概率論與數(shù)理統(tǒng)計盛驟第四版數(shù)理統(tǒng)計部分課件2

1、 數(shù) 理 統(tǒng) 計1第八章 假設檢驗 關鍵詞： 假設檢驗 正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗 分布擬合檢驗 秩和檢驗21 假設檢驗 統(tǒng)計推斷的另一類重要問題是假設檢驗問題。它包括（1）已知總體分布的形式，但不知其參數(shù)的情況，提出參數(shù)的假設，并根據(jù)樣本進行檢驗.（2）在總體的分布函數(shù)完全未知的情況下，提出總體服從某個已知分布的假設，并根據(jù)樣本進行檢驗.3例1 設某種清漆的9個樣品，其干燥時間（以小時計）分別 為： 6.0 5.7 5.5 6.5 7.0 5.8 5.2 6.1 5.0根據(jù)以往經(jīng)驗，干燥時間的總體服從正態(tài)分布N(6.0, 0.36),現(xiàn)根據(jù)樣本檢驗均值是否與以往有顯著差異？例2 一種攝影藥品被其

2、制造商聲稱其貯藏壽命是均值180天、標準差不多于10天的正態(tài)分布。某位使用者擔心標準差可能超過10天。他隨機選取12個樣品并測試，得到樣本標準差為14天。根據(jù)樣本有充分證據(jù)證明標準差大于10天嗎？例3 孟德爾遺傳理論斷言，當兩個品種的豆雜交時，圓的和黃的、起皺的和黃的、圓的和綠的、起皺的和綠的豆的頻數(shù)將以比例9：3：3：1發(fā)生。在檢驗這個理論時，孟德爾分別得到頻數(shù)315、101、108、32、這些數(shù)據(jù)提供充分證據(jù)拒絕該理論嗎？4 參數(shù)的假設檢驗問題處理步驟1. 根據(jù)實際問題的要求，提出原假設 和備擇假設 ；2. 根據(jù)樣本X_i，確定檢驗統(tǒng)計量T(X_i)以及拒絕域（拒 絕原假設的區(qū)域）的形式；

3、3. 給定顯著性水平，按照“在原假設H0成立時，拒絕原假 設的概率不大于顯著性水平 ”這一原則，確定拒絕 域；4根據(jù)樣本觀測值作出決策，接受原假設還是拒絕原假 設。5例1 設某種清漆的9個樣品，其干燥時間（以小時計）分別為： 6.0 5.7 5.5 6.5 7.0 5.8 5.2 6.1 5.0根據(jù)以往經(jīng)驗，干燥時間的總體服從正態(tài)分布N(6.0, 0.36),現(xiàn)根據(jù)樣本檢驗均值是否與以往有顯著差異？ 由于作出決策的依據(jù)是一個樣本，因此，可能出現(xiàn)“實際上原假設成立，但根據(jù)樣本作出拒絕原假設”的決策。這種錯誤稱為“第一類錯誤”，實際中常常將犯第一類錯誤的概率控制在一定限度內(nèi)，即事先給定較小的數(shù)(0

4、1)（稱為顯著性水平）,使得6上述檢驗法則符合實際推斷原理。7注釋1：假設檢驗中的4種可能結果通常，犯第一類錯誤的概率、犯第二類錯誤的概率、樣本容量可以看作為“三方拔河”。決策 原假設H0真的 假的不拒絕H0拒絕H0正確決策 第二類錯誤第一類錯誤 正確決策 第一類錯誤：原假設H0成立時，作出拒絕原假設的決策；第二類錯誤：備擇假設H1成立時，作出接受原假設的決策。8這是一對矛盾，要同時減少犯第一、第二類錯誤，只有增大樣本容量。9注釋2：假設檢驗與區(qū)間估計的比較。即拒絕域可以這樣得到：將置信區(qū)間不等號反向，將原假設成立時的值代入到參數(shù)中即可。10 2 正態(tài)總體均值方差的假設檢驗111213 14例

