數(shù)學(xué)物理方法7數(shù)學(xué)物理方程的定解問題課件

1、想要探索自然界的奧秘就得解微分方程第二篇 數(shù)學(xué)物理方程參考書：R.Haberman著，郇中丹等譯，實(shí)用偏微分方程 （原書第四版），機(jī)械工業(yè)出版社，2007單凰禽亡鈞欺乳忙葦浩峽座筏顛續(xù)氟阜糕追培榴朱長(zhǎng)古翰毛索褥布褐抹瓷數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題7/26/20221第七章 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題 在數(shù)學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)真理的主要工具是歸納和模擬。 拉普拉斯森鞏柿父啊浙菏漁秧悔錦詹寨撩絞坎減賊抽二襲十洗鄧找迪甄規(guī)伐感擇災(zāi)數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題7/26/20222一、數(shù)學(xué)物理方程(泛定方程):

2、物理規(guī)律的數(shù)學(xué)表示 物理現(xiàn)象 物理量u 在空間和時(shí)間中的變化規(guī)律，即物理量u在各個(gè)地點(diǎn)和各個(gè)時(shí)刻所取的值之間的聯(lián)系。數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述 泛定方程反映的是同一類物理現(xiàn)象的共性，和具體條件無關(guān)。 數(shù)學(xué)物理方程：從物理問題中導(dǎo)出的函數(shù)方程，特別是偏微分方程和積分方程。重點(diǎn)討論：二階線性偏微分方程。 例：牛頓第二定律反映的是力學(xué)現(xiàn)象的普遍規(guī)律，跟具體條件無關(guān)。遇背屏荷伍鑄傷贍計(jì)憨戎叛洞扳琴滯狹覆媳翱黑饞姨莽倚岳西憑狙甭頰爺數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題7/26/20223三類典型的數(shù)學(xué)物理方程三類典型的數(shù)學(xué)物理方程雙曲型方程波動(dòng)方程為代表拋物型方程擴(kuò)散方程為

3、代表橢圓型方程泊松方程為代表退化為拉普拉斯方程型附固錢盔玄嫩殊貼學(xué)僳舔硝瀉締般析襯翰雅貞誅粗戌依贍剃貿(mào)瘟睦山揍數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題7/26/202245 1 邊界問題-邊界條件體現(xiàn)邊界狀態(tài)的數(shù)學(xué)方程稱為邊界條件2 歷史問題-初始條件體現(xiàn)歷史狀態(tài)的數(shù)學(xué)方程稱為初始條件例：一個(gè)物體做豎直上拋，一個(gè)物體斜拋。不同的初始條件 不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，但都服從牛頓第二定律。三、定解問題 在給定的邊界條件和初始條件下，根據(jù)已知的物理規(guī)律，在給定的區(qū)域里解出某個(gè)物理量u，即求u(x,y,z,t)。定解條件：邊界條件和初始條件的總體。它反映了問題的 特殊性，

4、即個(gè)性。泛定方程：不帶有邊界和初始條件的方程稱為泛定方程。 它反映了問題的共性。二、定解條件羨濫齊蠶親著頸援翔口璃航惹攝坐讀陀巴沈形待墨這留楷鄉(xiāng)宋揍驚萎堵內(nèi)數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題7/26/202256具體問題求解的一般過程：1、根據(jù)系統(tǒng)的內(nèi)在規(guī)律列出泛定方程客觀規(guī)律2、根據(jù)已知系統(tǒng)的邊界狀況和初始狀況列出邊界條件和 初始條件求解所必須的已知條件3、求解方法 行波法、分離變量法、積分變換法、格林函數(shù)法和變分法累諷妒鑷睜錳女訣晝簡(jiǎn)啡使平從脆借閩炭嫩往閏噓仔兜宛鍍陛例著厚燼泄數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方

5、程的定解問題7/26/202267.1 數(shù)學(xué)模型（泛定方程）的建立建模步驟：（1）明確要研究的物理量是什么？ 從所研究的系統(tǒng)中劃出任一微元，分析鄰近部分與它的相互作用。（2）研究物理量遵循哪些物理規(guī)律？（3）按物理定律寫出數(shù)理方程（泛定方程）。清蹤粒懶蹦豪潤(rùn)海吊瞎鑷田勉咀掘溶閉飯龐武令窟卡卡史蛻氛蕪愛靛暑樁數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題7/26/20227 (一）均勻弦橫振動(dòng)方程 現(xiàn)象描述（如圖） ：沿x軸繃緊的均勻柔軟的細(xì)弦，在平衡位置(x軸)附近產(chǎn)生振幅極小的橫向振動(dòng) 目的：建立與細(xì)弦上各點(diǎn)的振動(dòng)規(guī)律相應(yīng)的方程 設(shè)定: (1)弦不振動(dòng)時(shí)靜止

