)解析法：隨著科學(xué)的發(fā)展，幾何透視法遠(yuǎn)不能滿足編制各類地圖的需要，出現(xiàn)了解析法。解析法是不借助于幾何投影光源（而僅僅借助于幾何投影的方式），按照某些條件用數(shù)學(xué)分析法確定球面與平面點(diǎn)與點(diǎn)之間一一對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系。 X=f1(、) Y=f2(、) 函數(shù)f1、f2的具體形式(xngsh)，是由給定的投影條件確定的。有了這種對(duì)應(yīng)關(guān)系，就可把球面上的經(jīng)緯網(wǎng)交點(diǎn)表示到平面上了。共五十二頁(yè) 球面上任意一點(diǎn)(y din)的位

3、置決定于它的經(jīng)緯度，實(shí)際投影時(shí)是先將一些經(jīng)緯線的交點(diǎn)展繪在平面上，再將相同經(jīng)度的點(diǎn)連成經(jīng)線，相同緯度的點(diǎn)連成緯線，構(gòu)成經(jīng)緯線網(wǎng)。地圖投影的實(shí)質(zhì)是將地球橢球面上的經(jīng)緯網(wǎng)按一定的數(shù)學(xué)法則轉(zhuǎn)移到平面上。經(jīng)緯線網(wǎng)是繪制地圖的“基礎(chǔ)”，是地圖的主要數(shù)學(xué)要素。共五十二頁(yè)三、地圖投影(d t tu yn)的變形1.地圖投影變形的概念 由于球面是一個(gè)不可直接展成平面的曲面，無(wú)論采用什么投影，投影后經(jīng)緯網(wǎng)形狀與球面上的經(jīng)緯網(wǎng)形狀不完全相似。這表明地圖上的經(jīng)緯網(wǎng)發(fā)生了變形，而根據(jù)地理坐標(biāo)展繪在地圖上的各種地面事物也必然發(fā)生了變形。為正確(zhngqu)使用地圖，必須了解投影后產(chǎn)生的變形，所以變形問(wèn)題是地圖投影的重

4、要組成部分。研究各種投影變形的大小和分布規(guī)律，具有重大的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。共五十二頁(yè)地球儀上的經(jīng)緯線網(wǎng)格面積的特點(diǎn)：1、在同一(tngy)緯度帶內(nèi)，經(jīng)差相同的球面網(wǎng)格面積相等2、在同一經(jīng)度帶內(nèi)，緯度愈高，網(wǎng)格面積愈小共五十二頁(yè)地球儀上的經(jīng)緯線角度(jiod)的特點(diǎn)： 在下圖中，只有中央經(jīng)線和各緯線相交成直角，其余的經(jīng)線和緯線均不呈直角相交，而在地球儀上經(jīng)線和緯線處處都呈直角相交，這表明地圖上有角度變形共五十二頁(yè)2.投影變形的相關(guān)概念（1）變形橢圓 在地球球面上取一微小圓，它在平面上的投影除在接觸點(diǎn)位置外，一般情況下為橢圓， 下面我們(w men)用數(shù)學(xué)方法驗(yàn)證一下。共五十二頁(yè) 設(shè)o為球面上一點(diǎn)，以

5、它為圓心的微小(wixio)圓的半徑是單位長(zhǎng)度（為1），M(x,y)是微小圓周上一點(diǎn)，圓心曲線方程為： x2+y2=1 A位于以經(jīng)緯線為直角坐標(biāo)軸X、Y的坐標(biāo)系上 ，X、Y為投影后坐標(biāo)軸，A(x，y)是A(x，y)的投影，令經(jīng)線長(zhǎng)度比為m，緯線長(zhǎng)度比為n，則: x/x=m，y/y=n x=x/m，y=y/n (x,y)為圓上一點(diǎn)，將其代入圓的方程，得：x2/ m 2+y2/ n 2=1這是一個(gè)橢圓方程，這就證明了橢球體面上的微小圓，投影后為橢圓。故叫做變形橢圓。共五十二頁(yè) 研究投影時(shí)，可借助變形橢圓與微小圓比較(bjio)，說(shuō)明變形性質(zhì)和數(shù)量。 橢圓半徑與小圓半徑之比，可以說(shuō)明長(zhǎng)度變形。很明顯

