拉普拉斯變換課件

1、工 程 控 制 原 理2. 數(shù)學(xué)模型與傳遞函數(shù)2.2 拉普拉斯變換主講：周曉君 辦 公 室：機(jī)械副樓209-2室 電子郵件： 辦公電話：563315232.2 拉普拉斯變換 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型以微分方程的形式表達(dá)輸出與輸入的關(guān)系。經(jīng)典控制理論的系統(tǒng)分析方法：時(shí)域法、頻域法。2. 數(shù)學(xué)模型與傳遞函數(shù)時(shí)域分析法求解數(shù)學(xué)模型微分方程，獲得系統(tǒng)輸出隨時(shí)間變化的規(guī)律。 借助于系統(tǒng)頻率特性分析系統(tǒng)的性能，拉普拉斯變換是其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。 頻域分析法 頻域分析法是經(jīng)典控制理論的核心，被廣泛采用，該方法間接地運(yùn)用系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性分析閉環(huán)響應(yīng)。2.2.1 復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù) 復(fù)數(shù)的概念 復(fù)數(shù) s= +j （有一個(gè)實(shí)部 和一

2、個(gè)虛部， 和 均為實(shí)數(shù)） 兩個(gè)復(fù)數(shù)相等：當(dāng)且僅當(dāng)它們的實(shí)部和虛部分別相等。 一個(gè)復(fù)數(shù)為零：當(dāng)且僅當(dāng)它的實(shí)部和虛部同時(shí)為零。 2.2 拉普拉斯變換稱為虛數(shù)單位 復(fù)數(shù)的表示法 對(duì)于復(fù)數(shù) s= +j 復(fù)平面：以 為橫坐標(biāo)(實(shí)軸)、 為縱坐標(biāo)(虛軸)所構(gòu)成的平面稱為復(fù)平面或s平面。復(fù)數(shù) s= +j 可在復(fù)平面s中用點(diǎn)( , )表示：一個(gè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)于復(fù)平面上的一個(gè)點(diǎn)。 2.2.1 復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)o復(fù)平面s12j12s1=1+j1s2=2+j2 復(fù)數(shù)的向量表示法 復(fù)數(shù) s= +j 可以用從原點(diǎn)指向點(diǎn)( , )的向量表示。 向量的長(zhǎng)度稱為復(fù)數(shù)的模： 2.2.1 復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)o12js1s2r1=|s1|r2

3、=|s2| 向量與 軸的夾角 稱為復(fù)數(shù)s的復(fù)角： 復(fù)數(shù)的三角函數(shù)表示法與指數(shù)表示法 根據(jù)復(fù)平面的圖示可得： = r cos ， = r sin 復(fù)數(shù)的三角函數(shù)表示法： s = r (cos + j sin ) 2.2.1 復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)o12js1s2r1=|s1|r2=|s2|歐拉公式：復(fù)數(shù)的指數(shù)表示法： 復(fù)變函數(shù)、極點(diǎn)與零點(diǎn)的概念 以復(fù)數(shù)s= +j為自變量構(gòu)成的函數(shù)G(s)稱為復(fù)變函數(shù)： G(s) = u + jv式中：u、v 分別為復(fù)變函數(shù)的實(shí)部和虛部。2.2.1 復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)當(dāng)s=-zi時(shí)，G(s)=0，則si=-zi稱為G(s)的 零點(diǎn) ；分子為零分母為零 通常，在線性控制系統(tǒng)中，

