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1、 第二章應(yīng)力和應(yīng)變地震波傳播的任何定量的描述,都要求其能表述固體介質(zhì)的內(nèi)力和變形的特征?,F(xiàn)在我們對后面幾章所需要的應(yīng)力、應(yīng)變理論的有關(guān)部分作簡要的復(fù)習(xí)。雖然我們把這章作為獨(dú)立的分析,但不對許多方程進(jìn)行推導(dǎo),讀者想進(jìn)一步了解其細(xì)節(jié),可查閱連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的教科書。三維介質(zhì)的變形稱為應(yīng)變,介質(zhì)不同部分之間的內(nèi)力稱為應(yīng)力。應(yīng)力和應(yīng)變不是獨(dú)立存在的,它們通過描述彈性固體性質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系相聯(lián)系。應(yīng)力的表述應(yīng)力張量2.1.1應(yīng)力表示考慮一個(gè)在靜力平衡狀態(tài)下,均勻彈性介質(zhì)里一個(gè)任意取向的無限小平面。平面的取向可以用這個(gè)平面的單位法向矢量n來規(guī)定。在n方向的一側(cè)施加在此面單位面積上的力叫做牽引力,用矢量t二(t,t
2、,t)表示。在n相反方向的另一側(cè)施加在此面上的xyz力與其大小相等,方向相反,即t(-n)=-t(n)。t在垂直于平面方向的分量叫做法應(yīng)力,平行于平面方向的分量叫做剪應(yīng)力。在流體的情況下,沒有剪應(yīng)力,t=-pn,這里P是壓強(qiáng)。在笛卡爾坐標(biāo)系(圖2.1)里,應(yīng)力張量T可以用作用于yz,xz,xy平面的牽引力來定義+:t(x)t(y)tTTTXxxxxxyxzt(x)t(y)t=TTTyyzyxyyyzt(x)t(y)tTTTzzz1zxzyzzT二2.1)應(yīng)力分量的符號規(guī)定如下:對于正應(yīng)力,我們規(guī)定拉應(yīng)力為正,壓應(yīng)力為負(fù)。對于剪應(yīng)力,如果截面的外法線方向與坐標(biāo)軸一致,則沿著坐標(biāo)軸的正方向?yàn)檎?,?/p>
3、之為負(fù);如果截面方向與外法線方向相反,則沿著坐標(biāo)軸反方向?yàn)檎D2.1在笛卡爾坐標(biāo)系里描述作用在無限小立方體面上的力的牽引力矢量t(X),t(y),t(z)。+通常,應(yīng)力張量用腳標(biāo)互換的(2.1)式來定義,第一個(gè)腳標(biāo)表示面的法向方向。實(shí)際上,當(dāng)工是對稱的時(shí),沒有什么差別。因?yàn)楣腆w處于靜力平衡狀態(tài),所以沒有因剪應(yīng)力作用而產(chǎn)生的凈扭轉(zhuǎn)。例如,當(dāng)考慮XZ平面的剪應(yīng)力時(shí),為了使扭轉(zhuǎn)相互抵消,必須有P=T。類似地有:xzzxP=P,P=P。故應(yīng)力張量是對稱的,即:2.2)xyyxyzzyPPPxxxyxzPPPxyyyyzPPPxzyzzz應(yīng)力張量只包含6個(gè)獨(dú)立的要素,它們足以完全描述介質(zhì)中一個(gè)給定點(diǎn)的
4、應(yīng)力狀態(tài)。2、任意一個(gè)面上的應(yīng)力可以由應(yīng)力張量表示一點(diǎn)的九個(gè)應(yīng)力分量如果能夠完全確定一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài),則其必須能夠表達(dá)通過該點(diǎn)的任意斜截面上的應(yīng)力矢量。為了說明這一問題,在O點(diǎn)用三個(gè)坐標(biāo)面和一任意斜截面截取一個(gè)微分四面體單元,斜截面的法線方向矢量為n,它的三個(gè)方向余弦分別為l,m和n。設(shè)斜截面上的應(yīng)力為pn,i,j和k分別為三個(gè)坐標(biāo)軸方向的單位矢量,卩在坐標(biāo)軸上的投影分別為p,n.xp,p。則應(yīng)力矢量可以表示為yzpn=pxi+pyj+pzk同樣,把單位體積的質(zhì)量所受的體積力Fb沿坐標(biāo)軸分解,有Fb=Fbxi+Fbyj+Fbzk設(shè)S為AABC的面積,貝UNOBC=lS,AOCA=mS,AOAB=
