斷裂力學(xué)第三講斷裂力學(xué)理論

1、1Shanghai University斷裂力學(xué)理論Fracture Mechanics斷裂力學(xué)第三講2裂紋尖端附近的應(yīng)力場(chǎng)和位移計(jì)算34(平面應(yīng)力) (平面應(yīng)變) 用張量標(biāo)記可縮寫成型裂紋求解5平面應(yīng)變 平面應(yīng)力 平面應(yīng)力平面應(yīng)變型裂紋求解6需要注意的是，推導(dǎo)過(guò)程中，使用了這個(gè)條件，所以。對(duì)于稍遠(yuǎn)處，應(yīng)該用 所示的來(lái)確定應(yīng)力分量和位移分量。前面得到的應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng)公式只適用于裂紋尖端附近區(qū)域，即要求型裂紋求解7型裂紋求解 設(shè)無(wú)限大板含長(zhǎng)2a的中心裂紋，無(wú)窮遠(yuǎn)受剪應(yīng)力作用8第一步：解II型Westergaard應(yīng)力函數(shù)求解方法與I型基本相同，主要差別是無(wú)窮遠(yuǎn)處邊界上受力條件不同。選取應(yīng)力函數(shù)

2、所以因?yàn)樾土鸭y求解 9得到II型裂紋問(wèn)題各應(yīng)力分量表達(dá)式為 進(jìn)而可得到位移分量平面應(yīng)變 型裂紋求解 10第二步：選II型裂紋的 邊界條件： ， 在 處在處選取 能夠滿足全部邊界條件。型裂紋求解 11在裂紋表面 處 虛數(shù) 只有實(shí)部且為一常數(shù) 滿足平板周圍的邊界條件 滿足裂紋表面處的邊界條件 型裂紋求解 12將坐標(biāo)原點(diǎn)移到右裂尖，采用新坐標(biāo) 當(dāng) 趨于常數(shù),設(shè): ， 右裂尖附近, 在很小范圍內(nèi)時(shí) 用解析函數(shù)求解II型裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的定義式 型裂紋求解 13第三步：用 求II型裂尖附近的應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng) 應(yīng)力強(qiáng)度因子是在裂尖時(shí) 存在極限，若考慮裂尖附近的一個(gè)微小區(qū)域，則有：若以極坐標(biāo)表示復(fù)變量 則

3、可得到型裂紋求解 14平面應(yīng)變 平面應(yīng)力 把上面兩式代入前面應(yīng)力表達(dá)式中，應(yīng)力和位移場(chǎng)得表達(dá)式型裂紋求解 15對(duì)于I型和II型裂紋來(lái)說(shuō)，是屬于平面問(wèn)題。但對(duì)于III型裂紋，由于裂紋面是沿z方向錯(cuò)開(kāi)，因此平行于xy平面的位移為零，只有z方向的位移不等于零 型裂紋求解對(duì)于此類反平面問(wèn)題，前面給出的平面問(wèn)題的基本方程已不適用，因此不能沿用Airy應(yīng)力函數(shù)求解，需要從彈性力學(xué)的一般（空間）問(wèn)題出發(fā)，推導(dǎo)公式。彈性力學(xué)一般問(wèn)題的基本方程，可以仿照平面問(wèn)題的方法導(dǎo)出 16反平面(縱向剪切)問(wèn)題, 其位移 根據(jù)幾何方程和物理方程:型裂紋求解問(wèn)題描述:無(wú)限大板,中心裂紋(穿透) ,無(wú)限遠(yuǎn)處受與 方向平行的 作

4、用.17單元體的平衡方程:位移函數(shù)滿足Laplace方程,所以為調(diào)和函數(shù). 解析函數(shù)性質(zhì):任意解析函數(shù)的實(shí)部和虛部都是解析的.邊界條件:型裂紋求解非零應(yīng)力分量18選取函數(shù) 滿足邊界條件 型裂紋求解在裂紋表面 處， 只有實(shí)部而無(wú)虛部，有 滿足裂紋表面處的邊界條件 當(dāng)或，都有，即由非零應(yīng)力分量公式知，滿足平板周圍的邊界條件。 19取新坐標(biāo) 型裂紋求解同樣，為計(jì)算方便，將坐標(biāo)原點(diǎn)從裂紋的中心移到裂紋的右尖端 當(dāng) 趨于常數(shù),設(shè): ， 右裂尖附近, 在很小范圍內(nèi)時(shí) 用解析函數(shù)求解III型裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的定義式 20 應(yīng)力強(qiáng)度因子是在裂尖時(shí) 存在極限，若考慮裂尖附近的一個(gè)微小區(qū)域，則有：若以極坐標(biāo)表