6、的看出長(zhǎng)度變形是隨方向的變化而變化，在長(zhǎng)短半徑方向上有極大和極小長(zhǎng)度比a和b，而長(zhǎng)短半徑方向之間，長(zhǎng)度比，為b 1 經(jīng)線長(zhǎng)度比 1共五十二頁(yè) 庫(kù)德（Goode）投影 美地理學(xué)家古德（J.Paul Goode）于1923年提出在整個(gè)制圖(zh t)區(qū)域主要部分中央都設(shè)置一條中央經(jīng)線，分別進(jìn)行投影，則全圖就分成幾瓣，各瓣沿赤道連接在一起。投影特點(diǎn)(tdin)： 分瓣、組合投影， 變形減小且均勻 大陸完整，大洋割裂 大洋完整，大陸割裂 常用于編制世界地圖共五十二頁(yè)五、高斯(o s)-克呂格投影 高斯-克呂格投影是一種橫軸等角切橢圓柱投影。它是假設(shè)一個(gè)橢圓柱面與地球橢球體面橫切于某一條經(jīng)線上，按照(n

7、zho)等角條件將中央經(jīng)線東、西各3或1.5經(jīng)線范圍內(nèi)的經(jīng)緯線投影到橢圓柱面上，然后將橢圓柱面展開(kāi)成平面即成。共五十二頁(yè) 投影的特點(diǎn)： 高斯-克呂格投影的中央經(jīng)線和赤道(chdo)為垂直相交的直線，經(jīng)線為凹向?qū)ΨQ于中央經(jīng)線的曲線，緯線為凸向?qū)ΨQ于赤道(chdo)的曲線，經(jīng)緯線成直角相交。 無(wú)角度變形；中央經(jīng)線長(zhǎng)度比等于1，沒(méi)有長(zhǎng)度變形；其余經(jīng)線長(zhǎng)度比均大于1，長(zhǎng)度變形為正；距中央經(jīng)線越遠(yuǎn)，變形越大；最大變形在邊緣經(jīng)線與赤道的交點(diǎn)上，但最大長(zhǎng)度、面積變形分別僅為+0.14和+0.27（6帶），變形極小。共五十二頁(yè) 為控制投影變形，高斯-克呂格投影采用6帶、3帶分帶投影的方法(fngf) ，我國(guó)1

8、：2.5萬(wàn)-1：50萬(wàn)地形圖均采用6帶投影，1：1萬(wàn)及更大比例尺地形圖采用3帶投影。6分帶法規(guī)定：從格林威治零度經(jīng)線開(kāi)始，由西向東每隔6為一個(gè)投影帶，全球共分60個(gè)投影帶，分別用阿拉伯?dāng)?shù)字1-60予以標(biāo)記。我國(guó)位于東經(jīng)72-136之間，共包括11個(gè)投影帶（13-23帶）。3分帶法規(guī)定：從東經(jīng)130起算，每3為一帶，全球共分120帶，（下圖）表示了6分帶與3分帶的中央經(jīng)線與帶號(hào)的關(guān)系共五十二頁(yè) 該投影的平面直角坐標(biāo)規(guī)定為：每個(gè)投影帶以中央經(jīng)線為坐標(biāo)縱軸即軸，以赤道為坐標(biāo)橫軸即軸組成平面直角坐標(biāo)系。為避免值出現(xiàn)負(fù)值，將軸西移500km組成新的直角坐標(biāo)系，即在原坐標(biāo)橫值上均加上500km，因我國(guó)位處

