實(shí)對(duì)稱矩陣特征值和特征向量

1、關(guān)于實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量第一張，PPT共十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月由于 ，對(duì)最后一式取復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)置，得到兩邊再右乘 ，得到所以有特征值都是實(shí)數(shù)。這樣， 是實(shí)數(shù)。由 的任意性，實(shí)對(duì)稱矩陣 的特征向量都是實(shí)數(shù)向量。附注：進(jìn)一步地有，實(shí)對(duì)稱矩陣的屬于特征值的一、 實(shí)對(duì)稱矩陣特征值的性質(zhì)定理4.12 實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值都是實(shí)數(shù)。第二張，PPT共十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月對(duì)上面第一式兩邊左乘 ，的特征向量。 定理4.13實(shí)對(duì)稱矩陣的屬于不同特征向量相互正交。證明：特征值的設(shè) ，是實(shí)對(duì)稱矩陣 的不同特征值，分別是屬于特征值 ，于是，得到 （4.12）而于是有這樣，由 得到 是正交的。，即與第三張，

2、PPT共十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月特征向量相互正交的線性無(wú)關(guān)組?！咀ⅰ繉?shí)對(duì)稱矩陣的屬于不同特征值的向量 和 對(duì)應(yīng)特征向量 在4.1中里4中，例1矩陣是實(shí)對(duì)稱矩陣，特征值 （二重）對(duì)應(yīng)特征都正交。把它們化為標(biāo)準(zhǔn)正交組。當(dāng)然，彼此不正交，但可以通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)正交化方法第四張，PPT共十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月為 矩陣。 把 分塊為 ，也是 的屬于 的定理4.14設(shè)是階實(shí)對(duì)稱矩陣,則存在正交陣 , 使 為對(duì)角陣.下面證明對(duì)于階實(shí)對(duì)稱矩陣來(lái)說(shuō)定理成立。證明：對(duì)矩陣的階數(shù)用數(shù)學(xué)歸納法。當(dāng) 時(shí),定理結(jié)論顯然成立.假設(shè)對(duì)于所有 階實(shí)對(duì)稱矩陣來(lái)說(shuō)定理成立。故不妨設(shè) 是單位向量， 設(shè)是 的一個(gè)特征值，是屬于特征值

3、 的特征向量,顯然單位向量特征向量.第一列任意正交矩陣。記是以 為其中第五張，PPT共十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月則 及 與 的各列向量都正交，注意到根據(jù)歸納法假設(shè)，其中為 階實(shí)對(duì)稱矩陣。使得 對(duì)存在 階正交矩陣所以第六張，PPT共十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月并且令 ，則均為 階正交矩陣，這表明階實(shí)對(duì)稱矩陣定理結(jié)論成立。為對(duì)角矩陣。根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理，對(duì)任意第七張，PPT共十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月對(duì)每個(gè) ,其中 為 重的，二、 實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化方法具體步驟如下:根據(jù)定理4.14，任意一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣都可以對(duì)角化。求出 的所有特征值,第一步對(duì)給定實(shí)對(duì)稱矩陣 ，解特征方程，設(shè) 的所有不同的特征值

4、為；第二步解齊次線性方程組求出它的一個(gè)基礎(chǔ)解系 ；得到正交向量組 ， 第三步利用施米特正交化方法，把正交化，第八張，PPT共十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月再把 單位化，得到一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交組 ， ；注意：它們都是屬于的線性無(wú)關(guān)特征向量！且第四步令 ，則是正交陣,為對(duì)角陣，與 中正交列向量組（特征向量?。┡帕许樞蛳鄬?duì)應(yīng)。 附注：矩陣主對(duì)角線元素（特征值?。┡帕许樞颍▽?shí)對(duì)稱矩陣A 的標(biāo)準(zhǔn)形?。┰诓挥?jì)排列順序情況下，這種對(duì)角化形式是唯一的。第九張，PPT共十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例2 對(duì)矩陣求一正交陣 ,使成對(duì)角矩陣。的特征多項(xiàng)式為解：矩陣解特征方程得特征值 （二重）， 。第十張，PPT共十六頁(yè)，創(chuàng)作

5、于2022年6月即求解對(duì)于 ，解齊次線性方程組得到一個(gè)基礎(chǔ)解系 ， 。 對(duì)于 ，即求解解齊次線性方程組 ，得到一個(gè)基礎(chǔ)解系 。第十一張，PPT共十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月把正交化：得到將單位化，構(gòu)造矩陣 第十二張，PPT共十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月的屬于0的特征向量為。則為正交矩陣，并且使得矩陣對(duì)角化為 ：，求矩陣 。例3設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為 ，（二重），而解：因三階實(shí)對(duì)稱矩陣必可對(duì)角化，本題中對(duì)應(yīng)于二重特征值1的線性無(wú)關(guān)向量應(yīng)有兩個(gè)特征向量組成，設(shè)為。根據(jù)定理4.13,它們都與 正交，故 是齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，所以，可取 （彼此正交）第十三張，PPT共十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月將它們單位化：則 ，是正交組，構(gòu)造矩陣 則 為正交矩陣，對(duì)角化為 ： 并且