5、示復(fù)變量 則可得到這就是III型裂紋問(wèn)題在裂紋尖端附近的應(yīng)力場(chǎng)表達(dá)式 型裂紋求解21則可得到這就是III型裂紋問(wèn)題在裂紋尖端附近的位移場(chǎng)表達(dá)式 型裂紋求解22應(yīng)力強(qiáng)度因子注意：以上三種類型求解方法，僅適用于含貫穿裂紋的無(wú)限大板在載荷或位移對(duì)裂紋中點(diǎn)的坐標(biāo)軸對(duì)稱或反對(duì)稱的情況。23值得指出的是，上述三種裂紋問(wèn)題的應(yīng)力場(chǎng)表達(dá)式，雖然是根據(jù)無(wú)限大半具有中心穿透裂紋且在均勻外加應(yīng)力作用下獲得的。進(jìn)一步的分析表明，這些解具有普遍的意義，也就是說(shuō)，對(duì)于其他有限尺寸板的穿透裂紋（包括中心裂紋和邊裂紋），在非均勻受力條件下，裂紋尖端附近的應(yīng)力場(chǎng)（更確切地說(shuō)是應(yīng)力場(chǎng)的奇異項(xiàng)）表達(dá)式也是相同的，其不同之處僅僅是應(yīng)

6、力強(qiáng)度因子的不同，因此，對(duì)于特定的含裂紋結(jié)構(gòu)只需要確定相應(yīng)的應(yīng)力強(qiáng)度因子就可以了。24通過(guò)前面的推導(dǎo)，各種類型裂尖應(yīng)力和位移場(chǎng)可表示為若上標(biāo)寫成II、III，代表II型或III型裂紋。裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)是漸進(jìn)解，僅僅適合于裂紋尖端附近25線彈性裂尖場(chǎng)特點(diǎn)三種變形情況下裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)和應(yīng)變場(chǎng)都具有奇異性，即在裂紋尖端處，應(yīng)力和應(yīng)變?yōu)闊o(wú)窮大，這種不真實(shí)的性質(zhì)是由于所采用的本構(gòu)關(guān)系所決定的，即認(rèn)為材料能承受無(wú)限大的應(yīng)力，且應(yīng)變與應(yīng)力呈線性關(guān)系。另外，在上述的分析中，裂紋假設(shè)成理想的尖裂紋，即裂紋尖端曲率為無(wú)窮大。實(shí)際上，裂紋尖端不可避免地會(huì)出現(xiàn)塑性區(qū)，并且裂紋尖端地曲率是有限的，但是在塑性區(qū)很小的情況下

7、，在圍繞裂尖的一個(gè)環(huán)狀區(qū)域內(nèi)K場(chǎng)是適用的。K場(chǎng)內(nèi)的位移與 成線性比例關(guān)系。26線彈性裂尖場(chǎng)特點(diǎn)三種情況下的K場(chǎng)有相似的形式，分別由應(yīng)力強(qiáng)度因子決定著其場(chǎng)的強(qiáng)度。SIF取決于外加載荷，而且與構(gòu)件幾何、裂紋尺寸有關(guān)，但是與( )坐標(biāo)無(wú)關(guān)。在K場(chǎng)范圍內(nèi)，應(yīng)力和應(yīng)變均正比于SIF，所以SIF是裂紋尖端附近應(yīng)力、應(yīng)變場(chǎng)強(qiáng)度的表征，是描述裂尖場(chǎng)強(qiáng)度的參數(shù)。裂尖場(chǎng)與角分布函數(shù)成比例。角分布函數(shù)僅與角 有關(guān)，而與r無(wú)關(guān)，對(duì)于同一種變形模式，角分布函數(shù)是相同的。所以，無(wú)論構(gòu)件的形狀、尺寸以及裂紋的尺寸如何，裂尖場(chǎng)都是相同的。 27應(yīng)力不適宜作為判斷含裂紋材料承載能力的力學(xué)參量裂尖場(chǎng)應(yīng)力具有奇異性，只要存在載荷，