4、復(fù)變函數(shù)G(s)是復(fù)數(shù)s的單值函數(shù)。即：對(duì)應(yīng)于s的一個(gè)給定值，G(s)就有一個(gè)唯一確定的值與之相對(duì)應(yīng)。 當(dāng)復(fù)變函數(shù)表示成(b) 當(dāng)s=-pj時(shí)，G(s)，則sj=-pj稱為G(s)的 極點(diǎn) 。例： 當(dāng)s= +j時(shí)，求復(fù)變函數(shù)G(s) =s2+1的實(shí)部u和虛部v。2.2.1 復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)的實(shí)部復(fù)變函數(shù)的虛部解： G(s)s2+1( +j)2 + 1 2 + j(2 ) - 2 + 1 ( 2 - 2 + 1) + j(2 ) 2.2.2 拉普拉斯變換的定義 拉氏變換是控制工程中的一個(gè)基本數(shù)學(xué)方法，其優(yōu)點(diǎn)是能將時(shí)間函數(shù)的導(dǎo)數(shù)經(jīng)拉氏變換后，變成復(fù)變量s的乘積，將時(shí)間表示的微分方程，變成以s

5、表示的代數(shù)方程。2.2 拉普拉斯變換復(fù)變量原函數(shù)象函數(shù)拉氏變換符號(hào)拉普拉斯變換：在一定條件下，把實(shí)數(shù)域中的實(shí)變函數(shù) f(t) 變換到復(fù)數(shù)域內(nèi)與之等價(jià)的復(fù)變函數(shù) F(s) 。 設(shè)有時(shí)間函數(shù) f(t)，當(dāng) t a的所有復(fù)數(shù)s (Res表示s的實(shí)部)都使積分式絕對(duì)收斂，故Res a是拉普拉斯變換的定義域， a稱為收斂坐標(biāo)。式中：M、a為實(shí)常數(shù)。2.2.3 典型時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換 (1) 單位階躍函數(shù) 單位階躍函數(shù)定義：2.2 拉普拉斯變換其拉普拉斯變換為： (2) 單位脈沖函數(shù) 單位脈沖函數(shù)定義：2.2.3 典型時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換且：其拉普拉斯變換為： (3) 單位速度函數(shù)（單位斜坡函數(shù)）

6、單位速度函數(shù)定義：2.2.3 典型時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換其拉普拉斯變換為： (4) 指數(shù)函數(shù) 指數(shù)函數(shù)表達(dá)式：2.2.3 典型時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換式中：a是常數(shù)。其拉普拉斯變換為： (5) 正弦信號(hào)函數(shù) 正弦信號(hào)函數(shù)定義：2.2.3 典型時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換由歐拉公式，正弦函數(shù)表達(dá)為：兩式相減其拉普拉斯變換為： (6) 余弦信號(hào)函數(shù) 余弦信號(hào)函數(shù)定義：2.2.3 典型時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換由歐拉公式，余弦函數(shù)表達(dá)為：兩式相加其拉普拉斯變換為：拉普拉斯變換簡(jiǎn)表 (待續(xù))2.2.3 典型時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換序號(hào)原函數(shù) f(t) (t 0)象函數(shù) F(s)=Lf(t)11 (單位階躍函數(shù))1s

7、2 (t) (單位脈沖函數(shù))13K (常數(shù))Ks4t (單位斜坡函數(shù))1s2拉普拉斯變換簡(jiǎn)表 (續(xù)1)2.2.3 典型時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換序號(hào)原函數(shù) f(t) (t 0)象函數(shù) F(s) = Lf(t)5t n (n=1, 2, )n!s n+16e -at1s + a7tn e -at (n=1, 2, )n!(s+a) n+18 1 T1Ts + 1tTe拉普拉斯變換簡(jiǎn)表 (續(xù)2)2.2.3 典型時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換序號(hào)原函數(shù) f(t) (t 0)象函數(shù) F(s) = Lf(t)9sints2+210costss2+211e -at sint(s+a)2+212e -at costs+

8、a(s+a)2+2拉普拉斯變換簡(jiǎn)表 (續(xù)3)2.2.3 典型時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換序號(hào)原函數(shù) f(t) (t 0)象函數(shù) F(s) = Lf(t)13 (1-e -at )1s(s+a)14 (e -at -e -bt )1(s+a) (s+b)15 (be -bt -ae at )s(s+a) (s+b)16sin(t + ) cos + s sins2+21a1b-a1b-a拉普拉斯變換簡(jiǎn)表 (續(xù)4)2.2.3 典型時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換序號(hào)原函數(shù) f(t) (t 0)象函數(shù) F(s) = Lf(t)17 e -nt sinn 1-2 tn2s2+2ns+n218 e -nt sinn 1

