第11章-線性動態(tài)電路暫態(tài)過程的復(fù)頻域分析課件

1、 前一章研究了線性動態(tài)電路暫態(tài)過程的時域分析問題，指出在儲能元件較多時，確定積分常數(shù)將十分繁雜。為此，本章介紹采用拉普拉斯變換分析線性動態(tài)電路的方法，使常微分方程問題化為代數(shù)方程問題。復(fù)頻域分析法同第六章的相量法一樣屬于變換域分析法。本章首先簡要介紹拉普拉斯變換及其基本性質(zhì)，然后建立電路的復(fù)頻域模型，并在此基礎(chǔ)上討論復(fù)頻域分析法。最后討論網(wǎng)絡(luò)函數(shù)。 本章目次11.1 拉普拉斯變換11.2 拉普拉斯變換的基本性質(zhì) 11.3 拉普拉斯逆變換 11.4復(fù)頻域中的電路定律與電路模型 11.5用拉普拉斯變換分析線性動態(tài)電路的暫態(tài)過程11.6 網(wǎng)絡(luò)函數(shù) 式(11.1)稱為函數(shù)的拉普拉斯變換，簡稱拉氏變換。

2、記作 F(s) 稱為 f (t) 的拉氏變換或稱為象函數(shù)。 其中復(fù)參量 s= +j 。在電路中t代表時間，s便具有時間的倒量綱，也即頻率的量綱，因此稱為復(fù)頻率。F(s) 的單位是相應(yīng) f (t) 的單位乘以時間 t 的單位。定義：設(shè)函數(shù)f(t)在 t 0的某個鄰域內(nèi)有定義，而且積分 (s是復(fù)參量) 在復(fù)平面 s 的某一域內(nèi)收斂，則由此積分所確定的函數(shù)可寫為 (11.1)基本要求：掌握常用函數(shù)(直流或階躍函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、沖激函數(shù))的拉普拉斯變換。原函數(shù)f(t)(t0) 象函數(shù)F(s) 原函數(shù)f(t)(t0)象函數(shù)F(s) (n為正整數(shù))(n為正整數(shù)) 表11.1常用函數(shù)的拉普拉斯變換對 1線性性

3、質(zhì)(1)求 的象函數(shù)F(s)。(2)求 的象函數(shù)F(s) 若 ，a、b為任意常數(shù)，則基本要求：掌握常用函數(shù)拉普拉斯變換的基本性質(zhì)。2微分性質(zhì) 該性質(zhì)表明一個函數(shù)求導(dǎo)后的拉氏變換等于這個函數(shù)的拉氏變換后乘以復(fù)參量s，再減去0-時刻的起始值。 若 ，則 推論：設(shè) ，則 用微分性質(zhì)求 的象函數(shù)F(s) 。 3積分性質(zhì) 該性質(zhì)表明一個函數(shù)積分后的拉氏變換等于這個函數(shù)的拉氏變換除以復(fù)參量s。 若 ，則 求 的象函數(shù)F(s) 。 因為 所以 4延遲性質(zhì) 根據(jù)上述性質(zhì)可以方便地求出矩形脈沖的象函數(shù)。一個高度為A，寬度為t0的矩形脈沖可表示為根據(jù)延遲性質(zhì)得矩形脈沖的象函數(shù)為 若 ，則 其中 表示把 延遲至 。

4、 5位移性質(zhì) 6初值定理 7終值定理 該性質(zhì)表明：一個函數(shù)乘以指數(shù)函數(shù)eat的拉氏變換等于其象函數(shù)作位移a。 若 ，則 若 ，且 存在，則 若 ，且 的所有奇點都在平面的左半平面 ，則 8卷積定理該定理表明：原函數(shù)卷積的象函數(shù)等于相應(yīng)象函數(shù)的乘積；象函數(shù)乘積的原函數(shù)等于原函數(shù)的卷積。 若 ，則 如果F2(s)是網(wǎng)絡(luò)的沖擊響應(yīng)的像函數(shù)，F(xiàn)1(s)是激勵的像函數(shù)，則 F1(s) F2(s) 為響應(yīng)的像函數(shù)在線性集中參數(shù)電路中，電壓和電流的象函數(shù)都是 s 的有理分式，可以展開成部分分式之和。對每個部分分式求原函數(shù)，再根據(jù)逆變換的線性性質(zhì)，將所有部分分式的原函數(shù)代數(shù)相加，就得所求象函數(shù)的原函數(shù)。 集中

