19.5反比例函數(shù)

1、北京市第八屆“京研杯”教育教學(xué)研究成果征文注重“知識(shí)形成過程”的概念教學(xué)研究以“反比例函數(shù)”概念為例學(xué) 科：初中數(shù)學(xué)工作單位：北京師范大學(xué)昌平附屬學(xué)校 姓 名：牛艷云 通訊地址：北京市昌平區(qū)沙河高教園北三街5號(hào) 郵 編：102206 單位電話：01080722286 聯(lián)系方式電子信箱：1042886859注重“知識(shí)形成過程”的概念教學(xué)研究 以“反比例函數(shù)”概念為例北京師范大學(xué)昌平附屬學(xué)校 牛艷云初中生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，數(shù)學(xué)概念是邏輯起點(diǎn)，同時(shí)是展開數(shù)學(xué)思維的基礎(chǔ)。因此在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中特別重要。怎樣才可以讓概念教學(xué)更加有效呢?教師在開展概念教學(xué)時(shí)，要充分考慮到學(xué)生的認(rèn)知情

2、況，同時(shí)對(duì)概念學(xué)習(xí)的需求層次有充分的把握，合理地引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念，概念的感知、概念的理解、概念的內(nèi)化是學(xué)習(xí)概念的三大環(huán)節(jié)。教學(xué)中，教師要善于把握這三大環(huán)節(jié)中的關(guān)鍵點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行高效化的數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)。建立在學(xué)生認(rèn)知發(fā)展水平與已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上的數(shù)學(xué)教學(xué)才能令學(xué)生的思維更加活躍并積極參與到數(shù)學(xué)活動(dòng)中，使學(xué)生能夠在自主探索與合作交流中對(duì)基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能數(shù)學(xué)思想與方法有真正的理解，在獲得豐富數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的形成與本質(zhì)形成獨(dú)到而深刻的理解。因此，教師應(yīng)著眼于知識(shí)的形成、知識(shí)本質(zhì)的揭示及學(xué)生發(fā)散思維的訓(xùn)練進(jìn)行有效的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)。下面我就結(jié)合反比例函數(shù)的概念教學(xué)進(jìn)行說明。 一、教

3、學(xué)指導(dǎo)理論依據(jù)1.課程標(biāo)準(zhǔn)要求：結(jié)合具體情境體會(huì)反比例函數(shù)的意義，能根據(jù)已知條件確定反比例函數(shù)的表達(dá)式。2.課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)函數(shù)概念的了解做了如下解釋和建議：探索簡(jiǎn)單實(shí)例中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；結(jié)合實(shí)例了解函數(shù)的概念并能舉出函數(shù)的實(shí)例。3.2019年北京中考說明對(duì)了解反比例函數(shù)意義的要求是A級(jí)。二、教材分析反比例函數(shù)是基本初等函數(shù)之一，是在學(xué)習(xí)了平面直角坐標(biāo)系、函數(shù)、正比例函數(shù)和一次函數(shù)之后又一類刻畫現(xiàn)實(shí)世界變化規(guī)律的函數(shù)模型，本節(jié)內(nèi)容不僅加深了對(duì)函數(shù)概念的理解，也鞏固了研究函數(shù)的方法和技巧，為后續(xù)研究其他函數(shù)做了很好的鋪墊。三、學(xué)情分析1.在知識(shí)層面，學(xué)生曾在小六（下）學(xué)過“正比例和反比例”，在八

