自動控制原理：第4章 第2講 根軌跡繪制的基本原則

1、4-2.繪制根軌跡的基本法則法則1. 根軌跡起源于開環(huán)極點，終于開環(huán)零點。當(dāng) K= 0 時，根軌跡方程退化為：此時閉環(huán)特征方程的根即為開環(huán)傳遞函數(shù)的極點。由可得：當(dāng) K 時，根軌跡方程退化為：此時閉環(huán)特征方程的根即為開環(huán)傳遞函數(shù)的零點。同樣由也可得：7/27/20221下面分三種情況討淪。 1m=n,即開環(huán)零點數(shù)與極點數(shù)相同時，根軌跡的起點與終點均有確定的值。 2mn，即開環(huán)零點數(shù)小于開環(huán)極點數(shù)時，除有m條根軌跡終止于開環(huán)零點(稱為有限零點)外，還有n-m條根軌跡終止于無窮遠點(稱為無限零點)。 3mm時，有n-m條根軌跡分支沿著與實軸交角為 , 交點為 的一組漸近線趨向無窮遠處。根軌跡的漸進

2、線可由下式而定：交點：交角：7/27/20224例： 已知：試畫出根軌跡的大致圖形。解：按根軌跡繪制的規(guī)則： 規(guī)則1，3個極點也是起點：0，-1，-2； 無零點，則終點為：，。 規(guī)則2，分支數(shù)： n=3m=0，有3條根軌跡對稱于實軸。 規(guī)則3，漸近線：因為本系統(tǒng)中， ，所以共有 n-m=3漸近線。漸近線的傾角： 取k0，1，2，得到：7/27/20225 漸近線與實軸的交點：ReIm0-2-11800600-600三條紅色線為漸近線7/27/202266、實軸上的根軌跡：法則4 根軌跡在實軸上的分布:實軸上的某一區(qū)段,若其右邊開環(huán)實數(shù)零點個數(shù)和實數(shù)極點個數(shù)之和為奇數(shù),該區(qū)段必是條完整的根軌跡分

3、支或是某條根軌跡分支的一部分.證明：例如在實軸上有兩個開環(huán)極點p1、p2，復(fù)平面上有一對共軛極點p3、 p4和一對共軛零點z1、 z2 。有3個試驗點S1、S2、S3先看試驗點s1點，因為根軌跡應(yīng)滿足相角條件：（1)成對出現(xiàn)的共軛極點p3、 p4和共軛零點z1、 z2對實軸上任意試探點構(gòu)成的兩個向量的相角之和為0；7/27/20227所以s1點滿足根軌跡相角條件，而且S1點一直可以左移到P2處，于是p2 ,p1為實軸上的根軌跡。（2）試探點左邊的極點p2對試探點構(gòu)成的向量的相角為0；（3）試探點右邊的極點p1對試探點構(gòu)成向量的相角為180；再看s2點：不滿足根軌跡相角條件，所以不是根軌跡上的點

4、。同樣s3點也不是根軌跡上的點。7/27/20228例設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： 試求實軸上的根軌跡。解：零極點分布如下： 紅線所示為實軸上根軌跡，為：-10，-5和-2，-1 。注意在原點有兩個極點，雙重極點用“ ”表示。7/27/20229法則5.兩條或兩條以上根軌跡分支在s平面上相遇又立即分開的點，稱為根軌跡的分離點，分離點的坐標(biāo)d 是下列方程的解：實軸上的分離點有以下兩個特點:(1) 若實軸上兩個相鄰的極點或兩個相鄰的零點之間的區(qū)段有根軌跡, 則這兩相鄰點之間必有一個分離點。這兩個相鄰的極點或兩個相鄰的零點中有一個可以是無限極點或零點.（2）如果實軸上根軌跡在開環(huán)零點與開環(huán)極點之間，則此

5、區(qū)段上要么沒有分離點, 如有, 則不止一個。分離點7/27/202210分離角：在分離點上，根軌跡的切線和實軸的夾角稱為分離角 。 與相分離的根軌跡的支數(shù)k有關(guān)： 。7/27/202211例4-1.設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖，試?yán)L制其概略根軌跡。解：畫出 s 面上的開環(huán)零點（-1），極點（0，-2，-3）。(1).實軸上 -3，-2，-1，0 是根軌跡。(2).根軌跡有三條分支，分別始于0，-2，-3； 終于-1和兩個無限零點。有兩條漸近線：7/27/202212(3).實軸上 -3，-2 內(nèi)有一分離點 d ：所以分離點為：d -2.47該方程可化為 d34 d2 +5 d +3=0 其根為： -2.46

6、56，-0.7672 j 0.7926按上述法則畫出如右根軌跡圖：-3 -2 -1 0d7/27/202213例4-2.設(shè)單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：試?yán)L制閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡。解：在 s 平面上開環(huán)極點有兩個：-1j，開環(huán)零點-2。(1).實軸( ，-2為根軌跡。(2). 根軌跡有兩條分支，始于-1+j和-1-j終於-2和。(3). 在( ，-2上有一分離點：即解得：（舍去），作出該系統(tǒng)的根軌跡如下圖所示：7/27/202214-2-1+j-1-j-3.414復(fù)數(shù)根軌跡圖在復(fù)平面上是圓的一部分7/27/202215實際上，在有兩個極點（實數(shù)極點和復(fù)數(shù)極點）和一個有限零點組成的開環(huán)系統(tǒng)中，只要有限零

