專轉(zhuǎn)本第六章空間解析幾何64課件

1、空間解析幾何第六章3.向量的數(shù)量積、向量積與混合積數(shù)量積向量積混合積3 向量的數(shù)量積、向量積與混合積一、兩向量的數(shù)量積1.數(shù)量積的定義定義1 記為ab，兩個(gè)向量a與b的數(shù)量積等于又稱數(shù)積、內(nèi)積、點(diǎn)積，其值為一個(gè)數(shù)量。及其夾角余弦的乘積，即ab= |a| |b|cos，兩個(gè)向量的模|a|、|b|其中對(duì)這個(gè)定義作幾點(diǎn)說(shuō)明：兩向量的數(shù)積是一個(gè)數(shù)量而不是向量(2)若a,b中至少有一個(gè)是零向量，則 不能確定，但它們的數(shù)積是0(3)兩個(gè)向量的數(shù)積等于零的充要條件是a=0或b=0或 規(guī)定：零向量垂直于任何向量因此，兩向量垂直的充要條件是它們的數(shù)量積等于零當(dāng)a,b為兩非零向量時(shí)，根據(jù)定理有OM=射影baa.b

2、= |a|.射影ab =|b|.射影ba （見(jiàn)下圖）abAMBO(a)AMoBa(b)定理: 向量的數(shù)量積滿足下列運(yùn)算規(guī)律特別地,當(dāng)b為單位向量e時(shí),有a.e= |b|.射影ea=射影ea當(dāng)a=b,則有a.a= |a|. |a|cos0= |a|2特別地,當(dāng)a為單位向量時(shí),a.a=a2= |a|2=11)交換律: a.b=b.a2)分配律: a(b+c)=ab+ac,(b+c)a=ba+ca3)對(duì)于數(shù)的結(jié)合律:2.數(shù)量積的坐標(biāo)表示法在直角坐標(biāo)系下，向量的數(shù)量積有下面性質(zhì)定理: 設(shè)aX1 Y1 Z1 bX2 Y2 Z2 則 ab X1 X2 +Y1 Y2 + Z1 Z2 3.向量的模與方向余弦的

3、坐標(biāo)表示法定理: 設(shè)向量aX i+Y j +Z k ，則 |a|=非零向量與三坐軸之間的夾角叫做該向量的方向角，方向角的余弦叫做向量的方向余弦，向量的方向余弦也可用向量的坐標(biāo)表示定理: 設(shè)非零向量aX i+Y j +Z k與x軸,y軸，z軸的夾角分別為 (即a的三個(gè)方向角)，則有且例1 在xoy平面上找一單位向量，使它與向量垂直。解：設(shè)在xoy面上所找的向量為則 即 例2 求與向量a=2i-j+2k共線且滿足ax=-18的向量x.解：因?yàn)閍與x共線，則必存在0，使所以 = -2 x=-4,2,-4 x= a=2 ,- ,2 ,又ax= -18,即 4 + +4 =-18解： 因所以構(gòu)成一個(gè)等邊

4、三角形且且求例3 設(shè) 是單位向量，且 二、兩向量的向量積1.向量積及其運(yùn)算規(guī)律定義2 則稱c為a,b的向量積，記為c=ab, 又稱為叉積或矢量積.設(shè)有向量a,b，定義c如下：c的方向由a,b按右手法則確定， c的模|c|=|a|b|sin； (其中為a,b的夾角）注： ab是一個(gè)向量；而且其特征為方向與a與b都垂直，模等于以a,b為鄰邊的平行四邊形的面積。即 向量積的性質(zhì)： aa=0; 向量的叉乘積不滿足交換律兩個(gè)非零向量a與b互相平行的充要條件是ab=0(ab)=a (b)= (a) b(a+b) c=a c+b c ba=- ab2.向量積的坐標(biāo)表示法 設(shè)有向量a=axi+ayj+azk,b=bxi+byj+bzk,則有 ab =（aybz-azby)i+(azbx-axbz)j+(axby-aybx)k定理：向量a與b平行aybz-azby=azbx-axbz=axby-aybx=0上式說(shuō)明：兩非零向量平行對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例；例4 求與兩向量a=2,3,-1和b=-3，-1，1都垂直的單位向量。C=2i+j+7k再將c單位化得：co=解：顯然，c=ab與兩向量都垂直，先求 c:上式中，若有分母為零，則對(duì)應(yīng)的分子也為零。例 5 求一向量，使此向量與三個(gè)點(diǎn)M