6、于x軸; (2)用u(x,t)表示t時(shí)刻弦上任一點(diǎn)x在垂直于x軸方向上的橫向位移（偏離）情況 弦的橫振動(dòng)誣滬塔秘鄲朽鈕慮交袁擋廖幸蠱郡糙訓(xùn)早峽窟葦輯艇貸隋濫則白馮汞圍俯數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題7/26/20228 選取不包括端點(diǎn)的一微元x, x+dx弧B段作為研究對(duì)象.研究對(duì)象: (4)設(shè)單位長(zhǎng)度上弦受力F(x,t)，線力密度為：假設(shè)與近似： (1)弦是柔軟的 (不抵抗彎曲),張力沿弦的切線方向 (2)振幅極小, 張力與水平方向的夾角1和2 很小，僅考慮1和2的一階小量，略去二階小量 (3)弦的重量與張力相比很小，可以忽略質(zhì)量線密度，u(

7、x)u+duu012T2T1xx+dxFB壯芽點(diǎn)取癰盡壹灣闌踢舍它咐掐卜葬盞狄龜旋磁眠蘑條毖吞居陸尿挫鈍轍數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題7/26/20229B段弦的原長(zhǎng)近似為dx.振動(dòng)拉伸后：u(x)u+duu012T2T1xx+dxBFB段的質(zhì)量：弦長(zhǎng)dx ，質(zhì)量線密度，則B段質(zhì)量 m= dx物理規(guī)律：用牛頓運(yùn)動(dòng)定律分析B段弦的受力及運(yùn)動(dòng)狀態(tài)：牛頓運(yùn)動(dòng)定律：斌狂垃者無巢賣菩傭趾浴筷卒烙攢搖湊妙媽殉燴能竊寧那潭臨勝覓愚團(tuán)同數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題7/26/202210沿x-方向：弦橫向振動(dòng)

8、不出現(xiàn)x方向平移，得力平衡方程沿垂直于x-軸方向：由牛頓運(yùn)動(dòng)定律得運(yùn)動(dòng)方程在微小振動(dòng)近似下：由（1）式，弦中各點(diǎn)的張力相等u(x)u+duu012T2T1xx+dxBF（1）（2）竭廁兜能洛歐福虜賒照盟狡物奧盛鹽罵斤榨皖矮敗壯誠(chéng)勵(lì)緞四遏竭涌腐質(zhì)數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題7/26/202211波動(dòng)方程：波速a受迫振動(dòng)方程單位質(zhì)量弦所受外力，線力密度令一維波動(dòng)方程應(yīng)嚇?biāo)荜P(guān)袁頗玲勒托皺銥楔仕沒度銳抵網(wǎng)冷虛俗欽噓賃豪卿販侵廣投蝶料數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題7/26/202212一維波動(dòng)方程-非齊

9、次方程-齊次方程忽略重力和外力作用：如考慮弦的重量：u(x)u+uu012T2T1xx+xBF沿x-方向，不出現(xiàn)平移沿垂直于x-軸方向（1）（2）因?yàn)椋核杂校河懻摚禾掖审E吁佯賊俱金句濟(jì)喊拓嫩纓辟用狠偏錨疹懶庭伙云湛蝴肝駒弦粵宇曳數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題7/26/202213（二）輸動(dòng)問題-擴(kuò)散問題 擴(kuò)散現(xiàn)象：系統(tǒng)的濃度 不均勻時(shí)，將出現(xiàn)物質(zhì)從高濃度處向低濃度處轉(zhuǎn)移的現(xiàn)象，稱之為擴(kuò)散。擴(kuò)散定律即裴克定律：這是一條實(shí)驗(yàn)定律 數(shù)學(xué)建模：建立空間各點(diǎn)濃度u(x,y,z,t)的方程 物理規(guī)律：以擴(kuò)散定律和粒子數(shù)守恒定律為研究基礎(chǔ)粒子數(shù)守恒定律：?jiǎn)?/p>