5、2 某種元件的壽命X（以小時記）服從正態(tài)分布 均未知?，F(xiàn)測得16只元件的壽命如下： 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170問是否有理由認為元件的平均壽命大于225（小時）？（取顯著性水平為0.05）t沒有落在拒絕域內(nèi)，故接受原假設，認為元件的平均壽命不大于225小時。15例3 要求某種元件的平均使用壽命不得低于1000小時，生產(chǎn)者從一批這種元件中隨機抽取25件，測得其平均壽命為950小時，標準差為100小時。已知這批元件的壽命服從正態(tài)分布。試在顯著性水平0.05下確定這批元件是否合格？t落在拒絕域內(nèi)，故拒絕原假設，

6、認為這批元件的平均壽命小于1000小時，不合格。16171819 例4：某廠使用兩種不同的原料A,B生產(chǎn)同一類型產(chǎn)品。各在一周的產(chǎn)品中取樣分析。取用原料A生產(chǎn)的樣品220件，測得平均重量為2.46（公斤），樣本標準差s=0.57（公斤）。取用原料B生產(chǎn)的樣品205件，測得平均重量為2.55（公斤），樣本標準差為0.48（公斤）。設兩樣本獨立，來自兩個方差相同的獨立正態(tài)總體。問在水平0.05下能否認為用原料B的產(chǎn)品平均重量較用原料A的為大。 20 基于成對數(shù)據(jù)的檢驗例5：為了試驗兩種不同谷物種子的優(yōu)劣，選取了十塊土質(zhì)不同的土地，并將每塊土地分為面積相同的兩部分，分別種植這兩種種子。設在每塊土地的

7、兩部分人工管理等條件完全一樣。下面給出各塊土地上的產(chǎn)量。土地 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10種子A(xi) 23 35 29 42 39 29 37 34 35 28種子B(yi) 26 39 35 40 38 24 36 27 41 27di=xi-yi -3 -4 -6 2 1 5 1 7 -6 1問：以這兩種種子種植的谷物產(chǎn)量是否有顯著的差異（取顯著性水平為0.05)?21 2223 24（四）兩個正態(tài)總體方差的檢驗25 例7：兩臺機床生產(chǎn)同一個型號的滾珠，從甲機床生產(chǎn)的滾珠中 抽取8個，從乙機床生產(chǎn)的滾珠中抽取9個，測得這些滾珠 的直徑(毫米)如下: 甲機床 15.0 14.

8、8 15.2 15.4 14.9 15.1 15.2 14.8 乙機床 15.2 15.0 14.8 15.1 14.6 14.8 15.1 14.5 15.0262728待估參數(shù) 原假設樞軸量 檢驗統(tǒng)計量 分 布置信區(qū)間拒絕域 一個正態(tài)總體兩個正態(tài)總體正態(tài)總體均值、方差的置信區(qū)間與假設檢驗 定義 若C是參數(shù)的某檢驗問題的一個檢驗法，稱為檢驗法C的施行特征函數(shù)或OC函數(shù)，其圖形稱為OC曲線。 3 樣本容量的選取30 1。Z檢驗法的OC函數(shù)313233 例8（工業(yè)產(chǎn)品質(zhì)量抽驗方案）設有一大批產(chǎn)品，產(chǎn)品質(zhì)量指標X服從 。以小者為佳，廠方要求所確定的驗收方案對高質(zhì)量的產(chǎn)品 能以高概率1為買方所接受。

9、買方則要求低質(zhì)產(chǎn)品 能以高概率1被拒絕。，有廠方與買方協(xié)商給出。并采取一次抽樣以確定該批產(chǎn)品是否為買方所接受。問應怎樣安排抽樣方案。已知 且由工廠長期經(jīng)驗知 。經(jīng)商定=0.05。34 2。t檢驗法的OC函數(shù)3536 374.分布擬合檢驗 前面介紹的各種檢驗法都是在總體服從正態(tài)分布前提下，對參數(shù)進行假設檢驗的。實際中可能遇到這樣的情形，總體服從何種理論分布并不知道，要求我們直接對總體分布提出一個假設 。 例如，要檢驗在計算機上產(chǎn)生隨機數(shù)的一個程序。指令該程序產(chǎn)生0到9之間的100個單個數(shù)字。觀察整數(shù)的頻數(shù)如下表。那么以0.05的顯著性水平，有充分的理由相信該批整數(shù)不是均勻產(chǎn)生的嗎？整數(shù) 0 1