9、北半球，值均為正值。60個(gè)投影帶構(gòu)成了60個(gè)相同的平面直角坐標(biāo)系，為區(qū)分之，在地形圖南北的內(nèi)外圖廓間的橫坐標(biāo)注記前，均加注投影帶帶號(hào)。為應(yīng)用方便，在圖上每隔1km、2km或10km繪出中央經(jīng)線和赤道的平行線，即坐標(biāo)縱線或坐標(biāo)橫線，構(gòu)成了地形圖方里(fngl)網(wǎng)（公里網(wǎng)）。共五十二頁(yè) 中國(guó)國(guó)家(guji)基本比例尺地形圖中的大中比例尺地形圖采用高斯-克呂格投影： 11萬(wàn)（3分帶） 12.5萬(wàn)、15萬(wàn)、110萬(wàn)、125萬(wàn)、150萬(wàn)。（ 6分帶）共五十二頁(yè)百萬(wàn)(bi wn)分一地形圖投影 新編國(guó)際百萬(wàn)分一地圖采用(ciyng)雙標(biāo)準(zhǔn)緯線等角圓錐投影，自赤道起按緯差4分帶，北緯84以北和南緯80以南采

10、用等角方位投影。中國(guó)1100萬(wàn)地形圖編繪規(guī)范規(guī)定采用邊緯線與中緯線長(zhǎng)度變形絕對(duì)值相等的雙標(biāo)準(zhǔn)緯線等角割圓錐投影,按緯差4分帶。長(zhǎng)度變形最大值: 0.03% 面積變形最大值: 0.06%共五十二頁(yè)雙標(biāo)準(zhǔn)緯線圓錐(yunzhu)投影假想圓錐軸和地球橢球體旋轉(zhuǎn)軸重合并套在橢球體上圓錐面與地球橢球體面相割，將經(jīng)緯網(wǎng)投影于圓錐面上展開(kāi)而成。 我國(guó)現(xiàn)編的1:100萬(wàn)地圖系采用雙標(biāo)準(zhǔn)緯線正軸等角圓錐(yunzhu)投影共五十二頁(yè)雙標(biāo)準(zhǔn)緯線圓錐(yunzhu)投影 變形分析：無(wú)角度變形 等變形線和緯線一致,同 一條緯線上的變形處處相等 兩條標(biāo)準(zhǔn)緯線上無(wú)變形 在同一條經(jīng)線上，兩標(biāo)準(zhǔn) 緯線外側(cè)為正變形，之間為 負(fù)

11、變形 同一條緯線上等經(jīng) 差的線段長(zhǎng)度相等，兩條緯 線間的經(jīng)線線段長(zhǎng)度處處相等共五十二頁(yè)六、地圖投影(d t tu yn)判別與選擇1、地圖投影(d t tu yn)的判別(1)確定投影系統(tǒng)(2)確定投影變形性質(zhì)(3)確定投影形式共五十二頁(yè)2、地圖投影的選擇 地圖投影將直接影響地圖的精度和使用價(jià)值。通常地圖投影對(duì)中小比例尺地圖影響很大，對(duì)于大比例尺地圖，則影響很小。一般國(guó)家基本比例尺地形圖的地圖投影選擇是由國(guó)家測(cè)繪部門制訂，不允許隨便更改。 地圖投影的選擇主要考慮以下因素：制圖區(qū)域的范圍、形狀和地理位置；地圖的用途、出版(chbn)方式及地圖圖面配置等。共五十二頁(yè) 地圖投影選擇的主要依據(jù)是目標(biāo)(

12、mbio)區(qū)域的地理位置、輪廓形狀、地圖用途。世界地圖常采用正圓柱、偽圓柱和多圓錐三種類型。大洲圖和大的國(guó)家圖投影選擇必須考慮輪廓形狀和地理位置。圓形地區(qū)一般采用方位投影；制圖區(qū)域東西向延伸又在中緯度地區(qū)時(shí)，一般采用正軸圓錐投影。 按照用途，行政區(qū)劃圖、人口密度圖、經(jīng)濟(jì)地圖一般要求面積正確，因此選用等積投影；航海圖、天氣圖、地形圖，要求有正確的方向，一般采用等角投影；對(duì)各種變形要求都不大的，可選用任意投影。共五十二頁(yè) Thank you!共五十二頁(yè)內(nèi)容摘要第二章地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。橢圓半徑與小圓半徑之比，可以說(shuō)明長(zhǎng)度變形。用公式表示為：=ds/ds。等積投影不能保持等角特性(txng)，等角投影不能保持等積特性(txng)。緯線是間隔不等的平行直線