工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析

1、第3章 工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析 3.1 引言 在運(yùn)動(dòng)學(xué)分析時(shí)未涉及到力、速度、加速度。要對(duì)工業(yè)機(jī)器人進(jìn)行合理的設(shè)計(jì)與性能分析，在使用中實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)性能良好的實(shí)時(shí)控制，就需要對(duì)工業(yè)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)進(jìn)行分析。本章將介紹工業(yè)機(jī)器人在實(shí)際作業(yè)中遇到的靜力學(xué)和動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，為以后“工業(yè)機(jī)器人控制等章的學(xué)習(xí)打下一個(gè)根底。 后面所說(shuō)的力或力矩都是“廣義的。工業(yè)機(jī)器人作業(yè)時(shí)，外界對(duì)手部的作用力將導(dǎo)致各關(guān)節(jié)產(chǎn)生相應(yīng)的作用力。假定工業(yè)機(jī)器人各關(guān)節(jié)“鎖住，關(guān)節(jié)的“鎖定用力與外界環(huán)境施加給手部的作用力取得靜力學(xué)平衡。工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)就是分析手部上的作用力與各關(guān)節(jié)“鎖定用力之間的平衡關(guān)系，從而根據(jù)外界環(huán)境在手部上的作用力

2、求出各關(guān)節(jié)的“鎖定用力，或者根據(jù)的關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力求解出手部的輸出力。 工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)的任務(wù) 工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)的任務(wù) 工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)問(wèn)題有兩類：(1)動(dòng)力學(xué)正問(wèn)題：關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)力，求工業(yè)機(jī)器人系統(tǒng)相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)，包括關(guān)節(jié)位移、速度和加速度。(2)動(dòng)力學(xué)逆問(wèn)題：運(yùn)動(dòng)軌跡點(diǎn)上的關(guān)節(jié)位移、速度和加速度，求出相應(yīng)的關(guān)節(jié)力矩。研究工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)的目的動(dòng)力學(xué)正問(wèn)題對(duì)工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)仿真是非常有用的。動(dòng)力學(xué)逆問(wèn)題對(duì)實(shí)現(xiàn)工業(yè)機(jī)器人實(shí)時(shí)控制是相當(dāng)有用的。利用動(dòng)力學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)最優(yōu)控制，以期到達(dá)良好的動(dòng)態(tài)性能和最優(yōu)指標(biāo)。工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型的用途主要用于工業(yè)機(jī)器人的設(shè)計(jì)和離線編程。在設(shè)計(jì)中需根據(jù)連桿質(zhì)量、運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)

3、參數(shù)，傳動(dòng)機(jī)構(gòu)特征和負(fù)載大小進(jìn)行動(dòng)態(tài)仿真，對(duì)其性能進(jìn)行分析，從而決定工業(yè)機(jī)器人的結(jié)構(gòu)參數(shù)和傳動(dòng)方案，驗(yàn)算設(shè)計(jì)方案的合理性和可行性。在離線編程時(shí)，為了估計(jì)工業(yè)機(jī)器人高速運(yùn)動(dòng)引起的動(dòng)載荷和路徑偏差，要進(jìn)行路徑控制仿真和動(dòng)態(tài)模型的仿真。 動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的困難 工業(yè)機(jī)器人是一個(gè)非線性的復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的求解比較困難，而且需要較長(zhǎng)的運(yùn)算時(shí)間。因此，簡(jiǎn)化求解過(guò)程，最大限度地減少工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)在線計(jì)算的時(shí)間是一個(gè)受到關(guān)注的研究課題。在這一章里，我們將首先討論與工業(yè)機(jī)器人速度和靜力學(xué)有關(guān)的雅可比矩陣，然后介紹工業(yè)機(jī)器人的靜力學(xué)問(wèn)題和動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。3.2 工業(yè)機(jī)器人速度雅可比與速度分析 3.2.1 工業(yè)