10、2 3 4 5 6 7 8 9頻數(shù) 11 8 7 7 10 10 8 11 14 1438 例如，從1500到1931年的432年間，每年爆發(fā)戰(zhàn)爭的次數(shù)可以看作一個隨機變量，據(jù)統(tǒng)計，這432年間共爆發(fā)了299次戰(zhàn)爭，具體數(shù)據(jù)如下:戰(zhàn)爭次數(shù)X 0 1 2 3 4發(fā)生 X次戰(zhàn)爭的年數(shù) 223 142 48 15 4 通常假設每年爆發(fā)戰(zhàn)爭的次數(shù)服從泊松分布。那么上面的數(shù)據(jù)是否有充分的理由推翻每年爆發(fā)戰(zhàn)爭的次數(shù)服從泊松分布假設？39它是在總體X 的分布未知時，根據(jù)來自總體的樣本，檢驗關于總體分布的假設的一種檢驗方法。（一） 擬合檢驗法40414243戰(zhàn)爭次數(shù)X 0 1 2 3 4發(fā)生 X次戰(zhàn)爭的年數(shù)

11、223 142 48 15 4 例1，從1500到1931年的432年間，每年爆發(fā)戰(zhàn)爭的次數(shù)可以看作一個隨機變量，據(jù)統(tǒng)計，這432年間共爆發(fā)了299次戰(zhàn)爭，具體數(shù)據(jù)如下: 通常假設每年爆發(fā)戰(zhàn)爭的次數(shù)服從泊松分布。那么上面的數(shù)據(jù)是否有充分的理由推翻每年爆發(fā)戰(zhàn)爭的次數(shù)服從泊松分布假設？戰(zhàn)爭次數(shù)x 0 1 2 3 4實測頻數(shù) 223 142 48 15 4概率估計 0.502 0.346 0.119 0.027 0.006理論頻數(shù) 217 149 51 12 344戰(zhàn)爭次數(shù)x 0 1 2 3 4實測頻數(shù) 223 142 48 15 4概率估計 0.502 0.346 0.119 0.027 0.00

12、6理論頻數(shù) 217 149 5145 例2 孟德爾遺傳理論斷言，當兩個品種的豆雜交時，圓的和黃的、起皺的和黃的、圓的和綠的、起皺的和綠的豆的頻數(shù)將以比例9：3：3：1發(fā)生。在檢驗這個理論時，孟德爾分別得到頻數(shù)315、101、108、32、這些數(shù)據(jù)提供充分證據(jù)拒絕該理論嗎？豆子狀態(tài)x 1 2 3 4實測頻數(shù) 315 101 108 32 概率 9/16 3/16 3/16 1/16理論頻數(shù) 312.75 104.25 104.25 34.75461411481321381541421501461551581501401471481441501491451491581431411441441261

13、40144142141140145135147146141136140146142137148154137139143140131143141149148135148152143144141143147146150132142142143153149146149138142149142137134144146147140142140137152145 例3 下面列出了84個伊特拉斯坎(Etruscan)人男子的頭顱的最大寬度(mm)，試檢驗這些數(shù)據(jù)是否來自正態(tài)總體（取=0.1）47解 為粗略了解數(shù)據(jù)的分布情況，先畫出直方圖。步驟如下：1.找出數(shù)據(jù)的最小值、最大值為126、158，取區(qū)間124.

