時(shí)離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布課件

1、第5課時(shí) 離散型隨機(jī)變量的均值 與方差、正態(tài)分布1均值(1)若離散型隨機(jī)變量X的分布列為基礎(chǔ)知識(shí)梳理Xx1x2xixnPp1p2pipn 則稱EX 為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的 (2)若YaXb，其中a，b為常數(shù)，則Y也是隨機(jī)變量，且E(aXb) . (3)若X服從兩點(diǎn)分布，則EX ；若XB(n，p)，則EX .基礎(chǔ)知識(shí)梳理x1p1x2p2xipixnpn平均水平aEXbpnp2方差(1)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為基礎(chǔ)知識(shí)梳理Xx1x2xixnPp1p2pipn(2)D(aXb) .(3)若X服從兩點(diǎn)分布，則DX (4)若XB(n，p)，則DX 基礎(chǔ)知識(shí)梳理Xn

2、p(1p)p(1p)a2DX基礎(chǔ)知識(shí)梳理思考？隨機(jī)變量的均值、方差與樣本均值、方差的關(guān)系是怎樣的？【思考提示】隨機(jī)變量的均值、方差是一個(gè)常數(shù)，樣本均值、方差是一個(gè)隨機(jī)變量，隨觀測(cè)次數(shù)的增加或樣本容量的增加，樣本的均值、方差趨于隨機(jī)變量的均值與方差3正態(tài)曲線的特點(diǎn)(1)曲線位于x軸 ，與x軸 ；(2)曲線是單峰的，它關(guān)于直線 對(duì)稱；(3)曲線在x處達(dá)到峰值 ；(4)曲線與x軸之間的面積為 ；基礎(chǔ)知識(shí)梳理上方不相交x1(5)當(dāng)一定時(shí)，曲線隨著的變化而沿x軸平移；(6)當(dāng)一定時(shí)，曲線的形狀由確定 ，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越 ； ，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越 基礎(chǔ)知識(shí)梳理越小集中越大分散

3、基礎(chǔ)知識(shí)梳理思考？參數(shù)，在正態(tài)分布中的實(shí)際意義是什么？【思考提示】是正態(tài)分布的期望，是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差1若隨機(jī)變量X的分布列如下，則X的數(shù)學(xué)期望是()A.pBqC1 Dpq答案：B三基能力強(qiáng)化X01Ppq2正態(tài)總體N(0,1)在區(qū)間(2，1)和(1,2)上取值的概率為P1，P2，則()AP1P2 BP1P2CP1P2 D不確定答案：C三基能力強(qiáng)化3一名射手每次射擊中靶的概率為0.8，則獨(dú)立射擊3次中靶的次數(shù)X的期望值是()A0.83 B0.8C2.4 D3答案：C三基能力強(qiáng)化4(教材習(xí)題改編)某人進(jìn)行射擊，每次中靶的概率均為0.8，現(xiàn)規(guī)定：若中靶就停止射擊；若沒(méi)有中靶，則繼續(xù)射擊如果只有3發(fā)子

4、彈，則射擊次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望為_(kāi)(用數(shù)字作答)答案：1.24三基能力強(qiáng)化5(2009年高考廣東卷)已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表若EX0，DX1，則a_，b_.三基能力強(qiáng)化關(guān)于正態(tài)總體在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率求法(1)熟記P(X)，P(2X2)，P(3X3)的值(2)充分利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性和曲線與x軸之間的面積為1.課堂互動(dòng)講練考點(diǎn)一正態(tài)分布課堂互動(dòng)講練例1設(shè)XN(5,1)，求P(6X7)【思路點(diǎn)撥】利用正態(tài)分布的對(duì)稱性，P(6X7)P(3X4)課堂互動(dòng)講練【解】由已知5，1.P(4X6)0.6826，P(3X7)0.9544.P(3X4)P(6X7)0.95440.68260.2718.如

5、圖，由正態(tài)曲線的對(duì)稱性可得P(3X4)P(6X7)【名師點(diǎn)評(píng)】在利用對(duì)稱性轉(zhuǎn)化區(qū)間時(shí)，要注意正態(tài)曲線的對(duì)稱軸是x，而不是x0(0)課堂互動(dòng)講練若其他條件不變，則P(X7)及P(5X6)應(yīng)如何求解？課堂互動(dòng)講練互動(dòng)探究解：由1，5，P(3X7)P(521X521)0.9544，課堂互動(dòng)講練求離散型隨機(jī)變量X的均值與方差的步驟：(1)理解X的意義，寫出X的所有可能取值；(2)求X取每個(gè)值的概率；(3)寫出X的分布列；(4)由均值的定義求EX；(5)由方差的定義求DX.另外，當(dāng)隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布或二項(xiàng)分布時(shí)，可不用列出分布列，直接由公式求出EX和DX.課堂互動(dòng)講練考點(diǎn)二求離散型隨機(jī)變量的期記與方

