第23講 數(shù)學(xué)：線性代數(shù)(四)(2010新版) _secret

1、PAGE PAGE 4頁(yè)三、 n 維向量（一） n 維向量n 個(gè)有序數(shù) al , a2 ， ，an所組成的數(shù)組=（1，2n）稱為 n 維向量。為了溝通向量與矩陣的聯(lián)系，維向量亦記作并把 稱為行向量， a 稱為列向量。行向量即行矩陣，列向量即列矩陣，規(guī)定向量與矩陣一樣進(jìn)行運(yùn)算， T = a , aT = ；行向量與列向量不能相加。m 個(gè) n 維列向量所組成的向量組可對(duì)應(yīng)一個(gè) nm 矩陣反之，一個(gè) mn矩陣A有 m 個(gè)n維行向量，這些行向量所組成的向量組稱為矩陣A 。的行向量組；同時(shí)， A 又有n個(gè) m 維列向量，這些列向量所組成的向量組稱為 A 的列向量組。（二）向量組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)定義

2、設(shè)有向量組 A : 1, 2， ，m 與向量 ，如果有一組數(shù) kl , k2， ， km使則稱向量是向量組1, 2， ，m的線性組合，或稱可由1, 2， ，m，線性表出定義設(shè)有向量組 A : 1, 2， ，m，如果有一組不全為 0 的數(shù) kl , k2， ，km使則說(shuō)向量組 A 是線性相關(guān)的，否則說(shuō)向量組 A 是線性無(wú)關(guān)的。這時(shí)，向量組 A 線性相關(guān)，也就是線性方程組。有非零解，而向量組 A 線性無(wú)關(guān)也就是上列線性方程組沒(méi)有非零解。這時(shí)，向量組 A 是否線性相關(guān)，也就是線性方程組是否有非零解。定理設(shè)向量組 1, 2， ，m線性無(wú)關(guān)，而向量組1, 2， ，m，線性相關(guān)，則可由 1, 2， ，m線

3、性表示，且表示式是唯一的。（三）向量組的秩定義設(shè)有向量組 A ( A 可以含有限個(gè)向量，也可以含無(wú)限多個(gè)向量），如果在 A 中能選出 r 個(gè)向量 1, 2， ，r，滿足( i ) 1, 2， ，r線性無(wú)關(guān)；( ii ) A 中任意 r 十 1 個(gè)向量都線性相關(guān)。則向量組1, 2， ，r稱為向量組 A 的最大線性無(wú)關(guān)向量組（簡(jiǎn)稱最大無(wú)關(guān)組），數(shù) r 稱為向量組 A 的秩。只含零向量的向量組沒(méi)有最大無(wú)關(guān)組，規(guī)定它的秩為 0。按此定義可知：向量組 A 線性相關(guān)的充分必要條件是 A 的秩小于 A 所含向量的個(gè)數(shù)；線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是 A 的秩等于 A 所含向量的個(gè)數(shù)。定義設(shè)有兩個(gè)向量組 A 與 B

4、 ，如果 A 中每個(gè)向量都能由向量組 B 線性表示，則稱向量組 A 能由向量組 B 線性表示。如果向量組 A 與 B 能相互線性表示，則稱向量組 A 與 B 等價(jià)。顯然，一個(gè)向量組與它自己的最大無(wú)關(guān)組等價(jià)。定理 若向量組 A 能由向量組 B 線性表示，則向量組 A 的秩不大于向量組 B 的秩。若向量組 A 與 B 等價(jià)，則它們的秩相等。注意向量組等價(jià)與矩陣等價(jià)是兩個(gè)不同的概念，不要混淆。定理 若矩陣 A 經(jīng)行變換變?yōu)榫仃?B ，則 A 的行向量組與召的行向量組等價(jià)；若矩陣 A 經(jīng)列變換變?yōu)?B ，則 A 與 B 的列向量組等價(jià)；矩陣 A 的行向量組的秩以及列向量組的秩都等于矩陣 A 的秩。由上

5、述兩定理可推知( i ）設(shè) n 個(gè) n 維向量構(gòu)成方陣 A ，則此n個(gè)向量線性相關(guān)的充分必要條件是| A | =0。( ii ）設(shè) Dr 是矩陣 A 的最高階非零子式，則 Dr 所對(duì)應(yīng)的 r 個(gè)行向量即是 A 的行向量組的最大無(wú)關(guān)組， Dr 所對(duì)應(yīng)的r個(gè)列向量即是 A 的列向量組的最大無(wú)關(guān)組。( iii ）設(shè) C AB，則R（ C ） R ( A ) , R ( C ) （ B ）。當(dāng)B可逆時(shí)， R ( C ) = R ( A ) ，當(dāng) A 可逆時(shí)， R ( C ) = R ( B ）。（五）例題 例 1 - 8 - 9 設(shè) A 為n階方陣，且| A | =0，則必有( A ) A 中某一行元素全為 0 ( B ) A 的第n行是其余，n - 1 行的線性組合 ( C ) A 中有兩列對(duì)應(yīng)元素成比例 ( D ) A 中某一列是其余 n - 1 列的線性組合【 解 】 | A | =0是 A 的、行（列）線性相關(guān)的充分必要條件，而前三項(xiàng)都是充分條件而是非必要條件，只有（ D ）是充分必要條件，故應(yīng)選（ D ）?！?解 】 （ B ）和（ C ）是必要條件但不是充分條件； ( D ）是充分條件但不是必要條件。（ A ）是線性無(wú)關(guān)定義的正確敘述，故