數(shù)學歸納法(北師大版選修)課件

1、第一章 推理與證明 4 數(shù)學歸納法舉例說明：一個數(shù)列的通項公式是：an= (n25n+5)2請算出a1= ，a2= ，a3= ，a4=猜測an?由于a525 1，所以猜測是不正確的所以由歸納法得到的結(jié)論不一定可靠 1111猜測是否正確呢？課題引入不完全歸納法 如何通過有限個步驟的推理，證明n取所有正整數(shù)都成立？思考：這個游戲中，能使所有多米諾骨全部倒下的條件是什么？多米諾骨牌（domino）是一種用木制、骨制或塑料制成的長方形骨牌。玩時將骨牌按一定間距排列成行，輕輕碰倒第一枚骨牌，其余的骨牌就會產(chǎn)生連鎖反應(yīng)，依次倒下。多米諾是一項集動手、動腦于一體的運動。一幅圖案由幾百、幾千甚至上萬張骨牌組成

2、。骨牌需要一張張擺下去，它不僅考驗參與者的體力、耐力和意志力，而且還培養(yǎng)參與者的智力、想象力和創(chuàng)造力。先從多米諾骨牌游戲說起 只要滿足以下兩個條件，所有多米諾骨牌就能全部倒下： （2）任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下。 （依據(jù)） 條件（2）事實上給出了一個遞推關(guān)系：當?shù)趉塊倒下時，相鄰的第k+1塊也倒下。思考：你認為證明數(shù)列的通項公式 是這個猜想與上述多米諾骨牌游戲有相似性？你能類比多米諾骨牌游戲解決這個問題嗎？（1）第一塊骨牌倒下；（基礎(chǔ)）多米諾骨牌游戲的原理 這個猜想的證明方法（1）第一塊骨牌倒下。（2）若第k塊倒下時，則相鄰的第k+1塊也倒下。根據(jù)（1）和 （2），可知不

3、論有多少塊骨牌，都能全部倒下。（1）當n=1時猜想成立。（2）若當n=k時猜想成立，即 ，則當n=k+1時猜想也成立，即 。根據(jù)（1）和（2），可知對任意的正整數(shù)n，猜想 都成立。已知數(shù)列數(shù)學歸納法的概念： 定義：對于某些與正整數(shù)n有關(guān)的命題常常采用下面的方法來證明它的正確性：先證明當n取第一個值n0 (n0 N*)時命題成立 (歸納奠基） ；2.然后假設(shè)當n=k(kN*，kn0)時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立(歸納遞推）。這種證明方法就叫做_。數(shù)學歸納法驗證n=n0時命題成立若n=k(kn0)時命題成立,證明n=k+1時命題也成立.歸納奠基歸納遞推命題對從n0開始所有的正整數(shù)n都成

4、立例1、用數(shù)學歸納法證明： 1+3+5+(2n-1)n2(2)假設(shè)nk時，等式成立，即(1) n1時，左邊=1，右邊=1，等式成立；1+3+5+(2k-1)k2那么當nk+1時， 由、 可知對任何nN*時，等式都成立需要證明的式子是?1+3+5+(2k-1)+（2k+1）k2+（2k+1）（k+1）2這就是說，當n=k+1時，等式也成立同樣的方法，我們可以用數(shù)學歸納法證明首項為a1，公差為d的等差數(shù)列的前n項和公式.具體詳解請同學們看本節(jié)教材例1.數(shù)學建構(gòu) 類比多米諾骨牌游戲證明情境1中的猜想 的步驟為：(1)證明當n=1時猜想成立(2)證明若當n=k時命題成立，則n=k+1時命題也成立. 完

5、成了這兩個步驟以后就可以證明上述猜想對于所有的正整數(shù)n都是成立的。相當于第一張牌能倒下相當于使所有骨牌倒下的第2個條件證明 當n=1時，左邊1 右邊,等式顯然成立。例2 證明：遞推基礎(chǔ)遞推依據(jù)假設(shè)當n=k時等式成立，即那么,當n=k+1時，有這就是說，當n=k+1時,等式也成立。根據(jù)和，可知對任何nN*等式都成立。證明：（1）當n=1時，等式是成立的（2）假設(shè)當n=k時等式成立，就是那么這就是說，當n=k+1時，等式也成立由（1）和（2），可知等式對任何 都成立如果 是等差數(shù)列，已知首項為 公差為 ，那么對一切 都成立練習1試用數(shù)學歸納法證明點評：利用數(shù)學歸納法證明和正整數(shù)相關(guān)的命題時，要注意

6、三句話：遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉。證明 當n=1時，左邊1 右邊,等式顯然成立。練習2.（1） 用數(shù)學歸納法證明：假設(shè)當n=k時等式成立，即那么,當n=k+1時，有這就是說，當n=k+1時,等式也成立。根據(jù)和，可知對任何nN*等式都成立。證明 當n=1時，左邊1 右邊,等式顯然成立。練習2.（2） 用數(shù)學歸納法證明：假設(shè)當n=k時等式成立，即那么,當n=k+1時，有這就是說，當n=k+1時,等式也成立。根據(jù)和，可知對任何nN*等式都成立。2. 數(shù)學歸納法證明一個與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學命題的步驟是：（1）證明當 取第一個值 （如 或2等）時命題成立 遞推基礎(chǔ) （2）假設(shè) 時命題成立 證明 時命題也成立 遞推依據(jù) 在完成了這兩步驟以后，就可以斷定命題對于從n0 開始 的所有正整數(shù)n都成立1. 數(shù)學歸納法適用范圍:僅限于與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學命題3. 數(shù)學歸納法優(yōu)點：克服了完全歸納法的繁雜、不可行的缺點， 又克服了不完全歸納法結(jié)論不可靠的不足，是一種科學方法， 使我們認識到事情由簡到繁、