6、差課堂互動(dòng)講練例2(2009年高考山東卷)在某學(xué)校組織的一次籃球定點(diǎn)投籃訓(xùn)練中，規(guī)定每人最多投3次；在A處每投進(jìn)一球得3分，在B處每投進(jìn)一球得2分；如果前兩次得分之和超過(guò)3分即停止投籃，否則投第三次某同學(xué)在A處的命中率q1為0.25，在B處的命中率為q2.該同學(xué)選擇先在A處投一球，以后都在B處投，用表示該同學(xué)投籃訓(xùn)練結(jié)束后所得的總分，其分布列為課堂互動(dòng)講練02345P0.03p1p2p3p4(1)求q2的值；(2)求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望E；(3)試比較該同學(xué)選擇都在B處投籃得分超過(guò)3分與選擇上述方式投籃得分超過(guò)3分的概率的大小課堂互動(dòng)講練【思路點(diǎn)撥】首先由P(0)0.03計(jì)算出q2，從而可寫出分

7、布列本題便可求解【解】(1)由題設(shè)知，“0”對(duì)應(yīng)的事件為“在三次投籃中沒(méi)有一次投中”，由對(duì)立事件和相互獨(dú)立事件性質(zhì)可知P(0)(1q1)(1q2)20.03，解得q20.8.(2)根據(jù)題意p1P(2)(1q1)C21(1q2)q20.7520.20.80.24.p2P(3)q1(1q2)20.25(10.8)20.01.p3P(4)(1q1)q220.750.820.48.p4P(5)q1q2q1(1q2)q20.250.80.250.20.80.24.因此E00.0320.2430.0140.4850.243.63.課堂互動(dòng)講練(3)用C表示事件“該同學(xué)選擇第一次在A處投，以后都在B處投，得

8、分超過(guò)3分”，用D表示事件“該同學(xué)選擇都在B處投，得分超過(guò)3分”，則P(C)P(4)P(5)p3p40.480.240.72.P(D)q22C21q2(1q2)q20.8220.80.20.80.896.故P(D)P(C)即該同學(xué)選擇都在B處投籃得分超過(guò)3分的概率大于該同學(xué)選擇第一次在A處投以后都在B處投得分超過(guò)3分的概率課堂互動(dòng)講練【名師點(diǎn)評(píng)】(1)隨機(jī)變量的均值等于該隨機(jī)變量的每一個(gè)取值與該取值時(shí)對(duì)應(yīng)的概率乘積的和(2)均值(數(shù)學(xué)期望)是隨機(jī)變量的一個(gè)重要特征數(shù)，它反映或刻畫的是隨機(jī)變量取值的平均水平，均值(數(shù)學(xué)期望)是算術(shù)平均值概念的推廣，是概率意義下的平均(3)EX是一個(gè)實(shí)數(shù)，即X作為

9、隨機(jī)變量是可變的，而EX是不變的課堂互動(dòng)講練利用均值和方差的性質(zhì)，可以避免復(fù)雜的運(yùn)算常用性質(zhì)有：(1)ECC(C為常數(shù))；(2)E(aXb)aEXb(a，b為常數(shù))；(3)E(X1X2)EX1EX2；E(aX1bX2)aE(X1)bE(X2)；(4)D(aXb)a2DX.課堂互動(dòng)講練考點(diǎn)三均值和方差性質(zhì)的應(yīng)用課堂互動(dòng)講練例3已知X的概率分布為求：(1)EX，DX；(2)設(shè)Y2X3，求EY，DY.課堂互動(dòng)講練【思路點(diǎn)撥】利用性質(zhì)E(ab)aEb，D(ab)a2D求解【名師點(diǎn)評(píng)】是一個(gè)隨機(jī)變量，則f()一般仍是一個(gè)隨機(jī)變量，在求的期望和方差時(shí)，要應(yīng)用期望和方差的性質(zhì)課堂互動(dòng)講練利用期望和方差比較隨

10、機(jī)變量的取值情況，一般是先比較期望，期望不同時(shí)，即可比較出產(chǎn)品的優(yōu)劣或技術(shù)水平的高低，期望相同時(shí)，再比較方差，由方差來(lái)決定產(chǎn)品或技術(shù)水平的穩(wěn)定情況課堂互動(dòng)講練考點(diǎn)四均值與方差的實(shí)際應(yīng)用課堂互動(dòng)講練例4(解題示范)(本題滿分12分)(2008年高考廣東卷)隨機(jī)抽取某廠的某種產(chǎn)品200件，經(jīng)質(zhì)檢，其中有一等品126件、二等品50件，三等品20件、次品4件已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤(rùn)分別為6萬(wàn)元、2萬(wàn)元、1萬(wàn)元，而1件次品虧損2萬(wàn)元，設(shè)1件產(chǎn)品的利潤(rùn)(單位：萬(wàn)元)為.課堂互動(dòng)講練(1)求的分布列；(2)求1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)(即的數(shù)學(xué)期望)；(3)經(jīng)技術(shù)革新后，仍有四個(gè)等級(jí)的產(chǎn)品，但次品率降為