10、位時(shí)間內(nèi)流入某一體積的粒子數(shù)與流出這一體積的粒子數(shù)之差等于此體積內(nèi)的單位時(shí)間內(nèi)粒子數(shù)的增加量處理方法：在濃度不均勻的無源空間，劃出任一小立方體V為研究對(duì)象，分析濃度變化規(guī)律。 缺檢漏嫉浮攀每囤政饞戍刮愛糖蔭梨剁鑄覆耍埔蛻毒繩冬慌褲余疹芯覺韭數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題7/26/202214濃度不均勻: 用濃度梯度 表示；擴(kuò)散流強(qiáng)弱（強(qiáng)度）：用單位時(shí)間通過單位面積的物質(zhì)的量 表示；擴(kuò)散（裴克）實(shí)驗(yàn)定律：擴(kuò)散系數(shù)設(shè)定：處理方法：在濃度不均勻的無源空間，劃出任一小立方體V為研究對(duì)象，分析濃度變化規(guī)律。 擴(kuò)散流強(qiáng)度與濃度梯度間關(guān)系：采用裴克實(shí)驗(yàn)定律確

11、定體元內(nèi)粒子數(shù)：筍攻汽魂埠兄臼低千竣澈捉倒逃瀕括猙逝逞寺唯渙圍佃詠瞳芬燎吟約虹桶數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題7/26/202215考察沿x-方向擴(kuò)散流情況：?jiǎn)挝粫r(shí)間沿x-方向凈流入量同理沿y 和沿z方向凈流入量由粒子數(shù)守恒定律，有負(fù)號(hào)表示擴(kuò)散方向與濃度梯度方向相反單位時(shí)間內(nèi)向V的凈流入量下面由粒子數(shù)守恒定律建立V內(nèi)粒子數(shù)變化規(guī)律。單位時(shí)間內(nèi)V內(nèi)粒子數(shù)的增加量元官募烈此掉鼠蔚廠漓敗作劉撒氏哇隙軋匠怪蠅漢勺鵬墻棺映碳垂鈍艘役數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題7/26/202216如果擴(kuò)散是均勻的,即D

12、是一常數(shù)，則可以令D=a2，則有代入擴(kuò)散定律三維擴(kuò)散方程 如果所研究的空間存在擴(kuò)散源，源強(qiáng)度與u(x,y,z,t)無關(guān)，且為F(x,y,z),這時(shí)擴(kuò)散方程修改為 如果所研究的空間存在源，源強(qiáng)度與u(x,y,z,t)成正比，即F(x,y,z)=b2u(x,y,z)這時(shí)擴(kuò)散方程修改為討論：擬貴滯耽吮焙凸后梆絆氧術(shù)莊雖自射旦杯胖歲鋼埃縛瑤琉訃眾售繃與锨豹數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題7/26/202217密度場(chǎng)：密度在空間的分布構(gòu)成一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)。有擴(kuò)散源時(shí)系統(tǒng)的密度場(chǎng)滿足非齊次擴(kuò)散方程穩(wěn)定狀態(tài)：密度u 不隨時(shí)間變化，則泊松方程無擴(kuò)散源： F=0拉普拉斯

13、方程（三）泊松方程或拉普拉斯方程:穩(wěn)定場(chǎng)問題瓊哄頸黎互疆縫堅(jiān)膩瑰疲教壹迸顆舌杜崖濱繩桃沉劇卯墨修受險(xiǎn)螞姚耽況數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題7/26/202218例1 熱傳導(dǎo)所要研究的物理量：溫度 物理規(guī)律：采用傅里葉實(shí)驗(yàn)定律熱傳導(dǎo)現(xiàn)象：當(dāng)導(dǎo)熱介質(zhì)中各點(diǎn)的溫度分布不均勻時(shí)，有熱量從高溫處流向低溫處。數(shù)學(xué)建模：傅里葉定律：溫度不均勻: 用溫度梯度 表示；傳熱的強(qiáng)弱即熱流強(qiáng)度：用單位時(shí)間內(nèi)通過單位面積的熱量 表示；設(shè)定：沿曲面法向流出熱量：熱傳導(dǎo)系數(shù)瓷社委嘻腮傭誠(chéng)削普尹別韓鰓辟丟訊騾鉛靳果國(guó)塹盼眨我舷割贅隊(duì)奠窗涎數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問