4、（上）學(xué)過“平面直角坐標(biāo)系，一次函數(shù)和正比例函數(shù)”，對(duì)“反比例”、“函數(shù)”等已經(jīng)有了一定的認(rèn)識(shí)，這為本節(jié)課反比例函數(shù)的學(xué)習(xí)奠定了良好的基礎(chǔ)。2.在思維水平層面，九年級(jí)的學(xué)生已經(jīng)具備一定的歸納和演繹推理能力，積累了初步的運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的經(jīng)驗(yàn)，但是仍然處于由具體思維向抽象思維過渡的階段，由于學(xué)生思維發(fā)展的個(gè)體差異性，小部分學(xué)生的抽象思維發(fā)展緩慢，思維淺表化，對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解容易停留在表面，需在數(shù)學(xué)思想層面進(jìn)一步領(lǐng)悟與提升。3.在心理層面，九年級(jí)學(xué)生心智已較成熟，而且已經(jīng)具備了一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和思維能力，他們渴望通過自己的探究發(fā)現(xiàn)知識(shí)，體驗(yàn)知識(shí)的獲得過程，感受成功的喜悅。四、教學(xué)目標(biāo)1.理解

5、反比例函數(shù)的概念，會(huì)判斷一個(gè)函數(shù)是不是反比例函數(shù)，能夠用“待定系數(shù)法”求反比例系數(shù)。2.通過類比正比例和正比例函數(shù)的研究過程，經(jīng)歷反比例函數(shù)概念的形成過程；結(jié)合反比例的意義領(lǐng)會(huì)反比例函數(shù)的意義。3.通過探索反比例函數(shù)的形成過程，體會(huì)和認(rèn)識(shí)反比例函數(shù)是刻畫世界數(shù)量關(guān)系的一種有效模型，感受類比、歸納等數(shù)學(xué)方法，提升合作交流和探索能力。五、教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：理解反比例函數(shù)的概念，能判斷兩個(gè)變量之間的關(guān)系是否為反比例函數(shù)關(guān)系。教學(xué)難點(diǎn)：類比正比例和正比例函數(shù)的概念，結(jié)合反比例的意義領(lǐng)會(huì)反比例函數(shù)的意義；根據(jù)已知條件，通過建立反比例函數(shù)的數(shù)學(xué)模型來解決實(shí)際問題。六、設(shè)計(jì)思路本節(jié)課的設(shè)計(jì)思路：1.類比“

6、正比例關(guān)系”到“正比例函數(shù)”的形成過程，由“反比例關(guān)系”形成“反比例函數(shù)”，讓學(xué)生體驗(yàn)知識(shí)的形成過程，領(lǐng)會(huì)反比例函數(shù)的意義。2.將正比例函數(shù)和反比例函數(shù)進(jìn)行對(duì)比分析，加強(qiáng)對(duì)反比例函數(shù)概念的理解。3.在練習(xí)階段主要通過對(duì)反比例函數(shù)解析式的三種表達(dá)式進(jìn)行辨析練習(xí)和反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)反比例函數(shù)定義的掌握和理解。七、教學(xué)過程環(huán)節(jié)一：復(fù)習(xí)回顧，提出問題師：1.用自己的語言描述函數(shù)的概念是什么？生：學(xué)生舉手回答，言之有理即可。師：2.到目前為止，我們學(xué)過哪些函數(shù)？生：學(xué)生自主回答，并能準(zhǔn)確說出他們的解析式。師：3.在研究一次函數(shù)的過程中，我們先后學(xué)習(xí)了一次函數(shù)的哪些內(nèi)容?生：學(xué)生思考并回答

7、，注意答案的先后順序師：4.那么本章學(xué)習(xí)一類新的函數(shù)反比例函數(shù)，應(yīng)該學(xué)習(xí)內(nèi)容？生：本章應(yīng)該研究反比例函數(shù)的定義。設(shè)計(jì)意圖：函數(shù)概念比較抽象，對(duì)學(xué)生而言文字表述比較困難，所以學(xué)生只要表述到位即可。通過復(fù)習(xí)函數(shù)的概念和一次函數(shù)、正比例函數(shù)的相關(guān)知識(shí)讓學(xué)生克服對(duì)反比例函數(shù)這章知識(shí)的陌生感，也為反比例函數(shù)的學(xué)習(xí)提前做良好的鋪墊。環(huán)節(jié)二：類比探究，引出定義師：小學(xué)里我們學(xué)過正比例和反比例這兩個(gè)定義，兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量，一個(gè)量變化，另一個(gè)量也隨著變化，如果兩個(gè)量的比值是一個(gè)定值時(shí)，這兩個(gè)量成正比例關(guān)系；如果兩個(gè)量的乘積是一個(gè)定值時(shí)，這兩個(gè)量成反比例關(guān)系，接下來請(qǐng)大家完成下面幾個(gè)問題：一個(gè)矩形的寬為定值4m時(shí)，