5、參數(shù)電路的象函數(shù)可以表示成下列有理分式 式中F1(s)和F2(s)都是實系數(shù)的多項式，且無公因式。 定義：由F(s)求 f(t) 的運算稱為拉普拉斯逆變換，計算逆變換的一般公式是基本要求：掌握常用函數(shù)的拉普拉斯逆變換。掌握用部分分式展開法求有理分式的原函數(shù)。1nm 情況(1) F2(s)=0只有單根這時F(s)可以展開成下列簡單的部分分式之和 (11.17)式中p1、 p2 、 pn為方程F2(s)=0的n個不同的根，它們可以是實數(shù)也可以是復(fù)數(shù)。由于s pk時|F(s)|，故這些根稱為F(s)的極點(pole)。 A1、A2、An為待定系數(shù)。為了求出其中任何一個常數(shù)Ak，用(spk)乘上式的兩

6、邊各項得 (11.18)兩邊取s pk時的極限，等式右邊只剩下Ak ，其余全為零。于是得(11.19)(11.20)將Ak代入式(11.17)后，兩邊取拉普拉斯逆變換并利用線性性質(zhì)得(11.21)如果式（11.19）為“0/0”的不定式，則可根據(jù)羅比塔法則得：已知 ，求它的原函數(shù) f (t)。 令 ，求得其根為。因此F(s)可以展開成對于單復(fù)根情況，由于F2(s)的系數(shù)為實數(shù)，F(xiàn)(s)的復(fù)數(shù)極點均以共軛復(fù)數(shù)形式出現(xiàn)，且對應(yīng)待定系數(shù)也是共扼關(guān)系。利用這一特點便可減化計算。設(shè)象函數(shù)為(11.22)令 ， ，則 ， 對式(11.22)取逆變換得 (11.23)已知 ，求它的原函數(shù)f(t)。 的根為F

7、(s)的展開式(2) F2(s)=0含有重根 此時F (s)的部分分式展開式為 (11.25)為簡便起見，設(shè)F2(s)=0含有一個m次重根，其余為單根，則F2(s)可以表示為(11.24)其中單根對應(yīng)的待定系數(shù) 與前面的計算相同。下面討論重根對應(yīng)的待定系數(shù)。把上式兩邊各乘以 ，得 (11.26)令 s pn ，則上式右邊除 Bm 項外，其余各項均變?yōu)榱?。而左邊?0/0 的不定式，取極限得為了求出 Bm1，把(11.26)的兩邊對 s 求一次導(dǎo)數(shù)，然后令s pk ，則右邊除Bm1項以外，其各項均變?yōu)榱?。故得仿此可得一般公式?(11.27)求出各系數(shù)后，從表11.1可查到 的逆變換為 對式(1

8、1.25)右邊的每一項取逆變換，得F2(s)=0含有重根時的原函數(shù)為 (11.28)已知 ，求它的原函數(shù) f(t) 。 F2(s)存在兩個單根和一個2重根，其展開式為 2nm 情況此時把 F1(s) 和 F2(s) 均按降冪排列，用分母多項式 F2(s) 去除分子多項式F1(s) ，把象函數(shù) F(s) 化成一個 s 的多項式與一個分式之和的形式。這個分式的分子最高次冪低于分母最高次冪，仍可用式(11.21)求其原函數(shù)。而 s 的多項式的原函數(shù)為沖激函數(shù)或其導(dǎo)數(shù)的代數(shù)和。用分母多項式去除分子多項式得 已知 ，求它的原函數(shù) f (t)。 在復(fù)頻域中，KVL、KCL依然保留著與直流電路、正弦穩(wěn)態(tài)交流

9、電路相同的形式！根據(jù)拉普拉斯變換的定義可知，電流、電壓象函數(shù)的單位分別為安秒(As)，即庫侖和伏秒(Vs)即韋伯?；疽螅菏炀氄莆諒?fù)頻域形式的電路定律以及R、L、C等元件的電路模型。正確確定附加電源。掌握建立復(fù)頻域電路模型的方法。1復(fù)頻域中的基爾霍夫定律基爾霍夫定律方程的時域形式為根據(jù)拉普拉斯變換的線性性質(zhì)基爾霍夫定律的復(fù)頻域形式2復(fù)頻域中元件電壓與電流關(guān)系及元件的復(fù)頻域模型拉氏變換線性性質(zhì)(1)電阻元件(2)電容元件附加電壓源由拉氏變換微分特性得運算容抗模型(3) 電感元件附加電壓源運算感抗模型由拉氏變換微分特性得(4) 互感元件 將電感、電容和互感等元件的微、積分方程簡化成為復(fù)頻域（拉普

