電動力學(xué)講義第10講-優(yōu)質(zhì)課件

1、電動力學(xué)第10講第二章 電磁場的標(biāo)勢、矢勢和電磁輻射(4)2.4 訊變電磁場的矢勢和標(biāo)勢 7/25/20221山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建教學(xué)體系7/25/20222山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建Maxwell方程組7/25/20223山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建Maxwell方程組7/25/20224山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建標(biāo)勢 的Poisson方程7/25/20225山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建靜電場的標(biāo)勢 若電荷連續(xù)分布，電荷密度為 ，設(shè)r為由源點x 到場點x的距離，則場點x處的電勢為 7/25/20226山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建7/25/20227山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建7/25/20228山東大學(xué)物理

2、學(xué)院 宗福建靜磁場的矢勢 在穩(wěn)恒電流（靜磁場）情況下，電場與磁場無關(guān)，麥?zhǔn)戏匠探M的磁場部分為 7/25/20229山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建靜磁場的矢勢 根據(jù)矢量分析的定理（附錄.17式）, 若則 B 可表為另一矢量的旋度A 稱為磁場的矢勢。 7/25/202210山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建矢勢微分方程 對比靜電勢的解可得矢勢方程的特解 式中x 是源點，x是場點，r為由x 到x的距離。 7/25/202211山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建矢勢的多級展開 如果電流分布于小區(qū)域V內(nèi)，而場點x又距離該區(qū)域比較遠，我們可以把A（x）作多級展開。取區(qū)域內(nèi)某點O為坐標(biāo)原點，把1/r的展開式得 7/25/202212

3、山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建矢勢的多級展開 7/25/202213山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建本講主要內(nèi)容用勢描述電磁場規(guī)范變換和規(guī)范不變性dAlembert 達郎貝爾方程推遲勢7/25/202214山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建用勢描述電磁場 為簡單起見，我們只討論真空中的電磁場，麥克斯韋方程組為 7/25/202215山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建用勢描述電磁場 在恒定場中， 由B的無源性引入矢勢A，使 在一般情況下，B仍然保持無源性，所以B與矢勢A的關(guān)系式普遍成立的。矢勢A的物理意義是：在任一時刻，A沿任意閉合回路的線積分等于該時可通過回路的磁通量。7/25/202216山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建用勢描述電磁

4、場 在一般的變化情況中，電場E的特性與靜電場不同。電場E一方面受到電荷的激發(fā)，另一方面也受到變化磁場的激發(fā)，后者所激發(fā)的電場是有旋的。因此在一般情況，電場是有源和有旋的場，它不可能單獨用一個標(biāo)勢來描述。 7/25/202217山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建用勢描述電磁場 在變化情況下電場與磁場發(fā)生直接聯(lián)系，因而電場的表示式必然包含矢勢A在內(nèi)。把代入得 7/25/202218山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建用勢描述電磁場 該式表示矢量 E+A/t 是無旋場，因此它可以用標(biāo)勢描述，因此，一般情況下電場的表示式為 7/25/202219山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建用勢描述電磁場 把電磁場用矢勢和標(biāo)勢表示出來。注意現(xiàn)在

5、電場E不再是保守力場，一般不存在勢能的概念，標(biāo)勢失去作為靜電場中勢能的意義。因此，在高頻系統(tǒng)中，電壓的概念也失去確切的意義。在變化場中，磁場和電場是相互作用的整體，必須把矢勢和標(biāo)勢作為一個整體來描述電磁場。7/25/202220山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建規(guī)范變換和規(guī)范不變性 用矢勢A和標(biāo)勢描述電磁場不是唯一的，即給定的E和B并不對應(yīng)唯一的A和 。 這是因為對矢勢A可以加上一個任意函數(shù)的梯度 ，結(jié)果不影響B(tài)，而這加在A上的梯度部分在E式中有可以從-/t中除去，結(jié)果亦不影響E。 7/25/202221山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建規(guī)范變換和規(guī)范不變性 設(shè)為任意時空函數(shù)，作變換 則，(A, )與(A, )對

6、應(yīng)于同一個 (E, B)。7/25/202222山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建規(guī)范變換和規(guī)范不變性 有 7/25/202223山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建規(guī)范變換和規(guī)范不變性 即(A , )與(A , )描述同一電磁場。 變換 稱為勢的規(guī)范變換。 每一組(A , )稱為一種規(guī)范。 7/25/202224山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建規(guī)范變換和規(guī)范不變性 在經(jīng)典電動力學(xué)中，由于表示電磁場可觀屬性的可測量的物理量為E和B，而不同規(guī)范有對應(yīng)著同一的E和B ，因此，如果用矢勢來描述電磁場，客觀規(guī)律應(yīng)該和勢的特殊的規(guī)范選擇無關(guān)。當(dāng)勢作規(guī)范變換時，所有物理量和物理規(guī)律應(yīng)該保持不變，這種不變性稱為規(guī)范不變性。 7/25/2