5、nSAABC的法線方向的單位矢量可表示為n=li+lj+mk微分四面體在應(yīng)力矢量和體積力作用下應(yīng)滿足平衡條件,設(shè)h為O點(diǎn)至斜面ABC的高,由x方向的平衡,可得近=0p-BC-zAOAC-tAOAB+=0將公式AOEC二屁4OCA二漱,心E二戀代入上式,則p.+二對于微分四面體單元,h與單元體棱邊相關(guān),因此與1相比為小量,趨近于零(在忽略體力的情況下,F(xiàn)=0),因此bx=4+叨+7同理Py二坯+6嚴(yán)+廠/Ps二%丿+匸即腕+耳充如果采用張量記號,則上述公式可以表示為代=疔化上式給出了物體內(nèi)一點(diǎn)的9個(gè)應(yīng)力分量和通過同一點(diǎn)的各個(gè)微分面上的應(yīng)力之間的關(guān)系。這一關(guān)系式表明,只要有了應(yīng)力分量,就能夠確定一
6、點(diǎn)任意截面的應(yīng)力矢量,或者正應(yīng)力和切應(yīng)力。因此應(yīng)力分量可以確定一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。任一個(gè)取向由n定義的平面,一個(gè)側(cè)面作用于另一個(gè)側(cè)面的牽引力為應(yīng)力張量與n的乘積,即:t(n)=Tn=t(n)TTTnxxxxyxzxt(n)=TTTnyxyyyyzyt(n)TTTnzxzyzzzz2.3)這可以通過對由垂直于n的平面和xy,xz,yz平面所圍限的四面體(柯西四面體)面上的力求和作出說明。簡單地說,應(yīng)力張量是給出相對于法向矢量n的牽引力矢量t的線性算子,從這個(gè)意義上來說,應(yīng)力張量與任何特定的坐標(biāo)系無關(guān)。在地震學(xué)中,我們幾乎總是把應(yīng)力張量寫成笛卡爾幾何學(xué)里的一個(gè)3x3的矩陣。注意到對稱的要求,應(yīng)力張量的
7、獨(dú)立參數(shù)由9個(gè)減少為6個(gè),呈現(xiàn)為最一般形式的二階張量(標(biāo)量為零階張量,矢量為一階張量,等等)。應(yīng)力張量通常隨在物質(zhì)里的位置而變化,它是作用在固體里每一點(diǎn)的無限小的面上的力的度量。應(yīng)力只給出了這些面由一邊作用于另一邊的力的度量,計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)是單位面積上的力。然而,可能有其他力(如重力)。這些力稱為體力,計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)是每單位體積或單位質(zhì)量上的力。2.1.3坐標(biāo)變換一點(diǎn)的應(yīng)力分量不僅隨著變形體中點(diǎn)的位置在改變,而且即使在同一點(diǎn),由于截面的法線方向不同,截面上的應(yīng)力也不一樣。假設(shè)已知在坐標(biāo)系Oxyz中,彈性體中的某點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)表示為:TTTxxxyxzT=TTTxyyyyzTTTxzyzzz則對于新的坐標(biāo)系O
8、xxyzxlmn1i1ylmn222zlmn333yz,這點(diǎn)的各應(yīng)力分量是多少就是本小節(jié)討論的問題。設(shè)新舊坐標(biāo)系的方向余弦表如下:根據(jù)(2.3)可知,沿十的應(yīng)力可以表示為:t(x)=Tx=TTTxxxyxzTTTxyyyyzTTTxzyzzzl1m1n1此應(yīng)力有三個(gè)分量,將其再投影到r方向即得到在新坐標(biāo)系中的各分量:tttt=it(xr)=bmnxxtxytxzt1mxx111xyyyyz1tttnxzyzzz1-c(n1=12T+m2T+n2T+2lnt+2lnt+2mnt1xx1yy1zz11xy11xz11yzttt7一t=jt)=tmnxxtxytxztimxy222xyyyyzitt
9、tnxzyzzz1=11t+mmt+nnt+21nt+21nt+2mnt12xx12yy12zz11xy11xz11yzTmnttt_111一11ixxxyxz123t=1mntttmmmij222xyyyyz1231mntttnnn333xzyzzz123所以=NTtN由此可知一個(gè)斜面上的正應(yīng)力可以表示為:gG)=kn1Ftttnn1xxItxytxztxnxyzxyyyyzytttnxzyzzzz其剪應(yīng)力為:2.1.4主應(yīng)力和應(yīng)力主軸對任何應(yīng)力張量,總是可以找到一個(gè)方向n,使得在垂直于n的面上,沒有剪應(yīng)力,也就是說,t(n)沿n方向,在這種情況下:t(n)=Xri=tntn-九n=o(2.
