逆矩陣的求法及逆矩陣的應(yīng)用

1、.PAGE 1. . . word. 逆矩陣的幾種求法及逆矩陣的應(yīng)用摘要：在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，矩陣是一個(gè)非常有效而且應(yīng)用廣泛的工具，而逆矩陣則是矩陣?yán)碚撝幸粋€(gè)非常重要的概念。關(guān)于逆矩陣的求法及逆矩陣的應(yīng)用的探討具有非常重要的意義。目前，對(duì)于逆矩陣的求法及其應(yīng)用領(lǐng)域的研究已比較成熟。本文將對(duì)逆矩陣的定義、性質(zhì)、判定方法及求法進(jìn)展總結(jié)，并初步探討矩陣的逆在編碼、解碼等方面的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：矩陣 逆矩陣 逆矩陣的求法 逆矩陣的應(yīng)用The methods for identifying inverse matri* and application of inverse matri*Abstract: In m

2、odern mathematics，matri* is an effective tool with e*tensive application，and inverse matri* is a significant concept in matri* theory. The disduss about the way to evaluating inverse matri* and its application is of an important meaning with mature development at present. This paper will summarize t

3、he definition and properties of inverse matri* and disscuss the methods evaluating inverse matri*.We will also talk about the application of inverse matri*, especially its application in encoding and decoding. Keywords: Matri* Inverse matri* The way to evaluating inverse matri* Application of invers

4、e matri*一：引言 在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，矩陣是一個(gè)有效而應(yīng)用廣泛的工具。在矩陣?yán)碚撝?，逆矩陣又一個(gè)非常重要的概念。本文將對(duì)矩陣可逆性的由來(lái)及逆矩陣的定義、性質(zhì)、判定方法進(jìn)展探討，并進(jìn)一步了解逆矩陣在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生進(jìn)一步了解逆矩陣的應(yīng)用，從而提高教育教學(xué)質(zhì)量。二：矩陣的逆的定義 對(duì)于n矩陣A，如果存在一個(gè)n矩陣B，使得AB=BA=EE為單位矩陣，則說(shuō)矩陣A可逆，并把矩陣B稱為A的逆矩陣。記A的逆矩陣為A.三：可逆矩陣的性質(zhì) 1、如果矩陣A、B均可逆,則矩陣AB可逆，其逆矩陣為BA.推廣：如果矩陣A1 ，A2 , An 均可逆,則矩陣A1A2An可逆，其逆陣為AnA

5、2A1 2、如果A可逆，則可逆，且=A； 3、如果A可逆，則可逆，且. 4、. 5、如果A可逆，數(shù)，則可逆，且； 6、如果矩陣A的逆存在，則該逆矩陣唯一。以上結(jié)論見文獻(xiàn)1四：矩陣可逆的幾種判別方法設(shè)矩陣A為n階方陣，則A可逆的充要條件有：1、存在n階方陣B，使得AB=I；2、對(duì)PAQ=，其中P為s矩陣，Q為nm矩陣，rA=n；3、；4、是非退化矩陣.5、A的行向量列向量組線性無(wú)關(guān)；6、A可由一系列初等矩陣的乘積表示；7、A可經(jīng)過(guò)一系列初等行變換列變換化成單位矩陣I；8、齊次線性方程組A*=0只有零解.以上結(jié)論見文獻(xiàn)1 8五：逆矩陣的幾種求法一定義法定義：矩陣A為n階方陣，如果存在n階方陣B，使

6、得AB=E,則稱A可逆，稱B為A的逆矩陣，記為.求矩陣的逆矩陣.解 ： 因?yàn)?,所以存在.設(shè),由定義知A=E,所以=.由矩陣乘法得=.由矩陣相等可解得;.故二伴隨矩陣法定理：n階矩陣A可逆的充分必要條件是A非退化.且，其中，Aij是|A|中元素aij的代數(shù)余子式.矩陣稱為矩陣A的伴隨矩陣，記作A*，即有A-1 = EQ EQ F(1,|A|) A*.該定理見文獻(xiàn)1注 此方法適用于計(jì)算階數(shù)較低矩陣一般不超過(guò)3階的逆，或用于元素的代數(shù)余子式易于計(jì)算的矩陣求逆。注意A* = Ajinn的元素位置以及各元素的符號(hào)。特別地，對(duì)于2階方陣，其伴隨矩陣為.對(duì)于分塊矩陣，上述求伴隨矩陣的規(guī)律不適用.例2：，求

