量子力學導論Chap8-2

1、1、 自旋軌道耦合 電子自旋是一種相對論效應中心力場的相對論波動方程在非相對論極限條件下，哈密頓量中將出現(xiàn)自旋軌道耦合作用項注：在外磁場較強的正常塞曼效應中，該項可以忽略，但在外磁場較弱或為零時，此項不可忽略8.2 總角動量原子光譜的精細結構和反常塞曼效應都與此有密切關系1在中心力場中考慮自旋軌道耦合后：電子軌道角動量 l 和自旋角動量 s 都不是守恒量22、總角動量 定義性質1）中心力場中考慮自旋軌道耦合，j 為守恒量32) 總角動量的對易關系式3) l2 仍然是守恒量4) 守恒量完全集能量本征態(tài)可以選取它們的共同本征態(tài)43、共同本征態(tài) 空間角度部分與自旋部分的波函數(shù)的共同本征態(tài)取 的共同本

2、征態(tài)。在 (, , sz)表象中，設共同本征態(tài)為它必須同時滿足如下要求： 是 l2 的本征態(tài) 是 jz 的本征態(tài) 是 j2 的本征態(tài)51) l2 的本征態(tài)2) jz 的本征態(tài)6可見，1 和 2 都是 lz 的本征態(tài)，但對應的本征值卻相差 。本征方程7結合 l2 對 1 和 2 的要求，取方可得到8對 jz 本征值求解的說明93) j2 的本征態(tài)為了方便求解 j2 本征值，事先作兩個說明：a. 在 j2 中，由于涉及 s2，在 泡利表象中 s2 就等于 3/4 2b. 定義兩個新算符，l 的升降算符：如何求 、 a 和 b ？10泡利表象中(其中要用到泡利矩陣)，j2的矩陣形式11求本征值 代入

3、 j2 的本征值方程，并利用 l 算符的性質，得它是 a 和 b 的齊次線性方程組，有非平庸解的條件是其系數(shù)行列式必為零12即，解之，得 的兩個實根，即再求 a 和 b 的關系將 j = l1/2 對應的根 代入式(*)中，立即得到13綜合 1)、2) 和 3) ，可寫出 (l2, j2, jz) 的共同本征函數(shù)，并加以歸一化（l0）(l2, j2, jz) 對應的本征值分別是144) mj 的取值問題（分兩種情況） 對于 j = l+1/2所以，mmax = l, mmin = -(l+1)。于是 m = l, l-1, , 0, , -(l+1)。而 mj = (m+1/2)，這樣， mj

4、 = l+1/2, l-1/2,-(l+1/2) = j, j-1,-j可見，mj 共有(2j+1)個取值為什么？j = l+1/215(2) 對于 j = l-1/2所以，mmax = l-1, mmin = -l。于是 m = l-1, l-2, , 0, , -l+1, -l。而 mj = (m+1/2)， 這樣，mj = l-1/2, l-3/2, , -l+3/2, -l+1/2 = j, j-1, -j此時， mj 也共有(2j+1)個取值（l0）為什么？j = l+1/216最終，(l2, j2, jz) 的共同本征函數(shù) (1) j = l+1/2，mj = m+1/217(2)

5、 j = l1/2 (l 0), mj = m+1/218(l2, j2, jz) 的共同本征函數(shù)可記為 ，(l, j, mj) 為一組好量子數(shù)(l2, j2, jz) 對應的本征值分別是19舉例：l = 0, 不存在自旋軌道耦合j = l+s = s =1/2, mj = ms = 1/2(1) mj 取 1/2 時情形20l = 0, 不存在自旋軌道耦合，j = l+s = s =1/2, mj = ms = 1/2(2) mj 取 -1/2 時情形211、堿金屬原子雙線結構堿金屬原子最外層只有一個價電子，原子核和內層電子構成原子實，價電子感受到的是原子實的作用，所以，它的勢能 V(r)

6、是屏蔽庫侖勢，再考慮自旋軌道耦合，價電子哈密頓量寫為8.3 堿金屬原子的光譜雙線結構和反常塞曼效應22守恒量完全集可選為 (H, l2, j2, jz)，共同本征態(tài)為帶入定態(tài)薛定諤方程23(1) j = l+1/2(2) j = l-1/2 (l 0)定性分析： 給定V(r)，(r) 便可求出，再根據(jù)束縛態(tài)邊界條件求出分立的能量本征值 V(r) 是屏蔽勢，能量與 (n, l, j) 都有關，記為 Enlj，簡并度為 (2j+1)24光譜雙線結構的物理分析:價電子的 V(r) 0，(r) 0。因此，即，考慮自旋軌道耦合后，j = l+1/2 能級要略高于 j = l-1/2 (l 0) 能級。但

7、自旋軌道耦合很小，分立的能級靠得很近，這就是造成光譜雙線結構的原因。理論計算表明，堿金屬原子序數(shù) Z 越大，分裂的間距越大。對 Na導致D1和D2雙線252、反常塞曼效應 在強磁場中，可不計及自旋軌道耦合作用，也不計及電子自旋時，只考慮軌道磁矩與外磁場的作用，足以說明導致原子光譜一分為三的正常塞曼效應 若計及電子自旋和相應的內稟磁矩，則不可忽略該磁矩與外磁場的相互作用(1) 外磁場很強，并計及電子自旋和內稟磁矩(仍然可以忽略自旋軌道相互作用項)體系哈密頓量為26守恒量完全集與共同本征態(tài)H 不含自旋軌道耦合，波函數(shù)自旋部分可以與空間部分分離，能量本征態(tài)可選為守恒量完全集 (H, l2, lz, sz) 的共同本征態(tài)能量本征值其中用到ms = 1/227對光譜影響的分析與不考慮電子自旋時的能級相比，外加強磁場對能級有所改變，但對原子光譜的正常塞曼分裂無影響。例如 對 Na 原子黃光，因為躍遷選擇定則要求，發(fā)生躍遷的兩條能級的 ms = 0，躍遷只能在 ms 1/2 的兩條能級之間或 ms 1/2 的兩條能級之間進行。 但每一組內部的兩條能級同時增大或同時減小并且幅度完全相等，因此對觀察到的譜線三分裂的正常塞曼效應沒有影響。28(2) 外磁場很弱，不能忽略自旋軌道相互作用項(并計及電子自旋和內稟