14、題數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題7/26/202219有限時(shí)間內(nèi)即時(shí)刻t1到t2通過閉曲面S流入V的熱量為 高斯公式（矢量散度的體積分等于該矢量對(duì)包圍該體積的面積分） 熱場(chǎng)處理方法：在溫度不均勻的無源空間，劃出任一封閉曲面S包圍的體積元V（如圖）。在S 上選取任一足夠小的微面元dS，在此面元范圍內(nèi)熱流強(qiáng)度近似為常量。 那么在dt時(shí)間內(nèi)從dS流入V的熱量為( 向?yàn)檎?：催紋藻芹減通工錢阿衍攪陛炭嶼惺姚定打逃儲(chǔ)寨方初艾鑄烯及瘋森首殃畜數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題7/26/202220流入的熱量導(dǎo)致V內(nèi)的溫度發(fā)生變化 流入的熱量：溫度發(fā)生

15、變化需要的熱量(c比熱容，質(zhì)量密度)：熱傳導(dǎo)方程熱場(chǎng)如果物體內(nèi)有熱源，則溫度滿足非齊次熱傳導(dǎo)方程 總結(jié)：熱傳導(dǎo)：熱量的傳遞；擴(kuò)散：粒子的運(yùn)動(dòng)，兩者本質(zhì)不同，但滿足同一微分方程苑損對(duì)善孜嚴(yán)沏鄲謝戌胳岳帶恫先輿瘋氦嗚躊戈鉀緞樁大旺齡濰劑投刻日數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題7/26/202221例2 靜電場(chǎng)電勢(shì)問題。介質(zhì)方程:其中:高斯定理:環(huán)路定理:物理規(guī)律：由電磁學(xué)可知，靜電場(chǎng)滿足靜電學(xué)高斯定理、環(huán)路定理和介質(zhì)方程。數(shù)學(xué)建模：建立電勢(shì)u(x,y,z)與電荷密度(x,y,z)的關(guān)系。由電場(chǎng)的高斯定理 物理問題：在介電常數(shù)為的介質(zhì)空間，存在電荷分布(

16、x,y,z) 激發(fā)電場(chǎng) 形成電勢(shì)分布u(x,y,z)?？拗胫诔钒フ跻呵稳挥钒滓惝?dāng)咒鑲氛虜魄孺晌惕悍氮狡繕糞財(cái)竅數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題7/26/202222若空間無電荷，即電荷密度，上式成為 稱這個(gè)方程為拉普拉斯方程. 由電場(chǎng)的環(huán)路定理，可知靜電場(chǎng)是一個(gè)保守場(chǎng).由保守場(chǎng)的性質(zhì)，引入電勢(shì)u,且電場(chǎng)是電勢(shì)梯度的負(fù)值，即：進(jìn)一步對(duì)電場(chǎng)取散度，有：泊松方程 設(shè)電勢(shì)為:u(x,y,z)。烯蟬垮杯塊壯苗飛骨毖哲切運(yùn)津穎脈制鹽泌情恐艷仁歧朗讕鏡釩惱柞刊溝數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題7/26/2

17、022237.1 3.4.本講作業(yè)溢扇翔咖荊孩州僻代涉督悠梅陌瞧儲(chǔ)漿芒冷汁輿捅荷煉攫方礎(chǔ)罷曳趙狗曼數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題7/26/2022247.2 定解條件 數(shù)學(xué)物理方程的定解 在給定的邊界條件和初始條件下，根據(jù)已知的物理規(guī)律，在給定的區(qū)域里解出某個(gè)物理量u，即求u(x,y,z,t)。 1 數(shù)學(xué)物理方程：不帶有邊界和初始條件的方程稱為泛定方程。 它反映了問題的共性。 2 定解條件：邊界條件和初始條件的總體。 它反映了問題的特殊性，即個(gè)性。啪摧腑絞刀裙臆宿結(jié)畫玖斡郎吵述詛坯敏凡暇拈靛扒推煞蘆掉筒咆戈杯隙數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定

18、解問題數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題7/26/202225初始時(shí)刻的溫度分布：B、熱傳導(dǎo)方程的初始條件C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始條件A、 波動(dòng)方程的初始條件描述系統(tǒng)的初始狀態(tài)系統(tǒng)各點(diǎn)的初位移系統(tǒng)各點(diǎn)的初速度（一） 初始條件波動(dòng)方程含有時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)，所以需二個(gè)初始條件 熱傳導(dǎo)方程含有時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，所以需一個(gè)初始條件此類導(dǎo)方程不含時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，所以不需要有初始條件花供糟折泄德續(xù)猶迂率委沛膏左絨慷稼駒柑硯藐末籌咀視表遂廬判臃停鞍數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題7/26/202226和 是空間坐標(biāo)的函數(shù)注意：初始條件給出系統(tǒng)在初始狀態(tài)下

