量子力學(xué)練習(xí)題1答案

1、量子力學(xué) 練習(xí)題1答案一?；靖拍罴昂?jiǎn)要回答 1. 和 是否相等？為什么？答：不相等。因?yàn)槭莿?dòng)量的本證態(tài)，而是動(dòng)量的本證態(tài)，實(shí)際上與代表同一個(gè)態(tài)。 2 判定下列符號(hào)中，哪些是算符？哪些是數(shù)？哪些是矢量？； ； ； 。答：是算符，是數(shù)，是矢量。波函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是否一定要連續(xù)？舉例說(shuō)明。答：不一定。例如，對(duì)于無(wú)限深勢(shì)阱波函數(shù)中粒子波函數(shù)在全空間連續(xù)，但微商在和點(diǎn)不連續(xù)。4為什么既不能把波理解為粒子的某種實(shí)際結(jié)構(gòu)，即把波包看作粒子， 也不把波理解為由大量粒子分布于空間而形成的波，即把波看作由粒子構(gòu)成的？答：自由粒子的物質(zhì)波包必然要擴(kuò)散，與實(shí)驗(yàn)矛盾。所以不能把波包看作粒子；另一方面，戴維遜-戈末實(shí)驗(yàn)表明電

2、子的波動(dòng)性不是很多電子在空間聚集在一起時(shí)才呈現(xiàn)的現(xiàn)象，單個(gè)電子就具有波動(dòng)性，否則每次只有一個(gè)粒子，但長(zhǎng)時(shí)間的衍射干涉就不會(huì)有干涉花樣. 所以不能把波看作由粒子構(gòu)成的。5. 設(shè)，。試判斷下列算符哪些是厄米算符，哪些不是。(1) ; (2) ; (3) ; (4)。解：（1） ， ，即為厄米算符。（2） ， 不是厄米算符。（3） ， ，即不是厄米算符。（4） ， ，即為厄米算符。 6 (9) 指出下列使用的Dirac符號(hào)那些是不正確的。為什么？A.; B. ; C.; D. ; E. ; F. . 答：B，E，F(xiàn)不正確。B中是力學(xué)量，是態(tài)在的振幅，不能用一個(gè)點(diǎn)的振幅代表態(tài)。E，F(xiàn)不正確是因?yàn)樽筮吺?/p>

3、態(tài)與具體表象無(wú)關(guān)的Dirac符號(hào)態(tài)矢量，右邊是有具體表象決定的波函數(shù)。7(5)簡(jiǎn)述態(tài)迭加原理。 若， 且， 那么的物理意義是什么？答：迭加原理：如果，是體系的可能狀態(tài)，那么它們的線性迭加 （是復(fù)數(shù)）也是這個(gè)體系的一個(gè)可能狀態(tài)，這就是量子力學(xué)的態(tài)迭加原理。 的物理意義：在態(tài)中包含態(tài)的振幅，是包含態(tài)的幾率。當(dāng)是某一個(gè)算符本征值時(shí)，就是這個(gè)本征值在這個(gè)態(tài)中出現(xiàn)的概率。8(5)在一維諧振子基態(tài)得經(jīng)典區(qū)域之外，粒子出現(xiàn)的幾率也不為零，這是否意味粒子的動(dòng)能可為負(fù)值？怎樣解釋這一結(jié)果？答：不能。因?yàn)?. (3)確定，哪些是厄米算符哪些不是厄米算符。答：，是厄米算符，10指出下列使用的Dirac符號(hào)那些是不正