10、4)(t-i九)n=o這里i是單位矩陣,久是標(biāo)量。這是一個(gè)本征值問題,只有detT-U=0(2.5)才有非無效的解。這是一個(gè)有三個(gè)本征值九、九、九解的三方程(不要把這些值123同后面將討論的拉梅參數(shù)相混淆)。由于T是對稱的,是實(shí)數(shù),所以本征值也是實(shí)數(shù)。相應(yīng)于本征值的本征矢量n,n,n是正交的。它們定義了應(yīng)力主軸。垂直于應(yīng)力主軸的平面叫做主平面。我們通過相似性變換,把t旋轉(zhuǎn)到n,n,席的坐標(biāo)系里:t1tr=NttN=000t020t32.6)這里TR是旋轉(zhuǎn)的應(yīng)力張量,T、T、12t是主應(yīng)力(與本征值九,九,九相等),N是3123本征矢量矩陣:n(1)n(2)n(3)xxxn(1)n(2)n(3)
11、yyyn(1)n(2)n(3)zzzNt=N-1為歸一化到單位長度的正交的本征矢量。2.7)在MATLAB中矩陣的本征值和本征向量的求法為:X,D=eig(sigma);其中sigma為三維應(yīng)力矩陣,X為三個(gè)本征向量,D為本征值矩陣。得到本征向量和本征值后,你可以采用X*sigma*X得到的結(jié)果驗(yàn)證是否是向量矩陣。如果T二T二T,那么應(yīng)力場處于流體靜壓狀態(tài),沒有任何取向的面有剪應(yīng)123力。在流體的情況下,應(yīng)力張量可寫成:-P00T=0-P0這里P是壓強(qiáng)。對于垂直應(yīng)力不變的應(yīng)力狀態(tài),其水平方向不同的應(yīng)力狀態(tài)可以表示為TxxTxy0-Txx-cTxy0_TT0,其主應(yīng)力方程可以表示為TT-c0 x
12、yyyxyyy00T00T-c=0,或者展開為T=zz解這個(gè)方程可得到三個(gè)主應(yīng)力為T-爲(wèi)2-(+T(T-T210,2.8)zzxxyy1Q=121Q=22xxyyxyT+Txxyy+T+Txxyy0及G二T3zz2.1.1應(yīng)力值應(yīng)力以單位面積上的力為計(jì)量單位,在國際單位制(SI)中的單位是:1帕斯卡(pa)=1牛頓米-2回顧一下,1牛頓=1千克米秒-2=105達(dá)因。另一個(gè)普遍采用的力的單位是巴:1巴(bar)二105pa1千巴二108pa二100Mpa1兆巴(Mbar)二1011pa二100Gpa(千兆帕)如表2.1用參考模型PREM(Dziewonski和Anderson,1981)所給出的
13、值所示,在地球里壓力隨深度快速增大。在400公里的深度,壓力達(dá)到13.4Gpa,在核幔邊界達(dá)136Gpa,在內(nèi)核邊界達(dá)329Gpa。與此對比,月球中心的壓力僅為4.8Gpa,相當(dāng)于在地球150公里深度所達(dá)到的值(Latham等人,1969),這是由于月球的質(zhì)量小得多。表2.1地球內(nèi)部壓力與深度的關(guān)系深度(公里)區(qū)域壓力(Gpa)0-24地殼0-0.624-400上地幔0.6-13.4400-670過渡區(qū)13.4-23.8670-2891下地幔23.8-135.82891-5150夕卜核135.8-328.95150-6371內(nèi)核328.9-363.9這些壓力是地球內(nèi)部的流體靜壓力。深部的剪切應(yīng)
14、力值小得多,包括與地幔對流有關(guān)的應(yīng)力和由地震波傳播所產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)應(yīng)力。靜態(tài)應(yīng)力可能存在于地殼上部脆性部分。測量地殼剪應(yīng)力是現(xiàn)代研究的課題。應(yīng)力的量級是有爭議的問題,地殼應(yīng)力可能在100巴和1000巴(10-100Mpa)之間,在接近活動(dòng)斷層的區(qū)域,應(yīng)力有降低的趨勢(活動(dòng)斷層的作用降低了應(yīng)力)。2.2應(yīng)變張量現(xiàn)在讓我們來考慮怎樣描述連續(xù)介質(zhì)里點(diǎn)的位置的變化。任何一點(diǎn)與參考時(shí)間t的相對位置都可以用一個(gè)矢量場來描述,即位移場為:0u(r)二rr(2.9)00這里r是現(xiàn)在的位置,r是參考點(diǎn)的位置。位移場是一個(gè)重要的概念,在這本書0中經(jīng)常涉及到。它是位置變化的絕對度量。與此相對照,應(yīng)變是位移場相對變化的局