8、應(yīng)力就趨于無(wú)窮大。依照傳統(tǒng)強(qiáng)度理論，含裂紋結(jié)構(gòu)必定破壞。即傳統(tǒng)的強(qiáng)度條件判斷準(zhǔn)則失去意義。應(yīng)力強(qiáng)度因子作為判定裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)強(qiáng)度的物理參量引入。 線彈性斷裂力學(xué)的主要任務(wù)之一就是確定含裂紋構(gòu)件的應(yīng)力強(qiáng)度因子。應(yīng)力強(qiáng)度因子是有限量，它是代表應(yīng)力場(chǎng)強(qiáng)度的物理量，用其作為參量建立破壞條件是合適的。 應(yīng)力強(qiáng)度因子28名義應(yīng)力，即裂紋位置上按無(wú)裂紋計(jì)算的應(yīng)力裂紋尺寸，即裂紋長(zhǎng)或深 形狀系數(shù)，與裂紋大小、位置有關(guān)應(yīng)力強(qiáng)度因子一般寫為：應(yīng)力強(qiáng)度因子單位：-3/2應(yīng)力強(qiáng)度因子29應(yīng)力強(qiáng)度因子 鑒于應(yīng)力強(qiáng)度因子的重要性，在斷裂力學(xué)這門科學(xué)近半個(gè)世紀(jì)的快速發(fā)展中，應(yīng)力強(qiáng)度因子的分析計(jì)算一直是一個(gè)經(jīng)久不衰的研究課題

9、，這可從這方面的專著（如二十世紀(jì)七十年代Sih的專著和近期的專著）和專門的應(yīng)力強(qiáng)度因子手冊(cè)可見(jiàn)一斑。從研究方法上，從解析的Westergaard stress function、 Muskhelishvili stress function 到解析的或半解析的Green Function、Singular Integral Equation、Conforming Mapping（保形映射）, 及數(shù)值方法如Boundary Collocation Method， Finite Element Method (有限元法)和Boundary Element Method (邊界元法)。 30脆性斷裂

10、的K準(zhǔn)則應(yīng)力強(qiáng)度因子與應(yīng)變能釋放率的關(guān)系 根據(jù)前面所述的應(yīng)變能釋放率公式 與應(yīng)力強(qiáng)度因子 可以發(fā)現(xiàn)它們之間應(yīng)有一定關(guān)系。這關(guān)系將進(jìn)一步揭示應(yīng)力強(qiáng)度因子的物理意義。 以張開(kāi)型裂紋為例，由于應(yīng)變能釋放率代表裂紋擴(kuò)展單位面積所釋放的應(yīng)變能。那么逆向思維一下31左圖a所示裂紋原長(zhǎng)為a，擴(kuò)展微小長(zhǎng)度 （圖b）后，釋放出的能量可用從圖b狀態(tài)閉合到圖c狀態(tài)所作的功來(lái)計(jì)算。閉合時(shí)作用在裂紋上表面上x位置的應(yīng)力由圖b中的0值，逐漸增加到圖a中的 利用上節(jié)的裂尖附近應(yīng)力和位移場(chǎng)，可以計(jì)算使裂紋閉合單位面積所作的功，顯然這部分功應(yīng)該等于裂紋擴(kuò)展單位面積所釋放的能量。32由I型裂紋的應(yīng)力表達(dá)式， 當(dāng) ， 時(shí) 由圖b看

11、出，閉合時(shí)的位移最初為 其中 ， 注意：圖b與圖a的坐標(biāo)原點(diǎn)不同。由I型裂紋的位移表達(dá)式： 閉合后，位移為0。 閉合過(guò)程中，應(yīng)力在 段所作的功為 33閉合單位面積所作的功裂紋擴(kuò)展單位面積所釋放的能量=由于：其中， （平面應(yīng)力）， （平面應(yīng)變） 可見(jiàn)，應(yīng)力強(qiáng)度因子與應(yīng)變能釋放率有對(duì)應(yīng)關(guān)系： 不僅表示裂尖附近彈性應(yīng)力場(chǎng)的強(qiáng)度，也可確定裂紋擴(kuò)展釋放的能量率，故：對(duì)于線彈性斷裂問(wèn)題， 與 等價(jià)34 同理，對(duì)于II型和III型裂紋同樣可得到類似關(guān)系 需要注意：對(duì)于I型和II型裂紋問(wèn)題可分為平面應(yīng)力和平面應(yīng)變問(wèn)題，而對(duì)于三型裂紋問(wèn)題只是一種反平面問(wèn)題。脆性斷裂的K準(zhǔn)則我們已經(jīng)講了脆性材料裂紋失穩(wěn)擴(kuò)展的臨界

