概率4修改課件

1、第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征1 數(shù)學(xué)期望2 方差3 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)4 矩 隨機(jī)變量的概率分布反映了隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，但是在實(shí)際問題中，要確定一個(gè)隨機(jī)變量的分布不是一件容易的事情在許多情況下，并不需要求出隨機(jī)變量的分布，只須知道從不同角度反映隨機(jī)變量取值特征的若干個(gè)數(shù)字就夠了，這些數(shù)字就稱為隨機(jī)變量的數(shù)字特征 例 考察一射手的水平, 既要看他的平均環(huán)數(shù)是否高, 還要看他彈著點(diǎn)的范圍是否小, 即數(shù)據(jù)的波動是否小. r.v.的平均取值 數(shù)學(xué)期望 r.v.取值平均偏離均值的情況 方差 描述兩 r.v.間的某種關(guān)系的數(shù) 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)本章內(nèi)容1.1離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 例1.1 一臺機(jī)床加工某

2、種零件,已知它加工出優(yōu)質(zhì)品、合格品和廢品的概率依次為0.2、0.7和0.1如果出售優(yōu)質(zhì)品和合格品，每一個(gè)零件可分別獲利0.40元和0.20元;如果加工出一件廢品則要損失0.10元.問這臺機(jī)床每加工出一個(gè)零件，平均可獲利多少元？ 解 以X表示加工出一個(gè)零件所獲得的利潤,則X的分布律為1 數(shù)學(xué)期望 X 0.10 0.20 0.40 P 0.1 0.7 0.2 現(xiàn)假設(shè)該機(jī)床加工 個(gè)零件，其中廢品 件，合格品件，優(yōu)質(zhì)品 件，這里 . 則這 個(gè)零件可以獲得總利潤為 其中 ， 和 分別是事件 、 和 出現(xiàn)的頻率.當(dāng) 很大時(shí)， ， 和 分別接近于0.1, 0.7和0.2。 X 0.10 0.20 0.40

3、P 0.1 0.7 0.2平均每個(gè)零件可獲利為 于是可以期望該機(jī)床加工出的每一個(gè)零件所獲得的平均利潤為 （元）. 定義1.1 設(shè)離散型隨機(jī)變量X 的分布律為則稱 （要求此級數(shù)絕對收斂） 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X 的概率密度為 f ( x ) , 則稱 為X 的數(shù)學(xué)期望(或均值)（要求此積分絕對收斂)數(shù)學(xué)期望的本質(zhì) 加權(quán)平均 ,它是一個(gè)數(shù)不再是 r.v. .為 X 的數(shù)學(xué)期望(或均值) 例1.2 設(shè)X服從參數(shù)為p的(01)分布,求X的數(shù)學(xué)期望解 X 的分布律為X 0 1P 1 p p例1.3 設(shè) ，求 解 X 的分布律為例1.4 設(shè) ，求 .解 X 的分布律為例1.5 設(shè) X 參數(shù)為 p 的幾何分布

4、，求E ( X ).解 X 的分布律常見離散型r.v.的數(shù)學(xué)期望分布期望概率分布參數(shù)為p 的 （0-1）分布pB(n,p)np參數(shù)為 p 的幾何分布 例1.6 已知10件產(chǎn)品中有2件次品，求任意取3件中次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望 解 以 X 表示任取3件中次品的個(gè)數(shù)，可取值為0, 1, 2，其分布律為 例1.7 設(shè)X在 a, b上服從均勻分布，求 E(X)解 X 的概率密度為例1.8 設(shè) X 服從參數(shù)為 的指數(shù)分布，求E(X ) 解 X 的概率密度為例1.9 設(shè) ，求 解 X 的概率密度為分布期望概率密度區(qū)間(a,b)上的均勻分布參數(shù)為 的指數(shù)分布N( , 2)常見連續(xù)型r.v.的數(shù)學(xué)期望 1.2 隨機(jī)

5、變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 定理1.1 設(shè)隨機(jī)變量 Y 是隨機(jī)變量 X 的函數(shù):Y=g( X ).（1）若X為離散型r.v. ,概率分布為（2）若X為連續(xù)型r.v. ，其概率密度為f ( x )，如果廣義積分如果 絕對收斂，則隨機(jī)變量 的數(shù)學(xué)期望是 絕對收斂，則隨機(jī)變量 的數(shù)學(xué)期望是注：求隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望方法（1） 先求隨機(jī)變量 Y 的分布,再求數(shù)學(xué)期望（不常用）.（2） 直接應(yīng)用定理1.1（常用）。 例1.10 設(shè)X的分布律為 X 2 1 0 1/2 1 P 1/6 1/3 1/4 1/12 1/6求 , . 解例1.11 設(shè) ，求 解例1.12 設(shè)X在區(qū)間(0, a)上服從均勻分布，求