4、機(jī)器人速度雅可比 數(shù)學(xué)上雅可比矩陣(Jacobian matrix)是一個(gè)多元函數(shù)的偏導(dǎo)矩陣。假設(shè)有六個(gè)函數(shù)，每個(gè)函數(shù)有六個(gè)變量，即：可寫(xiě)成：YF(X)將其微分，得：(3-1) 也可簡(jiǎn)寫(xiě)成：(3-2) (3-3) 式(3-3)中的(66)矩陣叫做雅可比矩陣。 在工業(yè)機(jī)器人速度分析和以后的靜力學(xué)分析中都將遇到類似的矩陣，我們稱之為工業(yè)機(jī)器人雅可比矩陣，或簡(jiǎn)稱雅可比。一般用符號(hào)J表示。 圖3-1為二自由度平面關(guān)節(jié)型工業(yè)機(jī)器人2R工業(yè)機(jī)器人，其端點(diǎn)位置x，y與關(guān)節(jié)變量1、2的關(guān)系為：X0Y0O0l1l221(x，y)T端點(diǎn)圖3-1 二自由度平面關(guān)節(jié)工業(yè)機(jī)器人將其微分，得： (3-4) 即： (3-5

5、) 將其寫(xiě)成矩陣形式為： 令：(3-6) (3-7) 式(3-6)可簡(jiǎn)寫(xiě)為：dXJd(3-8)式中：我們將J稱為圖3-1所示二自由度平面關(guān)節(jié)型工業(yè)機(jī)器人的速度雅可比，它反映了關(guān)節(jié)空間微小運(yùn)動(dòng)d與手部作業(yè)空間微小位移dX之間的關(guān)系。注意：dX此時(shí)表示微小線位移。假設(shè)對(duì)式(3-7)進(jìn)行運(yùn)算，那么2R工業(yè)機(jī)器人的雅可比寫(xiě)為： (3-9) 從J中元素的組成可見(jiàn)，J陣的值是1及2的函數(shù)。 廣義關(guān)節(jié)變量qq1 q2 qnT 轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)：qii，移動(dòng)關(guān)節(jié)：qidi dqdq1 dq2 dqnT反映了關(guān)節(jié)空間的微小運(yùn)動(dòng)。手部在操作空間的運(yùn)動(dòng)參數(shù)用X表示，它是關(guān)節(jié)變量的函數(shù)，即XX(q)，并且是一個(gè)6維列矢量。d

6、Xdx dy dz x y zTdX反映了操作空間的微小運(yùn)動(dòng)，它由工業(yè)機(jī)器人手部微小線位移和微小角位移(微小轉(zhuǎn)動(dòng))組成。參照(3-8)式可寫(xiě)出類似的方程式，即：dXJ(q)dq(3-10)式中J(q)是6n的偏導(dǎo)數(shù)矩陣，稱為n自由度工業(yè)機(jī)器人速度雅可比矩陣。它反映了關(guān)節(jié)空間微小運(yùn)動(dòng)dq與手部作業(yè)空間微小運(yùn)動(dòng)dX之間的關(guān)系。它的第i行第j列元素為：(3-11) i1，2，6；j1，2，n 3.2.2 工業(yè)機(jī)器人速度分析 對(duì)式(3-10)左、右兩邊各除以dt，得： (3-12) 即：(3-13) 式(3-13)中：V工業(yè)機(jī)器人手部在操作空間中的廣義速度，V = ； 工業(yè)機(jī)器人關(guān)節(jié)在關(guān)節(jié)空間中的關(guān)節(jié)

