高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)人教A版必修一3.2.1 古典概型同步課件

1、3.2 古典概型3.2.1 古典概型自 學(xué) 導(dǎo) 引1.了解根本領(lǐng)件的特點(diǎn).3.理解古典概型的定義.4.會(huì)用古典概型的概率公式解決一些實(shí)際問題.課 前 熱 身 1.根本領(lǐng)件的特點(diǎn).(1)任何兩個(gè)根本領(lǐng)件是_.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成_.2.古典概型試驗(yàn)有兩個(gè)共同的特征(1)在一次試驗(yàn)中,可能出現(xiàn)的結(jié)果只有有限個(gè),即只有_不同的根本領(lǐng)件;(2)每個(gè)根本領(lǐng)件發(fā)生的可能性是_的.互斥的 根本領(lǐng)件的和 有限個(gè) 相等 3.古典概型的概率公式如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個(gè),而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等,那么每一個(gè)根本領(lǐng)件的概率都是 ;如果某個(gè)事件A包括的結(jié)果有m個(gè),那么事件A的概率P

2、(A)=_.名 師 講 解1.古典概型(1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的根本領(lǐng)件只有有限個(gè),每次試驗(yàn)只能出現(xiàn)一個(gè)根本領(lǐng)件,每個(gè)根本領(lǐng)件的出現(xiàn)是等可能的,這就是古典概型.(2)古典概型是一種最根本的概型,也是學(xué)習(xí)其他概率的根底.深入理解等可能性事件必須抓住以下三個(gè)特點(diǎn):第一,對(duì)于每次隨機(jī)試驗(yàn)來說,只可能出現(xiàn)有限個(gè)不同試驗(yàn)結(jié)果;第二,對(duì)于這有限個(gè)不同試驗(yàn)結(jié)果,它們出現(xiàn)的可能性是相等的;第三,求事件的概率可以不通過大量重復(fù)試驗(yàn),而只要通過對(duì)一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果進(jìn)行分析計(jì)算即可.2.古典概型的概率公式(1)如果試驗(yàn)的根本領(lǐng)件的總數(shù)為n,A表示一個(gè)根本領(lǐng)件,即 (2)對(duì)于古典概型,如果試驗(yàn)的所有結(jié)果(根本領(lǐng)

3、件)數(shù)為n,隨機(jī)事件A包含的根本領(lǐng)件數(shù)為m,那么由互斥事件概率的加法公式可得所以,在古典概型中, (3)用集合的觀點(diǎn)來考查A的概率,有利于幫助學(xué)生生動(dòng)、形象地理解事件A與根本領(lǐng)件的關(guān)系,有利于理解公式.如右上圖所示,把一次試驗(yàn)中等可能出現(xiàn)的幾個(gè)結(jié)果組成一個(gè)集合I,其中每一個(gè)結(jié)果就是I中的一個(gè)元素,把含m個(gè)結(jié)果的事件A看作含有m個(gè)元素的集合,那么事件A是集合I的一個(gè)子集,那么有3.應(yīng)用公式計(jì)算概率的步驟(1)判斷試驗(yàn)是否為古典概型;(2)算出根本領(lǐng)件總數(shù)n;(3)算出事件A包含的根本領(lǐng)件數(shù)m;(4)代入公式:典 例 剖 析題型一 根本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)問題例1:連續(xù)擲3枚硬幣,觀察落地后這3枚硬幣出現(xiàn)正

4、面還是反面.(1)寫出這個(gè)試驗(yàn)的根本領(lǐng)件空間;(2)求這個(gè)試驗(yàn)的根本領(lǐng)件的總數(shù);(3)“恰有兩枚正面向上這一事件包含哪幾個(gè)根本領(lǐng)件?分析:用列舉法寫出所有結(jié)果.解:(1)這個(gè)試驗(yàn)的根本領(lǐng)件空間=(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反);(2)根本領(lǐng)件的總數(shù)是8.(3)“恰有兩枚正面向上包含以下3個(gè)根本領(lǐng)件:(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正).規(guī)律技巧:在一次試驗(yàn)中,所有可能發(fā)生的每一個(gè)根本結(jié)果都稱為一個(gè)根本領(lǐng)件,所有根本領(lǐng)件構(gòu)成的集合稱為根本領(lǐng)件空間,根本領(lǐng)件空間常用大寫希臘字母表示.變式訓(xùn)練1:

5、一只口袋里裝有大小相同的5個(gè)球,其中3個(gè)白球,2個(gè)黑球,從中一次摸出兩個(gè)球.(1)共有多少個(gè)根本領(lǐng)件?(2)兩個(gè)球都是白球包含幾個(gè)根本領(lǐng)件?解:(1)記白球?yàn)?23號(hào),黑球?yàn)?5號(hào),有以下根本領(lǐng)件:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共10個(gè).(2)兩個(gè)球都是白球包含(1,2),(1,3),(2,3)共3個(gè)根本領(lǐng)件.題型二 古典概率的計(jì)算例2:袋中有6個(gè)球,其中4個(gè)白球,2個(gè)紅球,從袋中任意取出兩球,求以下事件的概率:(1)A:取出的兩球都是白球;(2)B:取出的兩球1個(gè)是白球,另1個(gè)是紅球.分析:首先應(yīng)求出任取

6、兩球的根本領(lǐng)件的總數(shù),然后需分別求出事件A:取出的兩球都是白球的總數(shù)和事件B:取出的兩球1個(gè)是白球,而另1個(gè)是紅球的總數(shù).套用公式求解即可.解:設(shè)4個(gè)白球的編號(hào)為1,2,3,4,2個(gè)紅球的編號(hào)為5,6.從袋中的6個(gè)小球中任取兩個(gè)的根本領(lǐng)件為(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)共15個(gè).(1)從袋中的6個(gè)球中任取兩個(gè),所取的兩球全是白球的根本領(lǐng)件數(shù),即是從4個(gè)白球中任取兩個(gè)的根本領(lǐng)件數(shù),共有6個(gè),即為(1,2),(1,3),(1,4),(2,3)(2,4),

7、(3,4).取出的兩個(gè)球全是白球的概率為 (2)從袋中的6個(gè)球中任取兩個(gè),其中一個(gè)為紅球,而另一個(gè)為白球,其取法包括(1,5),(1,6),(2,5)(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6)共8個(gè).取出的兩個(gè)球一個(gè)是白球,另一個(gè)是紅球的概率為 規(guī)律技巧:取出兩球的結(jié)果數(shù)15還可以這樣計(jì)算,從袋中6個(gè)球中任取兩球,并按抽取順序(x,y)記錄結(jié)果,由于隨機(jī)抽取,因此x有6種,y有5種,共有56=30種,但在記錄的結(jié)果中有些是重復(fù)的,如(1,2),(2,1)是30種中的兩種,它們?cè)凇皬拇腥〕?球這件事上,是同一種情況,從而應(yīng)有562=15種情況.變式訓(xùn)練2:(2021福建)袋中有

8、大小形狀相同的紅黑球各一個(gè),現(xiàn)依次有放回地隨機(jī)摸取3次,每次摸取一個(gè)球.(1)試問:一共有多少種不同的結(jié)果?請(qǐng)列出所有可能的結(jié)果;(2)假設(shè)摸到紅球時(shí)得到2分,摸到黑球時(shí)得1分,求3次摸球所得總分為5的概率.解:(1)一共有8種不同的結(jié)果,列舉如下:(紅紅紅)(紅紅黑)(紅黑紅)(紅黑黑)(黑紅黑)(黑黑紅)(黑黑黑)(黑紅紅).(2)記“摸球3次所得總分為5的事件為A,那么事件A包含的根本領(lǐng)件有:(紅紅黑)(紅黑紅)(黑紅紅),事件A包含3個(gè)根本領(lǐng)件,由(1)知,根本領(lǐng)件總數(shù)為8.所以事件A的概率為 題型三 較復(fù)雜的概率計(jì)算問題例3:同時(shí)拋擲兩枚相同的骰子,求:(1)點(diǎn)數(shù)之和為7的概率;(2

9、)點(diǎn)數(shù)之和不大于5的概率;(3)有一個(gè)點(diǎn)數(shù)是6的概率.分析:解答此題可先列出拋擲兩枚骰子的所有根本領(lǐng)件,由于含根本領(lǐng)件較多,可采用表格的方法列出,然后再分情況解答.解:列表:1234561(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5) (4,6)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)第二枚擲得點(diǎn)數(shù)第一枚擲得點(diǎn)數(shù)由表可知,共

10、有根本領(lǐng)件36種.(1)設(shè)點(diǎn)數(shù)之和為7的事件為A,那么A包含的根本領(lǐng)件有:(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3),共6種.(2)設(shè)點(diǎn)數(shù)之和不大于5的事件為B,那么B包含的根本領(lǐng)件有:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1),共10種,(3)設(shè)有一個(gè)點(diǎn)數(shù)是6的事件為C,那么C包含的根本領(lǐng)件有:(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6),共11種,規(guī)律技巧:在求概率時(shí),通常把全體根本領(lǐng)件列表或用直角坐標(biāo)