6、的數(shù)學(xué)期望.解 X 的密度為 則 例1.13 設(shè) X 的概率密度為，求 ,解 定理1.2 設(shè)隨機(jī)變量Z是 X、Y 的函數(shù)Z=g (X, Y)，（2）若( X,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量,聯(lián)合概率密度為（1）若(X, Y)為二維離散型隨機(jī)變量，聯(lián)合分布律為如果 絕對收斂，則隨機(jī)變量Z 的數(shù)學(xué)期望是則隨機(jī)變量Z 的數(shù)學(xué)期望是f (x, y) ，如果 絕對收斂，例1.14 設(shè)( X, Y )的聯(lián)合密度為求 E( X )、 E( XY ) 解例1.15 設(shè) (X ,Y ) N (0,1;0,1;0), 求的數(shù)學(xué)期望.解 例1.16 設(shè)X N (0,1), Y N (0,1), X ,Y 相互獨(dú)立，求E

7、(max X ,Y ) . D1D2解1.3 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)設(shè) C 為常數(shù), 和 都存在。 性質(zhì)1 E (C ) = C 性質(zhì)2性質(zhì)3 證 只證明連續(xù)型隨機(jī)變量情形 ，離散型的證明從略 設(shè) ( X, Y )的概率密度為 f (x, y)，則有分別為f X ( x ) 、 f Y( y ) .則有f ( x, y ) = f X ( x ) f Y( y ) ,于是性質(zhì)4 若X、Y 相互獨(dú)立，則 E( XY ) = E( X ) E( Y ) 證 只對連續(xù)型加以證明 設(shè) ( X, Y ) 的聯(lián)合密度為f ( x, y ), 關(guān)于 X、Y 的邊緣密度注： 若E (X Y ) = E (X )E (

8、Y )，X ,Y 不一定獨(dú)立。反例但 解例1.17 設(shè) X 與 Y 獨(dú)立， 求 注 不是所有的 r.v.都有數(shù)學(xué)期望例如 柯西(Cauchy)分布的密度函數(shù)為但發(fā)散它的數(shù)學(xué)期望不存在! 2.1 方差及其計(jì)算公式1 方差 引例 甲、乙兩射手各打了6 發(fā)子彈,每發(fā)子彈擊中的環(huán)數(shù)分別為：甲 10, 7, 9, 8, 10, 6, 乙 8, 7, 10, 9, 8, 8, 問哪一個(gè)射手的技術(shù)較好？解 首先比較平均環(huán)數(shù)甲 = 8.3,乙 = 8.3再比較穩(wěn)定程度甲：乙：乙比甲技術(shù)穩(wěn)定，故乙技術(shù)較好.進(jìn)一步比較平均偏離平均值的程度甲：乙： 定義2.1 D(X)=EXE(X)2 稱為隨機(jī)變量 X 的方差.稱

9、 為 X 的均方差或標(biāo)準(zhǔn)差. 注：D(X ) 描述 r.v. X 的取值偏離平均值的平均偏離程度，是一個(gè)數(shù)值。方差的計(jì)算公式 1設(shè) X 為離散型隨機(jī)變量，分布律為則 2設(shè) X 為連續(xù)型隨機(jī)變量，概率密度為f (x), 則3證例2.1 設(shè) X 服從參數(shù)為 p 的( 0 1)分布，求D( X ) 解 X 0 1 p 1 p pE( X ) = p ,例2.2 設(shè) ，求D( X )解例2.3 設(shè)X B( n , p)，求D(X ).解E(X)=n p例2.4 設(shè)X 參數(shù)為 p 的幾何分布，求D( X ).解例2.5 設(shè) X 在 a , b上服從均勻分布，求D( X ) 解例2.6 設(shè) X 服從參數(shù)為

10、 的指數(shù)分布，求 D( X ) 解例2.7 設(shè) ，求D( X ) 解常見隨機(jī)變量的方差分布方差概率分布參數(shù)為p 的 （0-1）分布p(1-p)B(n,p)np(1-p) ()參數(shù)為 p 的幾何分布分布方差概率密度區(qū)間(a,b)上的均勻分布N(, 2)參數(shù)為 的指數(shù)分布2.2 方差的性質(zhì)性質(zhì)1 設(shè) C 為常數(shù)，則 D(C ) = 0證性質(zhì)2證性質(zhì)3證性質(zhì)4若X 與Y 相互獨(dú)立，則有證若X 與Y 相互獨(dú)立，則性質(zhì)5 隨機(jī)變量X的方差D(X)=0的充分必要條件是：X以概率1取常數(shù)C=E(X),即注 X恒取常數(shù)例2.3 設(shè)X B( n , p)，求D(X ).解一 前面已求解。故解二 引入隨機(jī)變量相互

