2022年連續(xù)時(shí)間傅立葉變換講義

1、第4章 連續(xù)時(shí)間傅立葉變換The Continuous time Fourier Transform本章的主要內(nèi)容:連續(xù)時(shí)間傅立葉變換;傅立葉級數(shù)與傅立葉變換之間的關(guān)系;傅立葉變換的性質(zhì);系統(tǒng)的頻率響應(yīng)及系統(tǒng)的頻域分析； 在工程應(yīng)用中有相當(dāng)廣泛的信號(hào)是非周期信號(hào)，對非周期信號(hào)應(yīng)該如何進(jìn)行分解，什么是非周期信號(hào)的頻譜表示，線性時(shí)不變系統(tǒng)對非周期信號(hào)的響應(yīng)如何求得，就是這一章要解決的問題。4.0 引言 Introduction 在時(shí)域可以看到，如果一個(gè)周期信號(hào)的周期趨于無窮大，則周期信號(hào)將演變成一個(gè)非周期信號(hào)；反過來，如果將任何非周期信號(hào)進(jìn)行周期性延拓，就一定能形成一個(gè)周期信號(hào)。 我們把非周期信號(hào)

2、看成是周期信號(hào)在周期趨于無窮大時(shí)的極限，從而考查連續(xù)時(shí)間傅立葉級數(shù)在 T趨于無窮大時(shí)的變化，就應(yīng)該能夠得到對非周期信號(hào)的頻域表示方法。4.1 非周期信號(hào)的表示連續(xù)時(shí)間傅立葉變換Representation of Aperiodic Signals: The Continuous-Time Fourier Transform一.從傅立葉級數(shù)到傅立葉變換 我們已經(jīng)看到，周期性矩形脈沖，當(dāng)周期 增大時(shí)，頻譜的幅度隨 的增大而下降；譜線間隔隨 的增大而減??；但頻譜的包絡(luò)不變。再次考察周期性矩形脈沖的頻譜圖： 當(dāng) 時(shí)，周期性矩形脈沖信號(hào)將演變成為非周期的單個(gè)矩形脈沖信號(hào)。 （a）（b）(a)(b) 00

3、 由于 也隨 增大而減小，并最終趨于0，考查 的變化，它在 時(shí)應(yīng)該是有限的。 于是，我們推斷出:當(dāng) 時(shí)，離散的頻譜將演變?yōu)檫B續(xù)的頻譜。由當(dāng) 時(shí),如果令則有與周期信號(hào)傅立葉級數(shù)對比有： 這表明:周期信號(hào)的頻譜就是與它相對應(yīng)的非周期信號(hào)頻譜的樣本。根據(jù)傅立葉級數(shù)表示： 連續(xù)時(shí)間傅立葉變換當(dāng)時(shí)，于是有：傅立葉反變換 此式表明，非周期信號(hào)可以分解成無數(shù)多個(gè)頻率連續(xù)分布、振幅為 的復(fù)指數(shù)信號(hào)之和。 由于 具有頻譜隨頻率分布的物理含義，因而稱 為頻譜密度函數(shù)。于是，我們得到了對非周期信號(hào)的頻域描述方法這一對關(guān)系被稱為連續(xù)時(shí)間傅立葉變換對。 可見，周期信號(hào)的頻譜是對應(yīng)的非周期信號(hào)頻譜的樣本；而非周期信號(hào)的頻

4、譜是對應(yīng)的周期信號(hào)頻譜的包絡(luò)。 既然傅立葉變換的引出是從周期信號(hào)的傅立葉級數(shù)表示出發(fā)，討論周期趨于無窮大時(shí)的極限得來的，傅立葉變換的收斂問題就應(yīng)該和傅立葉級數(shù)的收斂相一致。二. 傅立葉變換的收斂這表明能量有限的信號(hào)其傅立葉變換一定存在。2. Dirichlet 條件a.絕對可積條件1. 若則 存在。也有相應(yīng)的兩組條件：b. 在任何有限區(qū)間內(nèi)， 只有有限個(gè)極值點(diǎn)， 且極值有限。c. 在任何有限區(qū)間內(nèi)， 只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)。 應(yīng)該指出:這些條件只是傅立葉變換存在的充分條件。 和周期信號(hào)的情況一樣，當(dāng) 的傅立葉變換存在時(shí)，其傅立葉變換在 的連續(xù)處收斂于信號(hào)本身，在間斷點(diǎn)處收斂于左右極限的平均值，