8、面積S與長(zhǎng)x成_關(guān)系，即_。在馬路上勻速行駛的汽車，當(dāng)速度是60km/h時(shí)，路程s與時(shí)間t成_關(guān)系，即_。一袋大米的質(zhì)量是10kg，大米的總質(zhì)量M和袋數(shù)n成_關(guān)系，即_。一個(gè)矩形的面積為定值16m2時(shí)，它的寬y與長(zhǎng)x成_關(guān)系，即xy=_。在馬路上勻速行駛的汽車，當(dāng)路程為90km時(shí)，速度v與時(shí)間t成_關(guān)系，即_。一批100kg的大米，要均勻地裝在若干袋子里，則每袋大米的質(zhì)量m和袋數(shù)n成_關(guān)系，即_。生：教師引導(dǎo)學(xué)生回憶“正比例”和“反比例”的定義，在此基礎(chǔ)上，學(xué)生認(rèn)真完成，并小組交流，小題，最后教師引導(dǎo)學(xué)生類比歸納總結(jié)分析： 正比例關(guān)系 正比例函數(shù) 反比例關(guān)系反比例函數(shù) 類比 師：將幾個(gè)正比例式

9、子進(jìn)行適當(dāng)變形，去掉分母，我們發(fā)現(xiàn)它們是我們學(xué)過的正比例函數(shù)。生：類比正比例到正比例函數(shù)的形成關(guān)系，我們可以將反比例也可以進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，讓左邊只有一個(gè)未知數(shù)，這樣每個(gè)式子有兩種變形，但形式是一樣的，所以學(xué)生只要說出一種變形即可。師：觀察這幾個(gè)式子，回答下列問題：?jiǎn)栴}1每個(gè)式子中常量和變量分別是什么？問題2這些關(guān)系式在結(jié)構(gòu)上有什么共同點(diǎn)？問題3這兩個(gè)量之間是否存在函數(shù)關(guān)系？問題4 你能歸納出這類函數(shù)的解析式來嗎？問題5類比正比例函數(shù)，你能給它起個(gè)名字嗎？生：學(xué)生自主觀察并回答。對(duì)它的結(jié)構(gòu)引導(dǎo)：左邊是一個(gè)字母右邊是一個(gè)比值的形式分子是一個(gè)不為0的常數(shù)，分母是一個(gè)字母，次數(shù)為1。（對(duì)結(jié)構(gòu)的回答言之

10、有理即可）設(shè)計(jì)意圖：和說的是同一類實(shí)際問題，只不過由于未知數(shù)的不同，導(dǎo)致列出的式子可以變形成我們學(xué)過的正比例函數(shù)，而列出的式子通過變形列出了幾個(gè)形式相同的新的表達(dá)式，這就是我們要學(xué)的新知識(shí)反比例函數(shù)，這樣引出，體現(xiàn)了研究反比例函數(shù)的必要性，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生小組合作和探索問題的能力。通過類比正比例和正比例函數(shù)的研究過程，經(jīng)歷反比例函數(shù)概念的形成過程；結(jié)合反比例的意義領(lǐng)會(huì)反比例函數(shù)的意義。在引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出反比例函數(shù)解析式的同時(shí)，帶領(lǐng)學(xué)生分析解析式結(jié)構(gòu)，加深對(duì)概念的理解。知識(shí)梳理 一般地，我們把形如（ k是常數(shù)，k0）的函數(shù)叫做反比例函數(shù)。 其中，k叫做反比例系數(shù)。環(huán)節(jié)三：鞏固新知，辨析概念師：（ k是

