第七章線性離散系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和校正

1、第七章線性離散系統(tǒng)的分析與校正學(xué)習(xí)目的由于數(shù)字技術(shù)的迅速發(fā)展，特別是計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，數(shù)字控制在許多場(chǎng)合取代了模擬控制器，作為分析與設(shè)計(jì)數(shù)字控制系統(tǒng)的理論基礎(chǔ)，離散系統(tǒng)控制理論發(fā)展也非常迅速。離散控制系統(tǒng)與連續(xù)控制系統(tǒng)既有本質(zhì)上的不同，又有分析研究方面的相似性，利用z變換法研究離散系統(tǒng)，可以把連續(xù)系統(tǒng)中的許多概念和方法推廣到線性離散系統(tǒng)。通過(guò)本章學(xué)習(xí)，使學(xué)生建立有關(guān)離散控制系統(tǒng)的概念，掌握數(shù)字控制中采樣和保持這二個(gè)信號(hào)變換過(guò)程及數(shù)學(xué)描述，了解z變換理論，建立離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，掌握離散系統(tǒng)的分析和校正方法。學(xué)習(xí)要點(diǎn)1、采樣過(guò)程的數(shù)學(xué)描述和香農(nóng)采樣定理2、信號(hào)保持過(guò)程零階保持器3、z變換理論4、

2、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型脈沖傳遞函數(shù)5、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差6、離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)分析7、最少拍系統(tǒng)設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容11、離散系統(tǒng)概念2、采樣過(guò)程分析采樣過(guò)程數(shù)學(xué)模型，香農(nóng)采樣定理3、信號(hào)保持，零階保持器4、z變換理論z變換、z反變換、z變換性質(zhì)5、差分方程6、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型7、脈沖傳遞函數(shù)教學(xué)內(nèi)容28、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差s域到z域的映射，離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件，離散系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)，離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，系統(tǒng)類別與靜態(tài)誤差系數(shù)。9、動(dòng)態(tài)性能分析10、最少拍系統(tǒng)設(shè)計(jì)11、無(wú)紋波最少拍系統(tǒng)設(shè)計(jì)要求與學(xué)時(shí)1、掌握采樣過(guò)程的數(shù)學(xué)描述2、z變換理論3、脈沖傳遞函數(shù)概念4、離散系統(tǒng)分析穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)誤差

3、、動(dòng)態(tài)性能5、最少拍系統(tǒng)設(shè)計(jì)6、教學(xué)學(xué)時(shí)：12學(xué)時(shí)第七章第一次課1、離散控制系統(tǒng)的概念2、離散系統(tǒng)中的二個(gè)特殊部件：采樣器和保持器3、采樣過(guò)程的數(shù)學(xué)描述：4、采樣信號(hào)頻譜分析：5、香農(nóng)采樣定理：6、零階保持器：作業(yè)題：71第七章第二次課1、z變換定義2、z變換方法：級(jí)數(shù)求和法、部分分式法、查表法3、z變換性質(zhì)：線性定理、實(shí)數(shù)位移定理、終值定理4、z反變換：部分分式法、冪級(jí)數(shù)法、反演法作業(yè)題：72（1）（3）、73（1）、74（1）、75（1）第七章第三次課1、補(bǔ)充有關(guān)差分方程的定義2、差分方程求解：迭代法、用實(shí)數(shù)位移定理求解3、脈沖傳遞函數(shù)定義4、開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)5、閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)作業(yè)題：7

4、8（1）（3）、79、710（a）（b）第七章第四次課離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差1、從s域到z域的映射關(guān)系等線映射等線映射等線映射2、離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件3、離散系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)：變換后的勞斯判據(jù)作業(yè)題：715（1）（3）、716第七章第五次課1、離散系統(tǒng)系統(tǒng)的靜態(tài)誤差系數(shù)位置誤差系數(shù)速度誤差系數(shù)加速度誤差系數(shù)3、離散系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能分析第七章第六次課離散系統(tǒng)的數(shù)字校正1、數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)2、最少拍系統(tǒng)設(shè)計(jì)3、無(wú)紋波最少拍系統(tǒng)設(shè)計(jì)概念7-1離散系統(tǒng)的基本概念1一、什么是離散系統(tǒng)？如果控制系統(tǒng)中所有信號(hào)都是時(shí)間變量的函數(shù)，一旦函數(shù)關(guān)系確定后，則全部時(shí)間上的函數(shù)值都是可確定的，這樣的系統(tǒng)稱為

5、連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)。如果系統(tǒng)中有一處或幾處信號(hào)是一串脈沖或數(shù)碼，這樣的系統(tǒng)稱為離散時(shí)間系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱離散系統(tǒng)。7-1離散系統(tǒng)的基本概念2信號(hào)在特定的離散瞬時(shí)是時(shí)間的函數(shù)在這區(qū)間都是未知的二、離散系統(tǒng)的特點(diǎn)：信號(hào)在特定的離散瞬時(shí)是時(shí)間的函數(shù)。離散系統(tǒng)與連續(xù)系統(tǒng)相比，既有本質(zhì)上的不同，又有分析方面的相似性。不同點(diǎn)：連續(xù)信號(hào)離散信號(hào)相似點(diǎn)：穩(wěn)定性動(dòng)態(tài)過(guò)程穩(wěn)態(tài)誤差分析7-1離散系統(tǒng)的基本概念3三、分析方法：對(duì)于連續(xù)系統(tǒng)，采用時(shí)域復(fù)域頻域分析方法，基礎(chǔ)是傳遞函數(shù)，拉氏變換。如果直接用連續(xù)系統(tǒng)的分析方法來(lái)分析離散系統(tǒng)，則會(huì)產(chǎn)生所謂的“超越方程”不便于直接求解和分析。對(duì)于離散系統(tǒng)分析，是利用Z變換方法處理后，可以把連

6、續(xù)系統(tǒng)中的許多概念推廣到線性離散系統(tǒng)。7-1離散系統(tǒng)的基本概念4四、采樣控制系統(tǒng)和數(shù)字控制系統(tǒng)離散控制系統(tǒng)又可以分為采樣控制系統(tǒng)和數(shù)字控制系統(tǒng)。1、采樣控制系統(tǒng)：如果系統(tǒng)中的離散信號(hào)是脈沖序列形式的離散信號(hào)，稱為采樣控制系統(tǒng)或脈沖控制系統(tǒng)。2、數(shù)字控制系統(tǒng)：如果系統(tǒng)中的離散信號(hào)是數(shù)字序列形式的離散信號(hào)，稱為數(shù)字控制系統(tǒng)或計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)。7-1離散系統(tǒng)的基本概念5五、采樣控制系統(tǒng)采樣控制系統(tǒng)中不僅有模擬部件，還有脈沖部件，通常測(cè)量元件、執(zhí)行元件和被控對(duì)像是模擬元件，其輸入和輸出是連續(xù)信號(hào)，而控制器中的脈沖元件，其輸入和輸出為脈沖序列。采樣：將模擬信號(hào)按一定時(shí)間間隔循環(huán)進(jìn)行取值從而得到按時(shí)間順序排

7、列的一串離散信號(hào)的過(guò)程稱為采樣。7-1離散系統(tǒng)的基本概念6 在信號(hào)傳遞通路中加一個(gè)控制開(kāi)關(guān)k，k在規(guī)定的時(shí)間閉合、斷開(kāi)。當(dāng)k閉合時(shí)，r(t)被接入控制電路，而k斷開(kāi)時(shí)，r(t)被切除，則在開(kāi)關(guān)的輸出端得到一串幅值為r(t)的脈沖信號(hào)，用r*(t)表示。G(s)c*(t)r*(t)kr(t)7-1離散系統(tǒng)的基本概念7 采樣系統(tǒng)是對(duì)來(lái)自傳感器的連續(xù)信號(hào)在某些規(guī)定的時(shí)間瞬時(shí)上取值。如果在有規(guī)律的間隔上收到離散信號(hào)，則稱為周期采樣（采樣間隔是相等的），T為采樣周期，每次采樣持續(xù)時(shí)間為如果信息之間的間隔是時(shí)變的或隨機(jī)的，則稱為非周期性采樣或隨機(jī)采樣。如果系統(tǒng)中有幾個(gè)采樣器，則它們應(yīng)該是同步等周期的。7-

