2 第二章應力和應變_wan

1、 第二章應力和應變地震波傳播的任何定量的描述，都要求其能表述固體介質(zhì)的內(nèi)力和變形的特征?，F(xiàn)在我們對后面幾章所需要的應力、應變理論的有關(guān)部分作簡要的復習。雖然我們把這章作為獨立的分析，但不對許多方程進行推導，讀者想進一步了解其細節(jié)，可查閱連續(xù)介質(zhì)力學的教科書。三維介質(zhì)的變形稱為應變，介質(zhì)不同部分之間的內(nèi)力稱為應力。應力和應變不是獨立存在的，它們通過描述彈性固體性質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系相聯(lián)系。應力的表述應力張量2.1.1應力表示考慮一個在靜力平衡狀態(tài)下，均勻彈性介質(zhì)里一個任意取向的無限小平面。平面的取向可以用這個平面的單位法向矢量n來規(guī)定。在n方向的一側(cè)施加在此面單位面積上的力叫做牽引力，用矢量t二(t,t

2、,t)表示。在n相反方向的另一側(cè)施加在此面上的xyz力與其大小相等，方向相反，即t(-n)=-t(n)。t在垂直于平面方向的分量叫做法應力，平行于平面方向的分量叫做剪應力。在流體的情況下，沒有剪應力，t=-pn，這里P是壓強。在笛卡爾坐標系（圖2.1）里，應力張量T可以用作用于yz,xz,xy平面的牽引力來定義+：t(x)t(y)tTTTXxxxxxyxzt(x)t(y)t=TTTyyzyxyyyzt(x)t(y)tTTTzzz1zxzyzzT二2.1)應力分量的符號規(guī)定如下：對于正應力，我們規(guī)定拉應力為正，壓應力為負。對于剪應力，如果截面的外法線方向與坐標軸一致，則沿著坐標軸的正方向為正，反

3、之為負；如果截面方向與外法線方向相反，則沿著坐標軸反方向為正。圖2.1在笛卡爾坐標系里描述作用在無限小立方體面上的力的牽引力矢量t（X）,t（y）,t（z）。+通常，應力張量用腳標互換的（2.1）式來定義，第一個腳標表示面的法向方向。實際上，當工是對稱的時，沒有什么差別。因為固體處于靜力平衡狀態(tài)，所以沒有因剪應力作用而產(chǎn)生的凈扭轉(zhuǎn)。例如，當考慮XZ平面的剪應力時，為了使扭轉(zhuǎn)相互抵消，必須有P=T。類似地有:xzzxP=P,P=P。故應力張量是對稱的，即：2.2)xyyxyzzyPPPxxxyxzPPPxyyyyzPPPxzyzzz應力張量只包含6個獨立的要素，它們足以完全描述介質(zhì)中一個給定點的

4、應力狀態(tài)。2、任意一個面上的應力可以由應力張量表示一點的九個應力分量如果能夠完全確定一點的應力狀態(tài)，則其必須能夠表達通過該點的任意斜截面上的應力矢量。為了說明這一問題，在O點用三個坐標面和一任意斜截面截取一個微分四面體單元，斜截面的法線方向矢量為n，它的三個方向余弦分別為l，m和n。設斜截面上的應力為pn，i，j和k分別為三個坐標軸方向的單位矢量，卩在坐標軸上的投影分別為p,n.xp,p。則應力矢量可以表示為yzpn=pxi+pyj+pzk同樣，把單位體積的質(zhì)量所受的體積力Fb沿坐標軸分解，有Fb=Fbxi+Fbyj+Fbzk設S為AABC的面積，貝UNOBC=lS,AOCA=mS,AOAB=

5、nSAABC的法線方向的單位矢量可表示為n=li+lj+mk微分四面體在應力矢量和體積力作用下應滿足平衡條件，設h為O點至斜面ABC的高，由x方向的平衡，可得近=0p-BC-zAOAC-tAOAB+=0將公式AOEC二屁4OCA二漱,心E二戀代入上式，則p.+二對于微分四面體單元，h與單元體棱邊相關(guān)，因此與1相比為小量，趨近于零（在忽略體力的情況下，F(xiàn)=0），因此bx=4+叨+7同理Py二坯+6嚴+廠/Ps二%丿+匸即腕+耳充如果采用張量記號，則上述公式可以表示為代=疔化上式給出了物體內(nèi)一點的9個應力分量和通過同一點的各個微分面上的應力之間的關(guān)系。這一關(guān)系式表明，只要有了應力分量，就能夠確定一