7、02225山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建規(guī)范變換和規(guī)范不變性 從數(shù)學(xué)上來說，規(guī)范變換自由度的存在是由于在勢的定義式中，只給出A的旋度，而沒有給出A的散度。我們知道僅由矢場量的旋度是不足以確定這矢量場的。為了確定A，還必須給定它的散度。電磁場E和B本身對A的散度沒有任何限制。因此，作為確定勢的輔助條件，我們可以取A為任意的值。 7/25/202226山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建規(guī)范變換和規(guī)范不變性 每一種選擇就對應(yīng)一種規(guī)范。采用適當(dāng)?shù)妮o助條件可以使基本方程和計算簡化，而且物理意義也較明顯。從計算方便考慮，在不同問題中可以采用不同的輔助條件。應(yīng)用最廣的是以下兩種規(guī)范條件： 7/25/202227山東大學(xué)物理

8、學(xué)院 宗福建規(guī)范變換和規(guī)范不變性 （1）庫侖規(guī)范 輔助條件為在這規(guī)范中A為無源場，因而電場表示式 中第二項 A/t是無源場（橫場），而第一項 為無旋場（縱場）。 7/25/202228山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建規(guī)范變換和規(guī)范不變性 這規(guī)范的特點是E的縱場部分完全由描述。而橫場部分由A描述，A/t項不含縱場部分。項對應(yīng)于庫侖場，A/t項對應(yīng)于感應(yīng)電場。這種劃分對于討論某些問題是方便的。 7/25/202229山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建規(guī)范變換和規(guī)范不變性 （2）洛倫茲規(guī)范 輔助條件為 采用這種規(guī)范時，勢的基本方程化為特別簡單的對稱形式，其物理意義也特別明顯。因此，這種規(guī)范在基本理論研究以及解決實際輻

9、射問題中是特別方便的。 7/25/202230山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建達朗貝爾（dAlembert）方程 由麥克斯韋方程組推導(dǎo)勢A和所滿足的基本方程。 把代入7/25/202231山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建達朗貝爾（dAlembert）方程 得7/25/202232山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建達朗貝爾（dAlembert）方程 應(yīng)用00 = 1/c2并將兩式加以整理后，得 這是適用于一般規(guī)范的方程組。 7/25/202233山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建達朗貝爾（dAlembert）方程 若采用庫侖規(guī)范，得 7/25/202234山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建達朗貝爾（dAlembert）方程 若采用庫侖規(guī)范，

10、得 7/25/202235山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建達朗貝爾（dAlembert）方程 這種規(guī)范的特點是標(biāo)勢所滿足的方程與靜電場情形相同，其解是庫侖勢。解出后代入第一式可解出A，因而可以確定電磁場。 7/25/202236山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建達朗貝爾（dAlembert）方程 若采用洛倫茲規(guī)范，得 7/25/202237山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建達朗貝爾（dAlembert）方程 若采用洛倫茲規(guī)范，得 稱為達郎貝爾方程7/25/202238山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建達朗貝爾（dAlembert）方程 用這種規(guī)范時，方程具有相同形式，其意義也特別明顯。方程稱為達郎貝爾方程，它是非齊次的波動方程，其

11、自由項為電流密度和電荷密度。由該式，電荷產(chǎn)生標(biāo)勢波動，電流產(chǎn)生矢勢波動。離開電荷電流分布區(qū)域后，矢勢和標(biāo)勢都以波動形式在空間中傳播，由它們導(dǎo)出的電磁場E和B也以波動形式在空間中傳播。當(dāng)然E和B的波動性質(zhì)是和規(guī)范無關(guān)的。7/25/202239山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建推遲勢 現(xiàn)在我們求達朗貝爾方程的解。標(biāo)勢的達朗貝爾方程為 式中 =（x，t）是空間中的電荷密度。 7/25/202240山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建推遲勢 該式是線性方程，反映電磁場的疊加性。由于場的疊加性，可以先考慮某一體元內(nèi)的變化電荷所激發(fā)的勢，然后對電荷分布區(qū)域積分，即得總的標(biāo)勢。 7/25/202241山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建推遲