4、確的。為什么？A.; B. ; C.; D. ; E. ; F. . 答：B，E，F(xiàn)不正確。B中是力學(xué)量，是態(tài)在的振幅，不能用一個(gè)點(diǎn)的振幅代表態(tài)。E，F(xiàn)不正確是因?yàn)樽筮吺菓B(tài)與具體表象無(wú)關(guān)的Dirac符號(hào)態(tài)矢量，右邊是有具體表象決定的波函數(shù)。 11. (5) 和 是否相等？為什么？答：不相等。因?yàn)槭莿?dòng)量的本證態(tài)，而是動(dòng)量的本證態(tài)，實(shí)際上與代表同一個(gè)態(tài)。12. (5)波函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是否一定要連續(xù)？舉例說(shuō)明。答：不一定。例如，對(duì)于無(wú)限深勢(shì)阱波函數(shù)中粒子波函數(shù)在全空間連續(xù)，但微商在和點(diǎn)不連續(xù)。 13. (6) 如果，且， 都是束縛態(tài)，則證明：這里考慮了是束縛態(tài)，因而是有限的，及。同理可證如令則，由此得。

5、二1、質(zhì)量為的粒子處于一維諧振子勢(shì)場(chǎng)的基態(tài)，若彈性系數(shù)突然變成，即勢(shì)場(chǎng)變成，隨即測(cè)量粒子的能量，求發(fā)現(xiàn)粒子處于新勢(shì)場(chǎng)基態(tài)的幾率；(只列出詳細(xì)的計(jì)算公式即可)解：粒子的波函數(shù)隨時(shí)間的變化滿足方程 對(duì)時(shí)間區(qū)間積分得 可見(jiàn)，當(dāng)發(fā)生突變（由）、但變化量有限時(shí)，不變。以和分別表示場(chǎng)和場(chǎng)的基態(tài)波函數(shù)，當(dāng)勢(shì)場(chǎng)突然由變成后，粒子的波函數(shù)仍為。由于已變?yōu)?，新?shì)場(chǎng)中的基態(tài)是。于是隨即測(cè)量粒子的能量，則測(cè)得粒子處于態(tài)的概率為，即粒子能量為新基態(tài)能量的概率為。 將和寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)形式：可得 ，又有：其中因此所求概率為2、質(zhì)量為m的粒子，在阱寬為a的一維無(wú)限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)，若t=0時(shí)，體系處于態(tài)，式中，n=1，2，3 求：（1

6、）（5）t=0時(shí)，及的幾率（2）(5)t0時(shí)的波函數(shù)，能量的可能取值及相應(yīng)幾率。（3）若粒子處于基態(tài)，求A（5） 粒子的動(dòng)量分布（只列公式，不必計(jì)算）B (7)當(dāng)阱寬突然變?yōu)?a時(shí)，求粒子處于新的基態(tài)的幾率（只列公式，不必計(jì)算）。解：（1）的幾率是(2）三個(gè)可能值分別為，和，它們相應(yīng)的取值幾率分別為，和（3） A將向動(dòng)量本征態(tài)展開(kāi)，即 B因?yàn)橼鍖挾韧蝗蛔優(yōu)?，粒子狀態(tài)還來(lái)不及變化，所以粒子仍處于態(tài)，而由于阱寬度變?yōu)?，新的的本征態(tài)已變，設(shè)為，則此時(shí)處于此態(tài)幾率為3、 計(jì)算對(duì)易關(guān)系，其中，。解： （1） （2）同理可得 ; （3） ; （4）三1、已知二維諧振子的哈密頓算符為，在對(duì)其施加微擾后，利用

7、微擾論求第一激發(fā)態(tài)能量至一級(jí)修正。提示：，其中，而為線諧振子的第個(gè)本征矢。解：若選 （1）則 （2）已知的本征解為 （3）令 （4）則零級(jí)近似能量本征值可寫(xiě)成 （5）第一激發(fā)態(tài)，簡(jiǎn)并度為。在簡(jiǎn)并子空間中，相應(yīng)的零級(jí)近似解為 （8）能量一級(jí)修正滿足的本征方程為 （9）相應(yīng)的久期方程為 （10）由 （11）可以求出微擾矩陣元 （12）而（13）將（13）和（14）的矩陣元代入久期方程（10），得到 （14）顯然，能量一級(jí)修正已使第一激發(fā)態(tài)的能級(jí)劈裂成兩條能級(jí)，即將二度簡(jiǎn)并完全消除。 為了求出近似本征矢，將代回本征方程 （15）得到 （16）由歸一化條件可知 （17）于是，得到相應(yīng)的零級(jí)本征矢為 （