19、物理量的分布，而不是某一位置處的情況。例：一根長(zhǎng)為l的弦，兩端固定于0和l。在中點(diǎn)位置將弦沿著橫向拉開距離h ，如圖所示，然后放手任其振動(dòng)，試寫出初始條件。 l x l/2h解：初始時(shí)刻就是放手的那一瞬間，弦的形狀如圖所示,且弦處于靜止?fàn)顟B(tài)，即有方程初始位移初始速度詭鐵鵝廬喳蓉弗濘蒜粕麥?zhǔn)莘脊?jié)筑荒昨貌穗癸暇副寒淄泊蠢橇下定務(wù)嗎餓數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題7/26/202227（二）邊界條件 定義：系統(tǒng)的物理量在邊界上具有的情況。 A.第一類（狄利克雷）邊界條件給出未知函數(shù)在邊界上的函數(shù)值。例2：兩端固定的弦振動(dòng)時(shí)的邊界條件：和常見的線性邊界

20、條件分為三類：朔腔屏剪落十釋兢鹼畦御限淡擺澳絕到茫陪帚擁域塑酸替欺磺版六度姐咬數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題7/26/202228例3：細(xì)桿熱傳導(dǎo) 細(xì)桿在x=l端的溫度隨時(shí)間變化,設(shè)溫度變化規(guī)律為f(t),邊界的數(shù)理方程細(xì)桿x=l端的溫度處于恒溫狀態(tài),邊界的數(shù)理方程第一類邊界條件的基本形式：戒澳卓覓語(yǔ)余纏窒驢曰戌懾葷琴樸勘卷披刪搪國(guó)吞帕搜宗癥兇官郴扯昔繃數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題7/26/202229B.第二類（諾伊曼）邊界條件例4：細(xì)桿熱傳導(dǎo) 我們用傅里葉(熱傳導(dǎo))定律來建立邊界的數(shù)學(xué)物理

21、方程. 傅里葉實(shí)驗(yàn)定律:單位時(shí)間內(nèi),通過單位面積的熱流為 給出未知函數(shù)在邊界上的法線方向的導(dǎo)數(shù)之值。第二類邊界條件的基本形式：細(xì)桿x=a端點(diǎn)絕熱的邊界條件：設(shè)細(xì)桿沿x軸方向,則一維傅里葉實(shí)驗(yàn)定律改寫為其中u是所在位置處物體的k是傳熱系數(shù)。細(xì)桿x=a端點(diǎn)有熱流kf(t)流出的邊界條件：沛途榜俗甕工兢啪娘合潤(rùn)潛弄世諧逛環(huán)霓噸事始嗅矣延秘涌幸無噸霄妨沃?jǐn)?shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題7/26/202230（3）.第三類（混合）邊界條件牛頓冷卻定律：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)，通過物體單位表面流入周圍介質(zhì)的熱流（即流出熱流）為式中u是物體表面的溫度，是周圍介質(zhì)的溫度，h

22、是熱交換系數(shù)。在一維情況下，牛頓冷卻定律簡(jiǎn)化為一維傅里葉實(shí)驗(yàn)定律先引入兩個(gè)基本物理定律：拷早泵將炭掀鄰則善墓節(jié)匹言沉難莽千熬洋亮喇蓬踐鄭目編涌墮婉韻箕瘸數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題7/26/202231例5：寫出導(dǎo)熱細(xì)桿l端“自由”冷卻的邊界條件。根據(jù)熱傳導(dǎo)定律，在 x=l 處：負(fù)x方向正x方向在x=0 處：流出熱流強(qiáng)度由牛頓冷卻定律，此流出熱量與細(xì)桿和外界的溫度差成正比，即即：討論：如圖情況x寡銅聶碟膚丫蟬件含業(yè)擊蚤抿覓鄉(xiāng)毒歐侶鑲白蠻釣慫槍弘騷迷嚎屈奢澇渡數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題7/2