7、點沒有位于兩個實數(shù)極點之間，當(dāng)系數(shù)K*從零變到無窮時，閉環(huán)根軌跡的復(fù)數(shù)部分，就是以有限零點為圓心，以有限零點到分離點的距離為半徑的一個圓，或圓的一部分。7/27/202216 法則6：根軌跡的起始角與終止角： 根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點處的切線與正實軸的夾角，稱為起始角；根軌跡進入復(fù)數(shù)零點處的切線與正實軸的夾角，稱為終止角。1. 起始角：其中： 為零點到此極點連線與正實軸的夾角， 為極點到此極點連線與正實軸的夾角7/27/2022172. 終止角：其中： 為零點到此零點連線與正實軸的夾角， 為極點到此零點連線與正實軸的夾角7/27/202218例如圖，試確定根軌跡離開復(fù)數(shù)共軛極點的起始角。解：根據(jù)

8、對稱性，可知 點的出射角為：請根據(jù)相角條件自行計算。 相角要注意符號；逆時針為正，順時針為負； 注意矢量的方向。注意：7/27/202219例4-3.設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：解：開環(huán)零點為-1.5，-2+j，-2-j 開環(huán)極點為 0，-2.5，-0.5+j1.5，-0.5-j1.51).實軸上(-，-2.5，-1.5，0為根軌跡2).根軌跡有4條分支： 始于0，-2.5， -0.5+j1.5，-0.5-j1.5； 終于-1.5，-，-2+j，-2-j；3). 無分離點。4). 起始角：終止角：7/27/202220法則7.根軌跡與虛軸的交點 若根軌跡與虛軸相交，則交點上的K*值和 可用勞斯判據(jù)確

9、定，也可令閉環(huán)特征方程中的s=j，然后分別令其實部和虛部為零而求得。7/27/202221例 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試?yán)L制概略根軌跡圖解：開環(huán)極點：0、-3、-1+j、-1-j 開環(huán)零點：4個無限零點(1) 實軸上的根軌跡：0，-3區(qū)間。(2)漸近線：應(yīng)有n-m=4-0=4條漸近線。漸近線的傾角： 漸近線與實軸的交點： 7/27/202222(3)分離點： 可求得(4)極點-p3的起始角：不難求得極點-p1、 -p2、 -p4到-p3的幅角分別 、 、 .所以同理不難求得極點-p4處的起始角：終止角在無窮遠處。(5)根軌跡與虛軸的交點： 方法一：由特征方程求： 特征方程 ：7/27/20222

10、3實部方程： 虛部方程： 解得：(舍去)，7/27/202224得：方法二：由勞斯陣列求：由特征方程列出勞斯陣列令s1行首項為零，即求K1 =8.16得，再根據(jù)行s2系數(shù)得到輔助方程令7/27/202225方法一：閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：將 代入得： 例開環(huán)傳遞函數(shù)為： ，試求根軌跡與虛軸的交點和 。 當(dāng) 時， 為根軌跡的起點（開環(huán)極點）當(dāng) 時， ，即根軌跡與虛軸的交點為 。7/27/202226方法二：用勞斯穩(wěn)定判據(jù)確定 的值。勞斯陣列為： 勞斯陣列中某一行全為零時，特征方程可出現(xiàn)共軛虛根。勞斯陣列中可能全為零的行有二。共軛虛根為輔助方程 的根。1、令 ，得臨界增益為：2、令 ，得 （開環(huán)極點

11、）。7/27/202227 當(dāng)n-m=2時， ，即：對于任意的 ，閉環(huán)極點之和等于開環(huán)極點之和，為常數(shù)。表明：當(dāng) 變化時，部分閉環(huán)極點在復(fù)平面上向右移動（變大），則另一些極點必然向左移動（變?。?此法則對判斷根軌跡的走向是很有用的。 根據(jù)上述8個規(guī)則，可以大致畫出根軌跡的形狀。規(guī)則8 極點之和7/27/202228根軌跡作圖步驟一、標(biāo)注開環(huán)極點和零點，縱橫坐標(biāo)用相同的比例尺；二、實軸上的根軌跡；三、n-m條漸近線；四、根軌跡的出射角、入射角；五、根軌跡與虛軸的交點；六、根軌跡的分離點、會合點； 結(jié)合根軌跡的連續(xù)性、對稱性、根軌跡的支數(shù)、起始點和終點，閉環(huán)極點與閉環(huán)極點之和及之積等性質(zhì)畫出根軌跡。7/27/202229漸近線例開環(huán)傳遞函數(shù)為： ，畫根軌跡。 出射角 ，求與虛軸的交點，此時特征方程為解：求出開環(huán)零極點，即：實軸上的根軌跡：(，0將 代入得：7/27/202230求分離會合點：由特征方程由圖知這兩點并不在根軌跡上，所以并非分離會合點，這也可將 代入得 為復(fù)數(shù)。7/27/202231漸近線例開環(huán)傳遞函數(shù)為： ，畫根軌跡。 出射角 ，求與虛軸的交點，此時特征方程為解：求出開環(huán)零極點，即：實軸上的根軌跡：(，0將 代入得： ，7/27/20223