7、速度；J(q)確定關(guān)節(jié)空間速度 與操作空間速度V之間關(guān)系的雅可比矩陣。圖3-1所示二自由度平面關(guān)節(jié)型工業(yè)機(jī)器人手部的速度為： 假設(shè)1及2是時(shí)間的函數(shù)，1=f1(t)，2=f2(t)，那么可由此式求出手部的瞬時(shí)速度Vf(t) 。 對(duì)于圖3-1所示2R工業(yè)機(jī)器人，假設(shè)令J1、J2分別為式(3-9)所示雅可比的第一列矢量和第二列矢量，那么式(3-13)可寫(xiě)成：式中右邊第一項(xiàng)表示僅由第一個(gè)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)引起的端點(diǎn)速度；右邊第二項(xiàng)表示僅由第二個(gè)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)引起的端點(diǎn)速度；總的端點(diǎn)速度為這兩個(gè)速度矢量的合成。工業(yè)機(jī)器人速度雅可比的每一列表示其它關(guān)節(jié)不動(dòng)而某一關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的端點(diǎn)速度。 反之，假設(shè)給定工業(yè)機(jī)器人手部速度

8、，可由式(3-13)解出相應(yīng)的關(guān)節(jié)速度，即：(3-14)式中：J-1稱為工業(yè)機(jī)器人逆速度雅可比。式(3-14)是一個(gè)很重要的關(guān)系式。例如，d當(dāng)希望工業(yè)機(jī)器人手部在空間按規(guī)定的速度進(jìn)行作業(yè)，那么用式(3-14)可以計(jì)算出沿路徑上每一瞬時(shí)相應(yīng)的關(guān)節(jié)速度。一般來(lái)說(shuō)，求J-1是比較困難的，有時(shí)還會(huì)出現(xiàn)奇異解，就無(wú)法解算關(guān)節(jié)速度。通常J-1出現(xiàn)奇異解的情況有下面兩種：1) 工作域邊界上奇異。當(dāng)臂全部伸展開(kāi)或全部折回而使手部處于工作域的邊界上或邊界附近時(shí)，出現(xiàn)J-1奇異，這時(shí)工業(yè)機(jī)器人相應(yīng)的形位叫做奇異形位。2) 工作域內(nèi)部奇異。奇異也可以是由兩個(gè)或更多個(gè)關(guān)節(jié)軸線重合所引起的。 當(dāng)工業(yè)機(jī)器人處在奇異形位時(shí)

9、，就會(huì)產(chǎn)生退化現(xiàn)象，喪失一個(gè)或更多自由度。這意味著在空間某個(gè)方向(或子域)上，不管工業(yè)機(jī)器人關(guān)節(jié)速度怎樣選擇手部也不可能實(shí)現(xiàn)移動(dòng)。例3-1 如圖3-2所示二自由度平面關(guān)節(jié)型機(jī)械手。手部某瞬時(shí)沿固定坐標(biāo)系X0軸正向以1.0m/s速度移動(dòng)，桿長(zhǎng)為l1l20.5m。假設(shè)該瞬時(shí)130，1-60。求相應(yīng)瞬時(shí)的關(guān)節(jié)速度。 1X0Y0O0l1l2圖3-2 二自由度機(jī)械手手爪沿X0方向運(yùn)動(dòng)2V2X2Y2O2例3-1 解由式(3-9)知，二自由度機(jī)械手的速度雅可比為：因此，逆速度雅可比為：(3-15)例3-1 解續(xù)端點(diǎn)速度為：因此，由式(3-14)可得：因此 可得：例3-1 解續(xù)例3-1 奇異討論從式(3-15

10、)知，當(dāng)l1l2s20時(shí)無(wú)解。因?yàn)閘10，l20，所以，在20或2180時(shí)，二自由度工業(yè)機(jī)器人逆速度雅可比J-1奇異。這時(shí)，該工業(yè)機(jī)器人二臂完全伸直，或完全折回，即兩桿重合，工業(yè)機(jī)器人處于奇異形位。在這種奇異形位下，手部正好處在工作域的邊界上，該瞬時(shí)手部只能沿著一個(gè)方向(即與臂垂直的方向)運(yùn)動(dòng)，不能沿其它方向運(yùn)動(dòng)，退化了一個(gè)自由度。六自由度機(jī)器人速度雅可比J在三維空間中作業(yè)的六自由度工業(yè)機(jī)器人，其速度雅可比J是一個(gè)66矩陣， 和V分別是61列陣，即：V(61)J(q)(66) (61)手部速度矢量V是由31線速度矢量和31角速度矢量組合而成的6維列矢量。關(guān)節(jié)速度矢量是由6個(gè)關(guān)節(jié)速度組合而成的6

