簡明微積分教案0202初等函數(shù)的求導(dǎo)

1、教案一一0202課程機電數(shù)學(xué)課題初等函數(shù)的求導(dǎo)授課對象機電類專業(yè)二年制高職生課時2教材簡明微積分 主編：李亞杰，高等教育出版社教學(xué) 目標(biāo)認(rèn)知 目標(biāo)1、熟練掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和求導(dǎo)法則；2、掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則；3、掌握分析應(yīng)用問題的方法；能力 目標(biāo)1、能夠熟練應(yīng)用函數(shù)的求導(dǎo)法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；2、綜合運用求導(dǎo)公式、求導(dǎo)法則求初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；3、逐步提高數(shù)學(xué)思維能力與分析問題解決問題的能力。素質(zhì) 目標(biāo)提高數(shù)學(xué)文化修養(yǎng)，培養(yǎng)正確的思維方法；提高應(yīng)用數(shù)學(xué)分析問題的 能力。教學(xué) 重點1、函數(shù)求導(dǎo)的四則運算法則；2、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。教學(xué) 難點1、函數(shù)求導(dǎo)法則的正確運用2、綜合運用求導(dǎo)公式、求

2、導(dǎo)法則求初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)教學(xué) 思路在講清函數(shù)四則運算求導(dǎo)法則的基礎(chǔ)上， 通過例題，啟發(fā)學(xué)生正確運用法 則；通過引例導(dǎo)入復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則， 易于學(xué)生接受，典型例題結(jié)合練習(xí)鞏 固所學(xué)知識；運用知識解決實際問題的過程，利于學(xué)生解決問題能力的培養(yǎng)。學(xué)習(xí)效果 評價方式作業(yè)反饋與提問教學(xué)過程步 驟教/學(xué)活動教學(xué)內(nèi)容時間(分)01教師板書為了能迅速而準(zhǔn)確地求出常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，本節(jié)將介紹一些基本求導(dǎo)法則.一、函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則02教師講解法則1設(shè)函數(shù)u u(x)和v v(x)都在x處可導(dǎo)，則它們PPT的和、差、積、商(分母不為零)在x處也可導(dǎo)，且u(x) v(x)/ u/(x) v/(x) ;(2

3、) u(x) v(x)/u/(x) v(x) u(x) v/(x) ;,、/, 、，、，、/,、(3) 3 u (x) v(x)2 u(x) v (x) (v(x) 0).v(x)v2(x)在(2)中，若令 v(x) C (常數(shù))，C u(x)/ ?03學(xué)生思考C u(x)/ C u/(x)04教師指出例1求卜列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).05教師舉例，、_ 2(1) y 3ln x 5x啟發(fā)講解(2) f(x) 2x3 Jx 7tanx 3x；學(xué)生參與(3)(x) xe ；題解過程解：/_2 /_/2 /y (3ln x 5x ) (3ln x) (5x )/2 /33(ln x)/ 5(x2)/ 10 x

4、x(2) -(x) (2x3 Vx 7tanx 3x)/752、/一，、/x、/ 一 9 一2x. 八2(x2) 7(tanx) (3 ) 7x2 7 sec x 3 In 3.(3)/ (x) (xex) /(x)/ ex x(ex)/exxex(x 1)ex.cosx/例 2 已知 f(x),求 f (x), f (0).x 1解/cosx / (cosx) / (x 1) cosx (x 1)/f(x)(. )2x 1(x 1)2(x 1)sinx cosx2，(x 1)2/(0 1)sin 0 cos0f /(0)c11 (u)21 .(0 1)在利用上述法則求導(dǎo)時，有時需先將函數(shù)表達(dá)

5、式化簡變形再求導(dǎo)，使計算簡化.06教師指出一，.26、/例 3 已知 f (x) x (ln x F)，求 f (1). x07引導(dǎo)學(xué)生解 f (x) x2 In x 6 ；求解，及 時糾錯-/2/_ /_21_f (x) (x In x) (6) 2xln x x 2xln x x xf/(1) 1 (2ln 1 1) 1.二、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則弓1例鋼棒長度的變化率08教師板書設(shè)某鋼棒的長度為L,當(dāng)溫度H每升高1 C時，其長度增加4 cm ,而每過1小時氣溫上升2 C ,那么鋼棒長度關(guān)于時間 的增加有多快？09通過引例由于鋼棒長L是溫度H的函數(shù)，而溫度 H又是時間t的函的解決過數(shù)，所以L是

6、t的復(fù)合函數(shù).又L對H的變化率為程，歸納 法則dLdH4cm/ C , H又t的變化率是 2 C/h,則L對t的dHdt變化率就是當(dāng)時間每變化 1小時鋼棒增加的長度，即dLdLdH，c。 /u428cm / hdtdHdt上面引例體現(xiàn)了復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)所具有的普遍意義，由此給出復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.法則2若函數(shù)y f(u)點u處可導(dǎo)，且u (x)在點x處 可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù) y f (x)在點x處也可導(dǎo)，且dy dy du.dx du dx上述法則乂引與成yx/yu/ ux/, 或y/f /(u) /(x).應(yīng)用這個法則時，結(jié)果中的中間變量u應(yīng)還原為(x).這個法則可推廣到有限個可導(dǎo)函數(shù)所構(gòu)成的復(fù)合