12、勢 設(shè)原點處有一假想變化電荷Q(t)，其電荷密度為(x,t)= Q (t)(x)。這電荷輻射的勢的達朗貝爾方程為 7/25/202242山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建推遲勢 由球?qū)ΨQ性， 只依賴于r，t，而不依賴于角變量。用球坐標(biāo)表為 :7/25/202243山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建推遲勢 除原點之外， 滿足波動方程解是球面波。 7/25/202244山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建推遲勢 考慮到當(dāng)r增大時勢減弱，所以作如下代換 把（2.5）式代入（2.4）式，得u的方程 7/25/202245山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建推遲勢 這方程形式上是一維空間的波動方程，其通解為 式中f和g是兩個任意函數(shù)。7/25/2

13、02246山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建推遲勢 可得除原點以外的解這解的第一項代表向外發(fā)射的球面波，第二項代表向內(nèi)收斂的球面波。函數(shù)f和g的具體形式應(yīng)由物理條件定出。 7/25/202247山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建推遲勢 當(dāng)我們研究輻射問題時，電磁場是由原點處的電荷發(fā)出的，它必然是向外發(fā)射的波。因此在輻射問題中應(yīng)取g = 0而函數(shù)f的形式應(yīng)由原點處的電荷變化形式?jīng)Q定。 7/25/202248山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建推遲勢 在靜電情形，我們知道電荷Q激發(fā)的電勢為7/25/202249山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建推遲勢 推廣到變化場情形，可以推想解為 7/25/202250山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建推遲勢 由

14、場的疊加性，對于一般變化電荷分布（x,t），它所激發(fā)的標(biāo)勢為 7/25/202251山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建推遲勢 由于矢勢A所滿足的方程形式上與標(biāo)勢的達朗貝爾方程一致，所以一般變化電流分布J（x,t）所激發(fā)的矢勢為可以驗證A和滿足洛倫茲規(guī)范條件。 7/25/202252山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建達朗貝爾（dAlembert）方程 稱為達郎貝爾方程7/25/202253山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建推遲勢 可以驗證A和滿足洛倫茲條件。 7/25/202254山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建推遲勢 A和式的重要意義在于它反映了電磁作用具有一定的傳播速度空間某點x在某時刻t的場值不是依賴于同一時刻的電荷電流分布，

15、而是決定于較早時刻 tr/c 的電荷電流分布、反過來說，電荷產(chǎn)生的物理作用不能夠立刻傳至場點，而是在較晚的時刻才傳到場點，所推遲的時間r/c正是電磁作用從源點x 傳至場點x所需要的時間，c是電磁作用的傳播速度因此， A和式稱為推遲勢 7/25/202255山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建推遲勢 除了電磁作用之外，其它一切作用都通過物質(zhì)以有限速度傳播事物總是通過物質(zhì)自身的運動發(fā)展而互相聯(lián)系著的，不存在瞬時的超距作用在下一章中我們將看到這點正是相對論時空觀的基礎(chǔ) 7/25/202256山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建推遲勢 當(dāng)和J 給定后，就可以算出勢，再由就可求得空間任意點的電磁場強度。當(dāng)然，電磁場本身反過來亦

16、對電荷電流發(fā)生一定的反作用，因而激發(fā)區(qū)內(nèi)的電荷電流分布是不能任意規(guī)定的。 7/25/202257山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建看見與測量到俗話說：“耳聽是虛，眼見為實”但事實上，眼見也不為實。請看，眼睛是怎樣欺騙大腦的7/25/202258山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建1.柱子是圓的還是方的？7/25/202259山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建2.那個女的是真的還是拼圖里的？7/25/202260山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建3. 12個人還是13個人？7/25/202261山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建4.有幾個黑點？7/25/202262山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建看見與測量到可見，眼見也不為實。看見：由不同時間，不同地點發(fā)出的光，但同時到達人的視網(wǎng)膜?？匆姷木坝^是經(jīng)過推遲了的。測量：某一確定時刻，測量者當(dāng)?shù)厮l(fā)生事件的真實記錄。測量的結(jié)果是未推遲的。同一個事件，不同地點的觀察者可能看到不同的結(jié)果，但測量結(jié)果都是相同的。由看到的結(jié)果，經(jīng)過科學(xué)的推論（處理），得到測量結(jié)果。7/25/202263山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建看見與測量到若A, B兩燈，同時開始發(fā)光。不同地點將看到不同結(jié)果。7/25/202264山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建看見與測量到若A, B兩地時鐘同步，相距 0.8 light-hour，一量機動車以0.8 c 的速度，