11、維列矢量。雅可比矩陣J的前三行代表手部線速度與關(guān)節(jié)速度的傳遞比；后三行代表手部角速度與關(guān)節(jié)速度的傳遞比。而雅可比矩陣J的第i列那么代表第i個(gè)關(guān)節(jié)速度對(duì)手部線速度和角速度的傳遞比。 3.3 工業(yè)機(jī)器人力雅可比與靜力學(xué)分析 工業(yè)機(jī)器人在作業(yè)過(guò)程中，當(dāng)手部或末端操作器與環(huán)境接觸時(shí)，會(huì)引起各個(gè)關(guān)節(jié)產(chǎn)生相應(yīng)的作用力。工業(yè)機(jī)器人各關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)裝置提供關(guān)節(jié)力矩，通過(guò)連桿傳遞到手部，克服外界作用力。本節(jié)討論操作臂在靜止?fàn)顟B(tài)下力的平衡關(guān)系。我們假定各關(guān)節(jié)“鎖住，工業(yè)機(jī)器人成為一個(gè)結(jié)構(gòu)體。關(guān)節(jié)的“鎖定用力與手部所支持的載荷或受到外界環(huán)境作用的力取得靜力學(xué)平衡。求解這種“鎖定用的關(guān)節(jié)力矩，或求解在驅(qū)動(dòng)力作用下手部的輸

12、出力就是對(duì)工業(yè)機(jī)器人操作臂進(jìn)行靜力學(xué)分析。3.3.1 操作臂中的靜力學(xué) 這里以操作臂中單個(gè)桿件為例分析受力情況。如圖3-3所示，桿件i通過(guò)關(guān)節(jié)i和i+1分別與桿件i-1和桿件i+1相連接，兩個(gè)坐標(biāo)系i-1和i分別如下圖。 關(guān)節(jié)iO0Y0X0Z0i驅(qū)動(dòng)器imig桿i-1Oi-1ni-1，iZi-1fi-1，i桿i桿i+1ri+ciri-1，i關(guān)節(jié)i+1-ni，i+1-fi，i+1ZiOiCi圖3-3 桿i上的力和力矩圖3-3中力和力矩 fi-1，i及ni-1，ii-1桿通過(guò)關(guān)節(jié)i作用在i桿上的力和力矩；fi，i+1及ni，i+1i桿通過(guò)關(guān)節(jié)i+1作用在i+1桿上的力和力矩；-fi，i+1及-ni

13、，i+1i+1桿通過(guò)關(guān)節(jié)i+1作用在i桿上的反作用 力和反作用力矩；fn，n+1及nn，n+1工業(yè)機(jī)器人最末桿對(duì)外界環(huán)境的作用力 和力矩；-fn，n+1及-nn，n+1外界環(huán)境對(duì)工業(yè)機(jī)器人最末桿的 作用力和力矩；f0，1及n0，1工業(yè)機(jī)器人底座對(duì)桿1的作用力和力矩；mig連桿i的重量，作用在質(zhì)心Ci上。連桿i的靜力學(xué)平衡條件 連桿i的力和力矩平衡方程式為：fi-1，i+(-fi，i+1)+ mig0(3-16) ni-1，i+ (-ni，i+1) + (ri-1，i+ ri，ci)fi-1，i +(ri，ci)(-fi，i+1)0(3-17)式中：ri-1，i坐標(biāo)系i的原點(diǎn)相對(duì)于坐標(biāo)系i-1的