8、18）同理可得，相應(yīng)的零級(jí)本征矢為 （19）2、對(duì)于一維運(yùn)動(dòng)，求算符的本征值和本征函數(shù)，。解：在表象中， ，,因?yàn)?本征值為任意實(shí)數(shù)。3、質(zhì)量為的粒子處于能量為的本征態(tài)，波函數(shù)為，問(wèn)粒子在什么樣的位勢(shì)中運(yùn)動(dòng)？解：由，得這是諧振子勢(shì)。四. 1、已知，求證 證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明。當(dāng)n=1時(shí)， 假設(shè)當(dāng)指數(shù)為n=k時(shí)，也成立。即： ，則當(dāng)指數(shù)為n+1時(shí)， 成立，所以 2、用狄拉客符號(hào)導(dǎo)出由F表象到G表象的表象的波函數(shù)及其算符的變換公式，寫(xiě)出么正變換矩陣。解： 在F表象中，。是么正變換矩陣元。3、求線性諧振子偶極躍遷的選擇定則。提示：偶極近似的情況下，。解：在只考慮電場(chǎng)作用，即，偶極近似的情況下，。躍

9、遷幾率與矩陣元成正比。 在線性諧振子的情況下，利用得可見(jiàn)，要使，必須 或 由此得 此即線性諧振子偶極躍遷的選擇定則。五1、一個(gè)三維運(yùn)動(dòng)的粒子處于束縛態(tài)，其定態(tài)波函數(shù)的空間部分是實(shí)函數(shù)，求此態(tài)中的動(dòng)量平均值。解：定態(tài)波函數(shù)的一般形式為為能量。由題可知。由于是束縛態(tài)，必定有（當(dāng)）。于是可按下式計(jì)算動(dòng)量平均值，如 對(duì)也有同樣結(jié)果。2、在能量表象中，一維諧振子在t0時(shí)的狀態(tài)為求（1）(6)能量的可能值及相應(yīng)幾率;（2）(4)能量平均值;（3）(8)t時(shí)刻粒子的波函數(shù).解：（1）首先將這個(gè)波函數(shù)歸一化并對(duì)能量本征態(tài)展開(kāi)，由可得， 由，可得能量可能測(cè)值為對(duì)應(yīng)的幾率分別為（2）用來(lái)求得平均值為 ，或 （3）

10、而時(shí)刻波函數(shù)。3、在能量表象中，一維諧振子在t0時(shí)的狀態(tài)為求（1）能量的可能值及相應(yīng)幾率（2）能量平均值（3）t時(shí)刻粒子的波函數(shù)解：（1）首先將這個(gè)波函數(shù)歸一化并對(duì)能量本征態(tài)展開(kāi)，由可得， 由，可得能量可能測(cè)值為對(duì)應(yīng)的幾率分別為（2）用來(lái)求得平均值為 ，或 （3）而時(shí)刻波函數(shù) 六1、質(zhì)量為的粒子作一維自由運(yùn)動(dòng)，如果粒子處于的狀態(tài) 上，求其動(dòng)量與動(dòng)能的幾率分布及平均值。解：做一維自由運(yùn)動(dòng)粒子的動(dòng)量與動(dòng)能算符分別為顯然兩者相互對(duì)易，有共同完備本征函數(shù) 分別滿足 將向展開(kāi)，即 展開(kāi)系數(shù) 只有當(dāng)時(shí)，利用歸一化條件 可知?dú)w一化常數(shù)為 于是歸一化后的展開(kāi)系數(shù)為動(dòng)量的取值概率為 平均值為動(dòng)能的取值概率與動(dòng)量