8、1離散系統(tǒng)的基本概念8因?yàn)樵诓蓸涌刂葡到y(tǒng)中傳遞著二種信號(hào)，連續(xù)信號(hào)和脈沖序列，為了使二種信號(hào)在系統(tǒng)中能相互傳遞，在連續(xù)信號(hào)和脈沖序列之間要用采樣器（將連續(xù)信號(hào)變成脈沖序列），而在脈沖序列和連續(xù)信號(hào)之間要用保持器（將脈沖序列變成連續(xù)信號(hào)）。采樣器和保持器是采樣控制系統(tǒng)中的二個(gè)特殊環(huán)節(jié)。7-1離散系統(tǒng)的基本概念91、信號(hào)的采樣和復(fù)現(xiàn)連續(xù)信號(hào)轉(zhuǎn)變?yōu)槊}沖序列的過(guò)程稱為采樣過(guò)程，簡(jiǎn)稱采樣。實(shí)現(xiàn)采樣的裝置稱為采樣器，或稱為采樣開(kāi)關(guān)。T：表示采樣周期，單位是s；fs：表示采樣頻率，單位是1/s； fs1/Ts：表示采樣角頻率，單位是rad/s； s2 fs 2/T因?yàn)椴蓸娱_(kāi)關(guān)多為電子開(kāi)關(guān)，閉合時(shí)間極短，所以

9、采樣持續(xù)時(shí)間遠(yuǎn)小于采樣周期T，也遠(yuǎn)小于系統(tǒng)連續(xù)部分的最大時(shí)間常數(shù)。 為了簡(jiǎn)化分析，可以認(rèn)為0，即可以把采樣電路的輸出近似看成一串強(qiáng)度等于矩形脈沖面積的理想脈沖e*(t)。7-1離散系統(tǒng)的基本概念10te*(t)A(t)Tte*(t)T矩形面積：s=A(t) ：脈沖寬度A(t)：幅度理想化后： 0由脈沖函數(shù)定義，在00+脈沖高度B(t)可視為不變數(shù)。而所以：B(t)= A(t)f(t)= A(t) (t)=B(t) (t)B(t):脈沖強(qiáng)度f(wàn)(t):采樣函數(shù)7-1離散系統(tǒng)的基本概念11在采樣控制系統(tǒng)中，把脈沖序列轉(zhuǎn)變?yōu)檫B續(xù)信號(hào)的過(guò)程稱為復(fù)現(xiàn)過(guò)程，實(shí)現(xiàn)復(fù)現(xiàn)的裝置叫保持器。保持器的功能：保持器不僅把

10、脈沖序列轉(zhuǎn)變?yōu)檫B續(xù)信號(hào)，完成兩種信號(hào)之間的轉(zhuǎn)換，同時(shí)還因?yàn)椴蓸悠鬏敵龅拿}沖信號(hào)e*(t)中含有高頻分量，如果不經(jīng)濾波，則相當(dāng)于給系統(tǒng)中的連續(xù)部分加入了噪聲，影響控制質(zhì)量，因此需要在采樣器后加一個(gè)信號(hào)復(fù)現(xiàn)濾波器。 最簡(jiǎn)單的復(fù)現(xiàn)濾波器由保持器實(shí)現(xiàn)。7-1離散系統(tǒng)的基本概念12te*(t)te*(t)保持器輸入信號(hào)保持器輸出信號(hào) 保持器可把脈沖信號(hào)e*(t)復(fù)現(xiàn)為階梯信號(hào)eh(t) 當(dāng)采樣頻率足夠高時(shí)，eh(t)接近于連續(xù)信號(hào)7-1離散系統(tǒng)的基本概念132、采樣系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)圖根據(jù)采樣器在系統(tǒng)中所處的位置不同，可以構(gòu)成各種采樣系統(tǒng)。a.開(kāi)環(huán)采樣系統(tǒng)：采樣器位于系統(tǒng)閉合回路之外，或系統(tǒng)本身不存在閉合回

11、路。b.閉環(huán)采樣系統(tǒng)：采樣器位于系統(tǒng)閉合回路之內(nèi)。而在實(shí)踐中用得最多的是：誤差采樣控制的閉環(huán)系統(tǒng)。Gh(s)Gp(s)H(s)Se(t)e*(t)eh(t)c(t)r(t)誤差采樣：采樣開(kāi)關(guān)設(shè)在誤差比較點(diǎn)之后。s:采樣開(kāi)關(guān)，0Gh(s)：保持器傳遞函數(shù)， Gp(s):被控制對(duì)象傳遞函數(shù)H(s):反饋元件傳遞函數(shù)7-1離散系統(tǒng)的基本概念14數(shù)字控制系統(tǒng)中的連續(xù)信號(hào)和數(shù)字信號(hào)的轉(zhuǎn)變是由A/D、D/A轉(zhuǎn)換器完成的。A/D、D/A轉(zhuǎn)換器是計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)中的兩個(gè)特殊環(huán)節(jié)。六、數(shù)字控制系統(tǒng)7-1離散系統(tǒng)的基本概念15七、離散控制系統(tǒng)的特點(diǎn)采樣和數(shù)字控制技術(shù)與連續(xù)系統(tǒng)相比有以下特性：1、由數(shù)字計(jì)算機(jī)構(gòu)成的數(shù)

12、字校正裝置效果比連續(xù)校正裝置好，而且由軟件實(shí)現(xiàn)的控制規(guī)律、易于改變，控制靈活。2、數(shù)字信號(hào)傳遞可以有效地抑制噪聲，提高系統(tǒng)的抗干擾能力。3、提高系統(tǒng)的控制精度。4、可以用一臺(tái)計(jì)算機(jī)分時(shí)控制若干個(gè)系統(tǒng)，提高設(shè)備的利用率。7-1離散系統(tǒng)的基本概念16八、離散控制系統(tǒng)的研究方法連續(xù)系統(tǒng)用微分方程、傳遞函數(shù)、頻率特性建立數(shù)學(xué)模型，而離散系統(tǒng)采用z變換法建立離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。通過(guò)z變換處理后的離散系統(tǒng)，可以把用于連續(xù)系統(tǒng)中的許多方法，如穩(wěn)定性分析、穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算、時(shí)間響應(yīng)分析以及系統(tǒng)校正方法等經(jīng)適當(dāng)?shù)刃ё儞Q后，直接用于離散系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)中。7-2信號(hào)的采樣與保持1在離散系統(tǒng)中，一方面要把連續(xù)信號(hào)變成脈

13、沖信號(hào)，以供數(shù)字控制器使用，另一方面，為了控制系統(tǒng)中的連續(xù)元部件，又需要使用保持器將脈沖信號(hào)變成連續(xù)信號(hào)。7-2信號(hào)的采樣與保持2e(t)te*(t)tT+T一、采樣過(guò)程：采樣過(guò)程可以用一個(gè)周期性閉合的采樣開(kāi)關(guān)來(lái)表示，采樣器每隔T秒閉合一次，閉合時(shí)間為，采樣器的輸入e(t)為連續(xù)信號(hào)，輸出e*(t)為寬度等于的調(diào)幅脈沖序列e(tn)在t=0時(shí)，s閉合秒，此時(shí)e*(t) e(t)在t=后，s打開(kāi)，此時(shí)e*(t) 0在t=T秒時(shí)， s又閉合秒， e*(t) e(t)7-2信號(hào)的采樣與保持3由于很小， T，所以連續(xù)信號(hào)e(t)在時(shí)間內(nèi)變化很小，t=tn時(shí)刻的值e(tn)可以用高為e(nT)、寬為的單

