數(shù)學建模講座

1、數(shù)學(shxu)建模講座王武天津理工大學中環(huán)信息(xnx)學院共五十四頁數(shù)學最基本的學科特征(tzhng)在于:來源(liyun)的實踐性、結構的抽象性、模型的多樣性、推理的精密性、計算的精確性、體系的統(tǒng)一性、應用的廣泛性。共五十四頁一、數(shù)學建模競賽(jngsi)簡介全國高校規(guī)模(gum)最大的課外科技活動 全國大學生數(shù)學建模競賽創(chuàng)辦于1992年，每年一屆，目前已成為全國高校規(guī)模最大的基礎性學科競賽，也是世界上規(guī)模最大的數(shù)學建模競賽。天津賽區(qū)競賽由天津市教育委員會主辦，天津商業(yè)大學承辦。數(shù)學建模競賽旨在提高大學生運用數(shù)學方法和計算機技術解決實際問題的能力及培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和團隊精神。2014

2、年的全國大學生數(shù)學建模競賽定初步于9月中旬舉行。 為了培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識及運用數(shù)學方法、計算機技術解決實際問題和相互協(xié)調的能力，今年學院計劃學院數(shù)學建模競賽，選拔優(yōu)秀隊伍繼續(xù)參加全國大學生數(shù)學建模競賽。共五十四頁答卷按省（市、自治區(qū)）和全國(qun u)兩級評獎 全國(qun u)組委會網(wǎng)址：/mcm/競賽宗旨：創(chuàng)新意識 團隊精神 重在參與 公平競爭中國的大學生數(shù)學建模競賽基本上是MCM的翻版，所不同的是： 1、政府部門（教育部門）組織； 四大賽： （1）電子設計； （2）數(shù)學建模； （3）機械設計； （4）結構設計 2、時間為9月中旬旬第一周末（72小時）； 3、所有專業(yè)的本、?？粕伎蓞⒓?/p>

3、； 4、A、B題本科生（除農(nóng)、林、醫(yī)）做， C、D題?？粕?、農(nóng)、林、醫(yī)專業(yè)的學生做。2004年開始全國高校研究生數(shù)學建模2008年開始網(wǎng)絡形式全國大學生數(shù)學建模競賽各高校、各地區(qū)組織聯(lián)賽共五十四頁競賽內容：競賽的題目一般來源于工程技術和管理科學等方面(fngmin)經(jīng)過適當簡化加工的實際問題，不要求預先掌握深入的專門知識，而具有較大的靈活性供參賽者發(fā)揮。競賽形式：開卷形式的通訊比賽，可以使用任意圖書資料和互聯(lián)網(wǎng)，自由的收集資料、調查研究。由三名學生組成一隊，各參賽隊任選一競賽題。在三、四天時間(shjin)內，團結合作、奮力攻關，完成一篇數(shù)學建模全過程的論文。評獎標準：沒有事先設定的標準答案，

4、多名專家從以下幾個方面來綜合評定（1）問題分析及假設的合理性；（2）模型的正確性和創(chuàng)造性；（3）運算結果的正確性；（4）結論和討論的科學性；（5）論文表達的清晰性等。大學階段難得的一次近似于“真刀真槍”的訓練，模擬了畢業(yè)后工作時的情況，既豐富、活躍了廣大同學的課外生活，也為優(yōu)秀學生脫穎而出創(chuàng)造了條件。共五十四頁歷年(lnin)賽題的分析 隨著數(shù)學建模競賽的深入開展，競賽的規(guī)模越來越大，競賽的水平也在不斷地提高，競賽水平的提高主要體現(xiàn)在賽題水平的提高，而賽題的水平主要體現(xiàn)在賽題的綜合性、實用性、創(chuàng)新性、即時性,以及多種解題方法的創(chuàng)造性、靈活性等，特別是給參賽者留有很大的發(fā)揮創(chuàng)造的想象空間(kng

5、jin)?？蓮膯栴}的實際意義、解決問題的方法和題型三個方面作一些簡單的分析。 共五十四頁最近建模試題一覽：2008年 A題 數(shù)碼相機定位 B題 高等教育學費標準探討 C題 地面搜索 D題 NBA賽程的分析與評價(pngji)2009年 A題 制動器試驗臺的控制方法分析 B題 眼科病床的合理安排 C題 衛(wèi)星和飛船的跟蹤測控 D題 會議籌備2010年 A題 儲油罐的變位識別與罐容表標定 B題 2010年上海世博會影響力的定量評估 C題 輸油管的布置 D題 對學生宿舍設計方案的評價共五十四頁2011年 A題 城市表層土壤重金屬污染(wrn)分析問題 B題 交巡警服務平臺的設置與調度問題 C題 企業(yè)退