14、位置矢量； ri，ci質(zhì)心相對(duì)于坐標(biāo)系i的位置矢量。3.3.1 操作臂中的靜力學(xué)(續(xù))假設(shè)外界環(huán)境對(duì)工業(yè)機(jī)器人最末桿的作用力和力矩，那么可以由最后一個(gè)連桿向第零號(hào)連桿(機(jī)座)依次遞推，從而計(jì)算出每個(gè)連桿上的受力情況。為了便于表示工業(yè)機(jī)器人手部端點(diǎn)的力和力矩(簡(jiǎn)稱為端點(diǎn)力F)，可將fn，n+1和nn，n+1合并寫(xiě)成一個(gè)6維矢量：(3-18)3.3.1 操作臂中的靜力學(xué)(續(xù))各關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)器的驅(qū)動(dòng)力或力矩可寫(xiě)成一個(gè)n維矢量的形式，即： (3-19)式中：n關(guān)節(jié)的個(gè)數(shù)； 關(guān)節(jié)力矩(或關(guān)節(jié)力)矢量，簡(jiǎn)稱廣義關(guān)節(jié)力矩。 3.3.2 工業(yè)機(jī)器人力雅可比 假定關(guān)節(jié)無(wú)摩擦，并忽略各桿件的重力，那么廣義關(guān)節(jié)力矩與工

15、業(yè)機(jī)器人手部端點(diǎn)力F的關(guān)系可用下式描述：J TF(3-20) 式中：J T為n6階工業(yè)機(jī)器人力雅可比矩陣或力雅可比。上式可用下述虛功原理證明如下： 3.3.2 工業(yè)機(jī)器人力雅可比(續(xù)) 考慮各個(gè)關(guān)節(jié)的虛位移為qi，手部的虛位移為X，如圖3-4所示。 圖3-4 手部及各關(guān)節(jié)的虛位移X0Y0O0iqi-nn，n+1-fn，n+1d3.3.2 工業(yè)機(jī)器人力雅可比(續(xù)) 式中，ddx dy dz T和x y zT分別對(duì)應(yīng)于手部的線虛位移和角虛位移作業(yè)空間； q為由各關(guān)節(jié)虛位移qi組成的工業(yè)機(jī)器人關(guān)節(jié)虛位移矢量關(guān)節(jié)空間。 及qq1，q2qn T (3-21) 3.3.2 工業(yè)機(jī)器人力雅可比(續(xù)) 假設(shè)發(fā)

16、生上述虛位移時(shí)，各關(guān)節(jié)力矩為i(i1，2，n)，環(huán)境作用在工業(yè)機(jī)器人手部端點(diǎn)上的力和力矩分別為-fn，n+1和-nn，n+1。由上述力和力矩所做的虛功可以由下式求出：W1q1+2q2+nqn - fn，n+1d - nn，n+1 或?qū)懗桑篧Tq - F TX (3-22)3.3.2 工業(yè)機(jī)器人力雅可比(續(xù)) 根據(jù)虛位移原理，工業(yè)機(jī)器人處于平衡狀態(tài)的充分必要條件是對(duì)任意符合幾何約束的虛位移，有：W0 注意到虛位移q和X并不是獨(dú)立的，是符合桿件的幾何約束條件的。利用式(3-10)，dXJdq，將式(3-22)改寫(xiě)成：WTq - F TJq( - JTF)Tq(3-23)式中的q表示幾何上允許位移的

17、關(guān)節(jié)獨(dú)立變量，對(duì)于任意的q，欲使W0，必有：JTF證畢。3.3.2 工業(yè)機(jī)器人力雅可比(續(xù)) 式(3-23)表示在靜力平衡狀態(tài)下，手部端點(diǎn)力F向廣義關(guān)節(jié)力矩映射的線性關(guān)系。式中JT與手部端點(diǎn)力F和廣義關(guān)節(jié)力矩之間的力傳遞有關(guān)，故叫作工業(yè)機(jī)器人力雅可比。很明顯，力雅可比JT正好是工業(yè)機(jī)器人速度雅可比J的轉(zhuǎn)置。3.3.3 工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)的兩類問(wèn)題 從操作臂手部端點(diǎn)力F與廣義關(guān)節(jié)力矩之間的關(guān)系式JTF可知，操作臂靜力學(xué)可分為兩類問(wèn)題： (1) 外界環(huán)境對(duì)工業(yè)機(jī)器人手部作用力F (即手部端點(diǎn)力F-F )，求相應(yīng)的滿足靜力學(xué)平衡條件的關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩。 (2) 關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩，確定工業(yè)機(jī)器人手部對(duì)外界環(huán)境的