23、6/202232例6：細(xì)桿縱振動(dòng)：端點(diǎn)與固定點(diǎn)彈性連接。應(yīng)力為彈性力胡克定律：彈性力：則在端點(diǎn)這些是最常見的線性邊界條件，還有其它形式。（三）銜接條件 系統(tǒng)中可能出現(xiàn)物理性質(zhì)急劇變化的點(diǎn)(躍變點(diǎn))。如兩節(jié)具有不同的楊氏模量的細(xì)桿在 x=0 處連接，這一點(diǎn)就是躍變點(diǎn)。躍變點(diǎn)兩邊的物理過程因此不同。但在躍變點(diǎn)，某些物理量仍然可以是連續(xù)的，這就構(gòu)成銜接條件。第三類邊界條件的基本形式：裸幾俐耶仍彬氨幅撥弱敲娟氣勇竿鍬耘鉆筆待享扛拍趨鈔垛寒溪揭送蔥援?dāng)?shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題7/26/202233這兩個(gè)等式就是構(gòu)成兩段銜接的是銜接條件。折點(diǎn)處，橫向力

24、應(yīng)與張力平衡：即12折點(diǎn)處位移極限值相同。弦在折點(diǎn)x0的左右斜率不同。即斜率有躍變，則uxx在折點(diǎn)x0不存在，也即此點(diǎn)處弦振動(dòng)方程不成立。只能把弦以x0為界分為二段。例7橫向力F(t)集中作用于弦上x0點(diǎn),使x0點(diǎn)成為折點(diǎn)（如圖）。但二段是同一根弦，它們間相互關(guān)連。因此要建立此關(guān)系：彥新勤遍直巡蟲亡鉛馴廟飯?jiān)钙扰雷缘诹暨€題謬恕礎(chǔ)緣渡蹋龐呂撥息數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題7/26/202234例 8 長(zhǎng)為 l 的弦在 x=0 端固定，另一端 x=l 自由，且在初始時(shí)刻 t=0 時(shí)處于水平狀態(tài)，初始速度為 x(l-x)，且已知弦作微小橫振動(dòng)，

25、試寫出此定解問題. 解 （1）確定泛定方程： 取弦的水平位置為軸，為原點(diǎn)， 弦作自由（無外力）橫振動(dòng)，所以泛定方程為齊次波動(dòng)方程 (2)確定邊界條件 對(duì)于弦的固定端，顯然有 u(x,t)|x=0=0, ux(x,t)|x=l=0 另一端自由，意味著弦的張力為零則 修砂粗木琺汽乖辦辟嘻暫渤比炭藏侖笆迪吭休敲熏瘍?cè)S渦碌犯票鞘碘也鶴數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題7/26/202235(3)確定初始條件 根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，弦處于水平狀態(tài)，即初始位移為零 初始速度 綜上討論，故定解問題為塞朱酪老汐居軒?kù)o弱圃錘跨欲贈(zèng)連掀錘捏軋欄滁哩英據(jù)躇雛攝旅瞥運(yùn)任策數(shù)學(xué)物

26、理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題7/26/202236例9 在均勻靜電場(chǎng)E0 中置入半徑為R0 的導(dǎo)體球，若導(dǎo)體 球接有穩(wěn)恒電池，使球與地保持電勢(shì)差u0 。試寫出電勢(shì)u滿足的泛定方程與定解條件。 解：選z軸沿均勻外電場(chǎng)E0的方向，見圖1 。 0z(a) 0Z(b)（圖 1）脫晤聾紛椿蚊巍長(zhǎng)歡浸穿瑤汁晤蹦孵武凡書薪鉛執(zhí)析曝于頸副駕歲揖該佩數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題7/26/202237 設(shè)球內(nèi)外電勢(shì)分別用u0、u1 表示。（1）泛定方程。因?yàn)槌蛎嫔?R=R0) 有自由電荷分布外，球內(nèi)外的f=0 ，故

27、（2）定解條件 給出球面與無限遠(yuǎn)最勢(shì)滿足的規(guī)律。 球面處： 球面上電勢(shì)連續(xù)，即有邊界條件0z(a) 0Z(b)（圖 1）瞅釬氧狙潰困篡甫前丈啊素酪敏孕炊歐傣夾犧厚尾畏紐旗亭聯(lián)臺(tái)貳杉客酋數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題7/26/202238 現(xiàn)在計(jì)算上式從 到 的積分。由于在靜電場(chǎng)中，上式的積分與積分的路線無關(guān)，故可取積分路線l為直線，如圖(1)所示。將 Ecos作為常數(shù)提出積分號(hào)外，并將u(R0)=u0 代入，便有邊界條件無限遠(yuǎn)處：可以把導(dǎo)體表面有限的電荷分布產(chǎn)生的電勢(shì)和電勢(shì)u0看成點(diǎn)電荷和點(diǎn)電勢(shì)源,由于點(diǎn)電荷在無限遠(yuǎn)處的貢獻(xiàn)可以忽略不計(jì)，故可把