6、點任意截面的應力矢量，或者正應力和切應力。因此應力分量可以確定一點的應力狀態(tài)。任一個取向由n定義的平面，一個側(cè)面作用于另一個側(cè)面的牽引力為應力張量與n的乘積，即：t(n)=Tn=t(n)TTTnxxxxyxzxt(n)=TTTnyxyyyyzyt(n)TTTnzxzyzzzz2.3)這可以通過對由垂直于n的平面和xy,xz,yz平面所圍限的四面體（柯西四面體）面上的力求和作出說明。簡單地說，應力張量是給出相對于法向矢量n的牽引力矢量t的線性算子,從這個意義上來說，應力張量與任何特定的坐標系無關(guān)。在地震學中，我們幾乎總是把應力張量寫成笛卡爾幾何學里的一個3x3的矩陣。注意到對稱的要求，應力張量的

7、獨立參數(shù)由9個減少為6個，呈現(xiàn)為最一般形式的二階張量（標量為零階張量，矢量為一階張量，等等）。應力張量通常隨在物質(zhì)里的位置而變化，它是作用在固體里每一點的無限小的面上的力的度量。應力只給出了這些面由一邊作用于另一邊的力的度量，計量標準是單位面積上的力。然而，可能有其他力（如重力）。這些力稱為體力，計量標準是每單位體積或單位質(zhì)量上的力。2.1.3坐標變換一點的應力分量不僅隨著變形體中點的位置在改變，而且即使在同一點，由于截面的法線方向不同，截面上的應力也不一樣。假設已知在坐標系Oxyz中，彈性體中的某點的應力狀態(tài)表示為：TTTxxxyxzT=TTTxyyyyzTTTxzyzzz則對于新的坐標系O

8、xxyzxlmn1i1ylmn222zlmn333yz，這點的各應力分量是多少就是本小節(jié)討論的問題。設新舊坐標系的方向余弦表如下：根據(jù)（2.3）可知，沿十的應力可以表示為:t(x)=Tx=TTTxxxyxzTTTxyyyyzTTTxzyzzzl1m1n1此應力有三個分量，將其再投影到r方向即得到在新坐標系中的各分量:tttt=it(xr)=bmnxxtxytxzt1mxx111xyyyyz1tttnxzyzzz1-c(n1=12T+m2T+n2T+2lnt+2lnt+2mnt1xx1yy1zz11xy11xz11yzttt7一t=jt)=tmnxxtxytxztimxy222xyyyyzitt

9、tnxzyzzz1=11t+mmt+nnt+21nt+21nt+2mnt12xx12yy12zz11xy11xz11yzTmnttt_111一11ixxxyxz123t=1mntttmmmij222xyyyyz1231mntttnnn333xzyzzz123所以=NTtN由此可知一個斜面上的正應力可以表示為：gG)=kn1Ftttnn1xxItxytxztxnxyzxyyyyzytttnxzyzzzz其剪應力為：2.1.4主應力和應力主軸對任何應力張量，總是可以找到一個方向n，使得在垂直于n的面上，沒有剪應力，也就是說，t（n）沿n方向，在這種情況下：t（n）=Xri=tntn-九n=o（2.