14、位脈沖近似表示。t-nTt-nT-e(tn)=e(nT)1(t-nT)-1(t-nT-) n=0,1,21(t-nT)-1(t-nT-)表示高度為1，寬為的矩形脈沖。7-2信號(hào)的采樣與保持4所以，e(t) 經(jīng)采樣以后的脈沖序列可表示為：由于很小，可以認(rèn)為0,則有1(t-nT)-1(t-nT-)=(t-nT)說(shuō)明： 1(t-nT)-1(t-nT-)是高為1，寬為，面積為的矩形脈沖而(t-nT)為t-nT處的單位脈沖函數(shù)（）函數(shù)。所以，上式左邊1=；上式右邊是強(qiáng)度為的脈沖函數(shù)。7-2信號(hào)的采樣與保持5由于為定值，為了討論方便起見(jiàn)，把歸到采樣器以后的系統(tǒng)中去考慮。令理想采樣器的輸出信號(hào)為：式中，e(

15、nT)是連續(xù)信號(hào)有t=tn時(shí)的值。7-2信號(hào)的采樣與保持6二、采樣過(guò)程的數(shù)學(xué)描述：1、采樣信號(hào)的Laplace變換，對(duì)e*(t)進(jìn)行Laplace變換由位移定理：7-2信號(hào)的采樣與保持7所以，說(shuō)明，(t)函數(shù)僅在0，0起作用，而t0時(shí)，e-st=1采樣信號(hào)的Laplace變換形式。注意，e(nT)與e-nTs的區(qū)別， e(nT)是連續(xù)信號(hào)在t=tn時(shí)的值， e-nTs是以s為變量的指數(shù)函數(shù)。7-2信號(hào)的采樣與保持8例1：設(shè)連續(xù)信號(hào)為e(t)=1(t)，求脈沖序列e*(t)的Laplace變換。解：上式是一個(gè)等比數(shù)列，公比為：q=e-Ts，而e-Ts1，由無(wú)窮遞減等比數(shù)列求和公式：7-2信號(hào)的采

16、樣與保持9例2：設(shè)e(t)=e-att0a為常數(shù)，求E*(s)解：用nT代替e(t)中的t，則有：上式無(wú)窮遞減等比數(shù)列的公比為：e-T(a+s)7-2信號(hào)的采樣與保持10設(shè)：e(t)=e-t-e-2tt0求E*(s)解：e(nT)e-nTs=e-nT-e-2nTe-nTs=e-nT(1+s)- e-nT(2+s) 7-2信號(hào)的采樣與保持112、采樣信號(hào)的頻譜由于采樣信號(hào)的信息并不等于連續(xù)信號(hào)的全部信息（在采樣間隔有信號(hào)丟失），所以采樣信號(hào)的頻譜與連續(xù)信號(hào)的頻譜相比，要發(fā)生變化，那么連續(xù)信號(hào)E(s)與采樣信號(hào)E*(s)之間有什么關(guān)系呢？(t-nT)是單位脈沖序列，是一個(gè)周期函數(shù)，研究頻譜問(wèn)題一般

17、是取付氏級(jí)數(shù)展開(kāi)，得：s：采樣角頻率7-2信號(hào)的采樣與保持12對(duì)上式取Laplace變換：由Laplace變換位移性質(zhì)，取式中f(t)=e(t)，ajns由于n從到，為了與書(shū)上統(tǒng)一起見(jiàn)7-2信號(hào)的采樣與保持14在中，如果n=0,則：式中，E(j)為原函數(shù)e(t)的頻譜，而E*(j)為采樣信號(hào)e*(t)的頻譜。一般連續(xù)信號(hào)的頻譜E(j)為單一的連續(xù)頻譜，設(shè)它的最高角頻率為h，則采樣信號(hào)e*(t)的頻譜E*(j)是以采樣角頻率s為周期的無(wú)窮個(gè)頻譜之和。7-2信號(hào)的采樣與保持15h-h0s2s3s-3s-2s-sh-h0E*(j)與E(j)的形狀一至，但在幅值上變化了1/T倍。如圖其中，n=0就是原

18、函數(shù)的頻譜，但幅值為原來(lái)的1/T，稱為采樣頻譜的主分量，而其余頻譜都是采樣而引起的高頻頻譜，稱為采樣頻譜的補(bǔ)分量。7-2信號(hào)的采樣與保持16如果E*(j)頻譜中的各個(gè)波形不重疊，相互間隔一定的頻率（距離）即：（采樣頻率2倍的E (j)最高頻率）0h-hs-s2s-2s在這種情況下，則可以用理想濾波器把h的高頻分量全部濾掉，在E*(j)中只保留下1/T E (j)部分，原信號(hào)通過(guò)采樣后仍可毫無(wú)畸變地復(fù)現(xiàn)出來(lái)。7-2信號(hào)的采樣與保持17如果加大采樣周期和T，則采樣角頻率s相應(yīng)減小(s=1/T)，當(dāng)s 2h時(shí)，采樣頻率中的補(bǔ)分量相互交迭，在這種情況下，用理想的濾波器也無(wú)法恢復(fù)原來(lái)的連續(xù)信號(hào)的頻譜。0

19、h-hs-s2s-2s所以，為了使采樣后的脈沖序列頻譜互不重疊，采樣頻率必須大于或等于原信號(hào)所含的最高頻率的二倍。這樣才有可能通過(guò)理想濾波器把原信號(hào)毫無(wú)畸變地恢復(fù)過(guò)來(lái)這就是香農(nóng)采樣定理。7-2信號(hào)的采樣與保持13T(t) =s=2/T為采樣角頻率,Cn是傅氏系數(shù),其值為：T(t) =連續(xù)信號(hào)的頻譜為采樣信號(hào)的頻譜為h-h0h-h0s2s3s-3s-2s-sh-h0s-sh-h0s2s3s-3s-2s-ss = 2h濾波器的寬度滿足什么條件時(shí)能從得到?!s 2h或：T/h附：采樣定理 假設(shè)連續(xù)信號(hào) 不包含任何大于 的頻率分量，則Shannon采樣定理可描述為： 若 （式中： 為采樣周期， 相當(dāng)于

20、連續(xù)信號(hào) 的頻譜），則信號(hào) 可以完整地從采樣信號(hào) 恢復(fù)過(guò)來(lái)。7-2信號(hào)的采樣與保持18所以，采樣頻率不能太低，否則信息損失太多，原信號(hào)不能準(zhǔn)確恢復(fù)，但采樣頻率也不能太高，否則實(shí)現(xiàn)起來(lái)會(huì)有困難。根據(jù)香農(nóng)采樣定理，采樣周期(T)和角頻率(s)與原信號(hào)最高角頻率(h)的關(guān)系為:7-2信號(hào)的采樣與保持19三、信號(hào)保持：把數(shù)字信號(hào)轉(zhuǎn)換為連續(xù)信號(hào)的裝置稱為保持器。連續(xù)信號(hào)經(jīng)過(guò)采樣開(kāi)關(guān)以后，其離散信號(hào)的頻譜中除了頻譜主分量外，還存頻譜的補(bǔ)分量。這些頻譜的補(bǔ)分量在系統(tǒng)中相當(dāng)于高頻干擾信號(hào)，為了除去這些高頻分量，恢復(fù)和重現(xiàn)原來(lái)的連續(xù)信號(hào)，需要用低通濾波器。理想的濾波器特性01G(j )7-2信號(hào)的采樣與保持20

