數(shù)學(xué)歸納法(北師大版選修)課件

1、第一章 推理與證明 4 數(shù)學(xué)歸納法舉例說(shuō)明：一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是：an= (n25n+5)2請(qǐng)算出a1= ，a2= ，a3= ，a4=猜測(cè)an?由于a525 1，所以猜測(cè)是不正確的所以由歸納法得到的結(jié)論不一定可靠 1111猜測(cè)是否正確呢？課題引入不完全歸納法 如何通過(guò)有限個(gè)步驟的推理，證明n取所有正整數(shù)都成立？思考：這個(gè)游戲中，能使所有多米諾骨全部倒下的條件是什么？多米諾骨牌（domino）是一種用木制、骨制或塑料制成的長(zhǎng)方形骨牌。玩時(shí)將骨牌按一定間距排列成行，輕輕碰倒第一枚骨牌，其余的骨牌就會(huì)產(chǎn)生連鎖反應(yīng)，依次倒下。多米諾是一項(xiàng)集動(dòng)手、動(dòng)腦于一體的運(yùn)動(dòng)。一幅圖案由幾百、幾千甚至上萬(wàn)張骨牌組成

2、。骨牌需要一張張擺下去，它不僅考驗(yàn)參與者的體力、耐力和意志力，而且還培養(yǎng)參與者的智力、想象力和創(chuàng)造力。先從多米諾骨牌游戲說(shuō)起 只要滿足以下兩個(gè)條件，所有多米諾骨牌就能全部倒下： （2）任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下。 （依據(jù)） 條件（2）事實(shí)上給出了一個(gè)遞推關(guān)系：當(dāng)?shù)趉塊倒下時(shí)，相鄰的第k+1塊也倒下。思考：你認(rèn)為證明數(shù)列的通項(xiàng)公式 是這個(gè)猜想與上述多米諾骨牌游戲有相似性？你能類比多米諾骨牌游戲解決這個(gè)問(wèn)題嗎？（1）第一塊骨牌倒下；（基礎(chǔ)）多米諾骨牌游戲的原理 這個(gè)猜想的證明方法（1）第一塊骨牌倒下。（2）若第k塊倒下時(shí)，則相鄰的第k+1塊也倒下。根據(jù)（1）和 （2），可知不

3、論有多少塊骨牌，都能全部倒下。（1）當(dāng)n=1時(shí)猜想成立。（2）若當(dāng)n=k時(shí)猜想成立，即 ，則當(dāng)n=k+1時(shí)猜想也成立，即 。根據(jù)（1）和（2），可知對(duì)任意的正整數(shù)n，猜想 都成立。已知數(shù)列數(shù)學(xué)歸納法的概念： 定義：對(duì)于某些與正整數(shù)n有關(guān)的命題常常采用下面的方法來(lái)證明它的正確性：先證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0 (n0 N*)時(shí)命題成立 (歸納奠基） ；2.然后假設(shè)當(dāng)n=k(kN*，kn0)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立(歸納遞推）。這種證明方法就叫做_。數(shù)學(xué)歸納法驗(yàn)證n=n0時(shí)命題成立若n=k(kn0)時(shí)命題成立,證明n=k+1時(shí)命題也成立.歸納奠基歸納遞推命題對(duì)從n0開始所有的正整數(shù)n都成

4、立例1、用數(shù)學(xué)歸納法證明： 1+3+5+(2n-1)n2(2)假設(shè)nk時(shí)，等式成立，即(1) n1時(shí)，左邊=1，右邊=1，等式成立；1+3+5+(2k-1)k2那么當(dāng)nk+1時(shí)， 由、 可知對(duì)任何nN*時(shí)，等式都成立需要證明的式子是?1+3+5+(2k-1)+（2k+1）k2+（2k+1）（k+1）2這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立同樣的方法，我們可以用數(shù)學(xué)歸納法證明首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.具體詳解請(qǐng)同學(xué)們看本節(jié)教材例1.數(shù)學(xué)建構(gòu) 類比多米諾骨牌游戲證明情境1中的猜想 的步驟為：(1)證明當(dāng)n=1時(shí)猜想成立(2)證明若當(dāng)n=k時(shí)命題成立，則n=k+1時(shí)命題也成立. 完

5、成了這兩個(gè)步驟以后就可以證明上述猜想對(duì)于所有的正整數(shù)n都是成立的。相當(dāng)于第一張牌能倒下相當(dāng)于使所有骨牌倒下的第2個(gè)條件證明 當(dāng)n=1時(shí)，左邊1 右邊,等式顯然成立。例2 證明：遞推基礎(chǔ)遞推依據(jù)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，即那么,當(dāng)n=k+1時(shí)，有這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí),等式也成立。根據(jù)和，可知對(duì)任何nN*等式都成立。證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，等式是成立的（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，就是那么這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立由（1）和（2），可知等式對(duì)任何 都成立如果 是等差數(shù)列，已知首項(xiàng)為 公差為 ，那么對(duì)一切 都成立練習(xí)1試用數(shù)學(xué)歸納法證明點(diǎn)評(píng)：利用數(shù)學(xué)歸納法證明和正整數(shù)相關(guān)的命題時(shí)，要注意

6、三句話：遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉。證明 當(dāng)n=1時(shí)，左邊1 右邊,等式顯然成立。練習(xí)2.（1） 用數(shù)學(xué)歸納法證明：假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，即那么,當(dāng)n=k+1時(shí)，有這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí),等式也成立。根據(jù)和，可知對(duì)任何nN*等式都成立。證明 當(dāng)n=1時(shí)，左邊1 右邊,等式顯然成立。練習(xí)2.（2） 用數(shù)學(xué)歸納法證明：假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，即那么,當(dāng)n=k+1時(shí)，有這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí),等式也成立。根據(jù)和，可知對(duì)任何nN*等式都成立。2. 數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的步驟是：（1）證明當(dāng) 取第一個(gè)值 （如 或2等）時(shí)命題成立 遞推基礎(chǔ) （2）假設(shè) 時(shí)命題成立 證明 時(shí)命題也成立 遞推依據(jù) 在完成了這兩步驟以后，就可以斷定命題對(duì)于從n0 開始 的所有正整數(shù)n都成立1. 數(shù)學(xué)歸納法適用范圍:僅限于與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題3. 數(shù)學(xué)歸納法優(yōu)點(diǎn)：克服了完全歸納法的繁雜、不可行的缺點(diǎn)， 又克服了不完全歸納法結(jié)論不可靠的不足，是一種科學(xué)方法， 使我們認(rèn)識(shí)到事情由簡(jiǎn)到繁、