無窮大量與無窮小量課件

1、二、無窮小量階的比較5 無窮大量與無窮小量 由于 等同于 因分析”. 相同的. 所以有人把 “數(shù)學(xué)分析” 也稱為 “無窮小此函數(shù)極限的性質(zhì)與無窮小量的性質(zhì)在本質(zhì)上是四、漸近線三、無窮大量一、無窮小量返回一、無窮小量定義1則稱 f 為顯然，無窮小量是有界量.而有界量不一定是無窮例如:對(duì)于無窮小量與有界量，有如下關(guān)系：小量.1. 兩個(gè)(類型相同的)無窮小量的和，差，積仍是2. 無窮小量與有界量的乘積仍為無窮小量.性質(zhì)1可由極限的四則運(yùn)算性質(zhì)直接得到.無窮小量.下面對(duì)性質(zhì)加以證明.例如:應(yīng)當(dāng)注意, 下面運(yùn)算的寫法是錯(cuò)誤的：在 近旁發(fā)生無限密集的振動(dòng)，其振幅被兩條直線所限制.-0.1-0.050.05

2、0.1-0.1-0.05O0.050.1二、無窮小量階的比較兩個(gè)相同類型的無窮小量，它們的和、差、積仍出如下定義.兩個(gè)無窮小量之間趨于零的速度的快慢，我們給這與它們各自趨于零的速度有關(guān).為了便于考察是無窮小量，但是它們的商一般來說是不確定的.例如：2. 若存在正數(shù) K 和 L，使得在 x0 的某一空心鄰域內(nèi)，有根據(jù)函數(shù)極限的保號(hào)性，特別當(dāng)時(shí)，這兩個(gè)無窮小量一定是同階的.例如: 與是同階無窮小量;則稱 與 是時(shí)的同階無窮小量.3. 若兩個(gè)無窮小量在內(nèi)滿足:則記當(dāng)時(shí)，x 與是同階無窮小量.我們記應(yīng)當(dāng)注意，若為時(shí)的同階無窮小量，當(dāng)然有反之不一定成立, 例如但是這兩個(gè)無窮小量不是同階的.注意：這里的和

3、通常的等式是不同的，這兩個(gè)式子的右邊，本質(zhì)上只是表示一類函數(shù)例如表示 的所有高階無窮小量的集合等價(jià)無窮小量，記作也就是說，這里的 “=” 類似于根據(jù)等價(jià)無窮小量的定義，顯然有如下性質(zhì)：前面討論了無窮小量階的比較, 值得注意的是, 并這是因?yàn)椴皇侨魏蝺蓚€(gè)無窮小量都可作階的比較. 例如與均為時(shí)的無窮小量, 卻不能按照前面討論的方式進(jìn)行階的比較. 這是因?yàn)槭且粋€(gè)無界量，并且下面介紹一個(gè)非常有用的定理：定理3.12設(shè)函數(shù) f, g, h 在內(nèi)有定義, 且證所以定理 3.12 告訴我們，在求極限時(shí)，乘積中的因子例1解所以(2) 可以類似地證明.可用等價(jià)無窮小量代替，這是一種很有用的方法.例2解有定義,

4、若對(duì)于任給定義2設(shè)函數(shù) f 在G 0, 存在 0，使得當(dāng)則稱函數(shù) f (x) 當(dāng) x x0 時(shí)為無窮大量,記作時(shí),有三、無窮大量記作請(qǐng)讀者自行寫出它們的定義.無窮大量和負(fù)無類似地可以定義如下的無窮大量:窮大量.例3證例4當(dāng) a 1 時(shí)，求證這就證明了的嚴(yán)格遞增性，當(dāng) x M 時(shí)，證 G 0 ( 不妨設(shè) G 1 ), 由對(duì)數(shù)例6設(shè) 遞增，無上界. 證明證因?yàn)?無上界，所以任給 G 0，存在又因 遞增，使故當(dāng) 時(shí)，有例5證從無窮大量的定義與例3、例4和例5可以看出：無窮大量不是很大的一個(gè)數(shù)，而是具有非正常的極限 .很明顯，若那么 f (x) 在 x0 的任何一個(gè)鄰域內(nèi)無界. 但值得注意的是: 若

5、f (x)例如： 在 的任何鄰域內(nèi)無界，但卻不是 x 時(shí)的無窮大量. 事實(shí)上, 對(duì)無界量) , 并不能保證 f (x) 是 x x0 的無窮大量.在 x0 的任何鄰域內(nèi)無界 (稱 f (x) 是 x x0 時(shí)的因而 f (x)不是 x 時(shí)的無窮大量.兩個(gè)無窮大量也可以定義階的比較. 設(shè)無窮大量.則稱 f (x) 與 g (x) 是當(dāng) x x0 時(shí)的一個(gè)同階無窮大量.當(dāng) x x0 時(shí)的等價(jià)無窮大量，下述定理反映了無窮小量與無窮大量之間的關(guān)系,直觀地說：無窮大量與無窮小量構(gòu)成倒數(shù)關(guān)系.定理3.13(1) 若 f 為 xx0 時(shí)的無窮小量, 且不等于零, 則證這里僅證明定理的 (1) . 對(duì)于任意正

6、數(shù)G , 因?yàn)檫@就證明了的無窮小量.f 為 x x0 時(shí)的無窮小量，所以存在使得又因?yàn)樗詫?duì)于任意正數(shù)G，存在證由極限的保號(hào)性,因?yàn)槔?求證注對(duì)于函數(shù)這就說明了當(dāng) b = 0 時(shí)結(jié)論不一定成立.即例8證所以由此得到一列 ，滿足 且注 例8的證明雖然有些難度，但它卻提供了選取法, 對(duì)提高解題能力是有益處的.符合要求的點(diǎn)列的一種方法. 熟練地掌握這種方四、漸近線作為函數(shù)極限的一個(gè)應(yīng)用，我們來討論曲線的漸在中學(xué)里我們已經(jīng)知道雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為它的漸近線方程為近線問題.下面給出漸近線的一般定義.定義4 設(shè) L 是一條直線, 若曲線 C 上的動(dòng)點(diǎn) P 沿曲線無限遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí), 點(diǎn) P 與 L 的距離趨于零，則稱直線 L 為曲線 C 的一條漸近線(如圖).LC由漸近線的定義，首先, 我們來看如何求曲線 的斜漸近線.如圖所示, 設(shè)斜漸近線 L 的方程為曲線上的動(dòng)點(diǎn) 至直線 L的距離為從而又所以，這樣就確定了斜漸近線的兩個(gè)參數(shù)：這是沿 x 軸正向的漸近線的方程. 顯然沿 x 軸負(fù)向同樣也可以求出沿著 x 的漸近線方程.的斜漸近線的斜率和截距分別為注 特別當(dāng) k = 0 時(shí)，該漸近線稱為水平漸近線. 則稱 x = x0 是曲線 的垂直漸近線.顯然，曲線 y = f (x)