5、在間斷點(diǎn)附近會(huì)產(chǎn)生Gibbs 現(xiàn)象。 這兩組條件并不等價(jià)。例如： 是平方可積的，但是并不絕對可積。三.常用信號(hào)的傅立葉變換：1.0102. 結(jié)論：實(shí)偶信號(hào)的傅立葉變換是實(shí)偶函數(shù)。此時(shí)可以用一幅圖表示信號(hào)的頻譜。對此例有103.0 這表明 中包括了所有的頻率成分，且所有頻率分量的幅度、相位都相同。因此，系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng) 才能完全描述一個(gè)LTI系統(tǒng)的特性， 才在信號(hào)與系統(tǒng)分析中具有如此重要的意義。01 顯然，將 中的 代之以 再乘以 ，即是相應(yīng)周期信號(hào)的頻譜4. 矩形脈沖:101000不同脈沖寬度對頻譜的影響可見，信號(hào)在時(shí)域和頻域之間有一種相反的關(guān)系。(稱為理想低通濾波器) 與矩形脈沖情況對比，

6、可以發(fā)現(xiàn)信號(hào)在時(shí)域和頻域之間存在一種對偶關(guān)系。5.1，0，100對偶關(guān)系可表示如下:101000 同時(shí)可以看到，信號(hào)在時(shí)域和頻域之間也有一種相反的關(guān)系。即信號(hào)在時(shí)域脈沖越窄，則其頻譜主瓣越寬，反之亦然。 對例5. 我們可以想到，如果 ，則 將趨于一個(gè)沖激。6. 若 則有因?yàn)樗运? 信號(hào)的帶寬( Bandwidth of Signals ): 由信號(hào)的頻譜可以看出：信號(hào)的主要能量總是集中于低頻分量。另一方面，傳輸信號(hào)的系統(tǒng)都具有自己的頻率特性。因而，工程中在傳輸信號(hào)時(shí)，沒有必要一定要把信號(hào)的所有頻率分量都有效傳輸，而只要保證將占據(jù)信號(hào)能量主要部分的頻率分量有效傳輸即可。為此，需要對信號(hào)定義帶寬

7、。通常有如下定義帶寬的方法:2. 對包絡(luò)是 形狀的頻譜，通常定義主瓣寬度(即頻譜第一個(gè)零點(diǎn)內(nèi)的范圍)為信號(hào)帶寬。 下降到最大值的 時(shí)對應(yīng)的頻率范圍,此時(shí)帶內(nèi)信號(hào)分量占有信號(hào)總能量的1/2。1. 以矩形脈沖為例，按帶寬的定義，可以得出，脈寬乘以帶寬等于常數(shù)C (脈寬帶寬積)。這清楚地反映了頻域和時(shí)域的相反關(guān)系。 4.2 周期信號(hào)的傅立葉變換 到此為止，我們對周期信號(hào)用傅立葉級數(shù)表示，非周期信號(hào)用傅立葉變換表示。因?yàn)閿?shù)學(xué)描述方法的不一致，在某些情況下, 會(huì)給我們帶來不便。但由于周期信號(hào)不滿足 Dirichlet 條件，因而不能直接從定義出發(fā)，建立其傅立葉變換表示。 The Fourier Tran