11、獨(dú)立，且例2.8 設(shè) X 與 Y 相互獨(dú)立， ， ，求解 例2.9 已知X ,Y 相互獨(dú)立, 且都服從N (0,0.5), 求 E( | X Y | ).故解例2.10 已知 X 的 概率密度為其中 A ,B 是常數(shù)，且 E (X ) = 0.5. 求(1) A ,B. (2) 設(shè) Y = X 2, 求 E (Y ), D (Y ).解 (1)(2)2.3 標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量為 X 的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量.顯然， 例2.11 設(shè) 相互獨(dú)立，并且具有相同的期望與方差 ， ，求 ， ，解 設(shè)隨機(jī)變量X的期望E(X )、方差D(X )都存在, 且D(X ) 0, 則稱（1）僅知r.v.的期望與方差并不能確定其

12、分布P -1 0 1 0.1 0.8 0.1P -2 0 20.025 0.95 0.025有相同的期望方差但是分布卻不相同例如注 （2）在已知某些分布類型時(shí),若知道其期望和方差,便常能確定分布. 例如 已知 X 服從正態(tài)分布, E(X ) = 1.7, D(X ) = 3, Y =1 2 X , 求Y 的密度函數(shù).解性質(zhì)23 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)3.1 協(xié)方差 定義3.1 稱 為X 與Y的協(xié)方差，記作易得協(xié)方差性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)3例3.1 設(shè) 求解 因?yàn)?所以 又由例1.11，于是，3.2 相關(guān)系數(shù) 定義3.2 若D (X ) 0, D (Y ) 0 , 存在，則稱為 X 與 Y 的相關(guān)系數(shù)。記為若

13、稱 X ,Y 不相關(guān).相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1 因此注證 由柯西許瓦茲不等式 可得性質(zhì)3 若 X 與 Y 相互獨(dú)立，則性質(zhì)4 的充分必要條件是：存在常數(shù) a, b,使得X , Y 不相關(guān)X ,Y 相互獨(dú)立X , Y 不相關(guān)等價(jià)命題：注表明X與Y之間以概率1存在線性關(guān)系。較大表明X與Y之間線性相關(guān)程度較好。較小表明X與Y之間線性相關(guān)程度較差。表明X與Y不相關(guān)。不相關(guān)是就線性關(guān)系而言，相互獨(dú)立時(shí)就一般關(guān)系而言的。 例3.2 設(shè)二維隨機(jī)變量 ( X, Y )的概率分布為 X Y 1 0 1 -1 1 / 8 1 / 8 1 / 8 0 1 / 8 0 1 / 8 1 1 / 8 1 / 8 1 / 8證

14、明 X 與 Y 不相關(guān)，但 X 與 Y 不相互獨(dú)立 證( X, Y )關(guān)于X 和Y 的邊緣分布為X 1 0 1P 3 / 8 2 / 8 3 / 8 Y 1 0 1 P 3 / 8 2 / 8 3 / 8 于是有因此 ，即 X 與 Y 不相關(guān)由于所以 X 與 Y 不相互獨(dú)立例3.3 設(shè) ( X,Y ) 的聯(lián)合概率密度為驗(yàn)證 X 與 Y 不相關(guān)，但不相互獨(dú)立解同理于是因此 ，即 X 與 Y 不相關(guān)例3.3 設(shè) ( X,Y ) 的聯(lián)合概率密度為驗(yàn)證 X 與 Y 不相關(guān)，但不相互獨(dú)立解所以 X 與Y 不相互獨(dú)立.例3.4 設(shè) ( X ,Y ) N ( 1,12;2,22 ; ), 求XY 解則X ,Y 相互獨(dú)立X ,Y 不相關(guān)若 ( X ,Y ) N ( 1, 12, 2, 22, ),注4 矩4.1 原點(diǎn)矩和中心矩 定義4.1 設(shè)X與Y是兩個(gè)隨機(jī)變量,稱E(Xk)為X的k階原點(diǎn)矩; 稱EX E( X ) k 為X的 k 階中心矩；稱E( X k Y l ) 為X與Y 的 k + l 階混合原點(diǎn)矩；稱 EXE( X ) k YE( Y ) l為X與Y 的 k + l 階混合中心矩注 E( X )是X的1階原點(diǎn)矩。D( X )是