7、A-1.解: = -1 0A可逆.由得A-1 = EQ EQ F(1,|A|) A* = 三行(列)初等變化法 設(shè)n階矩陣A，作n2n矩陣，對(duì)該矩陣作初等行變換，如果把子塊A變?yōu)椋瑒t子塊變?yōu)?，即由A,E作初等行變換得E,A-1，所得的即為A的逆矩陣.注 對(duì)于階數(shù)較高的矩陣n3，用初等行變換法求逆矩陣，一般比用伴隨矩陣法簡(jiǎn)便.用上述方法求逆矩陣，只允許作初等行變換.也可以利用求得A的逆矩陣.假設(shè)矩陣A可逆，可利用得A-1B和CA-1.這一方法的優(yōu)點(diǎn)是不需求出A的逆矩陣和進(jìn)展矩陣乘法僅通過(guò)初等變換，即求出了A-1B或CA-1.例3：用初等行變換求矩陣的逆矩陣.解：所以四用Cramer法則求矩陣的逆

8、假設(shè)線性方程組的系數(shù)行列式，則此方程組有唯一的一組解.這里是將中的第i列換成得到的行列式.定理1假設(shè)以 = (1 , 0 , 0 , , 0), = (0 , 1 , 0 , , 0), , = (0 , 0 , 1) 表示Fn(Fn表示數(shù)域F上的n維行向量空間)上的一組標(biāo)準(zhǔn)基,則Fn中任一向量= (a1 , a2 , , an )都能且只能表示為:=a1 + a2 + an的形式,這里aiF(i = 1 , 2 , , n).定理2假設(shè)稱矩陣A與矩陣B相乘所得的矩陣為AB，以A的第i行右乘以B，其乘積即為矩陣AB的第i行.求矩陣的逆可用以下方法:令n階可逆矩陣A=(aij),A的行向量分別為

9、, 其中=(a11,a12,a1n),(i=1,2,n),由定理1得:=aij(i = 1 , 2 , , n) ，解方程組, ,為未知量,由于系數(shù)行列式D=|A| 0 (因?yàn)锳 可逆),所以, 由Cramer法則可得唯一解:= bj1+ bj2+ + bjn(j = 1 , 2 , n) .其中Dj是用方程組的常數(shù)項(xiàng)1 ,2,n替換行列式D的第j列的元素得到的n階行列式.由定理2可得: BA = I ( I 為單位矩陣),從而有A-1= B.其中B=(bij).以上定理見文獻(xiàn)1、 7 、8下面舉例說(shuō)明這種方法.例4：求矩陣的逆矩陣.解：矩陣A的行向量為，由標(biāo)準(zhǔn)基表示為：解以為未知量的方程組得

10、：所以五解方程組求逆矩陣由可逆矩陣的上三角(下三角)矩陣的逆仍為上三角(下三角)矩陣,且對(duì)于上(下)三角矩陣的逆矩陣，其主對(duì)角元分別為上(下)三角矩陣對(duì)應(yīng)的主對(duì)角元的倒數(shù),可設(shè)出逆矩陣的待求元素;又由A-1A = E兩端對(duì)應(yīng)元素相等,依次可得只含有一個(gè)待求元素的方程,因而待求元素極易求得,此法常用元素待求上(下)三角矩陣的逆矩陣. 例5：求的逆矩陣.解：設(shè),先求A-1 中主對(duì)角線下的次對(duì)角線上的元素,，.設(shè)E為4階單位矩陣, 比較的兩端對(duì)應(yīng)元素,得： 解得，解得，解得，解得，及所求的逆矩陣為六求三角矩陣的逆的一種方法定理：假設(shè)如果n階矩陣 可逆，則它的逆矩陣為 其中例6： 求上三角陣 的逆矩陣

11、.解：由定理知 七用分塊矩陣求逆矩陣設(shè)矩陣A為m階可逆矩陣，B為n階可逆矩陣，則：例7：，求A-1.解：將A分塊如下：可求得八用恒等變形法求矩陣的逆有些計(jì)算題看似與求逆矩陣無(wú)關(guān),但實(shí)際上卻能發(fā)現(xiàn)，這些題是計(jì)算需要求出逆矩陣的，需將給定矩陣等式作恒等變形，且通?；癁閮删仃嚦朔e等于單位矩陣的形式。 例8：，試求并證明,其中.解: 由，得 ，故 ,而 A為正交矩陣,，所以九拼接新矩陣：在可逆矩陣A的右方補(bǔ)加上一個(gè)單位矩陣E,在A的下方補(bǔ)加上一個(gè)負(fù)單位矩陣-E,再在A的右下方補(bǔ)加上一個(gè)零矩陣O,從而得到一個(gè)新的方陣.對(duì)該方陣施行第三種行的初等變換,使其負(fù)單位矩陣-E化為零矩陣, 則原來(lái)的零矩陣O所化得