6、休職工養(yǎng)老金制度的改革問題 D題 天然腸衣搭配問題2012年 A題 葡萄酒的評價 B題 太陽能小屋的設計(shj) C題 腦卒中發(fā)病環(huán)境因素分析及干預 D題 機器人避障問題 2013年 A題 車道被占用對城市道路通行能力的影響 B題 碎紙片的拼接復原 C題 古塔的變形 D題 公共自行車服務系統(tǒng)共五十四頁 從問題的實際意義方面分析,大體上可以(ky)分為工業(yè)、農(nóng)業(yè)、工程設計、交通運輸、經(jīng)濟管理、生物醫(yī)學和社會事業(yè)等七個大類。 有的問題屬于交叉的，或者(huzh)是邊緣的。 從問題的解決方法上分析，涉及到的數(shù)學建模方法有幾何理論、組合概率、統(tǒng)計分析、優(yōu)化方法、圖論、網(wǎng)絡優(yōu)化、層次分析、插值與擬合、

7、差分方法、微分方程、排隊論、模糊數(shù)學、隨機決策、多目標決策、隨機模擬、灰色系統(tǒng)理論、神經(jīng)網(wǎng)絡、時間序列、綜合評價方法、機理分析等方法。共五十四頁 用的最多的方法是優(yōu)化方法和概率統(tǒng)計的方法. 用到圖論(t ln)與網(wǎng)絡優(yōu)化方法； 用到層次分析方法； 用到插值擬合方法； 用到神經(jīng)網(wǎng)絡方法； 用灰色系統(tǒng)理論方法; 用到時間(shjin)序列分析方法; 用到綜合評價方法； 機理分析方法和隨機模擬都多次用到; 其它的方法都至少用到一次。 大部分題目都可以用兩種以上的方法來解決,即綜合性較強.共五十四頁數(shù)學(shxu)建模競賽的競爭日趨激烈 數(shù)學(shxu)建模競賽的發(fā)展趨勢 由于數(shù)學建模在創(chuàng)新人才培養(yǎng)中

8、的地位和作用所在，數(shù)學建模受到了越來越多的人的重視和關注，特別是引起了更多領導們的重視。 另一方面，也是因為數(shù)學建模競賽有很強的可比性和競爭性，競賽成績是反映能力和水平的一個實力型指標,也是高校評估的一個重要指標。 從近幾年的競賽題目來看，題目的水平在不斷提高、難度在增加、實用性在增強;特別是綜合性和開放性也在增強，這是一大潮流，從發(fā)展趨勢上來看，有逐步走向國際化的趨勢，同國際接軌是必然的；隨著計算機技術和工具軟件功能的增強,數(shù)據(jù)信息量也在逐步地增大，這也是現(xiàn)代應用的特點之一。這些變化都為我們提出了更高的要求。共五十四頁全國(qun u)大學生數(shù)學建模競賽題發(fā)展趨勢(1) 綜合性增強,進一步體

9、現(xiàn)創(chuàng)新意識.(2) 開放性增大,逐步(zhb)同國際接軌.(3) 即時性增強,擴大競賽的社會效益.(4) 實用性增強,貼近現(xiàn)代實際的科研工作.(5) 挑戰(zhàn)性增強,吸引更多青年學生的參與熱情.共五十四頁我校開展數(shù)學建模的歷史、方法(fngf)、成績、措施我校于2013年第一次組隊參加全國大學生數(shù)學(shxu)建模競賽。我校參加“全國大學生數(shù)學建模競賽”獲獎情況2013年天津市二等獎 方浩翔 楊 靜 張 浩2013年天津市成功參賽獎 成藝光 韓 洋 張 超二、我校數(shù)學建模競賽情況共五十四頁2014年全國大學生數(shù)學(shxu)建模競賽實施方案第一階段、競賽宣傳講座及報名 1宣傳講座 為加強學生對數(shù)學