8、sformation of Periodic Signals所對應(yīng)的信號(hào)考查 這表明周期性復(fù)指數(shù)信號(hào)的頻譜是一個(gè)沖激。于是當(dāng)把周期信號(hào)表示為傅立葉級數(shù)時(shí)，因?yàn)榫陀兄芷谛盘?hào)的傅立葉變換表示若 則 這表明：周期信號(hào)的傅立葉變換由一系列沖激組成，每一個(gè)沖激分別位于信號(hào)的各次諧波的頻率處，其沖激強(qiáng)度正比于對應(yīng)的傅立葉級數(shù)的系數(shù) 。例1： 例2： 例3： 均勻沖激串010例4. 周期性矩形脈沖014.3 連續(xù)時(shí)間傅立葉變換的性質(zhì) 討論傅立葉變換的性質(zhì)，旨在通過這些性質(zhì)揭示信號(hào)時(shí)域特性與頻域特性之間的關(guān)系，同時(shí)掌握和運(yùn)用這些性質(zhì)可以簡化傅立葉變換對的求取。1. 線性: Linearity則Properti

9、es of the Continuous-Time Fourier Transform若2. 時(shí)移: Time Shifting這表明信號(hào)的時(shí)移只影響它的相頻特性，其相頻特性會(huì)增加一個(gè)線性相移。則若3. 共軛對稱性: Conjugate and Symmetry 若 則所以即 若 是實(shí)信號(hào)，則于是有:由可得即實(shí)部是偶函數(shù)虛部是奇函數(shù) 若則可得出即：模是偶函數(shù)，相位是奇函數(shù) 若則可得 如果即信號(hào)是偶函數(shù)。則表明： 實(shí)偶信號(hào)的傅立葉變換是偶函數(shù)。表明 是實(shí)函數(shù)。 若 即信號(hào)是奇函數(shù)，同樣可以得出:所以又因?yàn)楸砻?是奇函數(shù)表明 是虛函數(shù) 若則有:例: 的頻譜:101/20-1/21/20將 分解為偶

10、部和奇部有4.時(shí)域微分與積分: Differentiation and Integration(可將微分運(yùn)算轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)運(yùn)算)(將兩邊對 微分即得該性質(zhì))由時(shí)域積分特性從也可得到:（時(shí)域積分特性）則若5.時(shí)域和頻域的尺度變換: Scaling當(dāng) 時(shí)，有 尺度變換特性表明：信號(hào)如果在時(shí)域擴(kuò)展 a 倍，則其帶寬相應(yīng)壓縮 a 倍，反之亦然。這就從理論上證明了時(shí)域與頻域的相反關(guān)系，也證明了信號(hào)的脈寬帶寬積等于常數(shù)的結(jié)論。則若時(shí)域中的壓縮（擴(kuò)展）對應(yīng)頻域中的擴(kuò)展（壓縮）6.對偶性: Duality若則證明：也可由得到證明。根據(jù)得這就是移頻特性例如: 由 有對偶關(guān)系利用時(shí)移特性有再次對偶有由對偶性可以方便地

11、將時(shí)域的某些特性對偶到頻域由得所以頻域微分特性該特性也可由對偶性從時(shí)域微分特性得出:由有利用時(shí)域微分特性有對再次對偶得頻域微分特性由時(shí)域積分特性，可對偶出頻域積分特性利用時(shí)域積分特性再次對偶由有頻域積分特性7. Parseval定理:若則 這表明：信號(hào)的能量既可以在時(shí)域求得，也可以在頻域求得。由于 表示了信號(hào)能量在頻域的分布，因而稱其為“能量譜密度”函數(shù)。4.4 卷積性質(zhì) The Convolution Property一.卷積特性： 由于卷積特性的存在，使對LTI系統(tǒng)在頻域進(jìn)行分析成為可能。本質(zhì)上，卷積特性的成立正是因?yàn)閺?fù)指數(shù)信號(hào)是一切LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)。則若由表明：故有可將 分解成復(fù)指數(shù)