11、常數(shù)，k0）中，自變量x和因變量y的取值范圍是什么？為什么？生：x0，y0。理由描述合理即可。例1 判斷下列函數(shù)是不是反比例函數(shù)，如果是，請(qǐng)寫出反比例系數(shù)。生：學(xué)生自主回答，辨析概念：強(qiáng)調(diào)常數(shù)k的取值范圍。通過對(duì)反比例函數(shù)解析式變形，總結(jié)快速求k的方法。 師：?jiǎn)栴}1 一個(gè)函數(shù)表達(dá)式怎樣變形既可以判斷它是反比例函數(shù)，又能快速求出k。生：xy=k (k0)練習(xí) 判斷下列函數(shù)是不是反比例函數(shù)，如果是，請(qǐng)寫出反比例系數(shù)。師：接下來我們對(duì)正比例函數(shù)和反比例函數(shù)作簡(jiǎn)單的對(duì)比： 生：學(xué)生自主回答正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的區(qū)別： 名字的區(qū)別“正”和“反”； 解析式形式相同時(shí)，x的次數(shù)分別是“+1”和“-1”。設(shè)

12、計(jì)意圖：借助例題，鞏固定義，加深學(xué)生對(duì)概念的理解，并總結(jié)確定反比例系數(shù)的簡(jiǎn)便方法。通過與正比例函數(shù)作比較讓學(xué)生在克服對(duì)放比例函數(shù)的陌生感的同時(shí)，理解正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的區(qū)別，加深對(duì)反比例函數(shù)概念的理解。知識(shí)梳理反比例函數(shù)解析式變形：定義： 快速求k： 類比正比例函數(shù)： 環(huán)節(jié)四：拓展應(yīng)用，加深理解例2 (1) 若函數(shù)為反比例函數(shù)，則a=_(2) 反比例函數(shù)的表達(dá)式為 ，則m=_例3已知y是x的反比函數(shù)，并且當(dāng)x2時(shí)，y6。(1) 寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2) 當(dāng)x4時(shí)，求y的值；(3) 當(dāng)y=4時(shí)，求x的值。例4壓強(qiáng)的大小是由單位面積所受到的壓力決定的，那么，當(dāng)物體受到100N的壓力時(shí)，

13、壓強(qiáng)P(Pa)是受力面積S( QUOTE m2 m2)的函數(shù)。試判斷它是哪一類函數(shù)，并求當(dāng)物體的受力面積是5 m2 QUOTE m2 時(shí)，物體所受的壓強(qiáng)。生：學(xué)生練習(xí)并展示，略設(shè)計(jì)意圖：加深對(duì)反比例函數(shù)解析式結(jié)構(gòu)的理解；會(huì)用待定系數(shù)法求反比例系數(shù)；在實(shí)際問題中，會(huì)通過建立反比例函數(shù)的數(shù)學(xué)模型來解決問題。環(huán)節(jié)五：課堂練習(xí)（略）環(huán)節(jié)六：課堂小結(jié)（略）八、最后感悟在這節(jié)概念課中，從復(fù)習(xí)正比例關(guān)系和正比例函數(shù)入手，進(jìn)行類比學(xué)習(xí)。在學(xué)生已有的知識(shí)上自然生成新的概念，強(qiáng)調(diào)概念的生成和發(fā)展過程，從生活中具有反比例關(guān)系的兩個(gè)變量入手，變形后引出反比例函數(shù)的概念和一般形式。概念是抽象的，而例子是具體的、形象的，所以本節(jié)課在概念辨析環(huán)節(jié)，利用例題和練習(xí)題讓學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)其變形表達(dá)式，從不同的角度去理解表達(dá)式，應(yīng)用概念。本節(jié)課