10、建模的了解，開展數(shù)學建模講座，宣傳數(shù)學建模的基本情況。 2組織報名 (1) 報名對象及要求：全體在校生均可報名，不限系別、不限專業(yè)，原則上優(yōu)先推薦大二、大三學生報名參賽?？勺孕薪M隊（每隊3人，鼓勵跨專業(yè)組隊）報名或個人單獨報名，單獨報名者學院將根據(jù)具體情況組隊，一旦確定組隊，不得自行更換隊員。 (2) 報名時間(shjin)、方式：即日起至3月15日組織報名基礎課部開設的數(shù)學建模選修課及院內數(shù)學建模競賽（參賽者原則上必須參加數(shù)學建模選修課），學生到輔導員處填寫報名表，請各系教學秘書匯總后將填好的報名表（電子版）發(fā)給教務處王武老師。共五十四頁第二階段、選修課教學 時間及考查方式（）教師及課時：王

11、武 24課時（）上課時間：第五至十三周，凡參加選修課學習的學生需遵循學院公共選修課的相關要求，對于完成既定學習任務的學生給予1個選修課學分。（）主要內容：數(shù)學建模基礎知識與基礎模型介紹。第三階段、校內競賽比賽時間初步定于5月17日8時-5月20日8時。 競賽規(guī)則：每三人一組，在規(guī)定(gudng)時間內完成論文一篇，可查閱書籍、報刊等資料，可使用互聯(lián)網(wǎng)等工具。嚴禁抄襲或模仿已有論文成果，一經(jīng)發(fā)現(xiàn)，立即取消參加競賽資格，并禁止參加全國數(shù)學建模競賽。 競賽地點：待定。 競賽結果：評出一等獎 名，二等獎 名，三等獎 名。共五十四頁第四階段、全國賽隊伍選拔與暑期集中培訓 選拔：校內競賽前 名的隊伍參加全

12、國數(shù)學建模競賽并集中進行暑期培訓。 培訓時間：待定 培訓地點：第一教學樓 指導教師：本院教師暑期學院將組織參賽學生進行集中培訓，具體待定。第五階段、參加競賽 時間：9月中旬3天72小時 地點：學院第一教學樓機房 指導教師：本院教師 報名費用：每隊300元，由學院承擔 其他(qt)：競賽3天期間，學院給予必要的支持。共五十四頁對參賽(cn si)同學的基本要求1）具有一定的計算機操作能力及編程能力，尤其要能熟練(shlin)使用Matlab, Lingo,Mathematica,SPSS,Word等軟件，這 一方面的要求會越來越高。2）一隊里至少有一人具有較好的協(xié)調能力及寫作能力。3）每人要求具

13、有較好的數(shù)學功底及數(shù)學素質，起碼是已經(jīng)學過 高等數(shù)學或微積分、線性代數(shù)、概率論與數(shù) 理統(tǒng)計，還要求對“運籌學”、“計算機算法設計”、“離散數(shù) 學”、“組合學”等等方面有所涉獵。4）要求每人具備一定的工程背景知識。5）具有較靈活的思維及快速獵取知識的能力。6）良好的心理素質、及時妥協(xié)能力、吃苦的精神、以及與他人 協(xié)作的能力。共五十四頁三、數(shù)學(shxu)建模的一般過程模型(mxng)準備模型假設模型構成模型評價模型檢驗模型求解模型應用共五十四頁模型(mxng)準備1、問題(wnt)分析 問題分析是對要建模的問題熟悉、理解并形成建模初步設想的階段，是建模過程中的一個基礎性的重要階段。在建模過程中，

14、這個工作一般都需要遞進式的進行多遍。一般要求： 把問題中的各層關系條理化； 熟悉每層關系的節(jié)點和聯(lián)系； 理清關系層間的順序和嵌套； 共五十四頁 深入理解問題的含義(hny)和背景；確立解決該問題(wnt)的最高層目標； 從最高層目標出發(fā)順藤摸瓜，即揭示影響最高目標的各個子層；堅持抓主要因素和主要關系的原則。2、符號設定 符號設定是與問題分析過程相伴完成的同時也與建立模型過程結伴而行。任何一個建模過程中，最高目標層的符號都是相對獨立地首先設定的。 問題分析中得到的各因素的分類特征要體現(xiàn)在符號使用中，以便于模型的數(shù)學表達。共五十四頁 模型(mxng)假設1、意義(yy)：假設是簡化實際問題的必須手