11、相同，而平均值為 2、 ，=*1，求：. (10)H的近似到的能量本征值；. (8)和近似到的波函數(shù)（用微擾法）解：將矩陣改寫(xiě)成 能量的零級(jí)近似為能量的一修正為利用能量二級(jí)修正公式求出能量二級(jí)修正的具體結(jié)果是近似到二級(jí)的能量為利用波函數(shù)一級(jí)修正的公式可以求出波函數(shù)的一級(jí)修正為近似到一級(jí)波函數(shù)為3、設(shè) 求的準(zhǔn)確本征值。 若 ，求的近似到二級(jí)的本征值，并與準(zhǔn)確解的結(jié)果進(jìn)行比較。解：設(shè)本征值為，求解久期方程 得到 將哈密頓分解 根據(jù)微擾論，第一級(jí)本征值近似為，所以均為零，而第二級(jí)近似為所以近似到二級(jí)為， 量子力學(xué) 練習(xí)題2答案一 基本概念基本解題方法什么是量子力學(xué)中的守恒量？其主要特征是什么？什么定

12、態(tài)？定態(tài)主要特征是什么？答：若，則A為量子體系的一個(gè)守恒量。其主要特征：無(wú)論體系處于什么狀態(tài)（定態(tài)或非定態(tài)），守恒量的平均值及其可測(cè)值的概率分布不隨時(shí)間改變。 若哈密頓不含，則的本證態(tài)，即能量有為以唯一確定之值的狀態(tài)為定態(tài)。其特征是，定態(tài)中任何一個(gè)物理量，無(wú)論是否守恒量，其平均值及可測(cè)值的出現(xiàn)概率都不隨時(shí)間變化。已知，求證 證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明。當(dāng)n=1時(shí)， 假設(shè)當(dāng)指數(shù)為n=k時(shí)，也成立。即： ，則當(dāng)指數(shù)為n+1時(shí)， 成立，所以 3 已知 ，為厄米算符，則也為厄米算符的條件是什么？答：，若為厄米算符，則，即，即反對(duì)易。4. 若一個(gè)算符與角動(dòng)量算符的兩個(gè)分量對(duì)易，則其必與的另一個(gè)分量對(duì)易；解：

13、（1）設(shè) 由角動(dòng)量對(duì)易關(guān)系可得5.設(shè) 且已知以一維線性諧振子的能量本征值，本征函數(shù)，及的宇稱(chēng)為。試寫(xiě)出能量本征值及本征函數(shù)。解：在區(qū)間，與諧振子的勢(shì)相同。而在區(qū)間，由于，應(yīng)有。因?yàn)榈挠罘Q(chēng)為，為奇數(shù)時(shí)，必有。而為偶數(shù)時(shí)，。由此可得滿足波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件的解為6在上的平均值為零，即證明：利用（7.3.2）式、（7.3.11）式及本征函數(shù)的正交條件可得 同理可證的平均值為零。7.(1).全同粒子交換算符是否對(duì)易?有無(wú)共同本征函數(shù)? (2) .不考慮粒子間的相互作用。有5個(gè)單粒子態(tài)，4個(gè)全同粒子。下列情況下，體系有多少可能的狀態(tài)？A.粒子是全同玻色子; B. 粒子是全同費(fèi)米子; C. 不考慮粒子的全同性.

14、解: (1).不對(duì)易,但有共同本征函數(shù),對(duì)于全同費(fèi)米子,是全反對(duì)稱(chēng)波函數(shù); 對(duì)于全同玻色子,是全對(duì)稱(chēng)波函數(shù).(2). A. ；B. ； C.。二1、線諧振子受到一個(gè)方向均勻電場(chǎng)的作用，求其能級(jí)。設(shè)該線諧振子的質(zhì)量為、電荷為、角頻率為。解：在均勻電場(chǎng)作用之下，線諧振子的哈密頓算符為 （1）利用配方的方法改寫(xiě)其勢(shì)能項(xiàng)為 （2）若令 （3） （4）則定態(tài)薛定諤方程可以寫(xiě)為 （5）此即正常的線諧振子的能量本征方程，它的解為 （6）利用（3）、（4）式可以得到電場(chǎng)中線諧振子的本征解為 （7） （8）2、對(duì)于一維運(yùn)動(dòng)，求算符的本征值和本征函數(shù)。解：在表象中， ，,因?yàn)?本征值為任意實(shí)數(shù)。三1、求算符在動(dòng)量