21、02/s-2/s采樣信號(hào)經(jīng)過(guò)理想濾波器G(j)E*(j)E*1(j)對(duì)于理想濾波器，當(dāng)：所以，經(jīng)過(guò)理想濾波器以后，E*1(j)與連續(xù)信號(hào)E(j)在形狀上完全一樣，但幅值上相差1/T（見(jiàn)上圖）。這可在系統(tǒng)中增加放大器來(lái)解決。因?yàn)椴蓸雍蟮拿}沖序列：7-2信號(hào)的采樣與保持21實(shí)際上，理想濾波器是做不到的，通常用低通濾波器作保持電路，工程實(shí)踐中，普遍采用零階保持器。3、零階保持器 零階保持器將采樣信號(hào)轉(zhuǎn)變成在兩個(gè)連續(xù)采樣瞬時(shí)之間保持常量的信號(hào)，其傳遞函數(shù)為零階保持器的數(shù)學(xué)表達(dá)式：e(nT+t)=e(nt)式中， nT為采樣時(shí)刻； t為本次采樣時(shí)間與下次采樣之間的某一個(gè)時(shí)間值。7-2信號(hào)的采樣與保持22

22、 由零階保持器的數(shù)學(xué)表達(dá)式表明，零階保持器能把采樣時(shí)刻nT的采樣值恒定不變地保持到下一采樣時(shí)間(n+1)T，從而使采樣信號(hào)e*(t)變成階梯信號(hào)eh(t)。如圖7-2信號(hào)的采樣與保持23由于保持器的輸出是一個(gè)寬度為T(mén)，高度為e(nT)的脈沖信號(hào)，所以它可以用二個(gè)單位階躍信號(hào)來(lái)模擬。eh(t)=e(nT)1(t-nT)1(t-nT-T)e(nT)nT(n+1)Te(nT)|e(nT)|對(duì)于全部的輸出信號(hào)，則有7-2信號(hào)的采樣與保持24對(duì)于全部的輸出信號(hào)：取Laplace變換，由位移性質(zhì)：保持器E(s)eh(s)E*(s)：保持器的輸入Eh(s)：保持器的輸出7-2信號(hào)的采樣與保持25保持器將離散

23、信號(hào)轉(zhuǎn)換為連續(xù)信號(hào)，近似重現(xiàn)作用在采樣器上的信號(hào)。 零階保持器將采樣信號(hào)轉(zhuǎn)變成在兩個(gè)連續(xù)采樣瞬時(shí)之間保持常量的信號(hào)，其傳遞函數(shù)為附：零階保持器T=0.4T=0.8T=0.2T=37-2信號(hào)的采樣與保持26令：s=j，并使用歐拉公式7-2信號(hào)的采樣與保持27s2s3sT-2-3相頻幅頻零階保持器的幅頻特性相頻特性由極限當(dāng)0時(shí)，7-2信號(hào)的采樣與保持28由零階保持器的幅頻、相頻圖，零階保持器具有如下特性：1、低通特性，由幅頻特性，幅值隨頻率增大而迅速衰減。說(shuō)明零階保持器基本上是一個(gè)低通濾波器，但它不是理想的濾波器，它的截止頻頻率有很多個(gè)，高頻分量仍有部分通過(guò)，造成數(shù)字控制系統(tǒng)的輸出中存在紋波。2、

24、相角遲后特性，由相頻特性可見(jiàn)，零階保持器要產(chǎn)生相角遲后，隨著增大，遲后角加大，在s,相角遲后可達(dá)180，從而使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性變差。但與其他高階保持器相比，零階保持器相位滯后最小，所以普遍采用零階保持器。7-3z變換11、z 變換定義在線性連續(xù)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能分析中，可以用Laplace變換的方法進(jìn)行分析，將微分方程化為以s為變量的代數(shù)方程。在線性離散系統(tǒng)的性能分析中，采用z變換的方法來(lái)分析，將含有e-nTs的超越方程化為線性代數(shù)方程。 注：等號(hào)兩邊至少有一個(gè)含有未知數(shù)的初等超越函數(shù)式的方程。如指數(shù)方程、對(duì)數(shù)方程、三角方程、反三角方程等。 具有未知量的對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)

25、等的方程。 超越方程一般沒(méi)有解析解，而只有數(shù)值解或近似解，只有特殊的超越方程才可以求出解析解來(lái)。 matlab是獲得數(shù)值解的一個(gè)最強(qiáng)大的工具。 根據(jù)采樣信號(hào)的Laplace變換：令：zeTs，則：e-nTs=z-n或：E(z)就稱為e*(t)的z變換，用Ze*(t)表示。E(z)= Ze*(t)7-3z變換22、z變換方法： z變換常用二種主要方法(1)級(jí)數(shù)求和法：根據(jù)z變換的定義，寫(xiě)成展開(kāi)式然后求這個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)之和。7-3z變換3例1：求單位階躍函數(shù)e(t)=1(t)的z變換。解：因?yàn)椋篹(t)=1(t)在所有采樣時(shí)刻上的采樣值均為1e(nT)=1 (n=0,1,2,)7-3z變換4例2：設(shè)求

26、其z變換因?yàn)槔硐朊}沖函數(shù)(t-nT)在nT時(shí)刻是強(qiáng)度為1的理想脈沖，在其它時(shí)刻都為0。由上二例看出，相同的z變換不一定對(duì)應(yīng)于相同的時(shí)間連續(xù)函數(shù)。7-3z變換57-3z變換6(2)部分分式法：利用部分分式法求出z變換時(shí)，a、先求出已知連續(xù)函數(shù)e(t)的Laplace變換E(s)b、將有理分式函數(shù)E(s)展開(kāi)成部分分式之和的形式，而每一部分分式對(duì)應(yīng)簡(jiǎn)單的時(shí)間函數(shù)，其相應(yīng)的z變換是已知的，于是可以方便地求出E(s)函數(shù)對(duì)應(yīng)的z變換E(z)。7-3z變換7例4、已知連續(xù)函數(shù)的Laplaec變換式為：求z變換E(z)。應(yīng)用例1和例3的結(jié)果，7-3z變換87-3z變換9常見(jiàn)的時(shí)間函數(shù)的z變換表見(jiàn)P322表

27、727-3z變換103、z變換性質(zhì)(1)線性定理：若E1(z)=Ze1(t)，E2(z)=Ze2(t) 則有：Ze1(t) e2(t)= E1(z) E2(z) Zae(t)=aE(z) 其中a為常數(shù) 說(shuō)明z變換是一種線性變換，滿足齊次性和可加性。7-3z變換11(2)實(shí)數(shù)位移定理平移定理含義：實(shí)數(shù)位移定理的含義是指整個(gè)采樣序列在時(shí)間軸上左右平移若干采樣周期，其中向左平移為超前，向右平移為延遲。如果函數(shù)e(t)是可以Laplace變換，其z變換為E(z)。（說(shuō)明：因?yàn)閦變換是e*(t)的拉氏變換，所以e(t)必須是能有拉氏變換，才有z變換。）附1：證明z變換滯后定理附1：證明z變換滯后定理由于

28、z變換的單邊性（詳見(jiàn)P324) 當(dāng)m0時(shí)，e(mT)=0。所以m必定大于0。作變量代換，令m=n附2：證明z變換超前定理令：m=n+k，則，n=0時(shí)，m=k；n= 時(shí)，m= 附2：證明z變換超前定理作變量代換：令n=m在平移定理中，e(t-kT)是一個(gè)延遲函數(shù)，是e(t)函數(shù)滯后kT時(shí)間；e(t+kT)是e(t)超前kT時(shí)間。物理意義是：z-k代表時(shí)域中的延遲環(huán)節(jié)，它將采樣信號(hào)延遲了k個(gè)采樣周期；zk代表了超前環(huán)節(jié)，它把采樣信號(hào)超前了k個(gè)采樣周期。7-3z變換12實(shí)數(shù)位移定理是一個(gè)重要定理，其作用相當(dāng)于Laplace變換中的微分和積分定理。應(yīng)用實(shí)數(shù)位移定理，可以將描述離散系統(tǒng)的差分方程轉(zhuǎn)換為z