15、段。 假設能縮小問題的涉及范圍，使問題的條件更加明確且條理更加清晰。 做假設的過程中，能進一步辨清問題的主次方面。2、作用：簡化問題，有利于辨識并列出與問題的研究目標更緊密的相關因素及其關系。使模型更加嚴謹。擬建立的數(shù)學模型常被認為是對實際問題的近似刻劃，這種數(shù)學形式應該符合數(shù)學的要求，不能顯示出任何邏輯破綻。共五十四頁 降低問題(wnt)難度。清晰地記錄我們所建的模型忽略是哪些因素和關系(gun x)，為以后改進模型奠定基礎。3、原則：1、假設必須合理且典型。 2、建模初期由寬到嚴，模型改進中由嚴到寬。3、注重與建模其它階段的配合。例：方桌問題的假設：）視方桌的只腳依次為個點。）方桌是規(guī)則的

16、，即點在一個平面上。）擬放置方桌的地面連續(xù)且不特別陡峭。）把放穩(wěn)理解為個腳同時著地。共五十四頁模型(mxng)建立、過程(guchng) 基于“問題分析”階段的結果，已經(jīng)理清了問題的各條線路、各個層次、各個片段及其相互關系，建立模型就是把這些分析結果先分別表示成數(shù)學形式，然后再把這些形式合理整合成一個統(tǒng)一的數(shù)學形式。、原則對問題每一個方面所選擇的數(shù)學表達都應能合理表達該方面的因素間的關系。有利于模型的整合及模型的求解共五十四頁模型(mxng)求解模型求解(qi ji)必須在明確認識模型的數(shù)學歸類的基礎上進行.1）結論為歸納型或猜想型的模型，用論證的方式給出求解過程。2）表達式或表達式組類型的模

17、型，用相應的數(shù)學算法計算出問題的結論。這類模型中的大多數(shù)都有很大的運算量，運算結構也較復雜，或者現(xiàn)有數(shù)學方法不可能給出其精確解，于是，不借助于計算機，求解工作一般無法完成。3）數(shù)據(jù)模型和隨機模型，一般都有很大的運算量或者基于大量的模擬才能給出問題的更精確結論，甚至對有些特別復雜的問題，由于涉及的因素太多且不確定性太大，數(shù)學模型自身就是一個計算機模擬過程。共五十四頁4）必要時對所建模型作適當簡化后方可進行求解。有些問題的數(shù)學模型，現(xiàn)有數(shù)學理論并沒有給出完善的求解方法，例如多目標非線性規(guī)劃模型，這時需要我們根據(jù)實際問題的屬性和要求，適當?shù)睾喕Ｐ?，得到適應(shyng)于問題要求的參考解。5）有些

18、問題(wnt)的數(shù)學模型本身就是一個數(shù)學處理過程，并不能明確地把問題(wnt)集中地表達成某種數(shù)學形式，而是采用一系列數(shù)學處理得出了問題(wnt)的結果。對這類問題(wnt)，自然不需要單獨列出模型求解這一步。共五十四頁6）計算機是數(shù)學建模的得力助手。很多模型的求解都面臨大量的計算，所建模型是否與實際吻合，常需要用模型的解來判斷，而且這種工作， 在建立一個實際問題的數(shù)學模型過程中也常需要重復多遍。因此，熟練(shlin)使用計算機計算數(shù)學問題是對數(shù)學建模工作者的必須要求。這一方面要求具有一定的編程水平，更重要地是能熟練(shlin)使用現(xiàn)有計算軟件包?，F(xiàn)時用于數(shù)學 建模中較好的軟件包有：Mat

19、hematica; Matlab; SAS.共五十四頁模型(mxng)評價 對模型解答的意義作出解釋，模型對數(shù)據(jù)依賴性作出分析，對模型相關因素(yn s)的敏感性作出分析，對假設條件的現(xiàn)實性作出說明。共五十四頁模型(mxng)檢驗1、模型的事實(shsh)檢驗公理性檢驗. 常用法則檢驗和自然法則檢驗.經(jīng)驗誤差分析. 建模碰到的有些問題是已經(jīng)有研究歷史的問題, 如果所得的經(jīng)驗已被幾乎所有事實證明, 那么,我們的模型所得出的結論不應該例外.2、模型的數(shù)學檢驗數(shù)值模擬檢驗統(tǒng)計檢驗. 這種檢驗多用在數(shù)據(jù)建模的過程中.預測檢驗. 借用所建模型模型, 用歷史預測現(xiàn)實, 以驗證模型的準確度.共五十四頁四、數(shù)