18、作用力F或負(fù)荷的質(zhì)量。3.3.3 靜力學(xué)的兩類問(wèn)題 (續(xù))第二類問(wèn)題是第一類問(wèn)題的逆解。這時(shí)F(JT)-1 但是，由于工業(yè)機(jī)器人的自由度可能不是6，比方n6，力雅可比矩陣就有可能不是一個(gè)方陣，那么JT就沒(méi)有逆解。所以，對(duì)這類問(wèn)題的求解就困難得多，在一般情況下不一定能得到唯一的解。如果F的維數(shù)比的維數(shù)低，且J是滿秩的話，那么可利用最小二乘法求得F的估值。 例3-2 圖3-5所示的一個(gè)二自由度平面關(guān)節(jié)型機(jī)械手，手部端點(diǎn)力FFx，F(xiàn)yT，求相應(yīng)于端點(diǎn)力F的關(guān)節(jié)力矩(不考慮摩擦)。 例3-2 (續(xù))Y01FFxFy1=0X02=90l1l22(b)圖3-5 手部端點(diǎn)力F與關(guān)節(jié)力矩X011l122l2F

19、=Fx，F(xiàn)yT(a)Y0 例3-2 (解)(續(xù))該機(jī)械手的速度雅可比為：那么該機(jī)械手的力雅可比為： 例3-2 (解)(續(xù))根據(jù)JTF，得：所以： 1 = -l1sin1+ l2sin(1+2)Fx +l1cos1+ l2cos(1+2)Fy 2 = -l2sin(1+2)Fx+ l2 cos(1+2)Fy 例3-2 (解)(續(xù))假設(shè)如圖3-5(b)所示，在某瞬時(shí)10，290，那么在該瞬時(shí)與手部端點(diǎn)力相對(duì)應(yīng)的關(guān)節(jié)力矩為： 1=-l2Fx+ l1Fy 2=- l2Fx工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)研究的是各桿件的運(yùn)動(dòng)和作用力之間的關(guān)系。工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)分析是工業(yè)機(jī)器人設(shè)計(jì)、運(yùn)動(dòng)仿真和動(dòng)態(tài)實(shí)時(shí)控制的根底。在本章開(kāi)

20、頭說(shuō)過(guò)，工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)問(wèn)題有兩類：動(dòng)力學(xué)正問(wèn)題關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)力矩，求工業(yè)機(jī)器人系統(tǒng)相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)包括關(guān)節(jié)位移、速度和加速度。動(dòng)力學(xué)逆問(wèn)題運(yùn)動(dòng)軌跡點(diǎn)上的關(guān)節(jié)位移、速度和加速度，求出所需要的關(guān)節(jié)力矩。3.4 工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)分析 工業(yè)機(jī)器人是由多個(gè)連桿和多個(gè)關(guān)節(jié)組成的復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，具有多個(gè)輸入和多個(gè)輸出。存在著錯(cuò)綜復(fù)雜的耦合關(guān)系和嚴(yán)重的非線性。因此，對(duì)于工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)的研究，引起了十分廣泛的重視，所采用的方法很多，有拉格朗日(Lagrange)方法、牛頓歐拉方法(Newton-Euler)方法、高斯(Gauss)方法、凱恩(Kane)方法；旋量對(duì)偶數(shù)方法、羅伯遜魏登堡(Roberson-Wit