29、域的代數(shù)方程。7-3z變換13例6、用實(shí)數(shù)位移定理求 的z變換，其中a為常數(shù)。而原式中k=1,7-3z變換14(3)復(fù)數(shù)位移定理：若函數(shù)e(t)是可以Laplace變換，其z變換為E(z)，則有：證明：由z變換定義含義：采樣信號(hào)e*(t)乘以指數(shù)序列的z變換，等于在e*(t)的z變換表達(dá)式E(z)中以取代原算子z。7-3z變換15例7、計(jì)算函數(shù)的z變換。解：函數(shù)可看作e(t)=t，而指數(shù)函數(shù)是e-at7-3z變換16(4)終值定理：如果函數(shù)e(t)的z變換為E(z)，函數(shù)序列e(nT)為有限值（n=0,1,2,），且極限存在，則函數(shù)的終值為在離散系統(tǒng)中，常用終值定理求取穩(wěn)態(tài)誤差。7-3z變換1

30、74、z反變換所謂z 反變換，是從已知的z變換表達(dá)式E(z)，求相應(yīng)離散序列e(nT)的過(guò)程。記：常用的z反變換方法有三種：部分分式法、冪級(jí)數(shù)法、留數(shù)法。7-3z變換18a、部分分式法：在部分分式法中，考慮到z變換表中的所有z變換函數(shù)E(z)在其分子上普遍都有因子“z”，為了便于展開(kāi)為部分分式后查表，可先按E(z)/z展開(kāi)，然后將結(jié)果的每一項(xiàng)都乘以z，即得到E(z)的部分分式，再將分解后的部分分式的每一項(xiàng)逐一查表，取得相應(yīng)的信號(hào)序列。7-3z變換19例8、設(shè)z的變換函數(shù)為求其z反變換。注意：z的反變換得到的是采樣序列函數(shù)e(nT)，而離散信號(hào)為：7-3z變換20b、冪級(jí)數(shù)法如E(z)表示為按z

31、-1升冪排列的二個(gè)多項(xiàng)式之比： 注：式中，cn為采樣脈沖序列e*(t)的脈沖強(qiáng)度e(nT)。而Z-1z-n=(t-nT)上式是一個(gè)無(wú)窮多項(xiàng)式之和，但在實(shí)際應(yīng)用中常常只需要計(jì)算有限的幾項(xiàng)就夠了。7-3z變換21例9、設(shè)求E(z)的反變換。7-3z變換22c、反演變換法（留數(shù)法）采用反演變換法求取z反變換的原因是：當(dāng)函數(shù)E(z)除了有理數(shù)外，也可能是超越函數(shù)（含esT)，此時(shí)無(wú)法應(yīng)用部分分式法和冪級(jí)數(shù)法來(lái)求z反變換，而只能采用反演積分法。而反演積分法對(duì)E(z)為有理分式的情況也是適用的。由于E(z)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)形式為：函數(shù)各級(jí)系數(shù)E(z)可以看成是z平面上的勞倫級(jí)數(shù)。級(jí)數(shù)的各系數(shù)e(nT)可以用積

32、分的方法求出，因?yàn)樵谇蠓e分值時(shí)要用到柯西留數(shù)定理，幫稱為留數(shù)法。7-3z變換23級(jí)數(shù)的各級(jí)系數(shù)e(nT)可表示為：若：E(z)zn-1有n階重極點(diǎn)zi,則，7-3z變換24例10、已知用留數(shù)法求其z反變換。函數(shù)E(z)zn-1有二個(gè)極點(diǎn)，z1=1; z2=0.57-3z變換257-3z變換265、關(guān)于z變換的說(shuō)明(1)z變換是對(duì)連續(xù)信號(hào)的采樣序列進(jìn)行變換，因此，z變換與原連續(xù)時(shí)間函數(shù)并非一一對(duì)應(yīng)，而只與采樣序列相對(duì)應(yīng)。不同的函數(shù)，采樣規(guī)律不同，經(jīng)采樣后e*(t)可以相同，也可以不相同。e1*(t)e1(t)T2T3Te2*(t)e2(t)T2T3T由圖，e*1(t)= e*2(t)所以，E1(

33、z)= E2(z)但，e1(t) e2(t)由于e*(t)可以代表采樣瞬時(shí)具有相同數(shù)值的任何連續(xù)時(shí)間函數(shù)e(t),對(duì)于任一給定的z變換函數(shù)E(z),求出的反變換也不是唯一的。7-3z變換27(2)在大多數(shù)工程問(wèn)題中，是從采樣開(kāi)始計(jì)時(shí)的，即n0時(shí)，e(nT)=0，所以，z變換具有單邊性。(3)在大多數(shù)工程問(wèn)題中，z變換都是有存在的。附：差分定理描述連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是微分方程，而描述離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是用差分方程。一階前向差分方程定義為：T(K-1)TkT(K+1)TtX(t)附：差分定理二階前向差分定義為對(duì)一階差分再進(jìn)行差分。由一階差分定義式：對(duì)于n階前向差分則為：附：差分定理一階后向差分定義

34、為：二階后向差分定義為：n階后向差分定義為：7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1一、差分方程：X(t)tkTx(kT)(t-kT)采樣系統(tǒng)如圖，當(dāng)采樣系統(tǒng)在時(shí)刻k閉合的瞬時(shí)，相當(dāng)于加上了一個(gè)高度為x(kT)的脈沖信號(hào)。x*(kT)=x(kT)(t-kT)設(shè)h(t)為單位脈沖(t)的響應(yīng)函數(shù)，且t0時(shí)，h(t)=0,所以，當(dāng)輸入為x(kT)(t-kT)時(shí)，由線性電路的齊次性，輸出為：h(t-kT)x(kT)。7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2所以，系統(tǒng)對(duì)脈沖序列的響應(yīng)為：當(dāng)t=nT時(shí)，由采樣系統(tǒng)的單邊性，當(dāng)nTkTn時(shí)，h(t)=0 nk(2) n是輸出脈沖響應(yīng)時(shí)刻，k是輸入采樣時(shí)刻。(3) 由上式導(dǎo)出差分方程。

35、7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型3例11、設(shè)連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為求差分方程。解：因?yàn)閭鬟f函數(shù)的拉氏反變換即為脈沖響應(yīng)，所以，當(dāng)t=nT時(shí)，h(nT-kT)=nT-kT7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型47-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型5由于系統(tǒng)是個(gè)二階系統(tǒng)(G(s)=1/s2)，所以用二階差分方程來(lái)描述。由二階差分方程的定義，代入相應(yīng)的關(guān)系式：為系統(tǒng)G(s)=1/s2在采樣時(shí)刻的輸入/輸出關(guān)系：二階線性差分方程7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型6二、離散系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型 線性離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型有：差分方程、脈沖傳遞函數(shù)和離散狀態(tài)空間三種。 本節(jié)只介紹差分方程及其解法、脈沖傳遞函數(shù)的基本概念和開(kāi)環(huán)閉環(huán)傳遞函數(shù)的建立。7-4離散系統(tǒng)的數(shù)

36、學(xué)模型7三、線性常系數(shù)差分方程及其解法：線性定常離散系統(tǒng)k時(shí)刻的輸出c(k)，不但與k時(shí)刻的輸入r(k)有關(guān)，而且與k時(shí)刻以前的輸入r(k-1)、 r(k-1)有關(guān)，同時(shí)還與k時(shí)刻以前的輸出c(k1)、c(k2)有關(guān)。這種關(guān)系可以用n階后向差分方程來(lái)描述：c(k)+a1c(k-1)+a2c(k-2)+an-1c(k-n+1)+anc(k-n)=b0r(k)+b1r(k-1)+b2r(k-1)+bm-1r(k-m+1)+bmr(k-m)式中，nm7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型8線性定常離散系統(tǒng)也可以用n階前向差分方程來(lái)描述：c(k+n)+a1c(k+n-1)+an-1c(k+1)+anc(k)=b0r