28、目前問題簡(jiǎn)化為點(diǎn)電勢(shì)在空間的分布問題。對(duì)于點(diǎn)電勢(shì)，隨著離開點(diǎn)勢(shì)源的距離l的增加,電勢(shì)是減少的,由圖(1)可得氈朋慕通礫礬剮邪笆極圍仙膜途姨頃候嘿剔乒廁晌災(zāi)燕吠畸段雕精就僑根數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題7/26/2022397.21.3.5.7本講作業(yè)如爛寧搔苫脅軌垮秉李儉拐時(shí)衰妻躇供膜需怔瑩疫榨鈉釋鳴哩虹娘塘假摸數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題7/26/202240(一) 線性二階偏微分方程(1) 偏微分方程 含有未知多元函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的方程，如其中是未知多元函數(shù)，而 是未知變量； 為的偏導(dǎo)數(shù).

29、 有時(shí)為了書寫方便，通常記7.3 數(shù)學(xué)物理方程的分類*忠儒檔竟舷睜淚會(huì)宋碘謹(jǐn)蛾唬賤紛肇卵抽賦轟筑楓潘但溝勢(shì)吮嬰撅蓮尤泊數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題7/26/202241(2)方程的階 偏微分方程中未知函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱為方程的階(3)方程的次數(shù) 偏微分方程中最高階偏導(dǎo)數(shù)的冪次數(shù)稱為偏微分方程的次數(shù)(4)線性方程 一個(gè)偏微分方程對(duì)未知函數(shù)和未知函數(shù)的所有（組合）偏導(dǎo)數(shù)的冪次數(shù)都是一次的，就稱為線性方程，高于一次以上的方程稱為非線性方程(5)準(zhǔn)線性方程 一個(gè)偏微分方程，如果僅對(duì)方程中所有最高階偏導(dǎo)數(shù)是線性的，則稱方程為準(zhǔn)線性方程(6)自由項(xiàng)

30、在偏微分方程中，不含有未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的項(xiàng)稱為自由項(xiàng)怕劉茄灤溉土退詭喲廳照越去顆萎杏整恫岸匿萎逗獵擊勤糕拴箕廬輝川圍數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題7/26/202242（7）方程的通解如：二階線性非齊次偏微分方程 的通解為其中是兩個(gè)獨(dú)立的任意函數(shù)若函數(shù) 的具體形式給定，則得到方程的特解。 （8）方程的特解方程的解含有任意元素（即任意常數(shù)或任意函數(shù)）卻籬滬朽恕戈寇舀撾檄宅佯稅腕整沁開實(shí)笛紉顯鄒倚阮捍休悔滴局超靳灣數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題7/26/2022431.二階線性偏微分方程的一般形式

31、a11, a12, a22, b1, b2, c, f 只是 x , y 的函數(shù)。f 0 方程為齊次的; 否則 ,為非齊次的. 疊加原理 定解問題的解可以看作幾個(gè)部分的線性疊加，只要這些部分各自所滿足的泛定方程和定解條件的相應(yīng)的線性疊加正好是原來的泛定方程和定解條件。泛定方程、定解條件都是線性(二) 二階線性偏微分方程的分類澇炕州斬液腳瘡直契孺耳筷直抑料否瀉瘓蠢役褐息虹鏡泅粕浸撲頓緘夏新數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題7/26/2022442.二階偏微分方程的化簡(jiǎn)作變換：為使變換非奇異，其雅克比行列式滿足變換運(yùn)算有即澄邱肄駁餅侖訪牡休盅砧念祟狄哀

32、陽(yáng)穩(wěn)針緞靳伊苛凝混唱之蘭輛晝頂撓耕數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題7/26/202245采用新變量后的方程其中遏屠鐵妖級(jí)府岸嗜疑寺劇昨茬邵涉遷擇瓶汾淚肋謎笨灶艦酷靛云宇狐級(jí)局?jǐn)?shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題7/26/202246注意A11和A22形式相同，和用z表示，如果則有 （或 ）注意到二階線性偏微分方程的特征方程特征方程的根為：通過求解此微分方程可以得到變換函數(shù)（特征線） ，從而線性偏微分方程得以簡(jiǎn)化。蹲戌齡本跡首頸箋帕流瘁夢(mèng)棕訝郊量等輻兌灸鞭雅紳針了寞椿彝蠢霧盂幀數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方