12、的矩陣就是所要求的逆矩陣A-1.例9：求矩陣的逆矩陣A-1.解:因?yàn)?，所以 存在構(gòu)造矩陣有：將第一行依次乘以-2，-3和1，分別加到第二行、第三行和第五行，得：將第二行依次乘以-1和1，分別加到第三行和第四行，得：再將第三行依次乘以-3、2和-1，分別加到第四行、第五行、第六行，得：故：十. 用Hamilton-Caley定理求逆矩陣Hamilton-Caley定理:設(shè)A是數(shù)域P上的n階矩陣 為A的特征多項(xiàng)式，則 所以 由此，可知 例10：，求 A-1.解：A 的特征多項(xiàng)式 由Hamilton-Caley定理可知，所以 十一.和化積法 對(duì)于有些涉及矩陣和的問(wèn)題，要先判斷方陣之和A+B的非退化

13、性，并求出它的逆矩陣。則此時(shí)A+B可直接轉(zhuǎn)化為A+BC=E的形式,從而得出結(jié)論，A+B非退化，且=C.或?qū)+B表示為幾個(gè)的非退化陣之積，并得出它的逆矩陣.例11.證明:如果=0,則E-A是非退化的，并求.證明：因?yàn)?，所以是非退化的，?.六：逆矩陣在編碼解碼方面的應(yīng)用矩陣密碼學(xué)是信息編碼和解碼的技術(shù)，其中一種利用了可逆矩陣的方法。首先，在26個(gè)英文字母和數(shù)字之間建立對(duì)應(yīng)關(guān)系，例如，可以是A B Y Z1 2 25 26使用上面的代碼，則該信息的編碼是19,5,14,4,13，15,14,5,25，其中5代表字母E。遺憾的是，這個(gè)編碼表示的對(duì)應(yīng)關(guān)系較為簡(jiǎn)易，人們很輕易就能破譯。如果一個(gè)信息編碼

14、比較長(zhǎng)，則人們會(huì)找出那個(gè)出現(xiàn)頻率最高的數(shù)值，并且猜出它代表哪個(gè)字母。比方，以上編碼中，出現(xiàn)次數(shù)最頻繁的編碼值是5，所以人們很自然地會(huì)認(rèn)為，5代表字母E，因由統(tǒng)計(jì)規(guī)律我們可以知道，在英文單詞中，字母E出現(xiàn)的頻率最高。利用矩陣的乘法，我們可以對(duì)英文信息“SEND MONEY進(jìn)展加密，讓其由明文轉(zhuǎn)換成密文，然后再進(jìn)展傳遞發(fā)送。這樣，信息一經(jīng)處理，就能有效地對(duì)非法用戶破譯編碼增加一定的難度，而又為合法用戶找到一條輕松解密的途徑。假設(shè)存在一個(gè)矩陣A，它的元素均為整數(shù)，而且它的行列式 =1.則由伴隨矩陣求逆公式 可知，的元素也都是整數(shù)。我們可以通過(guò)這樣的方法，利用矩陣A 來(lái)對(duì)明文進(jìn)展加密，從而增加加密之后的密文的破譯難度?，F(xiàn)在取A=用三列將明文“SEND MONEY所對(duì)應(yīng)的9 個(gè)數(shù)值按以下方法排列，可得矩陣B=矩陣乘積AB=對(duì)應(yīng)上數(shù)矩陣，發(fā)出去的密文編碼為43，105，81，45，118，77，49，128，93，合法用戶可用A-1左乘上述矩陣，即可得到明文從而解密。為了構(gòu)造“密鑰矩陣A，我們可以進(jìn)展有限次的初等行變換，從單位陣I開場(chǎng)對(duì)矩陣作變換，為了方便，通常我們只用*行的整數(shù)倍加到另一行。這樣，我們可以得到一個(gè)元素均為整數(shù)的矩陣A。并且由于=1，我們可以知道的元素也必然都是整數(shù)。參考文獻(xiàn)1王萼芳，