10、4）（t-i九）n=o這里i是單位矩陣，久是標量。這是一個本征值問題，只有detT-U=0（2.5）才有非無效的解。這是一個有三個本征值九、九、九解的三方程（不要把這些值123同后面將討論的拉梅參數(shù)相混淆）。由于T是對稱的，是實數(shù)，所以本征值也是實數(shù)。相應于本征值的本征矢量n,n,n是正交的。它們定義了應力主軸。垂直于應力主軸的平面叫做主平面。我們通過相似性變換，把t旋轉(zhuǎn)到n,n,席的坐標系里：t1tr=NttN=000t020t32.6)這里TR是旋轉(zhuǎn)的應力張量，T、T、12t是主應力(與本征值九，九，九相等)，N是3123本征矢量矩陣：n(1)n(2)n(3)xxxn(1)n(2)n(3)

11、yyyn(1)n(2)n(3)zzzNt=N-1為歸一化到單位長度的正交的本征矢量。2.7)在MATLAB中矩陣的本征值和本征向量的求法為：X,D=eig(sigma);其中sigma為三維應力矩陣，X為三個本征向量，D為本征值矩陣。得到本征向量和本征值后，你可以采用X*sigma*X得到的結(jié)果驗證是否是向量矩陣。如果T二T二T，那么應力場處于流體靜壓狀態(tài)，沒有任何取向的面有剪應123力。在流體的情況下，應力張量可寫成：-P00T=0-P0這里P是壓強。對于垂直應力不變的應力狀態(tài),其水平方向不同的應力狀態(tài)可以表示為TxxTxy0-Txx-cTxy0_TT0，其主應力方程可以表示為TT-c0 x

12、yyyxyyy00T00T-c=0，或者展開為T=zz解這個方程可得到三個主應力為T-爲2-(+T(T-T210,2.8)zzxxyy1Q=121Q=22xxyyxyT+Txxyy+T+Txxyy0及G二T3zz2.1.1應力值應力以單位面積上的力為計量單位，在國際單位制（SI）中的單位是：1帕斯卡（pa）=1牛頓米-2回顧一下，1牛頓=1千克米秒-2=105達因。另一個普遍采用的力的單位是巴：1巴（bar）二105pa1千巴二108pa二100Mpa1兆巴（Mbar）二1011pa二100Gpa（千兆帕）如表2.1用參考模型PREM（Dziewonski和Anderson，1981）所給出的

13、值所示，在地球里壓力隨深度快速增大。在400公里的深度，壓力達到13.4Gpa，在核幔邊界達136Gpa，在內(nèi)核邊界達329Gpa。與此對比，月球中心的壓力僅為4.8Gpa,相當于在地球150公里深度所達到的值（Latham等人，1969）,這是由于月球的質(zhì)量小得多。表2.1地球內(nèi)部壓力與深度的關(guān)系深度（公里）區(qū)域壓力（Gpa）0-24地殼0-0.624-400上地幔0.6-13.4400-670過渡區(qū)13.4-23.8670-2891下地幔23.8-135.82891-5150夕卜核135.8-328.95150-6371內(nèi)核328.9-363.9這些壓力是地球內(nèi)部的流體靜壓力。深部的剪切應

14、力值小得多，包括與地幔對流有關(guān)的應力和由地震波傳播所產(chǎn)生的動態(tài)應力。靜態(tài)應力可能存在于地殼上部脆性部分。測量地殼剪應力是現(xiàn)代研究的課題。應力的量級是有爭議的問題，地殼應力可能在100巴和1000巴（10-100Mpa）之間，在接近活動斷層的區(qū)域,應力有降低的趨勢（活動斷層的作用降低了應力）。2.2應變張量現(xiàn)在讓我們來考慮怎樣描述連續(xù)介質(zhì)里點的位置的變化。任何一點與參考時間t的相對位置都可以用一個矢量場來描述，即位移場為：0u（r）二rr（2.9）00這里r是現(xiàn)在的位置，r是參考點的位置。位移場是一個重要的概念，在這本書0中經(jīng)常涉及到。它是位置變化的絕對度量。與此相對照，應變是位移場相對變化的局

15、部度量，即位移場空間梯度的度量。應變與材料的變形或形狀的變化有關(guān)，而與位置的絕對變化無關(guān)。例如，張應變是按照長度的相對變化來定義的。如果把一根100米長的細繩，一端固定，在另一端均勻地拉長到101米，那么沿細繩位移場從0變化到1米。依此，在繩的任何地方，應變場為0.01(1%)的常數(shù)。考慮離開參考位置x一個小的距離的某一點x的位移u二(u,u,u)，對u0 xyz作泰勒級數(shù)展開，得到：dududuu(x)=dxx-dyxdzdududu貳dy牙dududu=u(x)+0dxd=u(x)+Jdy0dz2.10)這里d=x-x0，假定偏導數(shù)土,土等很小，它們的乘積可以忽略。那么，根據(jù)無限小應變理論