21、Tenburg)方法等。3.4 工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)分析(續(xù)) 拉格朗日方法不僅能以最簡(jiǎn)單的形式求得非常復(fù)雜的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，而且具有顯式結(jié)構(gòu)，物理意義比較明確，對(duì)理解工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)比較方便。因此，本節(jié)只介紹拉格朗日方法，而且用簡(jiǎn)單實(shí)例進(jìn)行分析。工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的求解比較困難，而且需要較長(zhǎng)的運(yùn)算時(shí)間。因此，簡(jiǎn)化求解的過(guò)程，最大限度地減少工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)在線計(jì)算的時(shí)間是一個(gè)受到關(guān)注的研究課題。 3.4 工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)分析 (續(xù)) 1) 拉格朗日函數(shù)拉格朗日函數(shù)L的定義是一個(gè)機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)能Ek和勢(shì)能Eq之差，即：LEk - Eq(3-24)令qi(i1，2，n)是使系統(tǒng)具有完全確定位置的廣義關(guān)

22、節(jié)變量， 是相應(yīng)的廣義關(guān)節(jié)速度。由于系統(tǒng)動(dòng)能Ek是qi和 的函數(shù)，系統(tǒng)勢(shì)能Eq是qi的函數(shù)，因此拉格朗日函數(shù)也是qi和 的函數(shù)。 3.4.1 拉格朗日方程 2) 拉格朗日方程 系統(tǒng)的拉格朗日方程為：3.4.1 拉格朗日方程 (續(xù))i1，2，n (3-25)式中，F(xiàn)i稱為關(guān)節(jié)i的廣義驅(qū)動(dòng)力。如果是移動(dòng)關(guān)節(jié)，那么Fi為驅(qū)動(dòng)力；如果是轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)，那么Fi為驅(qū)動(dòng)力矩3) 用拉格朗日法建立工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程的步驟：(1) 選取坐標(biāo)系，選定完全而且獨(dú)立的廣義關(guān)節(jié)變量qi(i1，2，n)(2) 選定相應(yīng)的關(guān)節(jié)上的廣義力Fi：當(dāng)qi是位移變量時(shí)，那么Fi為力；當(dāng)qi是角度變量時(shí)，那么Fi為力矩。(3) 求出工

23、業(yè)機(jī)器人各構(gòu)件的動(dòng)能和勢(shì)能，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)。(4) 代入拉格朗日方程求得工業(yè)機(jī)器人系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程 3.4.1 拉格朗日方程 (續(xù)) 1) 廣義關(guān)節(jié)變量及廣義力的選定 如圖3-6所示，選取笛卡爾坐標(biāo)系。連桿l和連桿2的關(guān)節(jié)變量分別為轉(zhuǎn)角1和2，相應(yīng)的關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2的力矩是1和2。連桿1和連桿2的質(zhì)量分別是ml和m2，桿長(zhǎng)分別為ll和l2，質(zhì)心分別在kl和k2處，離關(guān)節(jié)中心的距離分別為pl和p2。3.4.2 二自由度平面關(guān)節(jié)型工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程 圖3-6 二自由度工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程的建立l1k1m2k2m121p2l2p1X0Y03.4.2 (續(xù)) 3.4.2 (續(xù)) 桿1質(zhì)心kl的位置坐

24、標(biāo)為：x1p1sin1y1-p1cos1桿1質(zhì)心kl的速度平方為： 3.4.2 (續(xù)) 桿2質(zhì)心k2的位置坐標(biāo)為：x2llsinl + p2sin(l +2)y2-llcosl - p2cos(l +2)桿2質(zhì)心k2的速度平方為： 2) 系統(tǒng)動(dòng)能3) 系統(tǒng)勢(shì)能4) 拉格朗日函數(shù)5) 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程根據(jù)拉格朗日方程 i1，2，n 可計(jì)算各關(guān)節(jié)上的力矩，得到系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程。 計(jì)算關(guān)節(jié)1上的力矩1：因?yàn)?所以 計(jì)算關(guān)節(jié)1上的力矩1： (續(xù)) 上式可簡(jiǎn)寫(xiě)為： 由此可得 (3-26) (3-27)計(jì)算關(guān)節(jié)2上的力矩2：因?yàn)?所以 計(jì)算關(guān)節(jié)2上的力矩2： (續(xù)) 上式可簡(jiǎn)寫(xiě)為： 由此可得 (3-28) (