15、部度量,即位移場空間梯度的度量。應(yīng)變與材料的變形或形狀的變化有關(guān),而與位置的絕對變化無關(guān)。例如,張應(yīng)變是按照長度的相對變化來定義的。如果把一根100米長的細(xì)繩,一端固定,在另一端均勻地拉長到101米,那么沿細(xì)繩位移場從0變化到1米。依此,在繩的任何地方,應(yīng)變場為0.01(1%)的常數(shù)??紤]離開參考位置x一個(gè)小的距離的某一點(diǎn)x的位移u二(u,u,u),對u0 xyz作泰勒級數(shù)展開,得到:dududuu(x)=dxx-dyxdzdududu貳dy牙dududu=u(x)+0dxd=u(x)+Jdy0dz2.10)這里d=x-x0,假定偏導(dǎo)數(shù)土,土等很小,它們的乘積可以忽略。那么,根據(jù)無限小應(yīng)變理論
16、,我們就可以忽略展開式中的高階項(xiàng)。慶幸的是在地震學(xué)中地球的應(yīng)變幾乎總是很小的,以致于這種近似是恰當(dāng)?shù)摹N覀兛梢酝ㄟ^把J分成對稱和反對稱部分,把剛性旋轉(zhuǎn)部分離出來:dududux-dxx-dyx-dzdududuJ=A=e+Qdxdydzdudududxdyzdz2.11)這里應(yīng)變張量e是對稱的(e=e),可表達(dá)為:ijjiduxdxdudu、e=(+)dxdy HYPERLINK l bookmark62 dudu(壬+y) HYPERLINK l bookmark64 dydxdu1dudu卞)1du2(苛+du)dy2.12)1dudu2(盂+dZ)du(zdydu+牙)duzdz這里旋轉(zhuǎn)
17、張量Q是反對稱的,可表達(dá)為:(dudyxduydxdudu(xz)dzdxduQu(x-斗)dydx1du2(1Zduy2.13) HYPERLINK l bookmark78 dudu(x于)dzdx1du2(1Zduy讀者可對e+Q=J作檢驗(yàn)??赏ㄟ^考慮一個(gè)無限小的立方體所發(fā)生的情況(圖2.2)對e和Q效應(yīng)作說明。e的非對角線元素形成了剪應(yīng)變。例如,在二維的情況下,如果0二0和沒有體積變化,那么有dududuxz0,xdxdzdzdu,以及Je0duzdxduxdz02.14)圖2.2用x-z平面的正方形的圖解說明應(yīng)變張量e和旋轉(zhuǎn)張量0的不同效應(yīng)。e的非對角線元素形成了剪應(yīng)變(左邊的正方形
18、),而0形成了剛性旋轉(zhuǎn)(右邊的正方的)。相對于有效無限小應(yīng)變理論,這里所標(biāo)的變形是大大放大了的。這里9是每邊旋轉(zhuǎn)的角度(弧度,不是度數(shù)?。⒁膺呏g角度的總變化是29。與此相對照,矩陣0形成剛性旋轉(zhuǎn)。例如,如果e-0,那么有:生七,以及:0-90dudXduxdz02.15)在這兩種情況下,材料沒有體積變化。相對的體積增大,或膨A=(V-V)/V00由x,y,z方向的拉張之和給出:TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark70 dududu HYPERLINK l bookmark130 A=x+a+ztre=V-udxdydz這里tree+e+e是e的跡。注意,膨
