數(shù)學軟件課件符號計算

1、數(shù)學軟件Matlab篇Mathematical Software for Section Matlab第七講 MATLAB的 符號計算所謂符號計算是指在運算時,無須事先對變量賦值,而將所得到結果以標準的符號形式來表示。MathWorks公司以Maple的內核作為符號計算引擎（Engine），依賴Maple已有的函數(shù)庫，開發(fā)了實現(xiàn)符號計算的兩個工具箱：基本符號工具箱和擴展符號工具箱。一、符號計算基礎（一） 定義符號變量參與符號運算的對象可以是符號變量、符號表達式或符號矩陣。符號變量要先定義，后引用?？梢杂胹ym函數(shù)、syms函數(shù)將運算量定義為符號型數(shù)據(jù)。引用符號運算函數(shù)時，用戶可以指定函數(shù)執(zhí)行過

2、程中的變量參數(shù)；若用戶沒有指定變量參數(shù)，則使用findsym函數(shù)默認的變量作為函數(shù)的變量參數(shù)。一、符號計算基礎【例1】作符號計算：a,b,x,y均為符號運算量。在符號運算前，應先將a,b,x,y定義為符號運算量（一） 定義符號變量一、符號計算基礎1、sym函數(shù) sname=sym(string)創(chuàng)建名為sname的符號變量，輸出變量為string (下面例1中給出解釋)，也可用于創(chuàng)建符號表達式或符號矩陣。a=sym(a1); %定義a為符號運算量，輸出變量名為a1b=sym(b);x=sym(x);y=sym(y); x,y=solve(a*x-b*y-1,a*x+b*y-5,x,y) %以a

3、,b為符號常數(shù)，x,y為符號變量，a輸出為a1運算結果（方程組的解）： x =3/a1 y =2/b（一） 定義符號變量一、符號計算基礎【例2】已知一復數(shù)表達式 z=x+i*y, 試求其共軛復數(shù),并求該表達式與其共軛復數(shù)乘積的多項式。 為了使乘積表達式x2+y2非負，這里，把變量x和y定義為實數(shù)。x=sym(x,real); %定義x為實數(shù)y=sym(y,real); %定義y為實數(shù)（一） 定義符號變量一、符號計算基礎z=x+i*y; %定義復數(shù)表達式conj(z); %求共軛復數(shù)expand(z*conj(z) %求表達式與其共軛復數(shù)乘積的多項式ans = x2+y2若要去掉x的屬性, 可以

4、使用下面語句 x = sym(x,unreal) 將x創(chuàng)建為純格式的符號變量。（一） 定義符號變量一、符號計算基礎2、syms函數(shù) syms函數(shù)的功能與sym函數(shù)類似。syms函數(shù)可以在一個語句中同時定義多個符號變量，其一般格式為：syms arg1 arg2 argN 用于將rg1, arg2,argN等符號創(chuàng)建為符號型變量。 注意：定義多個符號變量的表達式是syms arg1 arg2 argN （用空格分離變量列表）而不是syms arg1, arg2, , argN （一） 定義符號變量一、符號計算基礎在數(shù)學表達式中，一般習慣于使用排在字母表中前面的字母作為變量的系數(shù)，而用排在后面的字

5、母表示變量。例如： f=ax2+bx+c表達式中的a,b,c通常被認為是常數(shù)，用作變量的系數(shù)；而將x看作自變量。一、符號計算基礎（二）默認符號變量例如，在數(shù)學表達式 f=xn, g=sin(a*t+b)中，根據(jù)數(shù)學式中表示自變量的習慣，默認a,b,n為符號常數(shù)，t,x為符號變量。當然，在matlab中a,b,n可以作為變量使用。若在MATLAB中定義上述表達式，首先用syms 函數(shù)定義a, b, n, t, x為符號對象。在進行導數(shù)運算時，由于沒有指定符號變量，則系統(tǒng)采用數(shù)學習慣來確定表達式中的自變量，默認a,b,c為符號常數(shù)，x, t為符號變量。即 ： 對函數(shù)f求導默認為：df/dx 對函數(shù)

