線性代數(shù)講義老師lecture

1、17.1 行列式計算公式和展開定理先看一個例子：17.1 行列式計算公式和展開定理共有項，每項都是不不同列的元素乘積，正負號由置換陣的行列式給出.17.1 行列式計算公式和展開定理的一個排列.一般項奇排列偶排列例：是置換陣的行列式置換陣的行列式，則稱其為奇排列.注：一個排列經(jīng)過奇數(shù)次對換變?yōu)?7.1 行列式計算公式和展開定理一般地，共有 項.17.1 行列式計算公式和展開定理例：因此 是奇異陣.滿足17.1 行列式計算公式和展開定理通常計算量很大.用以上公式直接求行(列)消去，再寫成方法二：將以遞歸計算.定義：設階矩陣. 例如階行列式的組合，這樣可是劃去第行和第列得到的(complement

2、minor).稱其為代數(shù)稱為(algebraic令complement, cofactor).17.1 行列式計算公式和展開定理定理：17.1 行列式計算公式和展開定理例：17.2 典型例題行列式計算方法：化上(下)三角形法和降階法.例：法一：化上三角形法.17.2 典型例題17.2 典型例題法二：降階法.17.2 典型例題注：利用行列式按行(列)展開定理計算行列式時，一般利用有較多的行(列)展開. 對一般的數(shù)字行列式，可將某行(列)化到只剩一非零元時再做降階處理.例：17.2 典型例題(Vandermonde)行列式.例：計算階范分析：相鄰兩行元素較接近. 從末行開始，后一行加上其前行的倍，

3、階范下面的元素都變?yōu)?，按首列展開后，可提取公因子得到行列式. 再重復此過程.17.2 典型例題解：17.2 典型例題17.2 典型例題可以證明階范行列式17.2 典型例題例：設是階陣，是階陣，求證：證明：考慮分塊矩陣17.2 典型例題即：17.2 典型例題若則18 Cramer法則及行列式的幾何意義18.1 引言考慮行列式的幾個應用.這次課需要以下定理.定理：行列式某一行(列)的各元素與另一行(列)的對應元素的代數(shù)乘積之和等于零. 即18.1 引言理解：18.1 引言綜合定理及推論得“代數(shù)的重要性質(zhì)”：例：設計算18.1 引言例：設求和分析：注意到第二、第四行元素的特點，利用行列式按某行展開定

4、理的推論，將方程組求解.解：與分別看成整體，列18.2.1 求逆矩陣公式可逆，構造如下矩陣，稱為 的伴隨矩陣(adjo設of).矩陣.的代數(shù)18.2.1 求逆矩陣公式例：18.2.1 求逆矩陣公式定理：設可逆，則上例：18.2.1 求逆矩陣公式證明：其中，18.2.1 求逆矩陣公式由引言中定理，故18.2.1 求逆矩陣公式的秩的可能性.例：若解：是一個階陣，求的零空間.故而的列屬于，且存在的任意故階子矩陣不可逆.18.2.2 線性方程組的公式解設的公式.為可逆方陣，來學習的解(難于)寫成行列式的形式18.2.2 線性方程組的公式解一般地，不使用行列式，公式將非常復雜.定理(Cramers rule)：設可逆，如上，令的唯一解為是將的第后的矩陣. 則列換成向量18.2.2 線性方程組的公式解例：解：18.2.2