19、脹是由位移場的散度給出的。112233那么,位移場的旋度是什么呢?我們回顧一下矢量場的旋度的定義 HYPERLINK l bookmark132 dudududududu HYPERLINK l bookmark134 Vxu(土y)X+(xw)y+(ax HYPERLINK l bookmark136 dydzdzdxdxdy2.16)2.17)把方程與(2.13)比較說明,只要Q不為零,那么Vxu就不為零,位移場就包含某種剛性旋轉(zhuǎn)。像應(yīng)力張量那樣,應(yīng)變張量是對稱的,包含6個(gè)獨(dú)立的參數(shù)。通過計(jì)算位移的取向n,可以找到應(yīng)變主軸,即:u九neni(2.18)圖2.3樣品沿x方向的張應(yīng)變導(dǎo)致剪應(yīng)變
20、。內(nèi)部的角度是變化的。這與上節(jié)討論應(yīng)力張量的情況類似。三個(gè)本征值為主應(yīng)變e,e,e,而本征矢量123規(guī)定了應(yīng)變主軸。注意,除了eee的流體靜應(yīng)變的情況外,總是有某種剪123應(yīng)變出現(xiàn)。例如,考慮一個(gè)僅在x方向拉張的正方形(圖2.3),那么e可表達(dá)為:Que0 x-01=Qx00|_00e=2.19)平行于坐標(biāo)軸的線之間的角度沒有變化,但中間角度的線發(fā)生旋轉(zhuǎn)。如果把坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)45,那么與剪應(yīng)變相聯(lián)系的角度的變化是很明顯的(在這種情況下,e有兩個(gè)非對角線項(xiàng))。在下節(jié)我們將發(fā)現(xiàn)用腳標(biāo)符號有助于表達(dá)應(yīng)變張量。方程(2.12)可寫成:1e=(du+du)(2.20)ij2ijjiQu這里假定i和j的順序?yàn)?/p>
21、1至3(按x,y,z的取向)。我們用了符號Qu=亍。xyQx2.2.1應(yīng)變值由于應(yīng)變表示長度的變化除以長度,故應(yīng)變是無量綱的。與遠(yuǎn)場地震波通過相聯(lián)系的動(dòng)態(tài)應(yīng)變,基本上小于10-6。2.3線性的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系在彈性介質(zhì)中,應(yīng)力和應(yīng)變通過應(yīng)力應(yīng)變的本構(gòu)關(guān)系聯(lián)系起來。應(yīng)力張量和應(yīng)變張量之間最一般的線性關(guān)系可以寫成:t二ce二Hce(2.21)ijijklklijkekl這里c叫做彈性張量。在此,我們開始采用3腳標(biāo)符號求和的慣用做法。在乘積ijkl中任何重復(fù)的腳標(biāo)都意味著求和是從腳標(biāo)1到3。方程(2.21)假定是完全彈性的,當(dāng)應(yīng)力作用,材料發(fā)生變形時(shí),能量沒有損失和衰減(有時(shí),這些效應(yīng)可由c為復(fù)數(shù)來模擬
22、)。在第六章之前,我們不考慮非彈性狀態(tài)和衰減。ijkl應(yīng)力張量是一個(gè)有81個(gè)(34)元素的四階張量。然而,由于應(yīng)力張量和應(yīng)變張量的對稱性,它們各自只有六個(gè)分量。因此如果不討論預(yù)應(yīng)力問題,應(yīng)力分量和應(yīng)變分量之間的表達(dá)式可以表示為:TOC o 1-5 h zt=ce+ce+ce+ce+ce+ce11111112221333141215231631t=ce+ce+ce+ce+ce+ce211122222333241225232631t=ce+ce+ce+ce+ce+ce33311132223333341235233631(2.22)t=ce+ce+ce+ce+ce+ce124111422243334
