出租車數(shù)量估計趙朋飛修改版B題(共10頁)

1、PAGE 16PAGE 12寶雞(bo j)文理學(xué)院2014年數(shù)學(xué)(shxu)建模培訓(xùn)(pixn)第二次模擬 B題姓名系別學(xué) 號趙朋飛數(shù)學(xué)系201290014087王文鵬計科系201296014053葉鵬物理系201291024078出租車數(shù)量(shling)的估計問題摘要(zhiyo)本文(bnwn)運用概率統(tǒng)計的思想，解決了出租車數(shù)量的估計問題。依據(jù)題目要求，我們建立了兩種估計模型，估算出了該小鎮(zhèn)出租車的數(shù)量，并且對模型的可靠性進行了檢驗。對于模型一：首先，題目所給樣本數(shù)據(jù)是隨機的，通過MATLAB軟件作圖，發(fā)現(xiàn)區(qū)間間隔為時，落在每個區(qū)間車牌號數(shù)量是均勻分布的，即車牌號服從于均勻分布。而車

2、牌號又是按順序排列的，所以樣本中的最小車牌號與最大車牌號趨近于該市機動車出租車車牌號的起始號與終止號，試假設(shè)該機動車出租車車牌號區(qū)間為，進而求出該市機動車出租車的總數(shù)量為輛；然后，對于樣本中所給的出租車牌號，經(jīng)過后減運算，得到每兩個相鄰的車牌號之間間隔的車牌號數(shù)量，用EXCEL軟件排序并作圖，剔除了極端差值，其余求其平均數(shù),即每輛出租車車牌號之間間隔平均是；最后計算出該小鎮(zhèn)出租車的數(shù)量輛。對于模型二：由于模型一中確定該市機動車出租車車牌號區(qū)間不甚精確，我們考慮對其進行優(yōu)化。首先，我們運用了兩種方法估計了該市機動車的總數(shù)量：方法一，引用盟軍估計德軍坦克數(shù)量的模型估計出該市機動車的總數(shù)為；方法二，

3、運用極大似然估計函數(shù)確定該市機動車出租車的車牌號區(qū)間為，經(jīng)端點值作差得出該市機動車出租車的總數(shù)為；（這兩種方法貌似得去掉一個）將兩種方法（去掉）所求的該市機動車總數(shù)均值作為該市機動車最終數(shù)量。然后，把樣本的車牌號每隔進行統(tǒng)計，得到每個車牌號中的出租車車牌數(shù)量,對得到的數(shù)據(jù)用SPSS軟件進行檢驗，顯示呈正態(tài)分布并得其均值，采用極大似然估計法求得正態(tài)分布總體中參數(shù)，即該市每輛機動車出租車中有輛出租車屬于分配在該小鎮(zhèn)。最后計算出該小鎮(zhèn)有出租車輛。綜合兩種模型，模型一對機動車車牌號范圍的區(qū)間估計不夠精確，而模型二在估算機動車牌號范圍的區(qū)間時，恰當(dāng)運用盟軍估計德軍坦克數(shù)量模型與極大似然估計法，比較精確地

4、求得該市機動車的數(shù)量。另外，模型二對車牌號分區(qū)間考慮使得估算更為合理。模型檢驗中偏態(tài)系數(shù)與峰度系數(shù)對統(tǒng)計數(shù)據(jù)的分析使得模型更為完善。（改為）最后我們對兩種模型的優(yōu)缺點進行了討論。關(guān)鍵字：極大似然估計 正態(tài)分布 SPSS軟件 偏態(tài)系數(shù) 峰度系數(shù)一、問題(wnt)重述小張寒假回到他的家鄉(xiāng)某小鎮(zhèn)(xio zhn)，在出門探親訪友過程中，他發(fā)現(xiàn)小鎮(zhèn)的出租車，存在諸多問題。他打算從小鎮(zhèn)的出租車數(shù)量入手，解決這些問題。在接下來的幾天時間里，他隨機的記錄了133輛出租車車牌號的后5位見（附錄(fl)1）。他只知道車牌號是按順序排列的，但他不知道車牌的起始號，也不知道車牌的終止號，他希望通過上述數(shù)據(jù)估計出小鎮(zhèn)