20、學建模競賽(jngsi)論文的結構1、摘要2、問題重述(zhn sh)3、問題分析4、符號說明5、模型假設6、模型建立7、模型求解8、模型結果分析9、模型優(yōu)缺點10、改進方向11、參考文獻12、附錄共五十四頁五、幾個簡單(jindn)建模例子1、雨中行走(xngzu)問題 一個雨天，你有件急事需要從家中到學校去，學校離家不遠，僅一公里，況且事情緊急，你來不及花時間去翻找雨具，決定碰一下運氣，頂著雨去學校。假設剛剛出發(fā)雨就大了，但你不打算再回去了，一路上，你將被大雨淋濕。一個似乎很簡單的事情是你應該在雨中盡可能地快走，以減少雨淋的時間。但如果考慮到降雨方向的變化，在全部距離上盡力地快跑不一定是最

21、好的策略。試建立數(shù)學模型來探討如何在雨中行走才能減少淋雨的程度。共五十四頁1 建模準備建模目標：在給定的降雨條件下，設計一個雨中行走(xngzu)的策略，使得你被雨水淋濕的程度最小。主要因素：淋雨量， 降雨的大小，降雨的方向（風），路程的遠近，行走的速度2）降雨大小用降雨強度(qingd) 厘米/時來描述，降雨強度(qingd)指單位時間平面上的降下水的厚度。在這里可視其為一常量。3）風速保持不變。4）你一定常的速度 米/秒跑完全程 米。2 模型假設及符號說明1）把人體視為長方體，身高 米，寬度 米，厚度 米。 淋雨總量用 升來記。共五十四頁3 模型建立(jinl)與計算1）不考慮(kol)雨

22、的方向，此時，你的前后左右和上方都將淋雨。淋雨的面積 雨中行走的時間 降雨強度模型中結論：淋雨量與速度成反比。這也驗證了盡可能快跑能減少淋雨量。共五十四頁從而可以計算被淋的雨水的總量為2.041（升）。經(jīng)仔細分析，可知你在雨中只跑了2分47 秒，但被淋了2 升的雨水，大約有4 酒瓶的水量。這是不可思議的。表明：用此模型(mxng)描述雨中行走的淋雨量不符合實際。原因：不考慮降雨(jin y)的方向的假設， 使問題過于簡化。共五十四頁2）考慮降雨(jin y)方向。人前進(qinjn)的方向若記雨滴下落速度為 （米/秒）雨滴的密度為雨滴下落的反方向表示在一定的時刻在單位體積的空間內，由雨滴所占的

23、空間的比例數(shù)，也稱為降雨強度系數(shù)。所以，因為考慮了降雨的方向，淋濕的部位只有頂部和前面。分兩部分計算淋雨量。共五十四頁頂部(dn b)的淋雨量前表面(biomin)淋雨量總淋雨量（基本模型）共五十四頁可以看出：淋雨量與降雨的方向和行走的速度有關。問題(wnt)轉化為給定 ，如何選擇 使得 最小。情形(qng xing)1結果表明：淋雨量是速度的減函數(shù)，當速度盡可能大時淋雨量達到最小。假設你以6米/秒的速度在雨中猛跑，則計算得共五十四頁情形(qng xing)2 結果表明：淋雨量是速度的減函數(shù)(hnsh)，當速度盡可能大時淋雨量達到最小。假設你以6米/秒的速度在雨中猛跑，則計算得情形3 此時，雨

24、滴將從后面向你身上落下。共五十四頁出現(xiàn)這個矛盾的原因：我們給出的基本模型是針對雨從你的前面落到身上情形(qng xing)。因此，對于這種情況要另行討論。當行走速度慢于雨滴的水平運動(yndng)速度，即這時，雨滴將淋在背上，而淋在背上的雨水量是淋雨總量為共五十四頁再次(zi c)代如數(shù)據(jù)，得結果表明：當行走速度等于雨滴下落的水平速度時，淋雨量(yling)最小，僅僅被頭頂上的雨水淋濕了。若雨滴是以此時，淋雨總量為這意味著你剛好跟著雨滴前進，前后都沒淋雨。從背后落下，你應該以的角的角度落下，即雨滴以共五十四頁當行走速度快于雨滴(y d)的水平運動速度，即你不斷地追趕雨滴，雨水(y shu)將淋