11、系中的點(diǎn)表示,以方便我們更直接更準(zhǔn)確地找出某個(gè)事件所包含的根本領(lǐng)件種數(shù),然后代入公式求出概率.變式訓(xùn)練3:現(xiàn)從ABCDE五人中選取三人參加一個(gè)重要會(huì)議.五人被選中的時(shí)機(jī)相等.求:(1)A被選中的概率;(2)A和B同時(shí)被選中的概率;(3)A或B被選中的概率.解:從ABCDE五人中任選三人參加會(huì)議共有以下10種方式:(ABC)(ABD)(ABE)(ACD)(ACE)(ADE)(BCD)(BCE)(BDE)(CDE),且每種結(jié)果出現(xiàn)是等可能的.(1)事件“A被選中共有6種方式.故所求事件的概率 (2)AB同時(shí)被選中共有3種方式,故所求事件的概率為 (3)方法一:“A或B被選中的對(duì)立事件為“A和B均未

12、被選中,故所求事件的概率方法二:“A或B被選中即AB兩人至少有一個(gè)被選中,共有9種方式.故所求事件的概率.例4:(2021山東)一汽車廠生產(chǎn)A,B,C三類轎車,每類轎車均有舒適型和標(biāo)準(zhǔn)型兩種型號(hào),某月的產(chǎn)量如下表(單位:輛):轎車A轎車B轎車C舒適型100150z標(biāo)準(zhǔn)型300450600按類用分層抽樣的方法在這個(gè)月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛,其中有A類轎車10輛.(1)求z的值;(2)用分層抽樣的方法在C類轎車中抽取一個(gè)容量為5的樣本.將該樣本看成一個(gè)總體,從中任取2輛,求至少有1輛舒適型轎車的概率;(3)用隨機(jī)抽樣的方法從B類舒適型轎車中抽取8輛,經(jīng)驗(yàn)測(cè)它們的得分如下:9.4,8.6,9.2,9

13、.6,8.7,9.3,9.0,8.2,把這8輛轎車的得分看成一個(gè)總體,從中任取一個(gè)數(shù),求該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超過0.5的概率.分析:此題主要考查分層抽樣及古典概型的應(yīng)用,考查應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.解:(1)設(shè)該廠這個(gè)月共生產(chǎn)轎車n輛,那么z=2000-(100+300)-150-450-600=400.(2)設(shè)所抽樣本中有a輛舒適型轎車,因此抽取的容量為5的樣本中,有2輛舒適型轎車,3輛標(biāo)準(zhǔn)型轎車.用A1,A2表示2輛舒適型轎車,用B1,B2,B3表示3輛標(biāo)準(zhǔn)型轎車,用E表示事件“在該樣本中任取2輛,其中至少有1輛舒適型轎車,那么根本領(lǐng)件空間包含的根本領(lǐng)件有:(A1,A2)

14、,(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3),共10個(gè),事件E包含的根本領(lǐng)件有:(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),共7個(gè), (3)樣本平均數(shù)設(shè)D表示事件“從樣本中任取一個(gè)數(shù),該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超過0.5,那么根本領(lǐng)件空間中有8個(gè)根本領(lǐng)件,事件D包含的根本領(lǐng)件有:9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0,共6個(gè),變式訓(xùn)練4:(2021遼寧)4張卡片上分別寫有數(shù)字1,2,3,4,從這4張卡片中隨機(jī)抽取2張

15、,那么取出的卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為( )答案:C解析:從4張卡片隨機(jī)取2張,共有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),6種根本領(lǐng)件,其數(shù)字之和為奇數(shù)的有(1,2) ,(1,4),(2,3),(3,4).技 能 演 練根底強(qiáng)化1.從甲乙丙三人中,任選兩名代表,甲被選中的概率為( )答案:D解析:甲乙丙三人中任選兩名代表有如下三種情況:(甲乙)(甲丙)(乙丙),其中甲被選中包含兩種,因此概率 2.在第1、3、4、5、8路公共汽車都要?？康囊粋€(gè)站(假定這個(gè)站只能?？恳惠v汽車),有一位乘客等候第4路或第8路汽車.假定當(dāng)時(shí)各路汽車首先到站的可能性相等,那么首先到