23、41245234631t=ce+ce+ce+ce+ce+ce511152225333541255235631t=ce+ce+ce+ce+ce+ceV31611162226333641265236631上式只有36個(gè)彈性常數(shù)cCj=1,2,3,4,5,6)??梢宰C明,對于一個(gè)保守系統(tǒng)(及無能量損失)c二c(證明從略)。因此對于極端的各向異性介質(zhì),獨(dú)立的彈(/jTOC o 1-5 h z性參數(shù)為21個(gè)(c=c,c=c,c=c,c=c,c=c、12211331144115511661c二c,c二c,c二c,c二c、c二c,c二c,c二c、c二c,c二c、23322442255226623443355
24、3366345544664c二c)。,這些元素只有21個(gè)是獨(dú)立的。這21個(gè)元素是確定彈性固體的最一6556般形式的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系所必須的。這樣一種固體的性質(zhì)可能隨方向變化,如果是這樣的話,就稱這種介質(zhì)是各向異性的。與此相反,各向同性的固體,所有方向的性質(zhì)是相同的。對地球內(nèi)部,大多數(shù)情況下,各向同性是合適的一級近似。但在一些地區(qū)觀測到各向異性,這是現(xiàn)代研究的一個(gè)重要領(lǐng)域(參見11.3節(jié),關(guān)于各向異性)。如果我們作了各向同性的假定,此時(shí),獨(dú)立參數(shù)減至2個(gè):九和卩,這些參數(shù)又叫做介質(zhì)的拉梅參數(shù)。我們將看到,拉梅參數(shù)及介質(zhì)的密度將最終確定介質(zhì)的地震波速度。對各向同性固體,應(yīng)力應(yīng)變方程(2.21)為:t5
25、+卩(55+55)e二九e+2ye(2.23)i/i/klil/kik/lkli/kki/這里我們用e二e合并卩的項(xiàng)。注意e二tre是e的對角線元素的和。用這方i/ikk程,我們根據(jù)應(yīng)變可直接寫出應(yīng)力張量:九tre+2ye112ye212ye312ye12九tre+2ye222ye322ye132ye23九tre+2ye332.24)這兩個(gè)拉梅參數(shù)完全描述了各向同性固體里的線性的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。y叫做剪切模量,是介質(zhì)抗剪切的度量。它的值是所作用的剪切應(yīng)力與所導(dǎo)致的剪應(yīng)變比率的一半,即y=T/2e。另一個(gè)拉梅參數(shù)九,沒有簡單的物理解釋。各向同xyxy性固體的其他普遍使用的彈性參數(shù)中很多具有特定的物
26、理意義。3彈性參數(shù)的物理意義及相互轉(zhuǎn)換楊氏模量E:兩端拉伸的柱體的張應(yīng)力與張應(yīng)變的比率,正應(yīng)力和線應(yīng)變之間滿足胡克定律:=E所以E表示彈性材料抵抗拉張(或壓縮)的能力,E越大說明彈性體越難變形。Possion比彈性體縱向伸長(或縮短)AL后,其橫向也會有Ad的變化,y_-d叫做Possion系數(shù)。式中負(fù)號表示縱ALl向應(yīng)變和橫向應(yīng)變方向相反,為保證Y為正而取的。Possion系數(shù)僅與材料本身的性質(zhì)有關(guān)。實(shí)驗(yàn)表明,對于一切介質(zhì),Y介于0到0.5之間,對于地幔介質(zhì),常用0.25表示地幔的大部分,對于地球外核(液態(tài)),取為0.5.體積模量K:在實(shí)際地球中,只受單向壓力或拉力的情形很少,一般情況下是各