37、(k+m)+b1r(k+m-1)+bm-1r(k+1)+bmr(k)7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型9求解差分方程常用迭代法和z變換法1、迭代法：由差分方程、輸出初始值，用遞推關(guān)系，一步一步算出序列脈沖輸出。7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型10例12、已知c(k)=r(k)+5c(k-1)-6c(k-2)，輸入序列：r(k)1初始條件：c(0)0； c(1)1,求：k=0，1，2的輸出脈沖序列c(k)。解：已知：k=0時(shí)c(0)=0； k=1時(shí)c(1)=1，當(dāng)取k=2,3,4 時(shí)得，c(2)=r(2)+5c(2-1)-6c(2-2)=r(2)+5c(1)-6c(0)=1+5-0=6c(3)=r(3)+5c(3

38、-1)-6c(3-2)=r(3)+5c(2)-6c(1)=1+56-61=25c(4)=r(4)+5c(4-1)-6c(4-2)=r(4)+5c(3)-6c(2)=1+525-66=90對(duì)于任一時(shí)刻的輸出值，都可以用這種方法推出。7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型112、z變換法：利用z變換的實(shí)數(shù)位移定理，對(duì)差分方程兩端取z變換，得到以z為變量的代數(shù)方程，然后對(duì)代數(shù)方程的解c(z)取z反變換，求得c(k)?；仡檢變換的實(shí)數(shù)位移定理：7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型12例13：用z變換法求解下式的二階差分方程c*(t+2T)+3c*(t+T)+2c*(t)；初始條件：c(0)=0,c(1)=1(T=1)則在Zc(

39、t+2T)中，k=27-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型13則在Z3c(t+T)中，k=1而z2c(t)=2c(z)所以，原式z2c(z)-z+3zc(z)+2c(z)=0用部分分式：7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型14當(dāng)a=-1時(shí)，當(dāng)a=-2時(shí)，所以，脈沖序列函數(shù)：7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型15四、脈沖傳遞函數(shù)：求差分方程的解，可以提供線性定常離散系統(tǒng)在給定輸入序列作用下的輸出序列響應(yīng)特性，但不便于研究系統(tǒng)參數(shù)變化對(duì)離散系統(tǒng)性能的影響。連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)由拉氏變換導(dǎo)出，離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)由z變換導(dǎo)出。7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型161、 脈沖傳遞函數(shù)的定義 在零初始條件下，系統(tǒng)輸出離散信號(hào)的 變換與輸入離散信號(hào)的

40、 變換之比，即 系統(tǒng)輸出脈沖序列為7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型172、脈沖傳遞函數(shù)的求法a、若已知系統(tǒng)的差分方程，則對(duì)差分方程進(jìn)行z變換，即可得脈沖傳遞函數(shù)。例14、差分方程為c(nT)=r(n-k)T，求脈沖傳遞函數(shù)G(z)。解：對(duì)差分方程取z 變換，因?yàn)?，c(z)=Zc(nT)由實(shí)數(shù)位移定理，由脈沖傳遞函數(shù)定義：7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型18b、已知系統(tǒng)連續(xù)部分的傳遞函數(shù)G(s)，則對(duì)G(s)進(jìn)行z變換，可求得G(z)。例14：已知求G(z)解：查表：7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型19 求脈沖傳遞函數(shù)時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題 ，可簡(jiǎn)寫(xiě)為 。 表示脈沖傳遞函數(shù)， 表示連續(xù)傳遞函數(shù)，但 不是簡(jiǎn)單地將 中的 換成 得

41、到的。 已知傳遞函數(shù) ，求脈沖傳遞函數(shù)的步驟為：7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型20 例15 求圖示系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù) 。 例16 求圖示系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù) 。 解 解7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型213、開(kāi)環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù) 由于采樣系統(tǒng)中的采樣開(kāi)關(guān)的數(shù)目和位置不同，即使二個(gè)開(kāi)環(huán)離散系統(tǒng)的組成環(huán)節(jié)完全相同(G1(s)、 G2(s)，但求出的開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)也會(huì)截然不同。引用P337，采樣拉氏變換的兩個(gè)重要的性質(zhì)：采樣拉氏變換具有周期性：G*(s)= G*(s+jks) 若采樣函數(shù)的拉氏變換E*(s)與連續(xù)函數(shù)的拉氏變換G(s)相乘后再離散化，則E*(s)可以從離散符號(hào)中提出來(lái)，即：G(s)E*(s)*=G

42、*(s)E*(s)7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型22串聯(lián)環(huán)節(jié)的開(kāi)環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)G2(s)G1(s)r(t)r*(t)R(z)d(t)d*(t)D(z)c*(t)C(z)c(t)G1(z)G2(z)G (z)a、串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開(kāi)關(guān)對(duì)于第一個(gè)環(huán)節(jié)，由于前后都有采樣開(kāi)關(guān)，其輸入為：r*(t)，輸出為d*(t)，所以，由脈沖傳遞函數(shù)的定義：(1)7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型23同理，(2)合并（1）、（2）二式，得：推廣：n個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)，且環(huán)節(jié)之間均有理想采樣開(kāi)關(guān)分隔，那么，總的脈沖傳遞函數(shù)等于各個(gè)環(huán)節(jié)脈沖傳遞函數(shù)之乘積。7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型24b、串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無(wú)采樣開(kāi)關(guān)由于G1(s)、G2(s)之間

43、沒(méi)有采樣開(kāi)關(guān)隔開(kāi)，所以輸出的拉氏變換：C(s)=G1(s)G2(s)R*(s)對(duì)輸出信號(hào)C(s)離散化，并應(yīng)用采樣拉氏變換性質(zhì)C*(s)=G1(s)G2(s)R*(s)*= G1(s)G2(s)* R*(s)= G1G2 *(s)R*(s) 對(duì)C*(s)兩邊取z變換，C(z)=G1G2(z)R(z)7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型25注意：G1G2*(s)G1*(s)G2*(s) G1G2(z) G1(z)G2(z)上式的左邊表示二個(gè)連續(xù)函數(shù)相乘以后再離散化，右邊表示二個(gè)連續(xù)函數(shù)離散化后相乘。兩個(gè)環(huán)節(jié)之間無(wú)采樣開(kāi)關(guān)隔差時(shí)，應(yīng)先求出乘積G1(s)G2(s)，然后再求G1(s)G2(s)的z變換。這一結(jié)論

44、也可以推廣到類似幾個(gè)環(huán)節(jié)相串連的情況。7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型264、閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)：閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)結(jié)構(gòu)圖如下：由于離散系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)形式不同，且采樣開(kāi)關(guān)在系統(tǒng)中的位置也各不相同。因此，這類系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)沒(méi)有一般的計(jì)算公式，需根據(jù)系統(tǒng)的實(shí)際結(jié)構(gòu)來(lái)求取。C(s)=G(s)E*(s)而：E(s)=R(s)-H(s)C(s)=R(s)-H(s)G(s)E*(s)連續(xù)信號(hào)離散化： E*(s)R*(s)-H(s)G(s)E*(s)*= R*(s)-GH*(s)E*(s)7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型27又C(s)=G(s)E*(s)對(duì)E*(s)、C*(s)取z變換得：e(z):誤差脈沖傳遞函數(shù)

45、；(z):閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)閉環(huán)離散系統(tǒng)的特征方程：D(z)=1+GH(z)=0開(kāi)環(huán)離散系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)GH(z)7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型28請(qǐng)注意：因?yàn)?z)隨采樣開(kāi)關(guān)的位置與數(shù)目不同而非唯一，而(s)卻是唯一的。7-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差1和連續(xù)控制系統(tǒng)一樣，穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)誤差也是線性定常離散系統(tǒng)分析的重要內(nèi)容。離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析主要是在z域和域中分析。為了把連續(xù)系統(tǒng)在s平面上分析穩(wěn)定性的結(jié)果移植到z平面上分析離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性，首先討論一下s平面與z平面的映射關(guān)系。注意二個(gè)平面：s平面研究連續(xù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的平面。z平面研究離散系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)的平面。7-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差