14、5, 159.5,它能覆蓋126, 158；2.將區(qū)間124.5, 159.5等分為7個小區(qū)間,小區(qū)間的長度=(159.5-124.5)/7=5, 稱為組距，小區(qū)間的端點稱為組限，建立下表：組 限頻數(shù) fi頻率 fi /n累計頻率124.5-129.5129.5-134.5134.5-139.5139.5-144.5144.5-149.5149.5-154.5154.5-159.514103324930.01190.04760.11910.39290.28570.10710.03570.01190.05950.17860.57150.85720.95241483.自左向右在各小區(qū)間上作以fi

15、/n為高的小矩形 如下圖，即為直方圖。注：直方圖的小區(qū)間可以不等長，但小區(qū)間的長度不能太大，否則平均化作用突出，淹沒了密度的細節(jié)部分；也不能太小，否則受隨機化影響太大，產(chǎn)生極不規(guī)則的形狀。49從本例的直方圖看，有一個峰，中間高，兩頭低，較對稱，樣本象來自正態(tài)總體。于是檢驗50 x129.5129.5x134.5134.5x139.5139.5x144.5144.5x149.5149.5x154.5154.5x2)個水平，n個對象參與了試驗。假定對應于因素第j個水平的組中有 個試驗對象，響應變量數(shù)據(jù)為通常假定73檢驗假設假設等價于74（二）平方和分解75證明： 767778方差來源平方和自由度均

16、方F比因素As-1誤差n-s總和n-1單因素試驗方差分析表7980 例1 設有5種治療蕁麻疹的藥，要比較它們的療效。假設將30個病人分成5組，每組6人，令同組病人使用一種藥，并記錄病人從使用藥物開始到痊愈所需時間，得到下面的記錄：(=0.05)藥物x治愈所需天數(shù)y15，8，7，7，10，824，6，6，3，5，636，4，4，5，4，347，4，6，6，3，559，3，5，7，7，681這里藥物是因子，共有5個水平，這是一個單因素方差分析問題，要檢驗的假設是“所有藥物的效果都沒有差別”。 方差分析表方差來源平方和自由度均方F比因素A36.466749.1167 3.90誤差58.5000252

17、.3334總和94.96672982未知參數(shù)的估計83842 雙因素試驗的方差分析 例 假設某藥物研究者為檢驗a,b兩種化學物質(zhì)的抗癌效果，要做動物試驗。通常的作法是：將一些患有某種癌的白鼠隨機地分成三組。其中兩組分別注射a,b兩種化學物質(zhì)，而第三組不作處理，作為對照。記第一組：注射a物質(zhì)，第二組：注射b物質(zhì)，第三組：不做處理。經(jīng)過一段時間觀察后，得到壽命數(shù)據(jù)。在這個藥物試驗中，如果白鼠的性別有可能對其壽命有顯著的影響。這時應該考慮將“性別”作為一個因素“雙因素試驗”。因素A：藥物，三個水平；因素B：性別，二個水平；兩個因素共有236種組合。85（一） 雙因素等重復試驗的方差分析 因素B因素A

18、8687分別檢驗假設8889909192雙因素試驗的方差分析表方差來源平方和自由度均方F比因素A因素B交互作用誤差總和93例3 為了比較3種松樹在4個不同的地區(qū)的生長情況有無差別，在每個地區(qū)對每種松樹隨機地選取5株，測量它們的胸徑，得到的數(shù)據(jù)列表如下。 松樹數(shù)據(jù)表松樹種類地區(qū)1234123, 15, 26,13, 2125, 20, 21, 16, 1821, 17, 16,24, 2714, 17, 19,20, 24228, 22, 25,19, 2630, 26, 26,20, 2819, 24, 19,25, 2917, 21, 18,26, 23318, 10, 12,22, 131

