內(nèi)切球和外接球例題

1、B.20C.241、構(gòu)造正方體例5 （2008年福建高考題）若三棱錐的三條側(cè)棱兩高考數(shù)學(xué)中的內(nèi)切球和外接球問(wèn)題之阿布王 倉(cāng)IJ作一、直接法（公式法）1、求正方體的外接球的有關(guān)問(wèn)題例1若棱長(zhǎng)為3的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的概況積為. 27 .例2 一個(gè)正方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，若該正方體的概況積為24,則該球的體積為43.2、求長(zhǎng)方體的外接球的有關(guān)問(wèn)題例3 （2007年天津高考題）一個(gè)長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)均在同一球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱長(zhǎng)分別為1,2,3,則此球的概況積為.14 .例4、（ 2006年全國(guó)卷I ）已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面 上的正四棱柱高為 4,體積為16,則這個(gè)球的

2、概況積為A.16D. 323.求多面體的外接球的有關(guān)問(wèn)題例5. 一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱9柱的體積為8,底面周長(zhǎng)為3,則這個(gè)球的體積解設(shè)正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為 x,高為h，則有 TOC o 1-5 h z 6x 3,1_ x -,9 A3 2.216 x h,r84 h 43r.正六棱柱的底面圓的半徑2,d %d,球心到底面的距離2 .外接球的半徑R . r2 d2 1二、構(gòu)造法（補(bǔ)形法）兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)均為則其外接球的概況積是9 .解 據(jù)題意可知，該三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，. 把這個(gè)三棱錐可以補(bǔ)成一個(gè)棱長(zhǎng)為 代的正方體，于是正

3、方 體的外接球就是三棱錐的外接球 .設(shè)其外接球的半徑為222229R,則有2R 曲西亞 9 R 4.故其外接 球的概況積S 4 R2 9 .小結(jié) 一般地，若一個(gè)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且其長(zhǎng)度分別為小仄c ,則就可以將這個(gè)三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，于是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)就是該三棱錐的外接球的直徑.設(shè)其外接球的半徑為 R,則有2R &2官c2.出 現(xiàn)“墻角”結(jié)構(gòu)利用補(bǔ)形知識(shí)，聯(lián)系長(zhǎng)方體。【例題】：在四面體越中，共頂點(diǎn)的三條棱兩兩 垂直，其長(zhǎng)度分別為1而若該四面體的四個(gè)頂點(diǎn)在一 個(gè)球面上，求這個(gè)球的概況積。長(zhǎng)所以：四面體外接球的直徑為旌的長(zhǎng)即： 4爐=出?口+工+山，4如=12+3*+匈,=16所

4、以&二2球的概 況積為 = 4次=16騫例6. 一個(gè)四面體的所有棱長(zhǎng)都為 正，四個(gè)頂點(diǎn)在同 一球面上，則此球的概況積為（）A.3 B. 4 C. 3 3 D. 6解析：一般解法，需設(shè)出球心，作出高線，構(gòu)造直角 三角形，再計(jì)算球的半徑.在此，由于所有棱長(zhǎng)都相等， 我們聯(lián)想只有正方體中有這么多相等的線段，所以構(gòu)造一 個(gè)正方體，再尋找棱長(zhǎng)相等的四面體，四面體 A BDE滿足 條件，即AB=AD=AE=BD=DE BE 由此可求得正方體 的棱長(zhǎng)為1 ,體對(duì)角線為 ,從而外接球的直徑也為 n, 所以此球的概況積即可求得，故選A.例 7.在等腰梯形 ABCD 中，AB=2DC=2 , DAB=60 0 ,

5、 E 為 AB的中點(diǎn)，將 ADE與BEC分布沿ED、EC向上折起，使 A、B重合于點(diǎn)P,則三棱錐P-DCE的外接球的體積為解：因?yàn)椋洪L(zhǎng)方體外接球的直徑為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線2、構(gòu)造長(zhǎng)方體以 AD AE=EB=BC=DC=DE=CE=1,即三棱錐P-DCE為正四面4 366A.方 B. 5 C. 萬(wàn)D. 24解析：因?yàn)?AE=EB=DC=1 , DAB= CBE= DEA=60 0 ,所體，至此，這與例6就完全相同了，故選 C.例8 .已知球0的面上四點(diǎn)A、B、C、D,DA 平面 ABC , AB BC , DA=AB=BC= 73 ,貝|J球 O 的體積等解析：本題同樣用一般方法時(shí)，需要找出球心，

6、求出 球的半徑.而利用長(zhǎng)方體模型很快即可找到球的直徑，由于DA平面ABC , AB BC ,聯(lián)想長(zhǎng)方體中的相應(yīng)線段關(guān)系，構(gòu)造長(zhǎng)方體，又因?yàn)?DA=AB=BC=,則此長(zhǎng)方體為正 方體，所以CD長(zhǎng)即為外接球的直徑，利用直角三角形解9出CD=3 .故球O的體積等于2例9.已知點(diǎn)A、B、C、D在同一個(gè)球面上，AB 平面 BCD , BC DC ,若 AB 6,AC=2a/T3,AD=8 ,則球的 體積是.解析：首先可聯(lián)想到例8,構(gòu)造下面的長(zhǎng)方體，于是AD為球的直徑，O為球心，OB=OC=4為半徑，要求 B、C 兩點(diǎn)間的球面距離，只要求出BOC即可，在Rt ABC中，求出BC=4,所以BOC=60,故B

7、、C兩點(diǎn)間的球面距離是43 .三.多面體幾何性質(zhì)法例1 0.已知各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上的正四棱柱的高為4,體積為16,則這個(gè)球的概況積是A.16 B. 20 C. 24 D. 32解 設(shè)正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為 x,外接球的半徑為R,則有4x2 16 ,解得x 2.2R V22 22 4 2 2旄，r旄.這個(gè)球的概況積是4 R2 24 .選C.小結(jié) 本題是運(yùn)用“正四棱柱的體對(duì)角五.確定球心位置法線的長(zhǎng)等于其外接球的直徑”這一性質(zhì)來(lái)求解的例11.在矩形ABCD中，AB4,BC 3 ,沿AC將矩形四.尋求軸截面圓半徑法ABCD折成一個(gè)直二面角B ACD ,則四面體ABCD的外接例11.正四棱錐S AB

8、CD的底面邊長(zhǎng)和各側(cè)棱長(zhǎng)都為球的體積為72,點(diǎn)S、A、B、C、D都在同一球面上，則此球的體積為解設(shè)正四棱錐的底面中心為 01,外接球的125A. 12125d.TB.1259C.1256球心為0,如圖1所示.由球的截面的性質(zhì)，可解設(shè)矩形對(duì)角線的交點(diǎn)為0,則由矩形對(duì)角線互得001平面ABCD相平分，可知0A 0B 0C 0D . .點(diǎn)。到四面體的四個(gè)頂又S01平面ABCD.球心。必在S01所在的直線上.點(diǎn)A、B、C、D的距離相等，即點(diǎn)。為四面體的外接球的球ASC的外接圓就是外接球的一個(gè)軸截面圓，外接圓- 54 3f ,R OA - V 球一R3心，.外接球的半徑2.故31256.選 C.的半徑就是外接球的半徑.在ASC中，由SA SC 亞，AC 2,得SA2 SC2 AC2上,【例題】：已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面ASC是以AC為斜邊的RtAC 12是外接圓的半徑，也是外.V球接球的半徑.故43解:10AB LBCPC二底AC= 10因?yàn)橹?2=W3所以知上C = F# +尹不