16、，我們就可以忽略展開式中的高階項。慶幸的是在地震學中地球的應變幾乎總是很小的，以致于這種近似是恰當?shù)?。我們可以通過把J分成對稱和反對稱部分，把剛性旋轉(zhuǎn)部分離出來：dududux-dxx-dyx-dzdududuJ=A=e+Qdxdydzdudududxdyzdz2.11)這里應變張量e是對稱的(e=e)，可表達為：ijjiduxdxdudu、e=(+)dxdy HYPERLINK l bookmark62 dudu(壬+y) HYPERLINK l bookmark64 dydxdu1dudu卞)1du2(苛+du)dy2.12)1dudu2(盂+dZ)du(zdydu+牙)duzdz這里旋轉(zhuǎn)

17、張量Q是反對稱的，可表達為:(dudyxduydxdudu(xz)dzdxduQu(x-斗)dydx1du2(1Zduy2.13) HYPERLINK l bookmark78 dudu(x于)dzdx1du2(1Zduy讀者可對e+Q=J作檢驗。可通過考慮一個無限小的立方體所發(fā)生的情況（圖2.2）對e和Q效應作說明。e的非對角線元素形成了剪應變。例如，在二維的情況下，如果0二0和沒有體積變化，那么有dududuxz0,xdxdzdzdu,以及Je0duzdxduxdz02.14)圖2.2用x-z平面的正方形的圖解說明應變張量e和旋轉(zhuǎn)張量0的不同效應。e的非對角線元素形成了剪應變（左邊的正方形

18、），而0形成了剛性旋轉(zhuǎn)（右邊的正方的）。相對于有效無限小應變理論，這里所標的變形是大大放大了的。這里9是每邊旋轉(zhuǎn)的角度（弧度，不是度數(shù)！），注意邊之間角度的總變化是29。與此相對照，矩陣0形成剛性旋轉(zhuǎn)。例如，如果e-0，那么有：生七，以及:0-90dudXduxdz02.15)在這兩種情況下，材料沒有體積變化。相對的體積增大，或膨A=（V-V）/V00由x，y，z方向的拉張之和給出：TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark70 dududu HYPERLINK l bookmark130 A=x+a+ztre=V-udxdydz這里tree+e+e是e的跡。注意，膨

19、脹是由位移場的散度給出的。112233那么，位移場的旋度是什么呢？我們回顧一下矢量場的旋度的定義 HYPERLINK l bookmark132 dudududududu HYPERLINK l bookmark134 Vxu(土y)X+(xw)y+(ax HYPERLINK l bookmark136 dydzdzdxdxdy2.16)2.17)把方程與（2.13）比較說明，只要Q不為零，那么Vxu就不為零，位移場就包含某種剛性旋轉(zhuǎn)。像應力張量那樣，應變張量是對稱的，包含6個獨立的參數(shù)。通過計算位移的取向n，可以找到應變主軸，即：u九neni（2.18）圖2.3樣品沿x方向的張應變導致剪應變

20、。內(nèi)部的角度是變化的。這與上節(jié)討論應力張量的情況類似。三個本征值為主應變e，e，e，而本征矢量123規(guī)定了應變主軸。注意，除了eee的流體靜應變的情況外，總是有某種剪123應變出現(xiàn)。例如，考慮一個僅在x方向拉張的正方形（圖2.3），那么e可表達為：Que0 x-01=Qx00|_00e=2.19)平行于坐標軸的線之間的角度沒有變化，但中間角度的線發(fā)生旋轉(zhuǎn)。如果把坐標系旋轉(zhuǎn)45，那么與剪應變相聯(lián)系的角度的變化是很明顯的（在這種情況下，e有兩個非對角線項）。在下節(jié)我們將發(fā)現(xiàn)用腳標符號有助于表達應變張量。方程（2.12）可寫成：1e=（du+du）（2.20）ij2ijjiQu這里假定i和j的順序為