19、5, 21, 22, 14, 1223, 25, 19, 13, 22 18, 12, 23,22, 1994這是一批等重復的兩種方式分組數(shù)據(jù)，記樹種因素為A，地區(qū)因素為B，則A因素有3個水平，B因素有4個水平，總共有12個水平組合，每個組合（單元）有5個重復觀測。 將樹的胸徑作為度量樹的生長情況是否良好的數(shù)值指標，我們的目標是：由以上數(shù)據(jù)來判斷不同樹種及不同地區(qū)對松樹的生長情況是否有影響（好或壞）？ 這里要考慮的影響有三種：樹種的單獨影響（A因素主效應），地區(qū)的單獨影響（B因素主效應），以及不同樹種和不同地區(qū)的結合所產(chǎn)生的交互影響（AB因素的交互效應）。這是一個典型的等重復雙因素方差分析模型

20、。 95輸出各單元總和及因素水平總和： 松樹數(shù)據(jù)的總和表單元總和B1B2B3B4水平總和A19810010594397A2120130116105471A3758410294355水平總和293314323293122396方差來源平方和自由度均方F比F值=0.05因素A344.93332172.46679.453.19因素B46.0500315.35000.842.80交互作用113.6000618.93331.042.30誤差875.60004818.2417總和1380.183359雙因素方差分析表97 進一步考查A因素不同水平的均值。注意到A因素的第二水平為最大：23.55，而第三水平

21、的均值為最?。?7.65，可以認為樹種2的生長情況優(yōu)于樹種3。能夠得出這個結論，得益于觀測的等重復性。 然后再來看B因素的主效應，即在扣除松樹種類的效應后，不同地區(qū)對樹的胸徑的影響。由方差分析表知， B因素的主效應不顯著，即不同的地區(qū)對樹的胸徑?jīng)]有顯著影響。最后來看AB因素的交互效應，即在扣除兩種效應后，由不同樹種和不同地區(qū)的結合而產(chǎn)生的對樹的胸徑的影響，這種影響可以解釋為某些地區(qū)特別適合（或特別不適合）某個樹種的生長。結果也不顯著。 首先來看A因素主效應，即在扣除地區(qū)效應后， 松樹的不同種類對樹的胸徑的影響。由方差分析表可以看出，A因素主效應是顯著的，即松樹的不同種類對樹的胸徑有顯著影響。9

22、8（二） 雙因素無重復試驗的方差分析 因素B因素A99100分別檢驗假設101102103104雙因素無重復試驗的方差分析表方差來源平方和自由度均方F比因素A因素B誤差總和105例4 假定對3個小麥品種和3塊試驗地塊進行區(qū)組設計試驗，得到如下的數(shù)據(jù)： 表 小麥品種區(qū)組試驗數(shù)據(jù) 小麥品種（A）試驗地塊（B）總和B1B2B3A1258279242779A2302314336952A3321318327966總和8819119052697106在這個問題中我們關心的是小麥的不同品種之間在產(chǎn)量上的差異。由于地塊不同對小麥的產(chǎn)量也會有影響，因此在比較試驗結果時，要扣除地塊的影響之后再來比較品種的差異。假

23、定品種與地塊之間無交互效應，則可對上述數(shù)據(jù)進行雙因素可加效應模型的方差分析。 107雙因素無重復試驗的方差分析表方差來源平方和自由度均方F比F值=0.05因素A7232.666723616.333312.506.94因素B168.0000284.0000 0.296.94誤差1157.33334289.3333總和8558.00008108在這個問題中我們所關心的是因素A的效應，由方差分析表知，原假設不成立，即認為小麥品種的產(chǎn)量之間有顯著差異。在這里，品種3的單產(chǎn)最高，而品種1的產(chǎn)量最低，因此可以斷定品種3明顯地優(yōu)于品種1。 1093 一元線性回歸分析 一、確定性關系： 當自變量給定一個值時，

24、就確定應變量的值與之對應。 如：在自由落體中，物體下落的高度h與下落時間t之間有函數(shù)關系： 變量與變量之間的關系 110二、相關性關系： 變量之間的關系并不確定，而是表現(xiàn)為具有隨機性的一種“趨勢”。即對自變量x的同一值，在不同的觀測中，因變量Y可以取不同的值，而且取值是隨機的，但對應x在一定范圍的不同值，對Y進行觀測時，可以觀察到Y隨x的變化而呈現(xiàn)有一定趨勢的變化。 如：身高與體重，不存在這樣的函數(shù)可以由身高計算出體重，但從統(tǒng)計意義上來說，身高者，體也重。 再如：父親的身高與兒子的身高之間也有一定聯(lián)系，通常父親高，兒子也高?；貧w分析研究相關性關系的最基本，應用最廣泛的方法。111（一）一元線性