15、表象中的矩陣表示。 解：本題既可以在坐標(biāo)表象下進(jìn)行，也可以在動(dòng)量表象下完成，得到的結(jié)果是完全相同的，只要一種解法即可。解法1，在坐標(biāo)表象中計(jì)算。 這時(shí)，有 （1） （2）在動(dòng)量表象中的矩陣元為 （3） 解法2。在動(dòng)量表象中計(jì)算。 這時(shí)，有 （4） （5）在動(dòng)量表象中的矩陣元為 （6）上式的最后一步用到 （7）或者，利用矩陣元的厄米性質(zhì) （8）亦可得到同樣的結(jié)果。2、設(shè)氫原子在時(shí)處于狀態(tài)求其能量、角動(dòng)量平方及角動(dòng)量分量的取值幾率和平均值；寫(xiě)出在時(shí)體系的波函數(shù)，并給出此時(shí)能量、角動(dòng)量平方及角動(dòng)量分量的取值幾率與平均值。已知?dú)湓拥谋菊鹘鉃?解：將向氫原子的本征態(tài)作展開(kāi)， （1）不為零的展開(kāi)系數(shù)只有

16、三個(gè)，即； ； （2）顯然，題中所給出的狀態(tài)并未歸一化，容易求出歸一化常數(shù)為，于是歸一化后的展開(kāi)系數(shù)為 （3） 能量的取值幾率為 （4）平均值為 （5） 不為零的角動(dòng)量平方的取值幾率只有 （6）平均值為 （7） 角動(dòng)量分量的取值幾率為 （8）平均值為 （9）在時(shí)刻，體系的波函數(shù)為 （10）由于能量、角動(dòng)量與角動(dòng)量分量算符皆為守恒量，所以，它們的取值幾率及平均值均不隨時(shí)間改變，與時(shí)的結(jié)果是一樣的。四1、設(shè)粒子在寬為的非對(duì)稱(chēng)的一維無(wú)限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)，若粒子處于狀態(tài) 求粒子能量的可能取值與相應(yīng)的取值幾率。解：已知在無(wú)限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)的粒子的能量本征解為 （1） （2）由展開(kāi)假設(shè)可知 （3）其中，展開(kāi)系數(shù)

17、為 （4）其中，用到下列三角函數(shù)公式 （5）由（4）式知，波函數(shù)是歸一化的。于是，能量的可能取值為，其相應(yīng)的幾率為 ； （6）取其它值的幾率為零。2、已知算符滿足，證明，并在表象中寫(xiě)出的矩陣表示。 解：由題中所給條件可知 （1）設(shè)算符滿足的本征方程為 （2）則有 （3）由（1）式可知 （4）顯然，有 （5）在自身表象中，算符的矩陣形式為 （6）五1、耦合諧振子的哈密頓算符為 .（1）（5）求其零級(jí)定態(tài)波函數(shù)的簡(jiǎn)并度。（2） (20)試用微擾論求其第一激發(fā)態(tài)的能級(jí)與本征函數(shù)。已知 。 解：若選 （1）則 （2）已知的本征解為 （3）令 （4）則零級(jí)近似能量本征值可寫(xiě)成 （5） 為了看清能級(jí)的簡(jiǎn)并情況，將與的關(guān)系列在下面： （6）顯然，第能級(jí)的簡(jiǎn)并度 （7） 第一激發(fā)態(tài)是，簡(jiǎn)并度為。在簡(jiǎn)并子空間中，相應(yīng)的零級(jí)近似解為 （8）能量一級(jí)修正滿足的本征方程為 （9）相應(yīng)的久期方程為 （10）由 （11）可以求出微擾矩陣元 （12）而 （13）將（13）