21、1至3（按x,y,z的取向）。我們用了符號Qu=亍。xyQx2.2.1應變值由于應變表示長度的變化除以長度，故應變是無量綱的。與遠場地震波通過相聯(lián)系的動態(tài)應變，基本上小于10-6。2.3線性的應力應變關(guān)系在彈性介質(zhì)中，應力和應變通過應力應變的本構(gòu)關(guān)系聯(lián)系起來。應力張量和應變張量之間最一般的線性關(guān)系可以寫成：t二ce二Hce（2.21）ijijklklijkekl這里c叫做彈性張量。在此，我們開始采用3腳標符號求和的慣用做法。在乘積ijkl中任何重復的腳標都意味著求和是從腳標1到3。方程（2.21）假定是完全彈性的，當應力作用，材料發(fā)生變形時，能量沒有損失和衰減（有時，這些效應可由c為復數(shù)來模擬

22、）。在第六章之前，我們不考慮非彈性狀態(tài)和衰減。ijkl應力張量是一個有81個（34）元素的四階張量。然而，由于應力張量和應變張量的對稱性，它們各自只有六個分量。因此如果不討論預應力問題，應力分量和應變分量之間的表達式可以表示為：TOC o 1-5 h zt=ce+ce+ce+ce+ce+ce11111112221333141215231631t=ce+ce+ce+ce+ce+ce211122222333241225232631t=ce+ce+ce+ce+ce+ce33311132223333341235233631（2.22）t=ce+ce+ce+ce+ce+ce124111422243334

23、41245234631t=ce+ce+ce+ce+ce+ce511152225333541255235631t=ce+ce+ce+ce+ce+ceV31611162226333641265236631上式只有36個彈性常數(shù)cCj=1,2,3,4,5,6）?？梢宰C明，對于一個保守系統(tǒng)(及無能量損失)c二c(證明從略)。因此對于極端的各向異性介質(zhì)，獨立的彈(/jTOC o 1-5 h z性參數(shù)為21個(c=c,c=c,c=c,c=c,c=c、12211331144115511661c二c,c二c,c二c,c二c、c二c,c二c,c二c、c二c,c二c、23322442255226623443355

24、3366345544664c二c)。，這些元素只有21個是獨立的。這21個元素是確定彈性固體的最一6556般形式的應力應變關(guān)系所必須的。這樣一種固體的性質(zhì)可能隨方向變化，如果是這樣的話，就稱這種介質(zhì)是各向異性的。與此相反，各向同性的固體，所有方向的性質(zhì)是相同的。對地球內(nèi)部，大多數(shù)情況下，各向同性是合適的一級近似。但在一些地區(qū)觀測到各向異性，這是現(xiàn)代研究的一個重要領(lǐng)域(參見11.3節(jié)，關(guān)于各向異性)。如果我們作了各向同性的假定，此時，獨立參數(shù)減至2個:九和卩，這些參數(shù)又叫做介質(zhì)的拉梅參數(shù)。我們將看到，拉梅參數(shù)及介質(zhì)的密度將最終確定介質(zhì)的地震波速度。對各向同性固體，應力應變方程(2.21)為：t5

25、+卩(55+55)e二九e+2ye(2.23)i/i/klil/kik/lkli/kki/這里我們用e二e合并卩的項。注意e二tre是e的對角線元素的和。用這方i/ikk程，我們根據(jù)應變可直接寫出應力張量：九tre+2ye112ye212ye312ye12九tre+2ye222ye322ye132ye23九tre+2ye332.24)這兩個拉梅參數(shù)完全描述了各向同性固體里的線性的應力應變關(guān)系。y叫做剪切模量，是介質(zhì)抗剪切的度量。它的值是所作用的剪切應力與所導致的剪應變比率的一半，即y=T/2e。另一個拉梅參數(shù)九，沒有簡單的物理解釋。各向同xyxy性固體的其他普遍使用的彈性參數(shù)中很多具有特定的物