9、-2 t1s2+2ns+n219 e -nt sin(n 1-2 t - )ss2+2ns+n2 = arctann1-21n 1-211-21-2拉普拉斯變換簡(jiǎn)表 (續(xù)5)2.2.3 典型時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換序號(hào)原函數(shù) f(t) (t 0)象函數(shù) F(s) = Lf(t)20 1- e -nt sin(n 1-2 t + )n2s(s2+2ns+n2) = arctan211-cost 2s(s2+2)22t - sint2s(s2+2)23 t sint2s(s2+2)211-21-22.2.4 拉普拉斯變換的基本性質(zhì) (1) 線性定理 若、是任意兩個(gè)復(fù)常數(shù)，且：2.2 拉普拉斯變換證明

10、：則： (2) 平移定理 若：2.2.4 拉普拉斯變換的基本性質(zhì)證明：則： (3) 微分定理 若：2.2.4 拉普拉斯變換的基本性質(zhì)證明：則：f(0)是 t =0 時(shí)的 f(t) 值同理，對(duì)于二階導(dǎo)數(shù)的拉普拉斯變換： (3) 微分定理 推廣到n階導(dǎo)數(shù)的拉普拉斯變換：2.2.4 拉普拉斯變換的基本性質(zhì)如果：函數(shù) f(t) 及其各階導(dǎo)數(shù)的初始值均為零，即則： (4) 積分定理 若：2.2.4 拉普拉斯變換的基本性質(zhì)則：證明：函數(shù) f(t) 積分的初始值 (4) 積分定理 同理，對(duì)于n重積分的拉普拉斯變換：2.2.4 拉普拉斯變換的基本性質(zhì)若：函數(shù) f(t) 各重積分的初始值均為零，則有 注：利用積

11、分定理，可以求時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換；利用微分定理和積分定理，可將微分-積分方程變?yōu)榇鷶?shù)方程。 (5) 終值定理 若：2.2.4 拉普拉斯變換的基本性質(zhì)則：證明：根據(jù)拉普拉斯變換的微分定理，有由于，上式可寫成寫出左式積分 (6) 初值定理 若：2.2.4 拉普拉斯變換的基本性質(zhì)則：證明：根據(jù)拉普拉斯變換的微分定理，有由于，上式可寫成或者 (7) 卷積定理 兩個(gè)時(shí)間函數(shù) f1(t)、f2(t) 卷積的拉普拉斯變換等于這兩個(gè)時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換。2.2.4 拉普拉斯變換的基本性質(zhì)式中：稱為函數(shù) f1(t)與f2(t) 的卷積而2.2.5 拉普拉斯反變換 (1) 拉普拉斯反變換的定義 將象函數(shù)F(

12、s)變換成與之相對(duì)應(yīng)的原函數(shù)f(t)的過程，稱之為拉普拉斯反變換。其公式：2.2 拉普拉斯變換 拉氏反變換的求算有多種方法，如果是簡(jiǎn)單的象函數(shù)，可直接查拉氏變換表；對(duì)于復(fù)雜的，可利用部分分式展開法。簡(jiǎn)寫為： 如果把 f(t) 的拉氏變換 F(s) 分成各個(gè)部分之和，即2.2.5 拉普拉斯反變換 假若F1(s)、F2(s)，F(xiàn)n(s)的拉氏反變換很容易由拉氏變換表查得，那么 當(dāng) F(s) 不能很簡(jiǎn)單地分解成各個(gè)部分之和時(shí)，可采用部分分式展開將 F(s) 分解成各個(gè)部分之和，然后對(duì)每一部分查拉氏變換表，得到其對(duì)應(yīng)的拉氏反變換函數(shù)，其和就是要得的 F(s) 的拉氏反變換 f(t) 函數(shù)。 (2) 部