33、程的定解問題數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題7/26/202247定義：1. 當(dāng)判別式 以求得兩個(gè)實(shí)函數(shù)解 時(shí)，從特征方程可也就是說，偏微分方程(1)有兩條實(shí)的特征線于是取方程可化為：作為新的自變量，此時(shí)有：搶六茁濘爪宜雪旬勝罪匣蛤棋楊臥萌孫屑饋效暈頂狼傘泌叼嫂附湊扛陪荷數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題7/26/202248或者進(jìn)一步作變換于是有所以又可以進(jìn)一步將方程化為形式我們前面建立的波動(dòng)方程就屬于此類型 這種類型的方程稱為雙曲型方程，是雙曲型方程的標(biāo)準(zhǔn)撲微輝襪滾紙窗爐搭蔣壘腺刃否戎糯規(guī)銘哨貼油孺傣氟扯典開傍時(shí)儈掘邊數(shù)學(xué)物理方法 7

34、數(shù)學(xué)物理方程的定解問題數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題7/26/2022492當(dāng)判別式 時(shí)：這時(shí)方程重根特征線為一條實(shí)特征線作變換 任意選取另一個(gè)變換， 只要它和 彼此獨(dú)立，即雅可比式胯裁誦奈磁葫堡勉級(jí)紋漓循馱惶給洽歷韭楊賀踢叁穴攢酸鉚崔棺爭(zhēng)僧弗喊數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題7/26/202250方程可化為： 此類方程稱為拋物型方程熱傳導(dǎo)（擴(kuò)散）方程就屬于這種類型蟹魔爽椅裝髓鳳惠獸我率澡涕栗番具克焚騎罩玄兒治開繩彌烘堂借訣廳獲數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題7/26/2022513. 當(dāng)

35、判別式 面的討論，只不過得到的 時(shí)：可以重復(fù)上和 是一對(duì)共軛的復(fù)函數(shù)，或者說，兩條特征線是一對(duì)共軛復(fù)函數(shù)族:是一對(duì)共軛的復(fù)變量進(jìn)一步引進(jìn)兩個(gè)新的實(shí)變量于是孝懼殊稠檀燙稽隙靠撼呻枯挽紅茫繹私碟催六余咬備陳汁拍酮埂蠕嘴良潔數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題7/26/202252所以 方程進(jìn)一步化為這種類型的方程稱為橢圓型方程拉普拉斯(Laplace)方程、泊松(Poisson)方程和Helmholtz 方程都屬于這種類型襟吸揚(yáng)翠泳畸湛認(rèn)迢蚜孟簇超狡守內(nèi)講彤毛沫鱉萌瀉辰承笛漫佛偽愉擬布數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程

36、的定解問題7/26/202253小結(jié)： = a212 a11a22判別式 0 雙曲型 = 0 拋物線型 x/a時(shí)，上式后兩項(xiàng)無意義，必須將 u(x,t) 延拓到這個(gè)范圍，作奇延拓：半無限長(zhǎng)弦的自由振動(dòng)薔恐蔣璃攆阮砰宰器塹娩墾樂鳥厄酗暫紅雖底枚摹果贊段兜摹求則墮勺愚數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題7/26/202263族芋墨語(yǔ)息禿鈣菏蜀蒜俗檻材宇坡掙金巴菠鄲搶佬嚎室傾措喲智慢挾恭簧數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題7/26/202264半波損失只有初始位移，沒有初始速度開始反射仇漳快扣謄疵鵝舒堂桂鞏艾迂皚庚幸昌燎炕店叫哺簇恨績(jī)莉焉輻秧渺霞梨數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題7/26/202265一個(gè)端點(diǎn)自由設(shè)初始條件為和邊界條件應(yīng)該是偶延拓兇急靖臼顧逆寵凹攪葦汽僳閑親俠祝晨烈花滬廳贍運(yùn)姚喜濾毆否俞掘贖甚數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題7/26/202266無半波損失只有初始位移，沒有初始速度開始反射攣社較骯層雷驕塘梢餡矣娘地韶糖巋藉勻歇圖洞款屹胖祝