26、理意義。3彈性參數(shù)的物理意義及相互轉(zhuǎn)換楊氏模量E：兩端拉伸的柱體的張應力與張應變的比率，正應力和線應變之間滿足胡克定律：=E所以E表示彈性材料抵抗拉張(或壓縮)的能力，E越大說明彈性體越難變形。Possion比彈性體縱向伸長（或縮短）AL后，其橫向也會有Ad的變化，y_-d叫做Possion系數(shù)。式中負號表示縱ALl向應變和橫向應變方向相反，為保證Y為正而取的。Possion系數(shù)僅與材料本身的性質(zhì)有關(guān)。實驗表明，對于一切介質(zhì)，Y介于0到0.5之間，對于地幔介質(zhì)，常用0.25表示地幔的大部分，對于地球外核（液態(tài)），取為0.5.體積模量K:在實際地球中，只受單向壓力或拉力的情形很少，一般情況下是各

27、個方向都受力，最常見的是液體靜壓力。彈性體在靜壓力P作用下提及變化AV，則有關(guān)系A(chǔ)VP_-KV因此體變模量K為流體靜壓力與由其所導致的體積變化的比率，是介質(zhì)不可壓縮性的度量。應指出，體變模量K可以從楊氏模量E和Possion系數(shù)推導出來。設一個立方體邊長為L,體積則為V=L3,在液體靜壓應力下，整個體積的相對變化率可由邊長的相對變化率決定，即：AV_3AL，就任何一個方向而言，在這個方向上VL的壓應力，使其長度改變AL而在與此方向垂直的另兩個方向的壓應力，又使其長度改變了-2yALf，故總的效果是這三個方向壓應力作用之和：AL_6-，從而得出：_3（1-2y）AL，注意，AL為僅在單向壓力作用

28、下的長度VLL的改變量，滿足關(guān)系式：AL_,P_ELEL這樣可得到：彈性系數(shù)之間的關(guān)系單向拉伸實驗:T_G,T_T_T_T_T_0112233231312TTe_ii,e_e_ye_71111E223311E由胡克定律可得：T二2pe+九e1111kk0二2pe+九e22kk0二2pe+九e33kk三式相加得：Tekk=&+k）代入上式第一式得：E=呻+2九+卩代入第二式或第三式得：Y=2（2+卩）各向均勻壓縮試驗：T=T=T=p,T=T=T=0112233121323體變模量定義為：K=Pekk由廣義胡克定律：p=2pe+2e11kkp=2pe+2e22kkp=2pe+2e33kk三式相加得

29、：3p=&+2応kk22.26)與體變模量的定義比較可得K=2+2卩在地震學中，我們主要涉及壓縮（P）和剪切（S）波的速度。如后面所指出，它們可由這些彈性常數(shù)和密度p來計算：P波的速度表達為：2.28)a=；2斗PPS波的速度0表達為:2.29)泊松比往往用來度量P波和S波速度的相對大小，表達為：2.30)a22022(a2-p2)注意丫無量綱，在0-0.5之間變化，下限相當于流體的情況（卩二0）。對泊松固體，九二二0.25,a/Pf：3。多數(shù)地殼巖石，泊松比在0.25與0.30之間。2.3.1彈性模量的單位拉梅參數(shù)、揚氏模量、體積模量都有像應力那樣的單位（帕斯卡）。回顧一下：1帕斯卡（pa）

30、=1牛頓米-2二訐克米-1秒-2注意當其被密度除時，結(jié)果即為速度平方（適合于方程2.28和2.29）的單位。練習：10-1、1、地殼中某點的應力狀態(tài)在北東下坐標系中表示為：工=0-10,ijI-101丿單位MPa。求其三個主應力及其方向。2、已知地殼中某點的主應力為b=75bar,q=50bar,q=-50bar,斜截123面的法線與三個主軸成等角，求該面上的正應力和剪應力。（提示該面的方向余弦為咅吉吉）。(113、已知某點的應力張量為：工=11b11,求其主應力大小和主軸方向。用方程（2.4），（2.18）和（2.24）說明對各向同性介質(zhì)，應力主軸總是恰好與應變主軸重合。由方程（2.28）和