25、濕你的前胸。被淋得雨量是淋雨總量為共五十四頁4 結論(jiln)若雨是迎著你前進的方向向你落下，這時的策略很簡單，應以最大的速度(sd)向前跑；若雨是從你的背后落下，你應控制你在雨中的行走速度，讓它剛好等于落雨速度的水平分量。5 注意 關于模型的檢驗，請大家觀察、體會并驗證。雨中行走問題的建模過程又一次使我們看到模型假設的重 要性，模型的階段適應性。共五十四頁問題經(jīng)試驗，一盤錄象帶從頭(cngtu)走到尾，時間用了183分30秒，計數(shù)器讀數(shù)從0000變到6152。在一次使用中錄象帶已經(jīng)轉過大半，計數(shù)器讀數(shù)(dsh)為4580，問剩下的一段還能否錄下1小時的節(jié)目？要求不僅回答問題，而且建立計數(shù)器

26、讀數(shù)與錄象帶轉過時間的關系。思考計數(shù)器讀數(shù)是均勻增長的嗎？2、錄象機計數(shù)器問題共五十四頁錄象機計數(shù)器的工作(gngzu)原理主動輪壓輪0000左輪盤右輪盤磁頭計數(shù)器錄象帶錄象帶運動方向錄象帶運動(yndng)右輪盤半徑增大右輪轉速不是常數(shù)錄象帶運動速度是常數(shù)計數(shù)器讀數(shù)增長變慢問題分析觀察 計數(shù)器讀數(shù)增長越來越慢！共五十四頁模型(mxng)假設 錄象帶的運動(yndng)速度是常數(shù) v ； 計數(shù)器讀數(shù) n與右輪轉數(shù) m成正比，記 m=kn； 錄象帶厚度（加兩圈間空隙）為常數(shù) w； 空右輪盤半徑記作 r ； 時間 t=0 時讀數(shù) n=0 .建模目的建立時間t與讀數(shù)n之間的關系（設v,k,w ,r為

27、已知參數(shù)）共五十四頁模型(mxng)建立建立t與n的函數(shù)關系(gun x)有多種方法1. 右輪盤轉第 i 圈的半徑為r+wi, m圈的總長度等于錄象帶在時間t內移動的長度vt, 所以共五十四頁2. 考察右輪盤面積的變化(binhu)，等于錄象帶厚度乘以轉過的長度，即3. 考察t到t+dt錄象帶在右輪盤纏繞(chnro)的長度，有模型建立共五十四頁思考(sko)1. 3種建模方法(fngf)得到同一結果但仔細推算會發(fā)現(xiàn)稍有差別，請解釋。2.模型中有待定參數(shù)一種確定參數(shù)的辦法是測量或調查，請設計測量方法。共五十四頁參數(shù)(cnsh)估計另一種確定參數(shù)(cnsh)的方法測試分析將模型改記作只需估計 a

28、,b理論上，已知t=183.5, n=6152, 再有一組(t, n)數(shù)據(jù)即可實際上，由于測試有誤差，最好用足夠多的數(shù)據(jù)作擬合現(xiàn)有一批測試數(shù)據(jù)： t 0 20 40 60 80n 0000 1153 2045 2800 3466 t 100 120 140 160 183.5n 4068 4621 5135 5619 6152用最小二乘法可得共五十四頁模 型 檢 驗應該(ynggi)另外測試一批數(shù)據(jù)檢驗模型：模 型 應 用回答(hud)提出的問題：由模型算得 n = 4580 時 t = 118.5分，剩下的錄象帶能錄 183.5-118.5 = 65分鐘的節(jié)目。揭示了“t 與 n 之間呈二次函數(shù)關系”這一普遍規(guī)律，當錄象帶的狀態(tài)改變時，只需重新估計 a,b 即可。共五十四頁3、商人們怎樣(znyng)安全過河問題(wnt)(智力游戲) 3名商人 3名隨從隨從們密約, 在河的任一岸, 一旦隨從的人數(shù)比商人多, 就殺人越貨.但是乘船渡河的方案由商人決定.商人們怎樣才能安全過河?問題分析多步?jīng)Q策過程決策 每一