10、拉斯變換域）里的線性代數(shù)方程。復(fù)頻域中電路元件方程的特點3復(fù)頻域電路模型 運算阻抗與運算導(dǎo)納運算阻抗運算導(dǎo)納零狀態(tài)KVL運算阻抗模型t 0復(fù)頻域電路模型方法： 針對直流電路提出的各種分析方法、定理和公式均可推廣用于復(fù)頻域中的運算電路。具體地說：只須將以前方程和公式中的電阻推廣為運算阻抗，將電導(dǎo)推廣為運算導(dǎo)納，將恒定電壓、電流推廣為電壓、電流象函數(shù)，將附加電源與獨立電源同樣對待，就可用計算直流電路的方法計算運算電路?；疽螅豪斫庠谥绷麟娐分薪⒌母鞣N分析方法、定理和公式均可推廣用于復(fù)頻域電路模型的原理。熟練掌握線性動態(tài)電路暫態(tài)過程復(fù)頻域分析法的一般步驟。步驟：1 由換路前的電路求出全部電容uC

11、(0-)的和全部電感的iL(0-)，并將激勵的時域函數(shù)變換成象函數(shù)。2 根據(jù)換路后的電路畫出運算電路。其中 uC(0-) 和 iL(0-) 的作用用附加電源表示，參數(shù)（R、L、C）用復(fù)頻域阻抗表示，已知的和待求的電壓電流均用象函數(shù)表示。3 將求解直流電路的方法（等效化簡或列電路方程）推廣用于運算電路，求出響應(yīng)的象函數(shù)。4 利用部分分式展開法或積分變換表將響應(yīng)的象函數(shù)變換為原函數(shù)。 電路如圖(a)所示，uS=20e-t(t) V，電路為零狀態(tài)。求t 0 時uo 的變化規(guī)律。 (a)(b)電源的象函數(shù)為 復(fù)頻域電路模型如圖(b)所示。其節(jié)點電壓方程為 解得：取拉普拉斯反變換得 電路如圖(a)所示，

12、t0時的全響應(yīng)uL和uC。t0時復(fù)頻域電路模型如圖(b)所示，此時有 進而可得求UL(s)的部分分式展開式同理求得UC(s)的部分分式展開式為 所以待求響應(yīng)的時間函數(shù)為 在圖(b)所示的復(fù)頻域電路模型中，如果令附加電源為零，僅由US(s)作用產(chǎn)生的響應(yīng)便是零狀態(tài)響應(yīng)；反之，如果US(s) =0，則僅由附加電源作用產(chǎn)生的響應(yīng)便是零輸入響應(yīng)。 復(fù)頻域電路模型 電路如圖(a)所示，已知 R1=9 ，R2=1 ，C1= 1F，C2= 4F ，外加電壓 uS=10(t) V ，電路為零狀態(tài)。求電流i和電壓uo。圖11.8 例題11.10電路是零狀態(tài)，故運算電路中無附加電源。外加階躍電壓的象函數(shù)為 從電源

13、看進去的等效復(fù)頻域阻抗為 電流i的象函數(shù)為 電荷單位庫侖求得電流 i 的原函數(shù)為電壓 uo 的象函數(shù)為 求得電壓 uo的原函數(shù)為 在圖 (b)中畫出了uo隨時間變化的曲線。圖中，uo(0-)=0，uo(0+)=2V，故電容上的電壓發(fā)生了“強迫躍變”，這是沖激電流 8C(t) 給 C2 充電的結(jié)果。但在計算過程中并不考慮是否發(fā)生躍變，原因是復(fù)頻域分析法用的是0-時刻而不是0+時刻的初始值。因此，在處理“躍變”問題時，復(fù)頻域法要比時域分析法有一定的優(yōu)越性。 電路如圖(a)所示，已知iS=1C(t) ，求沖激響應(yīng)uC。對其列寫節(jié)點電壓方程 電路為零狀態(tài)，運算電路如圖(b)所示，其中 圖11.9 例題