6、g求導默認為：dg/dt（二）默認符號變量一、符號計算基礎為了了解函數(shù)引用過程中使用的符號變量個數(shù)及變量名，可以用findsym函數(shù)查詢默認的變量。該函數(shù)的引用格式為：findsym(f,n)說明：f為用戶定義的符號函數(shù)， n為正整數(shù)，表示查詢變量的個數(shù)。n=i 表示查詢f中前i個系統(tǒng)默認變量，查詢結果按照離x由近到遠的次序排列。 n值省略時findsym(f)表示查詢符號函數(shù)中系統(tǒng)默認的全部變量，查詢結果按英文字母順序排列（只能查出所有符號變量的名字，看不出各變量的優(yōu)先級）。（二）默認符號變量一、符號計算基礎26個單字母變量的排列次序：syms a b c d e f g h i j k l

7、 m n o p q r s t u v w x y zfindsym(a+b+c+d+e+f+g+h+i+j+k+l+m+n+o+p+q+r+s+t+u+v+w+x+y+z,26)ans =x,y,w,z,v,u,t,s,r,q,p,o,n,m,l,k,j,i,h,g,f,e,d,c,b,a也就是說，在matlab符號運算中，26個單字母變量的排列次序為x,y,w,z,v,u,t,s,r,q,p,o,n,m,l,k,j,i,h,g,f,e,d,c,b,a一個表達式中排在最前面的變量為默認變量。（二）默認符號變量一、符號計算基礎【例3 】查詢符號函數(shù) f=xn, g=sin(a*t+b)中的系

8、統(tǒng)默認變量。syms a b n t x %定義符號變量f=xn; %給定符號函數(shù)g=sin(a*t+b);findsym(f,1) %在f函數(shù)中查詢1個系統(tǒng)默認變量結果：ans = x，即在函數(shù)f中系統(tǒng)默認變量為 xs=findsym(g,3) %在f函數(shù)中查詢1個系統(tǒng)默認變量結果：s = t,b,a，即在函數(shù)g中系統(tǒng)默認變量為 t（二）默認符號變量一、符號計算基礎（三） 符號表達式符號表達式由符號變量、函數(shù)、算術運算符等組成。符號表達式的書寫格式與數(shù)值表達式相同。例如,數(shù)學表達式 的符號表達式為： 1+sqr(5*x)/(2*x)注意，在定義表達式前應先將表達式中的字符x定義為符號變量。一

9、、符號計算基礎（四） 生成符號函數(shù)將表達式中的自變量定義為符號變量后，賦值給符號函數(shù)名，即可生成符號函數(shù)。例如有一數(shù)學表達式：一、符號計算基礎其用符號表達式生成符號函數(shù)fxy的過程為： syms a b c x y %定義符號運算量 fxy=(a*x2+b*y2)/c2 %生成符號函數(shù)生成符號函數(shù)fxy后，即可用于微積分等符號計算。【例4】定義一個符號函數(shù) fxy=(a*x2+b*y2)/c2 ，分別求該函數(shù)對x、y的導數(shù)和對x的積分。syms a b c x y %定義符號變量fxy=(a*x2+b*y2)/c2; %生成符號函數(shù) diff(fxy, x) %符號函數(shù)fxy對x求導數(shù)ans

10、=2*a*x/c2diff(fxy,y,2) %符號函數(shù)fxy對y求2階導數(shù) ans = (2*b)/c2 int(fxy, x) %符號函數(shù)fxy對x求不定積分ans =1/c2*(1/3*a*x3+b*y2*x)（四） 生成符號函數(shù)一、符號計算基礎(五） 符號表達式運算1提取分子和分母運算n,d=numden(S)函數(shù)提取有理分式或可以展開為有理分式的符號表達式S的分子或分母，分別將其存放在n與d中。syms xf=3/2*x2+2/3*x-3/5 % rationalize and extract the partsg=(x2+3)/(2*x-1)+3*x/(x-1) % the sum

11、 of rational polynomialsn,d=numden(f) % extract the numerator and denominatorn1,d1=numden(g) % extract the numerator and denominator運行結果：n= 45*x2+20*x-18, d= 30n1= x3+5*x2-3, d1= (2*x-1)*(x-1)一、符號計算基礎(五） 符號表達式運算2符號表達式的因式分解與展開MATLAB提供了符號表達式的因式分解與展開的函數(shù)，函數(shù)的調用格式為：factor(S) 對符號表達式S分解因式。expand(S) 對符號表達式S進

12、行展開。collect(S) 對符號表達式S合并同類項。collect(S,v) 對符號表達式S按變量v合并同類項。這些函數(shù)使用簡單，不再舉例。一、符號計算基礎3符號表達式的化簡MATLAB提供的對符號表達式化簡的函數(shù)有：simplify(S) Reduce explicit MPC controller complexity and memory requirements. 減少顯式MPC控制器的復雜性和內存要求。應用函數(shù)規(guī)則對S進行化簡。simple(S) Search for simplest form of symbolic expression.尋找最簡單的符號表達形式。This M