27、個(gè)方向都受力,最常見的是液體靜壓力。彈性體在靜壓力P作用下提及變化AV,則有關(guān)系A(chǔ)VP_-KV因此體變模量K為流體靜壓力與由其所導(dǎo)致的體積變化的比率,是介質(zhì)不可壓縮性的度量。應(yīng)指出,體變模量K可以從楊氏模量E和Possion系數(shù)推導(dǎo)出來。設(shè)一個(gè)立方體邊長為L,體積則為V=L3,在液體靜壓應(yīng)力下,整個(gè)體積的相對變化率可由邊長的相對變化率決定,即:AV_3AL,就任何一個(gè)方向而言,在這個(gè)方向上VL的壓應(yīng)力,使其長度改變AL而在與此方向垂直的另兩個(gè)方向的壓應(yīng)力,又使其長度改變了-2yALf,故總的效果是這三個(gè)方向壓應(yīng)力作用之和:AL_6-,從而得出:_3(1-2y)AL,注意,AL為僅在單向壓力作用
28、下的長度VLL的改變量,滿足關(guān)系式:AL_,P_ELEL這樣可得到:彈性系數(shù)之間的關(guān)系單向拉伸實(shí)驗(yàn):T_G,T_T_T_T_T_0112233231312TTe_ii,e_e_ye_71111E223311E由胡克定律可得:T二2pe+九e1111kk0二2pe+九e22kk0二2pe+九e33kk三式相加得:Tekk=&+k)代入上式第一式得:E=呻+2九+卩代入第二式或第三式得:Y=2(2+卩)各向均勻壓縮試驗(yàn):T=T=T=p,T=T=T=0112233121323體變模量定義為:K=Pekk由廣義胡克定律:p=2pe+2e11kkp=2pe+2e22kkp=2pe+2e33kk三式相加得
29、:3p=&+2応kk22.26)與體變模量的定義比較可得K=2+2卩在地震學(xué)中,我們主要涉及壓縮(P)和剪切(S)波的速度。如后面所指出,它們可由這些彈性常數(shù)和密度p來計(jì)算:P波的速度表達(dá)為:2.28)a=;2斗PPS波的速度0表達(dá)為:2.29)泊松比往往用來度量P波和S波速度的相對大小,表達(dá)為:2.30)a22022(a2-p2)注意丫無量綱,在0-0.5之間變化,下限相當(dāng)于流體的情況(卩二0)。對泊松固體,九二二0.25,a/Pf:3。多數(shù)地殼巖石,泊松比在0.25與0.30之間。2.3.1彈性模量的單位拉梅參數(shù)、揚(yáng)氏模量、體積模量都有像應(yīng)力那樣的單位(帕斯卡)?;仡櫼幌拢?帕斯卡(pa)
30、=1牛頓米-2二訐克米-1秒-2注意當(dāng)其被密度除時(shí),結(jié)果即為速度平方(適合于方程2.28和2.29)的單位。練習(xí):10-1、1、地殼中某點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)在北東下坐標(biāo)系中表示為:工=0-10,ijI-101丿單位MPa。求其三個(gè)主應(yīng)力及其方向。2、已知地殼中某點(diǎn)的主應(yīng)力為b=75bar,q=50bar,q=-50bar,斜截123面的法線與三個(gè)主軸成等角,求該面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力。(提示該面的方向余弦為咅吉吉)。(113、已知某點(diǎn)的應(yīng)力張量為:工=11b11,求其主應(yīng)力大小和主軸方向。用方程(2.4),(2.18)和(2.24)說明對各向同性介質(zhì),應(yīng)力主軸總是恰好與應(yīng)變主軸重合。由方程(2.28)和
31、(2.29),根據(jù)地震波速度和密度導(dǎo)出拉梅參數(shù)的表達(dá)式。對于均勻各向同性彈性體,用應(yīng)變分量表示應(yīng)力分量的胡克定律T二九6e+2比,試?yán)脧椥猿?shù)之間的關(guān)系導(dǎo)出應(yīng)力分量表示為應(yīng)變分量的ijijkkij表達(dá)式:e=-6t+toijEijkkEij2.3對泊松比為0.30的巖石,P/S波的速度比是多少?2.4觀測到實(shí)驗(yàn)室里的花崗巖樣品的P波速度為5.5km/s,密度為2.6Mg/m3。假定樣品是泊松固體,求拉梅參數(shù),揚(yáng)氏模量、體積模量的值。給出你的以帕斯卡為單位的答案。如果樣品以地球24公里深度所存在的壓力壓縮,那么這樣品體積的相對變化是多少?對這問題,假定當(dāng)樣品壓縮時(shí),體積模量沒有變化。2.5用P
