2.1.2數(shù)列的遞推公式（選學(xué)） (5)

1、2.1.2 數(shù)列的遞推公式 觀察數(shù)列an，a1=2，a2=4，a3=8，a4=16， 即a1=2，從第2項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)是它前一項(xiàng)的2倍，因此該數(shù)列可以用如下方式給出： a1=2， an=2an1，(n=2，3，4，) 再如數(shù)列，由操作計(jì)算器給出：1coscoscos a1=1， an=cos(an1)，(n=2，3，4，) 如果已知數(shù)列的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且從第2項(xiàng)(或某一項(xiàng))開(kāi)始的任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an1(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式，遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法。數(shù)列的遞推公式 a1=a， an=f(an1)，(n=2，3，4，)例1已

2、知數(shù)列an的第1項(xiàng)是2，以后各項(xiàng)由公式 給出，寫出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng).解：a1=2， 例2. 已知直線l：y=x與曲線c： （如圖所示），過(guò)曲線c上橫坐標(biāo)為1的一點(diǎn)P1作x軸的平行線交l于Q2，過(guò)Q2作x軸的垂線交曲線c于P2，再過(guò)P2作x軸的平行線交l于Q3，過(guò)Q3作x軸的垂線交曲線c于P3，設(shè)點(diǎn)P1，P2，Pn，的縱坐標(biāo)分別為a1，a2，an，試求數(shù)列an的遞推公式。解：由題意，點(diǎn)P1的橫坐標(biāo)為1，縱坐標(biāo)為a1= ， 點(diǎn)Qn+1與Pn的縱坐標(biāo)相同，都是an，同時(shí)點(diǎn)Pn+1與Qn+1的橫坐標(biāo)相等， 點(diǎn)Pn+1在曲線c： 上， 由橫坐標(biāo)得它的縱坐標(biāo)為 即這就是數(shù)列an的遞推公式。例3. 根據(jù)下列各個(gè)數(shù)列an的首項(xiàng)及其遞推公式，寫出數(shù)列的前5項(xiàng)，并歸納出通項(xiàng)公式： （1）a1=0，an+1=an+(2n1)，nN+； （2）a1=1， , nN+；解：（1）因?yàn)閍1=0，an+1=an+(2n1)，nN+；所以， a2=1 ， a3=4， a4=9， a5=16 ， 歸納出它的通項(xiàng)公式是an=(n1)2 。（2）a1=1， , nN+；解:歸納出它的通項(xiàng)公式是例4. 數(shù)列an中，a1=1，對(duì)于所有的n2且nN+，都有 （1）求a3+a5； （2） 是此數(shù)列中的項(xiàng)嗎？解法1：（1）因?yàn)樗?，兩式相除得n2，nN+，所以解法2：（1）因?yàn)?，所以解得a2=4，又解得