14、11.11求解得電壓象函數(shù) 令 的分母多項式為零，即 得其極點為 它們是一對共軛復(fù)數(shù)。故 UC(s) 的部分分式展開式為 則可得 電路如圖所示，已知R=1 ，L=1H，C= 0.2F ，g=1s ，uS=6(t) V ， iS=4C(t) 。求 t0 時的零狀態(tài)響應(yīng)uL和uC。電路為零狀態(tài)，其復(fù)頻域模型中不含附加電源，列節(jié)點電壓方程 (1)其中電源的象函數(shù)為 將已知條件代入式(1), 得 聯(lián)立解得 解得取拉普拉斯反變換得 電路如圖(a)所示，已知R1=1 ，R2=0.5 ，uS ，iS為階躍函數(shù)。當(dāng)a、b端接R3=3 電阻時，全響應(yīng) i=(2+2e-50t)(t)A。現(xiàn)將a、b端改接L=0.2

15、5H的零狀態(tài)電感，求此時的電壓 uab 。 先求出復(fù)頻域戴維南等效電路。由題給全響應(yīng)知當(dāng)a、b端接R3=3電阻的時間常數(shù)為 將電源置零，可得如圖(b)所示電路所以 由已知電流i得 a、b端開路電壓為 得a、b端等效運算阻抗為 戴維南等效電路如圖 (c)所示當(dāng)a、b端接L=0.25H的零狀態(tài)電感時，電感電壓象函數(shù)為 取拉普拉斯反變換得1. 網(wǎng)絡(luò)函數(shù)注：當(dāng)電路為零狀態(tài)時，在復(fù)頻域電路中無附加電源，Y(s) 與外加 X(s) 成正比，此時 H(s) 與 X(s) 無關(guān)。(11.41)(1)定義：線性無獨立源電路的零狀態(tài)響應(yīng)的象函數(shù) Y(s) 與其激勵的象函數(shù) X(s) 之比稱為(復(fù)頻域中的)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)

16、，用符號表示 H(s) ，即基本要求：理解復(fù)頻域網(wǎng)絡(luò)函數(shù) H(s) 的定義及其原函數(shù)的含義。了解 H(s) 與復(fù)數(shù)形式網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(j)的關(guān)系。了解網(wǎng)絡(luò)函數(shù)極點在復(fù)平面上的位置與單位沖激特性的關(guān)系。(2)與單位沖激特性的關(guān)系：根據(jù)單位沖激特性的定義及齊性原理，當(dāng)激勵x(t)=K(t) 時，零狀態(tài)響應(yīng)為y(t)=Kh(t)，則 因此，網(wǎng)絡(luò)函數(shù)就是網(wǎng)絡(luò)單位沖激特性的象函數(shù)；反之，網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的原函數(shù)就是網(wǎng)絡(luò)的單位沖激特性，即 (11.42) 網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(s)和單位沖激特性h(t)都反映網(wǎng)絡(luò)的固有性質(zhì)。 (3)若已知網(wǎng)絡(luò)函數(shù)和外加激勵的象函數(shù)，則零狀態(tài)響應(yīng)象函數(shù)為 式中 ，N 、P、D、Q都是 s 的多項

17、式。(11.43)響應(yīng)中與Q(s)=0的根對應(yīng)的那些項與外加激勵的函數(shù)形式相同，屬于強制分量；而與D(s)=0的根(即網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的極點)對應(yīng)的那些項的性質(zhì)由網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)與參數(shù)決定，屬于自由分量。因此，網(wǎng)絡(luò)函數(shù)極點的性質(zhì)決定了網(wǎng)絡(luò)暫態(tài)過程的特性。 電路如圖所示，已知R=0.5，L=1H，C=1F，a=0.25 。(1)定義網(wǎng)絡(luò)函數(shù) ，求H(s)及其單位沖激特性h(t) (2)求當(dāng) 時的響應(yīng) 。 (1)列回路電流方程 整理得解得進而得取拉普拉斯反變換得(2) 當(dāng) 時取拉普拉斯反變換得2.網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的極點位置與單位沖激特性的關(guān)系 其中極點p1、p2、pn稱為網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的自然頻率，它只與網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)與參數(shù)有關(guān)。 (11.44) 分析一階極點情況：若網(wǎng)絡(luò)函數(shù)僅含一階極點，且nm，則網(wǎng)絡(luò)函數(shù)可展開成 網(wǎng)絡(luò)的單位沖激特性為 可見它與極點位置有關(guān) 。(11.45)要點：由極點在復(fù)平面上的分布來判斷暫態(tài)特性。 2.網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的極點位置與單位沖激特性的關(guān)系 網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的極點位置與單位沖激特性的關(guān)系概括如下位于左半平面時，收斂（穩(wěn)定）位于右半平面時，發(fā)散（非穩(wěn)定）pk所有極點位于左半平面，暫態(tài)過程穩(wěn)