12、分量的線性組合，每個(gè) 通過LTI系統(tǒng)時(shí)都要受到系統(tǒng)與 對應(yīng)的特征值的加權(quán)。這個(gè)特征值就是所以 由于 的傅氏變換 就是頻率為 的復(fù)指數(shù)信號(hào) 通過LTI系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)對輸入信號(hào)在幅度上產(chǎn)生的影響，所以稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。 鑒于 與 是一一對應(yīng)的，因而LTI系統(tǒng)可以由其頻率響應(yīng)完全表征。由于并非任何系統(tǒng)的頻率響應(yīng) 都存在，因此用頻率響應(yīng)表征系統(tǒng)時(shí)，一般都限于對穩(wěn)定系統(tǒng)。因?yàn)?，穩(wěn)定性保證了二. LTI系統(tǒng)的頻域分析法: 根據(jù)卷積特性,可以對LTI系統(tǒng)進(jìn)行頻域分析, 其過程為:1. 由2. 根據(jù)系統(tǒng)的描述，求出3.4. 4.5 相乘性質(zhì) The Multiplication Property利用對偶性可以

13、從卷積性質(zhì)得出相乘性質(zhì)若則 兩個(gè)信號(hào)在時(shí)域相乘，可以看成是由一個(gè)信號(hào)控制另一個(gè)信號(hào)的幅度，這就是幅度調(diào)制。其中一個(gè)信號(hào)稱為載波，另一個(gè)是調(diào)制信號(hào)。例1:移頻性質(zhì)例2. 正弦幅度調(diào)制:1001/2 正弦幅度調(diào)制等效于在頻域?qū)⒄{(diào)制信號(hào)的頻譜搬移到載頻位置。例3. 同步解調(diào):1/21/41/4 此時(shí)，用一個(gè)頻率特性為的系統(tǒng)即可從 恢復(fù)出 。20只要即可。具有此頻率特性的LTI系統(tǒng)稱為理想低通濾波器。例4. 中心頻率可變的帶通濾波器：A1理想低通的頻率響應(yīng)1等效帶通濾波器 相當(dāng)于從 中直接用一個(gè)帶通濾波器濾出的頻譜。表明整個(gè)系統(tǒng)相當(dāng)于一個(gè)中心頻率為 的帶通濾波器，改變 即可實(shí)現(xiàn)中心頻率可變。4.6 傅

14、立葉變換的性質(zhì)與傅立葉變換對列表(自學(xué)) 工程實(shí)際中有相當(dāng)廣泛的LTI系統(tǒng)其輸入輸出關(guān)系可以由一個(gè)線性常系數(shù)微分方程描述。一般形式的LCCDE是:4.7 由線性常系數(shù)微分方程表征的系統(tǒng)一. 由LCCDE描述的LTI系統(tǒng)的頻率特性:Systems Characterized by Linear Constant-Coefficient Differential Equations 由于 是一切LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)，因此 ，當(dāng) 系統(tǒng)的輸入為 時(shí)，系統(tǒng)所產(chǎn)生的響應(yīng)就是 。表明在 的情況下，求解LCCDE即可得到 。但是這種方法太麻煩，很少使用。 對LCCDE兩邊進(jìn)行傅立葉變換有：由于 可見由LCCDE描述的LTI 系統(tǒng)其頻率特性是一個(gè)有理函數(shù)。由此可以看出，對由 LCCDE 描述的LTI系統(tǒng)，當(dāng)需要求得其 時(shí)(比如時(shí)域分析時(shí)) ，往往是由 做反變換得到。 對有理函數(shù)求傅立葉反變換通常采用部分分式展開和利用常用變換對進(jìn)行。二.頻率響應(yīng)的求法：1.用微分方程表征的系統(tǒng)例： 可見，對由微分方程所描述的系統(tǒng)通過求頻率響應(yīng)可以方便地求出其單位沖激響應(yīng)。2.以方框圖描述的系統(tǒng)例：3.互聯(lián)系統(tǒng)的* 級聯(lián): * 并聯(lián):H1(j)H2(j)H1(j)H2(j)* 反饋聯(lián)結(jié): 1. 通過連續(xù)時(shí)間傅立葉變換，建立了將連續(xù)時(shí)間信號(hào)(包括周期、非周期信號(hào))分解