46、21、s域到z域的映射關(guān)系：由z變換定義：因?yàn)閟是一復(fù)變量，在s域中的任意一點(diǎn)表示為s=+j。s域與z域的基本映射關(guān)系：7-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差3令s平面的實(shí)部為零，即=0，相當(dāng)于取s平面的虛軸，當(dāng)從-+變化時(shí)，z1；z=T1ZReIm主要帶主要帶次要帶次要帶當(dāng)s平面上點(diǎn)沿虛軸從移動(dòng)到，即：z平面上點(diǎn)沿單位圓從-到逆時(shí)針變化一圈。而當(dāng)s平面上點(diǎn)在虛軸上從移動(dòng)到時(shí)，z平面上點(diǎn)又轉(zhuǎn)一圈。7-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差4等線映射：當(dāng)s平面上為某一定點(diǎn)時(shí)，則映射到z平面上的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，以半徑的圓。由于s平面的虛軸映射為z平面的單位圓，在左半平面上在右半平面上123所以，左半平面上的等

47、線映射到z平面的同心圓在單位圓內(nèi)，而右半平面上的等線映射到z平面的同心圓在單位圓外。7-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差5等映射：當(dāng)為某一定值，而變化時(shí)，則在z平面上是一條從圓心發(fā)出的一條射線，其角度z= T。在s平面上，的水平線在z平面上正好映射為負(fù)實(shí)軸。- 12 = s/ 2- 1T2Tsz7-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差6等線映射：等在s平面上描述為：因?yàn)樵趕平面上，s=+j定義等線為一條與虛軸夾角為的直線。由等線圖： -tg ImRes= -tg + j7-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差7由這些關(guān)系式可見(jiàn)，除0；|z|=1， 90； |z|=0外，對(duì)于為某一常數(shù)，左半平面的等線映射為z平面上

48、一條單位圓內(nèi)收斂的對(duì)數(shù)螺旋線。7-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差8有了以上的幾個(gè)映射關(guān)系，現(xiàn)在可以討論s平面上周期帶在z平面上的映射關(guān)系：s平面主要帶，通過(guò)變換，映射為z平面的單位圓以及單位圓內(nèi)的負(fù)實(shí)軸。由于周期變化規(guī)律，s平面的所有次要帶在z平面上均映射為相同的單位圓及單位圓內(nèi)的負(fù)實(shí)軸。7-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差92、離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件離散系統(tǒng)穩(wěn)定性定義：若離散系統(tǒng)在有界輸入序列作用下，其輸出序列也是有界的，則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。1）時(shí)域中離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：當(dāng)且僅當(dāng)差分方程所有特征根的模|ai|1，i=1,2n，則相應(yīng)的線性定常離散系統(tǒng)是穩(wěn)定的。2）z域中離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條

49、件由z域中離散系統(tǒng)的特征方程式D(z)=1+GH(z)=0，設(shè)特征方程的根或閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點(diǎn)為z1、z2 zn7-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差10由s域到z域的映射關(guān)系：s左半平面映射為z平面上的單位圓內(nèi)，對(duì)應(yīng)穩(wěn)定區(qū)域；s右半平面映射為z平面上的單位圓外，對(duì)應(yīng)不穩(wěn)定區(qū)域；s平面虛軸映射為z平面上的單位圓，對(duì)應(yīng)臨界穩(wěn)定情況。因此，在z域中，離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：當(dāng)且僅當(dāng)離散系統(tǒng)特征方程D(z)=1+GH(z)=0的全部特征根均分布在z平面上的單位圓內(nèi)，或者說(shuō)，所有的特征根的模小于1。 |zi|1，i=1,2n，相應(yīng)的線性定常離散系統(tǒng)是穩(wěn)定的，若|zi|1或|ai|=1，則是臨界情況，列

50、為不穩(wěn)定的范疇。 線性連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：閉環(huán)傳遞函數(shù)的所有極點(diǎn)均位于 的左半平面。7-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差11 線性離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的所有極點(diǎn)均位于 平面的單位園內(nèi)。7-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差12例17：設(shè)離散系統(tǒng)如圖試分析其穩(wěn)定性由特征方程D(z)=1+GH(z)=0得：z2+4.952z+0.368=0解得：z1=-0.076；z2=-4.876因?yàn)?|z2|1，所以，該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。7-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差13注意，在上例中如果沒(méi)有采樣開(kāi)關(guān)，則為連續(xù)系統(tǒng)，特征方程為：D(s)=1+G(s)H(s)0所以：s2+s+10=0求得特征

51、方程根：s1,2=-0.5j3.12特征根具有負(fù)實(shí)部，所以連續(xù)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。上例說(shuō)明，無(wú)采樣器時(shí)，二階連續(xù)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，但引入采樣器以后，二階離散系統(tǒng)卻有可能變得不穩(wěn)定。所以采樣器的引入一般會(huì)降低系統(tǒng)的穩(wěn)定性。為什么？因?yàn)椴蓸娱g隔有信號(hào)損失，如果提高采樣頻率或降低開(kāi)環(huán)增益，離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性將會(huì)得到改善。7-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差143、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)判斷離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性，可通過(guò)求解差分方程（|ai|1)，或z域特征方程(|zi|0；所以：當(dāng)u0時(shí)（即平面的右半平面），對(duì)應(yīng)的是x2+y21；正是單位圓外。U0時(shí)，對(duì)應(yīng)x2+y21，正是z平面單位圓內(nèi)。經(jīng)過(guò)以上變換，可將線性定常離散系統(tǒng)的

52、特征方程1+GH(z)=0轉(zhuǎn)換為平面上的特征方程1+GH()=0。7-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差18離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：特征方程1GH()0的所有根，嚴(yán)格位于左半平面，這種情況正好與s平面上應(yīng)用勞斯穩(wěn)定判據(jù)情況一樣。因此，根據(jù)域中的特征方程，系統(tǒng)可以直接應(yīng)用勞斯判據(jù)，判斷離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性。7-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差19 例14 判斷圖示閉環(huán)離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解上式化簡(jiǎn)后，得 勞斯表中第一列有一次符號(hào)變化，所以有一根位于 右半平面，即對(duì)應(yīng)有一個(gè)根位于 平面單位圓之外，系統(tǒng)不穩(wěn)定。令7-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差20討論采樣周期與開(kāi)環(huán)增益對(duì)穩(wěn)定性的影響：在連續(xù)系統(tǒng)中，系統(tǒng)的穩(wěn)定性

53、取決于開(kāi)環(huán)增益k，極點(diǎn)的分布和傳輸延遲，而在離散系統(tǒng)中，除上述因素外，采樣周期T也將影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。k與T對(duì)離散系統(tǒng)的影響如下：1)當(dāng)采樣周期T一定時(shí)，加大開(kāi)環(huán)增益k會(huì)使離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差，甚至使系統(tǒng)不穩(wěn)定。2)當(dāng)k一定時(shí)，T越長(zhǎng)，丟失的信息越多，對(duì)離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性及動(dòng)態(tài)性能均不利，甚至可使系統(tǒng)失去穩(wěn)定。（見(jiàn)例730）7-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差214、離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差在連續(xù)系統(tǒng)中，穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算有二種方法穩(wěn)態(tài)誤差：用拉氏變換終值定理求動(dòng)態(tài)誤差：用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)由于離散系統(tǒng)沒(méi)有唯一的典型結(jié)構(gòu)，所以，誤差脈沖傳遞函數(shù)e(z)也給不出一般的計(jì)算式。離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，需要針對(duì)不同形式的離散