13、ATLAB function applies different algebraic simplification functions and displays all resulting forms of S, and then returns the shortest form. 這個Matlab函數(shù)應用不同的代數(shù)化簡函數(shù)獲得S的簡易格式，并顯示化簡過程。一、符號計算基礎一、符號計算基礎 3符號表達式的化簡 pretty(S) Prints the symbolic expression S in a format that resembles(類似于) type-set mathemat

14、ics. 使用類似于型集數(shù)學的形式，打印符號表達式 S。4符號表達式與數(shù)值表達式之間的轉換利用函數(shù)sym可以將數(shù)值表達式變換成它的符號表達式。sym(3*pi/4,d) % The d stands for decimal. With digits(20), ans= 2. . With digits(10), ans= 2.35619449.sym(3*pi/4,f) % The f stands for floating point. All values are transformed from double precision to exact numeric values N*2e

15、for integers N and e. ans= 2652839157010665 /1125899906842624.sym(3*pi/4,e) % The e stands for estimate error. ans=(3*pi)/4 - (103*eps)/249sym(3*pi/4,r) % The r form is supplemented by a term involving the variable eps which estimates the difference between the theoretical rational expression and it

16、s actual floating point value. ans=(3*pi)/4一、符號計算基礎4符號表達式與數(shù)值表達式之間的轉換 eval 函數(shù)可以將符號表達式變換成數(shù)值表達式。eval()函數(shù)將括號內的字符串視為語句并運行。 eval(y1=sin(2)和語句y1=sin(2)等價 多在循環(huán)中使用，可以對多個名字有規(guī)則的變量或文件進行操作，例如for x=1:5 eval(y,num2str(x),=,num2str(x2),;)end 又如syms x, a=solve(x2+4*x-9=0)eval(a)一、符號計算基礎5. 符號矩陣符號矩陣也是一種符號表達式，所以前面介紹的符號

17、表達式運算都可以在矩陣意義下進行。但應注意這些函數(shù)作用于符號矩陣時，是分別作用于矩陣的每一個元素。由于符號矩陣是一個矩陣，所以符號矩陣還能進行有關矩陣的運算。MATLAB還有一些專用于符號矩陣的函數(shù)，這些函數(shù)作用于單個的數(shù)據(jù)無意義。例如transpose(S)：或transp(S)或S返回矩陣S的轉置矩陣。det (S)：返回矩陣S的行列式值。其實，曾介紹過的許多應用于數(shù)值矩陣的函數(shù)，如diag、triu、tril、inv、det、rank、eig等，都可以直接應用于符號矩陣。一、符號計算基礎曾介紹過的許多應用于數(shù)值矩陣的函數(shù)，如diag、triu、tril、inv、det、rank、eig等

18、，都可直接應用于符號矩陣。transpose - transpose of matrixdet - Matrix determinanttriu - Upper triangular part of matrixtril - Lower triangular part of matrixdiag - Get diagonal elements or create diagonal matrixinv - Matrix inverserank - Rank of matrixeig - Eigenvalues and eigenvectors一、符號計算基礎1.求極限 limit函數(shù)用于求符號函

19、數(shù)的極限。系統(tǒng)可以根據(jù)用戶要求，計算變量從不同方向趨近于指定值的極限值。該函數(shù)的格式及功能如下：二、符號微積分二、符號微積分 limit(f,x,a)求符號函數(shù)f(x) 當變量x趨近于常數(shù)a時的極限值。a可以為 inf (=-inf) 或 -inf。 limit(f,a)求符號函數(shù)f的極限值。由于沒有指定f的自變量，則其變量為函數(shù)findsym(f)確定的默認自變量。limit(f)求符號函數(shù)f當默認變量趨近于0時的極限。limit(f,x,a,right)求符號函數(shù)f的極限值。right表示變量x從右邊趨近于a。limit(f,x,a,left)求符號函數(shù)f的極限值。left表示變量x從左邊

