倒格子與布里淵區(qū)課件

1、第六節(jié) 倒格子與布里淵區(qū)一、倒格子的引入與定義1、 倒格點(diǎn)布喇菲格子由無數(shù)位向不同的晶面族構(gòu)成，描述一族晶面的特征必須有兩個(gè)參量：面間距、晶面法向。為了處理問題方便，在數(shù)學(xué)上將晶面族的特征用一個(gè)矢量綜合體現(xiàn)出來，矢量的方向代表這族晶面的法向，矢量的模值比例于這族晶面的面間距，這樣確定的矢量稱為倒格矢。倒格矢的端點(diǎn)稱為倒格點(diǎn)。倒格點(diǎn)的總體構(gòu)成倒格子空間。每個(gè)倒格點(diǎn)都表示了晶體中一族晶面的特征，倒格點(diǎn)的位置矢量（倒格矢）體現(xiàn)了晶面的面間距和法向。2、倒格子布喇菲格子的基矢a1、 a2 、a3為正格子基矢，稱Rl=l1a1+l2a2+l3a3決定的空間為正格子，=a1(a2a3)為正格子元胞體積。定

2、義 為倒格子基矢，由Kh=h1b1+h2b2+h3b3決定的空間為倒格子，=b1(b2b3)為倒格子元胞體積。正格子空間的長度量綱是m,倒格子空間的長度量綱為m-1。 3、倒格子的意義正格子中一族晶面轉(zhuǎn)化成了倒格子中的一個(gè)倒格點(diǎn)。 （1）由 和叉乘的幾何意義可知，b3沿著a1a2的方向，或者說b3就是a1和a2所確定的晶面（001）的法線方向。 同時(shí) 倒格子基矢b3的方向表示了正格子中（001）晶面的法向，其模值比例于（001）面的面間距。 （2）倒格子基矢（b1b2b3)及其對(duì)應(yīng)的倒格點(diǎn)分別表示了正格子中三族不同位向的晶面。 （3）倒格子空間中任一倒格點(diǎn)都體現(xiàn)了正格子中一族晶面的特征，倒格點(diǎn)

3、位矢的方向是這族晶面的法向，而它的大小比例于該晶面族面間距的倒數(shù)。倒格點(diǎn)與x射線斑點(diǎn)存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而使晶體衍射分析簡單而直觀。二、正格子與倒格子的關(guān)系1、兩種格子基矢間的關(guān)系 正格子基矢ai與倒格子基矢bj之間滿足 當(dāng)i等于j時(shí) 當(dāng)i不等于j時(shí) （i、j=1、2、3） 2、兩種格子格矢間的關(guān)系。 正格矢Rl=l1a1+l2a2+l3a3與倒格子Kh=h1b1+h2b2+h3b3之間滿足Rl Kh =2(為整數(shù)）。反之，若兩矢量點(diǎn)積為2 的整數(shù)倍，且其中一個(gè)矢量為正格矢，則另一矢量必為倒格矢。3，兩種格子元胞間的關(guān)系 倒格子元胞體積與正格子元胞體積存在倒數(shù)關(guān)系。4、正格子（h1h2h3)晶

4、面族與倒格矢Kh的關(guān)系正格子中任一晶面族（h1h2h3)可以在所對(duì)應(yīng)的倒格子空間找到一個(gè)倒格矢 Kh =h1b1+ h2b2+ h3b3來體現(xiàn)晶面族的法向和面間距。對(duì)于任意給定的倒格矢Kh =h1 b1+ h2 b2+h3 b3都能得到與之垂直的晶面族的晶面指數(shù)（h1h2h3)。正格子與倒格子是相對(duì)應(yīng)的，二者互為倒格子。 倒格子的倒格子就是正格子。三、晶體的傅里葉變換與波矢空間1、晶體的傅里葉變換 假定在晶格中任意一點(diǎn)r的物理量為V（r），則根據(jù)晶格的周期性有 V（r）=V(r+Rl) 傅里葉展開： GhRl=2 (為整數(shù)）。 由于正格矢Rl 與倒格矢Kh之間滿足Rl Kh= 2 ,因而Gh必