7、函數(shù).例如，由可導(dǎo)函數(shù) y f (u) , u (v) , v (x)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)y f (x)的導(dǎo)數(shù)1410教師指出11教師舉例啟發(fā)講解學(xué)生回答 函數(shù)的復(fù) 合過程/yx y/u uv Vx.例4 求卜列曲數(shù)的導(dǎo)數(shù)：ysin 2x ；(2)y(1 x)5；(3)y2 cos xyloga(x2 x 1)(a0, a1).解(1)設(shè)u2x, 則y sin u.因為/Cyu cosu, Ux 2,所以yxyUux 2cosu2cos2x.(2)設(shè) u 1 x,則y5 gu ,而/4yu 5u/,u x1所以/yxyu/Ux5u45(1 x)4.設(shè) u cos x ,貝uy u2./，而 yu 2

8、u,/u xsin x,所以/yx/yu ux 2u( sinx)2 sin x cosxsin2x.(4)設(shè) u x2 x1,則y loga u ,而/ yu1u ln auX 2x 1 .所以/yx/yu Ux1u ln a(2x 1)2x 1(x2 x 1) In a從上面的例題可以看出，應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的關(guān)鍵，在 于正確地分解復(fù)合函數(shù)，然后應(yīng)用求導(dǎo)法則和相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)公式進(jìn) 行計算，對復(fù)合函數(shù)的分解比較熟練后，就不必再寫出中間變量,12教師指出只要把中間變量所代替的式子默記在心，直接根據(jù)法則，按步驟 由外向里逐層求導(dǎo)，最后整理，寫出求導(dǎo)結(jié)果.例如：y (1 x)5,默記1 x u.則y

9、/5(1 x)4 (1 x)/ 5(1 x)4 ( 1)5(1 x)4.例5求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1) f(x) ecosx；(2)解 f/(x)(ecosx)/g (x) arcsin、xcosx/cosxe (cos x) sin x e13教師舉例 將學(xué)生思 維深入(2)g/(x)(arcsin x)/111、1 x 2 x 2、x(1 x)教師舉例綜合運用法則初等函數(shù)的求導(dǎo)問題，需要綜合運用函數(shù)的和、差、積、商 的求導(dǎo)法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.例6求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).4-2(1) f (x) x1 x2 ;(2) f (x),.sin 3x15解 f / (x) (x . 1 x7)/(x

10、)/ . 1 x2 x(. 1 X2)/,1 x21 x2.12 (1 x2)/1xx-2.11(2x)2x1 2x2.1 x2學(xué)生嘗試 教師及時糾錯教師舉例 啟發(fā)學(xué)生 用知識解 決應(yīng)用問 題啟發(fā)講解(2)g/(x)(s；/(,x 2)/sin3x (sin3x)/ x 22(sin 3x)sin 3x 3cos3x、x 22 . x 22sin 3xsin 3x 6(x 2)cos3x2 . x 2 sin2 3x例7 一飛機在離地面 2 km的高度，以200 km/ h的速度飛 臨某目標(biāo)上空，以便進(jìn)行航空攝影.試求飛機飛至該目標(biāo)正上方時攝影機轉(zhuǎn)動的角速度.解建立如圖坐標(biāo)系（圖2-2）.把目

11、標(biāo)放在坐標(biāo)原點.設(shè)飛機和目標(biāo)的水平距離為x km ,則x是時間t的函數(shù)x x(t)的值. dt是攝影機拍攝目標(biāo)的俯角.本題所求是：當(dāng)x 0時,圖2-2由圖可知,tan2所以 x,2arctan , x x(t), xddt142 xdxdt 42 dxx2 dt根據(jù)題總事這里負(fù)號表示x在減少，故得dt 44002 X16學(xué)生練習(xí) 能力訓(xùn)練當(dāng)飛機飛至該目標(biāo)正上方時，攝影機轉(zhuǎn)動的角速度為：d .400 ,、|x 0 2 |x 0 100 ( rad/h).出4 x2.求卜列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：yxx 3 sin x 5ex ；-3A ,一y 4 log 2 x 3 tan x ；x42d.2。、x x 1

12、y x (2 Jx)；(4)y ；x x(5)sin ;(6)f (x) x3 3x； u (1 t2) cost；(8)f (x) xjx ln x；ln t 1工 /、1 cos(9)(t) ；(10)f()彳.，s1nt1 cos2.求卜列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：一 2.、100(1) y (3x1)；(2) y 3sin(4x 5) ；(3) y *；1 x2 ；(4)f (x) tan；x(5) y et t;(6)y ln(4x2 3x 1) ；,r、3一3(7) y cosx ；(8)y sin x；/c、-sin x c x(9) y 2；(10)y sin 2 ；.一 2. . 2x .(11) f (x) ln( x 1) ； (12) g(x) arctan(e ).3.求卜列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1) y (x 1) V x2 1;(2) y - x2 a2 ( a 為常數(shù));2小、12x 1 y12 ；(4)yn；%,1x2xx 1 22一、, 2、 4(5) y xsin x cosx ； (6) f (x) (x sin x) .4.求卜列函數(shù)在給定點處的導(dǎo)數(shù)：5 y x 3sin x,在 x 0, x ；2(2)y xarctanx,在 x 0, x 1；(3) y 1 x2 arcsinx,