32、REM模型的值(附錄1)計(jì)算(a)核幔邊界(CMB)和(b)內(nèi)核邊界(ICB)兩邊的體積模量的值。以帕斯卡單位表達(dá)你的答案。2.6圣地亞哥,加利福尼亞大學(xué)在圣地亞哥東北山脈(在Anza附近)建立了PinonFlat觀測臺(PFO),儀器包括測量地殼變形的高質(zhì)量的應(yīng)變計(jì)。(a)假定在PFO底下5公里,地震波的速度a=6km/s,卩=3.5km/s,密度p=2.7Mg/m3,根據(jù)這些參數(shù)計(jì)算拉梅參數(shù)九,卩的值。以帕斯卡單位給出答案。(b)1922年南加利福尼亞PFO以北80公里的Landers地震(Ms=7.3)后,PFO應(yīng)變儀觀測到相對于地震前,應(yīng)變有一個(gè)大的靜態(tài)變化。應(yīng)變張量的水平分量按以下數(shù)
33、量變化:e=0.26x10-6,e二0.92x10-6,e=0.69x10-6,112212這里腳標(biāo)1表示東,2表示北,拉張為正。你可以假定應(yīng)變的變化是在地震時(shí)瞬間出現(xiàn)的。假定在深部,這些值也是正確的,用你在(a)所得到的結(jié)果來確定由于地震,在5公里深的地方造成的應(yīng)力變化,即計(jì)算T,1和T的變化。把這112212看成是假定在垂直方向應(yīng)變沒有變化,應(yīng)變與深度無關(guān)的二維問題。(c)計(jì)算在PFO因Lander地震,應(yīng)變主軸的取向(水平)。用方位角表達(dá)你的答案(北東多少度)。(d)在PFO觀測到應(yīng)變穩(wěn)定的長期變化,一年的變化量為:e=0.101x10-6,e=-0.02x10-6,e=0.005x10
34、-6。注意到長期的應(yīng)變變化接近112212于簡單的E-W向拉伸,假定在過去100年,應(yīng)變的速率是穩(wěn)定的,初始應(yīng)力為零,計(jì)算5公里深度應(yīng)力張量的分量(注意,這或許是不很真實(shí)的假設(shè)!)不包括在5公里深度應(yīng)力的流體靜壓分量。3533條地亞哥太平1151611819Landers地震-117洛杉磯圖2.4在1992年南加利福尼亞地震(M7.3)震中S以南80公里的PFO觀測臺觀測到的應(yīng)變變化。農(nóng)民Bob在PFO附近有一平方公里的一小片土地,他將其圍起來,并作高精度的測量。農(nóng)民Bob每年增加或損失多少土地?由于Landers地震,他增加或損失多少土地?(計(jì)算)編寫計(jì)算機(jī)程序計(jì)算垂直斷層兩側(cè)從0到170之
35、間不同方位(從北到東以10增加)的應(yīng)力。對你在5)和(d)中計(jì)算的應(yīng)力張量,作表列出斷層方位和相應(yīng)的剪應(yīng)力及斷層兩邊的法應(yīng)力(對Landers地震,這些值是應(yīng)力的變化,不是絕對值)。對每種情況,什么方位有最大的剪應(yīng)力?對于(b)中的應(yīng)力狀態(tài):Vp=6000;Vs=3500;dens=2700;miu=dens*Vs2;lam二dens*Vp2-2*miu;e11=0.26e-6;e22=0.92e-6;e12=-0.69e-6;ekk=e11+e22;s11=lam*(ekk)+2*miu*e11;s12=2*miu*e12;s22=lam*(ekk)+2*miu*e22;s=s11,s12;s12,s22;fortheta=0:10:170N=cos(deg2rad(theta)-sin(deg2rad(theta);sin(deg2rad(theta)cos(deg2rad(theta);thetaS=N*s*Nend對于(d)的情況
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