數(shù)學(xué)建模萊斯利模型課件

1、 萊斯利模型年齡組年齡區(qū)間10,N/n2(N/n,2N/n)3(2N/n,3N/n)n-1(n-2)N/n,(n-1)N/n)N(n-1)N/n,N)假定在總體中任意一個女性的最大年齡是N歲，這里的總體僅指女性人口總體，并將其當(dāng)做按不同年齡分組的個體的集合。 將總體分成n個期限相等的年齡組，于是每組的期限為N/n年，按下表來記下各個年齡組：假設(shè)已知在時刻t=0時每一個組中的女性人數(shù)，令在第i組中有 個女性，則記為 這個向量稱為初始年齡分布向量?，F(xiàn)在來考慮這n個組中每組的女性人數(shù)隨時間的推移而變化的情況。設(shè)任意兩個連續(xù)的觀察時間間隔和年齡區(qū)間的期限相等，即令這樣，在時刻 時于第（i+1）組中的所

2、有女性在時刻是均在第i組中。在兩次連續(xù)的觀察時間之間的出生和死亡過程，用下述人口學(xué)參數(shù)來描述： 表示每一個女性在第i年齡組期間生育兒女的平均數(shù)。 表示第i年齡組的女性可望活到第（i+1）年齡組的分?jǐn)?shù)。 顯然 不允許任何bi等于0，否則就沒有一個沒有女性會活到超過第i年齡組。 同樣，至少有一個 是正的，這樣就保證有n個女兒出生了。與正的 對應(yīng)的年齡組稱為生育年齡組。 記 是在時刻個 年齡組中的女性數(shù)目，則稱為在時刻 時年齡分布向量。在時刻 ，第一個年齡組中的女性數(shù)恰好就是在 和 之間出生的女孩數(shù)，即 （5.1） （5.2） 將（5.1）式和（5.2）用矩陣表示即得（5.3） 簡記為（5.4） 其

3、中稱為萊斯利矩陣。由（5.4）式可得 （5.5）因此，如果已知初始年林分布 及萊斯利矩陣L，就能求出在以后任何時間的女性年齡分布。 極限狀態(tài)（5.5）式給出了總?cè)赵谌我鈺r間的年齡分布，但是它并不能直接反映增長過程動態(tài)的情況。 為此我們需要考慮萊斯利矩陣L的特征值和特征向量，L的特征根是它的特征多項式的根，這個特征多項式為為了求這個多項式的根，引入函數(shù) （5.6） 利用這個個函數(shù)，特征多項式 可寫為 （5.7） 由于所有的 和 為非負(fù)的，可以看作 對于大于零是單調(diào)減少的。 另外， 在 處有一條垂直漸近線，而當(dāng)趨于無窮大時則趨于零。因此 ，存在唯一的一個 ，使得 。即矩陣L有一個唯一的正特征值，

4、是單根，對于 的一個特征向量是滿足： 的非零向量。 解得 （5.8） 由于 是單根，它相應(yīng)的特征空間是一維的，因而任意它所對應(yīng)的特征向量 是某個倍數(shù)，則有定理定理1 一個萊斯利矩陣L有一個唯一的正特征值 ，并且有一個所有元素均為正的特征向量。 總體年齡分布的長期行為是由正的特征值 及它的特征向量 來決定的。實際應(yīng)用中，由數(shù)學(xué)軟件很容易求出矩陣的特征值與特征向量，請讀者參閱第四章相關(guān)內(nèi)容。 定理2 如果 為萊斯利矩陣L的唯一的正特征值， 是L的特征值，它可以是任意實數(shù)或復(fù)數(shù)，則 。 稱為L的主特征值。如果對L的所有其他特征值有 ，那么 稱為L的嚴(yán)格主特征值。并不是所有的萊斯利矩陣都滿足這個條件，

5、例如 請讀者利用數(shù)學(xué)軟件驗證L的唯一正特征值不是嚴(yán)格主特征值，并且有 （單位矩陣）。 于是對于任意選擇初始年齡分布 ，都有 因此年齡分布向量以三個時間單位為周期而擺動，如果 是嚴(yán)格主特征值，這種擺動（也稱人口波）就可能不會發(fā)生。 下面價格敘述關(guān)于 是嚴(yán)格主特征值的必要和充分條件。 定理3 如果萊斯利矩陣的第一行有兩個連續(xù)的元素 和 不等于零，則L的正特征值就是嚴(yán)格主特征值。 因此，如果女性總體有兩個相繼的生育年齡組，它的萊斯利矩陣就是一個嚴(yán)格主特征值。只要年齡組的期限足夠小，現(xiàn)實中的總體總是這中情況。假設(shè)L是可對角化的，此時L有n 個特征值 與它們相對應(yīng)的n個線性無關(guān)的特征向量為 。將其中嚴(yán)格

6、主特征值排在第一，建立一個矩陣P，其余個列就是L的特征向量。 于是L的對角化就由下式給出 則因此，對于任意初始年齡分布向量 就有此等式兩邊除以 ，就得出（5.9） 由于 是嚴(yán)格主特征值，所以 當(dāng) 時 這樣就得到（5.10）如果將列向量 的第一個元素用常熟C來表示，則可以證明（5.10）式右端為 ，C是一個只與初始年齡分布向量 有關(guān)的正常數(shù)，于是得到 （5.11） 對于足夠大的k值，由（5.11）式給出近似式 （5.12） 由（5.12）式還可得出（5.13） 比較（5.12）和（5.13）式可知對于足夠大的k值，有（5.14） 這說明對于足夠大的時間值，每個年齡分布向量是前一個年齡分布向量的一個數(shù)量倍數(shù)，這個數(shù)量就是矩陣的正特征值。因此，在每一個年齡組中的女性比例據(jù)變?yōu)槌Ａ俊?由給出常時期人口的年齡分布向量（5.12）式根據(jù)正特征值 的數(shù)值，會有三種情況： ）如果 ，總體最終是增長的；）如果 ，總體整體是減少的；）如果 ，總體整體是不變的。 的情形有特殊意義，因為它決定了一個具有零增長的總體。對于任