31、（2.29），根據(jù)地震波速度和密度導出拉梅參數(shù)的表達式。對于均勻各向同性彈性體，用應變分量表示應力分量的胡克定律T二九6e+2比，試利用彈性常數(shù)之間的關(guān)系導出應力分量表示為應變分量的ijijkkij表達式：e=-6t+toijEijkkEij2.3對泊松比為0.30的巖石，P/S波的速度比是多少？2.4觀測到實驗室里的花崗巖樣品的P波速度為5.5km/s,密度為2.6Mg/m3。假定樣品是泊松固體，求拉梅參數(shù)，揚氏模量、體積模量的值。給出你的以帕斯卡為單位的答案。如果樣品以地球24公里深度所存在的壓力壓縮，那么這樣品體積的相對變化是多少？對這問題，假定當樣品壓縮時，體積模量沒有變化。2.5用P

32、REM模型的值（附錄1）計算（a）核幔邊界（CMB）和（b）內(nèi)核邊界（ICB）兩邊的體積模量的值。以帕斯卡單位表達你的答案。2.6圣地亞哥，加利福尼亞大學在圣地亞哥東北山脈（在Anza附近）建立了PinonFlat觀測臺（PFO），儀器包括測量地殼變形的高質(zhì)量的應變計。（a）假定在PFO底下5公里，地震波的速度a=6km/s,卩=3.5km/s，密度p=2.7Mg/m3，根據(jù)這些參數(shù)計算拉梅參數(shù)九,卩的值。以帕斯卡單位給出答案。（b）1922年南加利福尼亞PFO以北80公里的Landers地震（Ms=7.3）后，PFO應變儀觀測到相對于地震前，應變有一個大的靜態(tài)變化。應變張量的水平分量按以下數(shù)

33、量變化：e=0.26x10-6,e二0.92x10-6,e=0.69x10-6，112212這里腳標1表示東，2表示北，拉張為正。你可以假定應變的變化是在地震時瞬間出現(xiàn)的。假定在深部，這些值也是正確的，用你在（a）所得到的結(jié)果來確定由于地震，在5公里深的地方造成的應力變化，即計算T,1和T的變化。把這112212看成是假定在垂直方向應變沒有變化，應變與深度無關(guān)的二維問題。（c）計算在PFO因Lander地震，應變主軸的取向（水平）。用方位角表達你的答案（北東多少度）。（d）在PFO觀測到應變穩(wěn)定的長期變化，一年的變化量為：e=0.101x10-6,e=-0.02x10-6,e=0.005x10

34、-6。注意到長期的應變變化接近112212于簡單的E-W向拉伸，假定在過去100年，應變的速率是穩(wěn)定的，初始應力為零，計算5公里深度應力張量的分量（注意，這或許是不很真實的假設?。┎话ㄔ?公里深度應力的流體靜壓分量。3533條地亞哥太平1151611819Landers地震-117洛杉磯圖2.4在1992年南加利福尼亞地震(M7.3)震中S以南80公里的PFO觀測臺觀測到的應變變化。農(nóng)民Bob在PFO附近有一平方公里的一小片土地，他將其圍起來，并作高精度的測量。農(nóng)民Bob每年增加或損失多少土地？由于Landers地震，他增加或損失多少土地？(計算)編寫計算機程序計算垂直斷層兩側(cè)從0到170之

35、間不同方位(從北到東以10增加)的應力。對你在5)和(d)中計算的應力張量，作表列出斷層方位和相應的剪應力及斷層兩邊的法應力(對Landers地震，這些值是應力的變化，不是絕對值)。對每種情況，什么方位有最大的剪應力？對于(b)中的應力狀態(tài)：Vp=6000;Vs=3500;dens=2700;miu=dens*Vs2;lam二dens*Vp2-2*miu;e11=0.26e-6;e22=0.92e-6;e12=-0.69e-6;ekk=e11+e22;s11=lam*(ekk)+2*miu*e11;s12=2*miu*e12;s22=lam*(ekk)+2*miu*e22;s=s11,s12;s12,s22;fortheta=0:10:170N=cos(deg2rad(theta)-sin(deg2rad(theta);sin(deg2rad(theta)cos(deg2rad(theta);thetaS=N*s*Nend對于(d)的情況