5、的出租車數(shù)量。要求幫助小張設(shè)計一種或多種數(shù)學(xué)模型，來估計小鎮(zhèn)出租車的數(shù)量，并分析方法的可靠性。二、模型假設(shè)樣本統(tǒng)計過程中沒有考慮外來車輛。該市機動車的車牌號連續(xù)。該市機動車與車牌號一一對應(yīng)。該市機動車車牌號的后五位均由數(shù)字組成。三、符號說明符號含義該市機動車數(shù)量原始車牌號序列樣本相鄰車牌號的差值序列差值的平均值倆車牌號的間隔小鎮(zhèn)出租車數(shù)量樣本均值樣本方差方差樣本中最小的車牌號樣本中最大的車牌號樣本中車牌號的數(shù)量該市機動車下限的最大似然估計值該市機動車上限的最大似然估計值總體均值組中值對應(yīng)比重偏態(tài)系數(shù)峰度系數(shù)四、問題(wnt)分析本題屬于概率統(tǒng)計(tngj)問題。要估算出該小鎮(zhèn)出租車的數(shù)量，首先

6、需要估算出該市機動車出租車的數(shù)量(shling)?？紤]到題目所給樣本數(shù)據(jù)是隨機的，通過MATLAB軟件作圖，發(fā)現(xiàn)區(qū)間間隔為時，落在每個區(qū)間車牌號數(shù)量是均勻分布的，即車牌號服從于均勻分布。我們可以采用點估計，即以實際樣本指標(biāo)數(shù)值作為總體參數(shù)的估計值，估算出該市機動車的數(shù)量，進而估計出小鎮(zhèn)出租車數(shù)量。我們可以從以下兩種思路來求解： 思路一：由于樣本中的車牌號均勻分布，考慮到所在地為小鎮(zhèn)且車牌號是按順序排列的，所給車牌號碼的最小值與最大值就非常趨近于起初號和終止號，所以假設(shè)車牌號區(qū)間為24000，31999。經(jīng)過后減運算，剔除壞數(shù)據(jù)，得出每兩輛車牌號之間相差的個數(shù)，從而得出小鎮(zhèn)出租車的數(shù)量。 思路二

7、：對思路一中確定總體車牌號區(qū)間存在的不精確性，我們將其進行優(yōu)化，可以用點估計1與極大似然函數(shù)（和摘要對應(yīng)，去掉一種方法）確定總體的車牌號區(qū)間。參照點估計中最小無偏估計，采用較為準(zhǔn)確的計算公式確定車牌號區(qū)間，即為該市機動車總數(shù)，當(dāng)然，我們還可以利用極大似然函數(shù)確定車牌號區(qū)間。（與上對應(yīng)，去掉一種方法）其次，將樣本的車牌號每隔進行統(tǒng)計，得到的統(tǒng)計數(shù)據(jù)求其平均值，把所得平均值與機動車總數(shù)的千分之一的乘積作為該小鎮(zhèn)出租車數(shù)量的估計值。五、模型建立與求解5.1模型一：對于隨機分布的樣本數(shù)據(jù)，若其服從于均勻分布，可取接近樣本最大值與最小值的數(shù)據(jù)作為總體區(qū)間的上下限，即區(qū)間，進而可得總體的數(shù)量為。據(jù)問題分析

8、知樣本中的車牌號均勻分布，且已設(shè)車牌號區(qū)間為，故得總的車牌號數(shù)量，即該市機動車的數(shù)量。由題目(tm)已給條件知原始車牌號序列：即： 由后減運算計算，即求出后前兩個(lin )數(shù)據(jù)之差： ，其中(qzhng)；可得一個新的序列： 利用EXCEL軟件，以此新序列排序作為縱坐標(biāo)并作圖1：圖1觀察圖1，發(fā)現(xiàn)中間部分有很多均勻的差值，兩端出現(xiàn)較大的波動，忽略兩端極端差值，即剔除40以下和90100以上的差值，其余求平均值，經(jīng)EXCEL軟件計算得平均值約為，即兩車牌號之間間隔。由此估計出出租車數(shù)量為：結(jié)合以上數(shù)據(jù)，估計出該小鎮(zhèn)共有出租車輛。5.2模型二：（去掉一種方法，建議去掉盟軍模型）1.估計樣本對應(yīng)總