13、分分式展開法 在系統(tǒng)分析問題中，F(xiàn)(s)常具有如下形式：2.2.5 拉普拉斯反變換式中A(s)和B(s)是s的多項(xiàng)式， B(s)的階次較A(s)階次要高。 對(duì)于這種稱為有理真分式的象函數(shù) F(s)，分母 B(s) 應(yīng)首先進(jìn)行因子分解，才能用部分分式展開法，得到 F(s) 的拉氏反變換函數(shù)。 將分母 B(s) 進(jìn)行因子分解，寫成：2.2.5 拉普拉斯反變換式中，p1，p2，pn稱為B(s)的根，或F(s)的極點(diǎn)，它們可以是實(shí)數(shù)，也可能為復(fù)數(shù)。如果是復(fù)數(shù)，則一定成對(duì)共軛的。 當(dāng) A(s) 的階次高于 B(s) 時(shí)，則應(yīng)首先用分母B(s)去除分子A(s)，由此得到一個(gè)s的多項(xiàng)式，再加上一項(xiàng)具有分式形

14、式的余項(xiàng)，其分子s多項(xiàng)式的階次就化為低于分母s多項(xiàng)式階次了。 (1) 分母B(s)無重根 此時(shí)，F(xiàn)(s)總可以展成簡(jiǎn)單的部分分式之和。即式中，ak(k=1,2,n)是常數(shù)，系數(shù) ak 稱為極點(diǎn) s= -pk 處的留數(shù)。2.2.5 拉普拉斯反變換 ak 的值可以用在等式兩邊乘以 (s+pk)，并把 s= -pk代入的方法求出。即2.2.5 拉普拉斯反變換 在所有展開項(xiàng)中，除去含有 ak 的項(xiàng)外，其余項(xiàng)都消失了，因此留數(shù) ak 可由下式得到 因?yàn)?f(t) 時(shí)間的實(shí)函數(shù)，如 p1 和 p2 是共軛復(fù)數(shù)時(shí)，則留數(shù) 1 和 2 也必然是共軛復(fù)數(shù)。這種情況下，上式照樣可以應(yīng)用。共軛復(fù)留數(shù)中，只需計(jì)算一個(gè)

15、復(fù)留數(shù)1(或2)，而另一個(gè)復(fù)留數(shù) 2(或 1)，自然也知道了。2.2.5 拉普拉斯反變換例題1 求F(s)的拉氏反變換，已知解由留數(shù)的計(jì)算公式，得2.2.5 拉普拉斯反變換因此查拉氏變換表，得2.2.5 拉普拉斯反變換解： 分母多項(xiàng)式可以因子分解為進(jìn)行因子分解后，可對(duì)F(s)展開成部分分式2.2.5 拉普拉斯反變換例題2 求L-1F(s)，已知2.2.5 拉普拉斯反變換由留數(shù)的計(jì)算公式，得由于2與1共軛，故所以2.2.5 拉普拉斯反變換2.2.5 拉普拉斯反變換查拉氏變換表，得 (2) 分母B(s)有重根 若有三重根，并為p1，則F(s)的一般表達(dá)式為式中系數(shù)2, 3, , n仍按照上述無重根的方法(留數(shù)計(jì)算公式)，而重根的系數(shù)11, 12, 13可按以下方法求得。2.2.5 拉普拉斯反變換2.2.5 拉普拉斯反變換 依此類推，當(dāng) p1 為 k 重根時(shí)，其系數(shù)為：例題3 已知F(s)，求L-1F(s)。解p1= -1，p1有三重根。2.2.5 拉普拉斯反變換由上述公式2.2.5 拉普拉斯反變換查拉氏變換表，有2.2.5 拉普拉斯反變換因此，得： 利用拉氏變換解微分方程的步驟： (1) 對(duì)給定的微分方程等式兩端取拉氏變換，變微分方程為 s 變量的代數(shù)方程