25、3-29)3.4.2 (續(xù)) 式(3-26)、(3-27)及式(3-28)、(3-29)分別表示了關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩與關(guān)節(jié)位移、速度、加速度之間的關(guān)系，即力和運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系，稱為圖3-6所示二自由度工業(yè)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)方程。對(duì)其進(jìn)行分析可知：3.4.2 (續(xù)) (1) 含有 或 的項(xiàng)表示由于加速度引起的關(guān)節(jié)力矩項(xiàng)，其中： 含有D11和D22的項(xiàng)分別表示由于關(guān)節(jié)1加速度和關(guān)節(jié)2加速度引起的慣性力矩項(xiàng)； 含有D12的項(xiàng)表示關(guān)節(jié)2的加速度對(duì)關(guān)節(jié)1的耦合慣性力矩項(xiàng)； 含有D21的項(xiàng)表示關(guān)節(jié)1的加速度對(duì)關(guān)節(jié)2的耦合慣性力矩項(xiàng)。3.4.2 (續(xù)) (2) 含有 和 的項(xiàng)表示由于向心力引起的關(guān)節(jié)力矩項(xiàng)，其中： 含有

26、D122的項(xiàng)表示關(guān)節(jié)2速度引起的向心力對(duì)關(guān)節(jié)1的耦合力矩項(xiàng)； 含有D211的項(xiàng)表示關(guān)節(jié)1速度引起的向心力對(duì)關(guān)節(jié)2的耦合力矩項(xiàng)。 3.4.2 (續(xù)) (3) 含有 的項(xiàng)表示由于哥氏力引起的關(guān)節(jié)力矩項(xiàng)，其中： 含有D112的項(xiàng)表示哥氏力對(duì)關(guān)節(jié)1的耦合力矩項(xiàng)； 含有D212的項(xiàng)表示哥氏力對(duì)關(guān)節(jié)2的耦合力矩項(xiàng)。3.4.2 (續(xù)) (4) 只含關(guān)節(jié)變量1、2的項(xiàng)表示重力引起的關(guān)節(jié)力矩項(xiàng)。其中： 含有D1的項(xiàng)表示連桿1、連桿2的質(zhì)量對(duì)關(guān)節(jié)1引起的重力矩項(xiàng)； 含有D2的項(xiàng)表示連桿2的質(zhì)量對(duì)關(guān)節(jié)2引起的重力矩項(xiàng)。3.4.2 (續(xù)) 從上面推導(dǎo)可以看出，很簡(jiǎn)單的二自由度平面關(guān)節(jié)型工業(yè)機(jī)器人其動(dòng)力學(xué)方程已經(jīng)很復(fù)雜了，包含很多因素，這些因素都在影響工業(yè)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)特性。對(duì)于復(fù)雜一些的多自由度工業(yè)機(jī)器人，動(dòng)力學(xué)方程更龐雜了，推導(dǎo)過(guò)程也更為復(fù)雜。不僅如此，對(duì)工業(yè)機(jī)器人實(shí)時(shí)控制也帶來(lái)不小的麻煩。通常，有一些簡(jiǎn)化問(wèn)題的方法：3.4.2 (續(xù)) (1) 當(dāng)桿件質(zhì)量不很大，重量很輕時(shí)，動(dòng)力學(xué)方程中的重力矩項(xiàng)可以省略； (2) 當(dāng)關(guān)節(jié)速度不很大，工業(yè)機(jī)器人不是高速工業(yè)機(jī)器人時(shí)，含有 、 、 等項(xiàng)可以