9、體的取值空間(該市機動車數(shù)量)：方法一：在 HYPERLINK /wiki/%E7%BB%9F%E8%AE%A1%E5%AD%A6%E7%90%86%E8%AE%BA o 統(tǒng)計學(xué)理論 統(tǒng)計學(xué)理論的 HYPERLINK /wiki/%E4%BC%B0%E8%AE%A1%E7%90%86%E8%AE%BA o 估計理論 估計中，用不放回抽樣來估計 HYPERLINK /wiki/%E7%A6%BB%E6%95%A3%E5%9E%8B%E5%9D%87%E5%8C%80%E5%88%86%E5%B8%83 o 離散型均勻分布 離散型均勻分布最大值問題是著名的德國坦克問題1。針對該問題，建立盟軍估計德

10、軍坦克數(shù)量模型。對于 HYPERLINK /w/index.php?title=%E7%82%B9%E4%BC%B0%E8%AE%A1&action=edit&redlink=1 o 點估計（頁面不存在） 點估計（實際 HYPERLINK /view/315109.htm t /view/_blank 樣本指標(biāo)數(shù)值作為 HYPERLINK /view/3287459.htm t /view/_blank 總體參數(shù)的 HYPERLINK /view/962834.htm t /view/_blank 估計值），最小方差無偏估計由下式給出并以此確定總體取值區(qū)間： 是樣本最小值，是樣本最大值，是樣本

11、大小。 題目中所給車牌號為隨機抽取(chu q)的一組數(shù)據(jù)，其為離散均勻分布,結(jié)合題目(tm)已知，樣本中出租車車牌號的最小值，出租車車牌號的最大值，出租車數(shù)量(shling)，代入以上公式求得。即在車牌號連續(xù)的情況下，可估計該市機動車數(shù)量。方法二：再者，我們可以以極大似然估計來確定總體取值區(qū)間：設(shè)總體在上服從于均勻分布，是一個樣本值，我們來確的最大似然估計量：記，的概率密度是由于，等價于，。似然函數(shù)為即在時取到最大值。故的最大似然估計值為：即： 該市機動車出租車車牌號在上服從均勻分布，為樣本出租車車牌號，樣本最小值，樣本最大值，可求得的最大似然估計量為，的最大似然估計量為。即該市機動車出租車

12、車牌號區(qū)間為，在車牌號連續(xù)的情況下，可估計該市機動車數(shù)量。綜合考慮方法一與方法二所得該市機動車數(shù)量，我們將其平均值()作為估計該小鎮(zhèn)出租車數(shù)量的基數(shù)。2.將樣本數(shù)據(jù)分成若干區(qū)間考慮(估計該小鎮(zhèn)出租車數(shù)量)：把樣本的車牌號每隔進行統(tǒng)計，得到每個車牌號中的出租車車牌數(shù)量并作表1：區(qū)間出租車車牌數(shù)量（個）表1：出租車車牌數(shù)量(shling)統(tǒng)計表觀察(gunch)表1，對于(duy)指定區(qū)間的出租車車牌數(shù)量我們加以分析，通過SPSS軟件2，使用K-S對其進行正態(tài)性檢驗(附錄2)，檢驗結(jié)果如圖2：圖2：正態(tài)性檢驗根據(jù)檢驗結(jié)果，指定區(qū)間的出租車車牌數(shù)量符合正態(tài)分布。接下來求正態(tài)分布中的極大似然估計量：是