5、為倒格子中的一個(gè)倒格矢 。那么 這說明： 具有正格子周期性的函數(shù)作傅里葉展開時(shí)，只需對(duì)倒格矢展開 物理量在正格子中的表述與倒格子中的表述之間遵從傅里葉變換的關(guān)系。2、波矢空間 波矢 ，其中為波長，S0為波傳播方向的單位矢量。 波矢的量綱為m-1,與倒格子 空間的量綱一致，因而可以在倒格子空間中描述波矢。 倒格子空間又稱為波矢空間或狀態(tài)空間。四、布里淵區(qū)1、布里淵區(qū)的定義布里淵區(qū)：倒格子空間被倒格矢Kh的垂直平分面分割成的區(qū)域。 （1）被倒格矢的垂直平分面包圍的、圍繞著原點(diǎn)的最小區(qū)域稱為第一布里淵區(qū)，又稱為簡約布里淵區(qū)。 （2）在第一布里淵區(qū)的外面， 由若干塊對(duì)稱分布且不相連的較小區(qū)域分別組成第

6、二、第三等布里淵區(qū)。只要晶體的布喇菲格子類型相同，倒格子類型就相同，布里淵區(qū)的形狀就一樣。同一晶格中每個(gè)布里淵區(qū)占據(jù)倒格子空間的體積相同，都等于倒格子元胞體積*=(2)3/ 。簡約布里淵區(qū)以外的各布里淵區(qū)可以分別用適當(dāng)?shù)牡垢袷钙揭频胶喖s布里淵區(qū)內(nèi)，且既無空隙，又無重疊。2、實(shí)例一維格子圖1-42a 一維正晶格、基矢a=ai圖1-42b 一維倒格子空間、基矢b=(2/a) i圖1-42c 各布里淵區(qū)分布情況二維正方格子 (1)設(shè)二維正方格子的基矢為a1=ai、a2=aj，則對(duì)應(yīng)的倒格子基矢為b1=(2/a)i、b2=(2/a)j (2)由b1、b2作出倒格子空間。倒格子元胞仍為正方形，元胞大小為

7、(2/a)2。 （3）由原點(diǎn)O作最近鄰、次近鄰等倒格點(diǎn)連線垂直平分線，得到各布里淵區(qū)。（4）各布里淵區(qū)的大小相同，且都與倒格子元胞大小相等。簡單立方格子 （1）設(shè)簡單立方格子的基矢為a1=ai、a2=aj、a3=ak，則對(duì)應(yīng)的倒格子基矢為b1=(2/a)i 、b2= (2/a)j、b3=(2/a)k。 （2）由b1 、 b2 、 b3作出倒格子空間。倒格子元胞仍為簡單立方，元胞大小為(2/a)3。 （3）簡約布里淵區(qū)是原點(diǎn)與六個(gè)最近鄰倒格點(diǎn)連線的中垂面圍成的立方體，其體積為(2/a)3，且包含了一個(gè)格點(diǎn)。圖1-12(a)簡單立方圖1-44簡單立方格子的簡約布里淵區(qū)3、邊界方程布里淵區(qū)界面的一般

8、方程，實(shí)質(zhì)上就是倒格子空間倒格矢的中垂面方程。布里淵區(qū)的界面方程的幾何求法： （1）任取一倒格矢Kh，作其中垂面。 （2）考察從原點(diǎn)O到中垂面的任意矢量k，它在Kh上的投影為Kh長度的一半。即 圖1-45 布里淵區(qū)界面方程示意圖 求簡立方格子簡約布里淵區(qū) （1）簡立方格子的倒格子仍為簡單立方，六個(gè)最近鄰倒格點(diǎn)的倒格矢為 （2）將矢量 k=k x i+k y j+k z k代入kk h=|k h| 2 中，得到圖1-44 簡單立方格子的簡約布里淵區(qū)作業(yè)11、對(duì)于六方密堆積結(jié)構(gòu)，初基元胞基矢為：求其倒格子基矢，并判明倒格子也是六方結(jié)構(gòu)。12、用倒格矢的概念證明：立方晶系的h k l晶向與（h k l）晶面垂直。13、若軸矢abc構(gòu)成簡單正交系，證明：晶面族（hkl）的面間距為14、試證體心立方格子和面心立方格子互為正倒格子。15、試畫出b=2a的二維矩形正格子的倒格子和前三個(gè)布里淵區(qū)，并求 出簡約布里淵區(qū)的邊界方程。本文來自網(wǎng)絡(luò)，請(qǐng)不要使用盜版文檔，尊重作者的辛苦勞動(dòng)，謝謝G我愛朱丹老婆中華人民共和國2010080808080808080808080808080808080808080808080808080808