25、回歸112在實際問題中，回歸函數(shù)(x)一般是未知的，需要根據(jù)試驗數(shù)據(jù)去估計。113114一元線性回歸要解決的問題：115（二）a,b的估計最小二乘估計116正規(guī)方程系數(shù)行列式117 在誤差為正態(tài)分布假定下，最小二乘估計等價于極大似然估計。事實上，似然函數(shù)118119120例1 K.Pearson收集了大量父親身高與兒子身高的資料。其中十對如下：父親身高x（吋）60626465666768707274兒子身高y（吋）63.665.26665.566.967.167.468.370.170求Y關于x的線性回歸方程。121122（三）誤差方差的估計123124例2 求例1中誤差方差的無偏估計。125

26、（1）影響Y取值的，除了x，還有其他不可忽略的因素；（2）E(Y)與x的關系不是線性關系，而是其他關系；（3）Y與x不存在關系。（四）線性假設的顯著性檢驗采用最小二乘法估計參數(shù)采用最小二乘法估計參數(shù)a和b，并不需要事先知道Y與x之間一定具有相關關系，即使是平面圖上一堆完全雜亂無章的散點，也可以用公式求出回歸方程。因此(x)是否為x的線性函數(shù)，一要根據(jù)專業(yè)知識和實踐來判斷，二要根據(jù)實際觀察得到的數(shù)據(jù)用假設檢驗方法來判斷。若原假設被拒絕，說明回歸效果是顯著的，否則，若接受原假設，說明Y與x不是線性關系，回歸方程無意義。回歸效果不顯著的原因可能有以下幾種：126127例3 檢驗例1中回歸效果是否顯著

27、，取=0.05。128（五）回歸系數(shù)b的置信區(qū)間當回歸效果顯著時，常需要對回歸系數(shù)b作區(qū)間估計。129 (六)回歸函數(shù) 函數(shù)值的點估計和置信區(qū)間130131（七）Y的觀察值的點預測和預測區(qū)間132133134注：在預測時， 一定要落在已有的 的數(shù)據(jù)范圍內(nèi)部，否則預測常常沒有意義。 135例4，在例1中F.Galton曾斷言“兒子身高會受到父親身高的影響，但身高偏離父代平均水平的父親，其兒子身高的影響有回歸到子代平均水平的趨勢。”試問例1這組數(shù)據(jù)能證實這一論斷嗎(=0.05)?并給出x=69吋時,y的預測區(qū)間。(1)回歸到平均水平的趨勢，即檢驗 136137例5 合金鋼的強度y與鋼材中碳的含量x

28、有密切關系。為了冶煉出符合要求強度的鋼常常通過控制鋼水中的碳含量來達到目的，為此需要了解y與x之間的關系。其中x：碳含量（） y：鋼的強度（kg/mm2）數(shù)據(jù)見下：x0.030.040.050.070.090.100.120.150.170.20y40.539.541.041.543.042.045.047.553.056.0（1）畫出散點圖；（2）設(x)=a+bx,求a,b的估計；（3）求誤差方差的估計，畫出殘差圖；（4）檢驗回歸系數(shù)b是否為零（取=0.05)；（5）求回歸系數(shù)b的95置信區(qū)間；（6）求在x=0.06點，回歸函數(shù)的點估計和95置信區(qū)間；（7）求在x=0.06點，Y的點預測和95區(qū)間預測。 138 0.03 0.05 0.07 0.09 0.11 0.13 0.15 0.17 0.1956 54 52 50 48 46 44 42 40 38 （1）合金鋼的強度y與鋼材中碳的含量x的散點圖139x0.030.040.050.070.090.100.120.1