20、趨近于a。二、符號微積分【例5】求極限syms x; %定義符號變量，等價于 x = sym(x) f=(x*(exp(sin(x)+1)-2*(exp(tan(x)-1)/sin(x)3; %確定符號表達式w=limit(f) %求函數(shù)的極限，等價于w=limit(f,x,0)答案：w = -1/2二、符號微積分2. 求導數(shù)/偏導數(shù) diff(S,v,n)函數(shù)用于計算符號表達式S關于變量v的n階導數(shù)。 diff(S)沒有指定微分變量和微分階數(shù)，則求默認變量對符號表達式S的一階導數(shù)。 diff(S,v)以v為自變量，對符號表達式S求一階導數(shù)。 diff(S,n)求默認變量對符號表達式S的n階微

21、分，n為正整數(shù)。 diff(S,v,n)或diff(S,n,v)以v為自變量，對符號表達式S求n階導數(shù)。二、符號微積分 diff(diff(S,u),v)函數(shù)用于計算符號表達式S關于變量u和v的2階混合偏導數(shù)。 【例6】求下列導數(shù)及偏導數(shù)：x = sym(x); y = sym(y); %定義符號變量diff(sin(x2) %求導數(shù)運算ans =2*cos(x2)*xdiff(diff(sin(y*x2)+sin(x*y2),x),y) %求偏導數(shù)運算ans = 2*x*cos(x2*y) + 2*y*cos(x*y2) - 2*x*y3*sin(x*y2) - 2*x3*y*sin(x2*

22、y)二、符號微積分3求積分/重積分 int(S,v,a,b)積分函數(shù)計算符號表達式S在區(qū)間a,b上關于變量v的定積分。 int(S) 表示沒有指定積分變量和積分階數(shù)時，系統(tǒng)按findsym函數(shù)指示的默認變量對被積函數(shù)或符號表達式s求一階積分。 int(S,v)表示以v為自變量，對被積函數(shù)或符號表達式s求不定積分。 在此基礎上可以計算多重積分。例如：syms x yint( int(x*y2+1,y,-sqrt(1-x2),sqrt(1-x2),x,-1,1) ans = pi二、符號微積分【例7】求下述積分。syms xint(1/(1+x2) ans = atan(x)int(2*x/(1+

23、x2),0,pi/2)ans = log(pi2 + 4) - log(4)syms x yint(int(x*y2+1,y,-sqrt(1-x2),sqrt(1-x2),x,-1,1)ans = pi二、符號微積分4. 級數(shù)(級數(shù)求和)symsum(s,v,n,m) 計算以s為通項的部分和，其中s表示級數(shù)的通項，是一個符號表達式。v是求和變量，v省略時使用系統(tǒng)的默認變量。n和m是求和的開始項和末項。用inf表示無窮大。二、符號微積分5. 函數(shù)的泰勒級數(shù)taylor(f,v,n,a) 函數(shù)將函數(shù)f按變量v展開為泰勒級數(shù)，展開到第n項(即變量v的n-1次冪)為止，n的缺省值為6。v的缺省值與di

24、ff函數(shù)相同。參數(shù)a指定將函數(shù)f在自變量v=a處展開，a的缺省值是0?！纠?】求級數(shù)的和:1/12+1/22+1/32+1/42+ ,鍵入：syms k symsum(1/k2,1,inf) %k值為1到無窮大ans =1/6*pi2其結果為：1/12+1/22+1/32+1/42+ =2/6二、符號微積分5. 符號常微分方程求解在MATLAB中，用大寫字母D表示導數(shù)。例如，Dy表示y，D2y表示y，Dy(0)=5表示y(0)=5。D3y+D2y+Dy-x+5=0表示微分方程y+y+y-x+5=0。dsolve(e,c,v)函數(shù)求常微分方程e在初值條件c下的特解。v是方程中的自變量，省略時按缺

25、省原則處理。若沒有給出初值條件c，則求方程的通解。dsolve(e1,e2,en,c1,cn,v1,vn)函數(shù)求解常微分方程組e1,en在初值條件c1,cn下的特解，若不給出初值條件，則求方程組的通解，v1,vn給出求解變量。5. 符號常微分方程求解【例9】求微分方程組： 2dx/dt+dy/dt-y=exp(-t), dx/dt+x+y=0 滿足初始條件x(0)=1.5, y(0)=0的特解。syms t x ys=dsolve(2*Dx+Dy-y=exp(-t),Dx+x+y=0); %求解微分方程組的通解s.x %微分方程組變量x的通解s.y %微分方程組變量x的通解s=dsolve(2*Dx+Dy-y=exp(-t),Dx+x+y=0,x(0)=1.5,y(0)=0);