54、系統(tǒng)求取。利用z變換的終值定理方法，求誤差采樣的離散系統(tǒng)在采樣瞬間的值誤差。7-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差22由脈沖誤差傳遞函數(shù)的定義：由z變換終值定理：7-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差23G(s)r(t)e(t)e*(t)E(z)c(t)c*(t)C(z)例18、圖中：T0.1s，當(dāng)r(t)分別為1(t)和t時(shí)，求離散系統(tǒng)的相應(yīng)穩(wěn)態(tài)誤差。代入T0.1誤差傳遞函數(shù)：7-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差24由上式可以求出系統(tǒng)的特征根：z1,2=0.368j0.482，|z|1，閉環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)位于z平面上的單位圓外，有a0，故動(dòng)態(tài)響應(yīng)ck,k(nT)為振蕩發(fā)散脈沖序列；閉環(huán)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)分布與相應(yīng)動(dòng)態(tài)響

55、應(yīng)形式見(jiàn)下圖。ImRe11附2：閉環(huán)復(fù)極點(diǎn)分布與相應(yīng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)形式7-6離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能分析12 綜上所述，離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性與閉環(huán)極點(diǎn)的分布密切相關(guān)。當(dāng)閉環(huán)實(shí)極點(diǎn)位于z平面上左半單位圓內(nèi)時(shí)，由于輸出衰減脈沖交替變號(hào)，故動(dòng)態(tài)過(guò)程質(zhì)量很差；當(dāng)閉環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)位于z平面上左半單位圓內(nèi)時(shí)，由于輸出衰減高頻振蕩脈沖，故動(dòng)態(tài)過(guò)程性能欠佳。因此，在離散系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)把閉環(huán)極點(diǎn)安置在z平面的右半單位圓內(nèi)，且盡量靠近原點(diǎn)。77離散系統(tǒng)數(shù)字校正1直接數(shù)字設(shè)計(jì)法，設(shè)離散控制系統(tǒng)如圖e*(s)D(z)G(s)H(s)R*(s)R(s)C*(s)c*(s)1、數(shù)字控制器的脈沖傳函數(shù)圖中，G(s)是保持器與控制對(duì)象，是已

56、知的。D(z)是數(shù)字控制器（即校正裝置）系統(tǒng)設(shè)計(jì)就是設(shè)計(jì)D(z)為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，設(shè)：H(s)=1；G(s)的z變換為G(z)。則閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)誤差脈沖傳遞函數(shù)77離散系統(tǒng)數(shù)字校正2可求出：離散系統(tǒng)的數(shù)字校正：根據(jù)離散系統(tǒng)性能指標(biāo)的要求，確定閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)(z)，或誤差脈沖傳遞函數(shù)e(z)，然后確定D(z)。77離散系統(tǒng)數(shù)字校正32、最少拍系統(tǒng)設(shè)計(jì)：系統(tǒng)在典型信號(hào)作用下，能以有限拍結(jié)束響應(yīng)過(guò)程，且在采樣時(shí)刻上無(wú)穩(wěn)態(tài)誤差的離散系統(tǒng)。由于最少拍系統(tǒng)設(shè)計(jì)是針對(duì)典型信號(hào)考慮的，而典型信號(hào)的一般表達(dá)式：式中，A(z)是不含(1-z-1)因子的z-1多項(xiàng)式。當(dāng)：r(t)=1(t)時(shí)，m1，A(z)=1；r

57、(t)=t時(shí)，m=2，A(z)=Tz-1；當(dāng)：77離散系統(tǒng)數(shù)字校正4最少拍系統(tǒng)設(shè)計(jì)原則：若系統(tǒng)廣義被控對(duì)象G(z)無(wú)延遲且在z平面單位圓上及單位圓外無(wú)零點(diǎn)極點(diǎn)，要求選擇閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)(z)，使系統(tǒng)在典型輸入作用下，經(jīng)過(guò)最少采樣周期后能使輸出序列在各采樣時(shí)刻的的穩(wěn)態(tài)誤差為零，達(dá)到完全跟蹤的目的，從而確定數(shù)字控制器D(z)。根據(jù)上述原則，寫(xiě)出誤差信號(hào)的z變換式77離散系統(tǒng)數(shù)字校正5用終值定理求出穩(wěn)態(tài)誤差：上式表明，要使e()=0，則e(z)中應(yīng)包含(1-z-1)m因子，設(shè)： e(z) (1-z-1)mF(z)F(z)是不含(1-z-1)因子的多項(xiàng)式，為求出的D(z)簡(jiǎn)單，階數(shù)最低，可取F(z)1

58、。77離散系統(tǒng)數(shù)字校正6(1)單位階躍輸入當(dāng)r(t)=1(t)時(shí)，m=1A(z)=1 所以：e(z) (1-z-1)m1-z-1 (z)1e(z)z-1由z變換的定義式：比較上述二式，e(0)=1；而e(1)=e(2)=077離散系統(tǒng)數(shù)字校正7所以，最少拍系統(tǒng)只經(jīng)過(guò)一拍便可以完全跟蹤單位階躍輸入。T0時(shí)，誤差e(t)=1T=1時(shí)，誤差e(1)=0即達(dá)到完全跟蹤這個(gè)系統(tǒng)稱為一拍系統(tǒng)，調(diào)節(jié)時(shí)間ts=Te*(t)t0T2T3T4T177離散系統(tǒng)數(shù)字校正8(2)單位斜坡輸入 為了與R(z)中的(1-z-1)2因子對(duì)消，則：e(z)(1-z-1)2當(dāng)r(t)=t時(shí)，m=2A(z)=1 而， (z)1e(

59、z)2z-1z-2所以，e(0)=0,e(1)=1,e(2)=e(3)=0系統(tǒng)只要二拍就可以完全跟蹤 Ts=2TT2T3T4Tte*(t)T2T3T77離散系統(tǒng)數(shù)字校正9(3)對(duì)加速度輸入，則選擇：(z)=3z-1-3z-2+z-3 ； e(z)=(1-z-1)3同理，可推知最小拍系統(tǒng)經(jīng)過(guò)三拍便可完全跟蹤，ts=3T各種典型輸入作用下最少拍系統(tǒng)的設(shè)計(jì)結(jié)果見(jiàn)P340表77。最少拍系統(tǒng)的輸出為：C(z)=(z)R(z)求出輸出脈沖序列可知其動(dòng)態(tài)參數(shù)。77離散系統(tǒng)數(shù)字校正10討論：最少拍系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間，只與所選擇的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)(z)的形式有關(guān)，而與典型輸入信號(hào)的形式無(wú)關(guān)。如針對(duì)單位斜坡輸入設(shè)計(jì)的

60、最少拍系統(tǒng)，不論在何種輸入形式作用下，系統(tǒng)均為二拍的調(diào)節(jié)時(shí)間。1）從快速性而言，按單位斜坡輸入設(shè)計(jì)的最少拍系統(tǒng)在各種典型輸入作用下，其動(dòng)態(tài)過(guò)程均為二拍；2）從準(zhǔn)確性而言，系統(tǒng)對(duì)單位階躍輸入和單位斜坡輸入，在采樣時(shí)刻均無(wú)穩(wěn)態(tài)誤差，但對(duì)單位加速度輸入，采樣時(shí)刻上的穩(wěn)態(tài)誤差為常量T2；77離散系統(tǒng)數(shù)字校正113）從動(dòng)態(tài)性能而言，系統(tǒng)對(duì)單位斜坡輸入下的響應(yīng)性能較好，這是因?yàn)橄到y(tǒng)本身就是針對(duì)此而設(shè)計(jì)的，但系統(tǒng)對(duì)單位階躍輸入響應(yīng)性能較差，有100%的超調(diào)量。所以，按某種典型輸入設(shè)計(jì)的最少拍系統(tǒng)適應(yīng)性較差。4）從平穩(wěn)性而言，在各種典型輸入作用下，進(jìn)入穩(wěn)態(tài)以后，在非采樣時(shí)刻，均存在紋波。具體內(nèi)容詳見(jiàn)P340P