11、1%，一等品率提高為70%，如果此時(shí)要求1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)不小于4.73萬(wàn)元，則三等品率最多是多少？課堂互動(dòng)講練【思路點(diǎn)撥】解答本題要先確定的取值以及取每個(gè)值時(shí)的概率，從而正確地列出分布列求出數(shù)學(xué)期望(即平均利潤(rùn))，然后解第(3)問(wèn)時(shí)，先設(shè)出三等品率為x，列不等式即可求解【解】(1)的所有可能取值有6,2,1，2；課堂互動(dòng)講練故的分布列為課堂互動(dòng)講練6212P0.630.250.10.02 5分(2)E60.6320.2510.1(2)0.024.34. 7分課堂互動(dòng)講練(3)設(shè)技術(shù)革新后的三等品率為x，則此時(shí)1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)為Ex60.72(10.70.01x)x(2)0.014.76x(

12、0 x0.29)，9分依題意，Ex4.73，即4.76x4.73，解得x0.03.所以三等品率最多為3%. 12分【名師點(diǎn)評(píng)】解決此類題目的關(guān)鍵是正確理解隨機(jī)變量取每一個(gè)值所表示的具體事件，求得該事件發(fā)生的概率，本題第(3)問(wèn)充分利用了分布列的性質(zhì)p1p2pi1.課堂互動(dòng)講練(本題滿分12分)因冰雪災(zāi)害，某柑桔基地果林嚴(yán)重受損，為此有關(guān)專家提出兩種拯救果樹(shù)的方案，每種方案都需分兩年實(shí)施若實(shí)施方案一，預(yù)計(jì)第一年可以使柑桔產(chǎn)量恢復(fù)到災(zāi)前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分別是0.3、0.3、 0.4；第二年可以使柑桔產(chǎn)量為第一年產(chǎn)量的1.25倍、1.0倍的概率分別是0.5、0.5.若實(shí)課堂互動(dòng)講

13、練高考檢閱施方案二，預(yù)計(jì)第一年可以使柑桔產(chǎn)量達(dá)到災(zāi)前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分別是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔產(chǎn)量為第一年產(chǎn)量的1.2倍、1.0倍的概率分別是0.4、0.6.實(shí)施每種方案第一年與第二年相互獨(dú)立，令i(i1,2)表示方案i實(shí)施兩年后柑桔產(chǎn)量達(dá)到災(zāi)前產(chǎn)量的倍數(shù) (1)寫出 1、2的分布列；課堂互動(dòng)講練(2)實(shí)施哪種方案，兩年后柑桔產(chǎn)量超過(guò)災(zāi)前產(chǎn)量的概率更大？(3)不管哪種方案，如果實(shí)施兩年后柑桔產(chǎn)量達(dá)不到、恰好達(dá)到、超過(guò)災(zāi)前產(chǎn)量，預(yù)計(jì)利潤(rùn)分別為10萬(wàn)元、15萬(wàn)元、20萬(wàn)元問(wèn)實(shí)施哪種方案的平均利潤(rùn)更大？課堂互動(dòng)講練解：(1)1的所有取值為0.8、0.9、1.0

14、、1.125、1.25，2的所有取值為0.8、0.96、1.0、1.2、1.44，1、2的分布列分別為：課堂互動(dòng)講練10.80.91.01.1251.25P0.20.150.350.150.15 4分(2)令A(yù)、B分別表示方案一、方案二兩年后柑桔產(chǎn)量超過(guò)災(zāi)前產(chǎn)量這一事件，P(A)0.150.150.3，P(B)0.240.080.32.可見(jiàn)，方案二兩年后柑桔產(chǎn)量超過(guò)災(zāi)前產(chǎn)量的概率更大. 8分課堂互動(dòng)講練20.80.961.01.21.44P0.30.20.180.240.08(3)令i(i1,2)表示方案i的預(yù)計(jì)利潤(rùn)，則課堂互動(dòng)講練1101520P0.350.350.32101520P0.50.180.32所以E114.75，E214.1，可見(jiàn)，方案一的預(yù)計(jì)利潤(rùn)更大. 12分規(guī)律方法總結(jié)1離散型隨機(jī)變量的均值均值EX與方差DX均是一個(gè)實(shí)數(shù)，EX是算術(shù)平均值概念的推廣，是概率意義下的平均；DX表示隨機(jī)變量X對(duì)EX的平均偏離程度DX越大，表明平均偏離程度越大，說(shuō)明X的取值越分散反之，DX越小，X的取值越集中規(guī)律方法總結(jié)2均值(期望