23隨機變量的分布函數與連續(xù)型隨機變量課件

1、第三節(jié) 隨機變量的分布函數 與連續(xù)型隨機變量分布函數的定義及其性質連續(xù)型隨機變量的定義及其概率密度的性質幾種重要的連續(xù)型隨機變量 7/27/20221一、分布函數的定義及性質由于為此我們引入隨機變量的分布函數的概念如下：定義：設X是一個隨機變量，x是任意實數，函數稱為隨機變量X的分布函數。從而也就是說，可以通過分布函數，計算隨機變量落在任意一個區(qū)間的概率。7/27/20222不加證明地給出分布函數的一些性質:(1)(單調性) 對于任意實數 ，有(2)(有界性)(3)(右連續(xù)性)不可能事件必然事件7/27/20223例：若隨機變量X的分布律為則隨機變量X的分布函數為7/27/20224即分布函數

2、的圖像如下： 分布函數的圖像是一個右連續(xù)的階梯形。且在間斷點處的跳躍值等于X取這個值的概率。例如。7/27/20225二、連續(xù)型隨機變量的定義及其概率密度的性質 定義：設F(x)是隨機變量X的分布函數，若存在非負可積函數f(x),使得對任意實數x，有稱X為連續(xù)型隨機變量，稱f(x)為X的概率密度函數，或密度函數，也稱概率密度。7/27/20226 性質：1. 2.從圖形上來看，性質1表示X的概率密度f(x)位于x軸上方， 性質2表示f(x)與x軸所圍區(qū)域面積等于1.7/27/20227 3.對于任意實數 ，有從圖形上來看，性質3表示X落在區(qū)域 的概率等于相應的曲邊梯形的面積。 4.若f(x)在

3、點x處連續(xù)，則對于連續(xù)型隨機變量X 來說，通過F(x)求導得f(x) ，通過f(x)積分得F(x)。7/27/20228 5.連續(xù)型隨機變量取任一指定實數值的概率為零 即由性質5，易得：注：對離散型隨機變量，上式不成立。7/27/20229例：若隨機變量X的概率密度為(1)求C的值； (2)X的分布函數；(3)PX1.解：(1)由于 ，有得7/27/202210(2)由 ，有即分段討論7/27/202211(3)或7/27/202212幾種常見的連續(xù)型隨機變量的分布一、均勻分布定義：若連續(xù)型隨機變量X的概率密度為則稱X服從 上的均勻分布。記為 意義：X“等可能”地取區(qū)間 中的值，這里的“等可能

4、”理解為： X落在區(qū)間 中任意等長度的子區(qū)間內的可能性是相同的。即等長度，等概率。7/27/202213均勻分布的概率密度和分布函數圖形如下：分布函數：7/27/202214 例：設某公共汽車站從早上7:00開始每隔15分鐘到站一輛汽車，即7:00，7:15，7:30，7:45等時刻有汽車達到此站如果一個乘客到達該站的時刻服從7:00到7:30之間的均勻分布求他等待時間不超過5分鐘的概率 解：設X表示乘客到達該車站的時間，則 乘客等待時間不超過5分鐘當且僅當他在7:10到7:15之間或在7:25到7:30之間到達車站因此所求概率為7/27/202215思考設在-1，5上服從均勻分布，求方程有實

5、根的概率。解 方程有實數根 即 而 的密度函數為 故所求概率為 7/27/202216二、指數分布定義：若連續(xù)型隨機變量X的概率密度為其中 0,則稱X服從參數為的指數分布。記為 XE() 背景：在實際應用中，到某個特定事件發(fā)生所需等待的時間往往服從指數分布例如，從現在開始到下一次地震發(fā)生、到爆發(fā)一場新的戰(zhàn)爭、到一個元件的損壞、到你接到一次撥錯號碼的電話等所需的時間，都服從指數分布指數分布在排隊論、保險和可靠性理論中有廣泛的應用7/27/202217分布函數： 例：設某人到銀行取款時的排隊時間X (分鐘)服從指數分布，其概率密度為1.試確定常數;2.計算排隊時間超過10分鐘的概率;3.計算排隊時

6、間在10分鐘到20分鐘的概率7/27/202218 解：1.由得： 2. 3.7/27/202219例： 設連續(xù)型隨機變量的分布函數為1.求常數A,B；2. 求X的概率密度函數 。 解：1.由分布函數的性質：即所以又因為F(x)在點x=0處連續(xù) (事實上連續(xù)型隨機變量的分布函數在任意點連續(xù))，所以即所以7/27/202220從而分布函數為 2.由密度函數和分布函數之間的關系 ，有7/27/202221指數分布的無記憶性：對于一個非負的隨機變量，如果對于一切s,t0，有則稱這個隨機變量具有無記憶性。 直觀理解：若X表示儀器的壽命，那么上式說明:已知此儀器已使用t時，它總共能工作s+t小時的概率等

7、于從開始使用時算起，它至少能工作s小時的概率 也就是說：它對之前工作過t小時無記憶。容易驗證：指數分布是無記憶的。7/27/202222三、正態(tài)分布定義：若連續(xù)型隨機變量X的概率密度為其中， 為常數,則稱X服從參數為和 的正態(tài)分布記為 正態(tài)分布最早由Gauss在研究測量誤差時所得到，所以正態(tài)分布又稱為Gauss分布。正態(tài)分布是概率論中最具有應用價值的分布之一，大量的隨機變量都服從正態(tài)分布 如人的身高、體重，氣體分子向任一方向運動的速度，測量誤差等許多隨機變量，都服從正態(tài)分布大量相互獨立且有相同分布的隨機變量的累積也近似服從正態(tài)分布（第四章的大數定律和中心極限定理）7/27/202223正態(tài)分布的圖形具有如下特點：1. f(x)為關于x=的對稱鐘形曲線2. f(x)為在x=取得最大值，對概率密度曲線的影響7/27/202224正態(tài)分布的分布函數：特別地，當 時，稱X服從標準正態(tài)分布。記為其概率密度為：相應的分布函數記為：7/27/202225若則例：若7/27/202226一般正態(tài)分布的標準化定理：查標準正態(tài)分布表概率計算：7/27/202227例：若，試求：解：1.2.3.7/27/202228練習：設 試計算解：7/27/202229例： 某零件寬度現規(guī)定限度是 （1）求零件的廢品率。 （2）若要求每 100 個產品中廢品不多于一個