16、站正好是這位乘客所需乘的汽車的概率等于( )答案:D解析:由題知,在該問題中根本領(lǐng)件總數(shù)為5,一位乘客等車這一事件包含2個(gè)根本領(lǐng)件,故所求概率為 3.一枚硬幣連擲3次,只有兩次出現(xiàn)正面的概率是( )解析:一枚硬幣連擲3次,有8個(gè)不同的結(jié)果,而兩次出現(xiàn)正面向上的情況有(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),包含3個(gè)結(jié)果,因此所求概率為.答案:A4.有4條線段,長(zhǎng)度分別為1357,從這四條線中任取三條,那么所取三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形的概率是( )解析:在4條線段1,3,5,7中任取3條有4種取法:(1,3,5),(1,5,7),(1,3,7),(3,5,7),其中僅有(3,5,7)能構(gòu)成

17、三角形,故所求概率為.答案:A5.從含有3個(gè)元素的集合中任取一個(gè)子集,所取的子集恰含兩個(gè)元素的概率為( )解析:設(shè)集合A=a1,a2,a3,那么A有8個(gè)子集,它們是,a1,a2,a3,a1,a2,a1,a3,a2,a3,a1,a2,a3.其中含有兩個(gè)元素的子集有3個(gè).故所求概率為P=.答案:D6.利用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽查了某校200名學(xué)生,其中戴眼鏡的同學(xué)有120人,假設(shè)在這個(gè)學(xué)校隨機(jī)調(diào)查一名學(xué)生,那么這名學(xué)生戴眼鏡的概率是_.0.6解析:依題意知,隨機(jī)調(diào)查一名學(xué)生,戴眼鏡的概率為 7.從編號(hào)為1到100的100張卡片中,任取一張,所得編號(hào)是4的倍數(shù)的概率為_.0.25 解析:設(shè)4的倍數(shù)為4

18、k,k取整數(shù),令14k100,解得1k25,即在1到100之間共有25個(gè)數(shù)是4的倍數(shù),因此 8.先后拋擲兩枚均勻的正方體骰子(它的六個(gè)面分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)123456),骰子朝上的面的點(diǎn)數(shù)分別為x,y,那么log2xy=1的概率為_.解析:由log2xy=1,得y=2x,1y6,x=1,2,3.而先后拋擲兩個(gè)骰子,有66=36個(gè)根本結(jié)果,而適合題意的結(jié)果有3個(gè),由古典概型公式知,所求概率為 能力提升9.隨意安排甲乙丙3人在3天節(jié)日中值班,每人值班1天,那么(1)這3人的值班順序共有多少種不同的排列方法?(2)其中甲在乙之前的排法有多少種?(3)甲排在乙之前的概率為多少?解:(1)三人值班共有排法(甲

19、乙丙)(甲丙乙)(乙甲丙)(乙丙甲)(丙乙甲)(丙甲乙)6種.(2)因?yàn)榧着旁谝抑芭c甲排在乙之后的可能性是相等的,且甲排在乙之前與甲排在乙之后構(gòu)成對(duì)立事件,甲排在乙之前的排法有3種.(3)甲排在乙之前的概率為 10.(2021四川文)為了了解?中華人民共和國(guó)道路交通平安法?在學(xué)生中的普及情況,調(diào)查部門對(duì)某校6名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查,6人得分情況如下:5,6,7,8,9,10.把這6名學(xué)生的得分看成一個(gè)總體.(1)求該總體的平均數(shù);(2)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從這6名學(xué)生中抽取2名,他們的得分組成一個(gè)樣本.求該樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超過0.5的概率.解:(1)總體平均數(shù)為(5+6+7+8

20、+9+10)=7.5.(2)設(shè)A表示事件“樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超過0.5.從總體中抽取2個(gè)個(gè)體全部可能的根本結(jié)果有:(5,6),(5,7),(5,8),(5,9),(5,10),(6,7),(6,8),(6,9),(6,10),(7,8),(7,9),(7,10),(8,9),(8,10),(9,10),共有15個(gè)根本結(jié)果.事件A包含的根本結(jié)果有:(5,9),(5,10) ,(6,8),(6,9),(6,10),(7,8),(7,9),共7個(gè)根本結(jié)果.所以所求的概率為 品味高考11.(2021江蘇)現(xiàn)有5根竹竿,它們的長(zhǎng)度(單位:m)分別為2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,假設(shè)從中一次隨機(jī)抽取2根竹竿,那么它們的長(zhǎng)度恰好相差0.3 m的概率為_.0.2 解析:從5根竹竿中任取2根的取法有54=10種可能結(jié)果,而滿足它們的長(zhǎng)度