13、正態(tài)分布總體的隨機樣本，需要求正態(tài)分布參數(shù)的極大似然估計量。 似然函數(shù)為：取對數(shù)，得：那么似然方程組為：解得： 因此，正態(tài)分布總體(zngt)平均數(shù)的極大似然估計量為：方差(fn ch)估計量為： 對于(duy)出租車車牌數(shù)量統(tǒng)計數(shù)據(jù)，是正態(tài)分布總體的隨機樣本，所以因為，所以得出總體均值，即以上八個車牌號區(qū)間中出租車車牌數(shù)量的平均值約為,即可近似認為該市每1000輛機動車中有17輛出租車屬于分布在該小鎮(zhèn)，進而求出該小鎮(zhèn)出租車的數(shù)量為：綜合以上，代入上式，可估算出該小鎮(zhèn)共有出租車輛。六、模型檢驗為了推斷模型二(2)中統(tǒng)計數(shù)據(jù)的未知特性,我們提出統(tǒng)計數(shù)據(jù)服從于正態(tài)分布的假設(shè)，并采用極大似然估計法對

14、其參數(shù)進行了估計。作出出租車車牌數(shù)量統(tǒng)計圖如圖3。了解到集中趨勢和離散程度是數(shù)據(jù)分布的兩個重要特征，要全面了解數(shù)據(jù)分布的特點，還需要知道數(shù)據(jù)偏斜的程度及分布的扁平程度等，我們可以從偏態(tài)和峰度的角度對這些分布特征進一步描述。圖31.偏態(tài)及其測度(c du)：偏態(tài)是對數(shù)據(jù)分布偏斜方向及程度(chngd)的測度，偏態(tài)系數(shù)(xsh)(分布偏斜程度的測度)計算公式：將對應(yīng)區(qū)間出租車車牌數(shù)量進一步分組，是組中值，是組中值標(biāo)準(zhǔn)差的三次方，為對應(yīng)比重。在模型二(2)統(tǒng)計數(shù)據(jù)中為對應(yīng)區(qū)間出租車車牌數(shù)量，利用EXCEL軟件可求得偏態(tài)系數(shù)(求解過程見附錄3)。由于偏態(tài)系數(shù),因此指定區(qū)間出租車車牌數(shù)量為左偏分布，即在

15、總體區(qū)間確定的情況下，推理說明機動車車牌號大多分布于前半?yún)^(qū)間。2.峰度及其測度：峰度是分布集中于高峰的形態(tài)。它通常是與正態(tài)分布相比較來說的，在歸化到同一方差時，若分布的形狀比正態(tài)分布更瘦更高（太口語化），則稱為尖峰，若比正態(tài)分布更矮更胖（太口語化），則稱為平峰分布。峰度系數(shù)是離差四次方的平均數(shù)，再除以標(biāo)準(zhǔn)差的四次方，其計算公式為： 式中：表示(biosh)峰度系數(shù)，是標(biāo)準(zhǔn)差的四次方。已知正態(tài)分布的峰度系數(shù)(xsh)為3，當(dāng)時為尖峰(jin fn)分布，當(dāng)時為扁平分布。在模型二(2)統(tǒng)計數(shù)據(jù)中為對應(yīng)區(qū)間出租車車牌數(shù)量，利用EXCEL軟件可求得峰度系數(shù)(求解過程見附錄3)。由于偏態(tài)系數(shù),因此指定區(qū)

16、間出租車車牌數(shù)量為扁平分布，且扁平程度相當(dāng)大，推理說明機動車車牌號趨于均勻分布，與題目所給數(shù)據(jù)隨機性相符。七、模型評價優(yōu)點：1、模型二在計算機動車牌號范圍的區(qū)間時，分別用了點估計和極大似然估計法，較為精確。2、對樣本數(shù)據(jù)處理時，觀測發(fā)現(xiàn)區(qū)間為1000時的出租車牌號大致呈正態(tài)分布，但模型二將數(shù)據(jù)通過SPSS軟件驗證，結(jié)果確為正態(tài)分布，這樣就增加了模型的精確程度。3、模型一簡單易懂，計算簡潔，具有直觀性。缺點：1、模型一對機動車牌號范圍的區(qū)間估計不甚精確。 2、模型沒有考慮非本地的出租車的混入，從而對結(jié)果造成了誤差。八、模型應(yīng)用與推廣基于以上模型的建立，我們得到了一個以給定一組樣本數(shù)據(jù)為基準(zhǔn)，來估計出總體數(shù)量的模型，并且還可以分析模型的可靠性，增加了模型的實用性。不難想象，可以將此模型應(yīng)用于交通流量的