12、條件為：35可以得到以應(yīng)力強(qiáng)度因子表示的裂紋失穩(wěn)擴(kuò)展的臨界條件為：表示裂尖的應(yīng)力強(qiáng)度因子 達(dá)到 時(shí)，裂紋失穩(wěn)擴(kuò)展。 與 都是材料常數(shù)，稱為材料的平面應(yīng)變斷裂韌度。在線彈性條件下強(qiáng)調(diào)： 與 概念不同， 是表示裂尖應(yīng)力場(chǎng)強(qiáng)度的一個(gè)參量，可用彈性理論方法進(jìn)行計(jì)算，由載荷及裂紋體形狀和尺寸決定， 斷裂韌度，材料具有的一種機(jī)械性能，表示材料抵抗脆性斷裂的能力，由試驗(yàn)測(cè)定。脆性斷裂的K準(zhǔn)則36注意：對(duì)于線彈性斷裂問(wèn)題，采用G準(zhǔn)則和K準(zhǔn)則所得的結(jié)果是一樣的。但是由于利用彈性理論可直接計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子，而且試驗(yàn)測(cè)定 比 測(cè)定方便，故工程一般常用K準(zhǔn)則。 根據(jù)K準(zhǔn)則，可以計(jì)算剩余強(qiáng)度（臨界應(yīng)力）和臨界裂紋長(zhǎng)度，

13、進(jìn)行斷裂安全分析。 例如：對(duì)具中心裂紋無(wú)限大板，受雙軸拉應(yīng)力 對(duì)于其它結(jié)構(gòu)， 表達(dá)式不同?？傻?37 根據(jù)實(shí)驗(yàn)和理論分析，斷裂韌度隨試件厚度增加而下降，如下圖。這是由于：1）薄板的裂尖處于平面應(yīng)力狀態(tài)，斷裂韌度較高，裂紋不易擴(kuò)展，用 表示；2）隨板厚增加，裂尖處于平面應(yīng)變狀態(tài)的部分增加，裂紋較易擴(kuò)展，斷裂韌度降低，當(dāng)厚度降至一定值后，斷裂韌度降至最小，稱為平面應(yīng)變斷裂韌度，用 表示。斷裂韌度與板厚的關(guān)系需要注意：金屬在平面應(yīng)力條件下裂尖產(chǎn)生較大塑性變形，K準(zhǔn)則（建立在線彈性斷裂力學(xué)基礎(chǔ)上）不適用，而要采用第三章的彈塑性斷裂力學(xué)的斷裂準(zhǔn)則。但是當(dāng)裂尖塑性變形區(qū)較小時(shí)，通過(guò)下一節(jié)的修正后，仍可用K

14、準(zhǔn)則。38線彈性斷裂力學(xué)在小范圍屈服時(shí)的推廣39屈服條件單向拉壓：薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)：在應(yīng)力空間 在主應(yīng)力空間謂之屈服條件或屈服面方程單向應(yīng)力復(fù)雜應(yīng)力c塑性約束系數(shù)有效屈服應(yīng)力，材料屈服點(diǎn)40特雷斯卡（Tresca）假設(shè)最大剪應(yīng)力是屈服的控制因素 材料屈服，屈服函數(shù)為：在主應(yīng)力空間是六棱柱，在平面是六邊形 時(shí)，41在 平面是六角形 CCC-C-C42 米澤斯 （Mises）假設(shè)控制因素是形狀改變比能（歪形能、畸變能） Mises屈服條件為：即：或：即Mises屈服條件或屈服方程。43在主應(yīng)力空間，屈服面是圓柱 是橢圓方程（屈服曲線） Mises屈服條件44在主應(yīng)力空間屈服面是圓柱 C可由簡(jiǎn)單實(shí)驗(yàn)求出

15、 與六棱柱外接CC-C-C45 C可由簡(jiǎn)單實(shí)驗(yàn)求出 如：由Mises屈服條件：?jiǎn)蜗蚶烨r(shí)，即：或：46純剪切屈服如由Mises屈服條件：純剪切屈服時(shí)，即：47 線彈性裂紋尖端場(chǎng)，其應(yīng)力場(chǎng)具有 r -1/2 的奇異性， 該奇異性的幅值大小可用應(yīng)力強(qiáng)度因子來(lái)表征。 但從物理學(xué)的角度來(lái)看，真正奇異的應(yīng)力是不存在的，也就是說(shuō)在裂紋尖端附近很小的范圍內(nèi)，K場(chǎng)是不適用的。在裂紋尖端附近的材料必定發(fā)生屈服。在外加載荷作用下裂紋尖端的應(yīng)力有限有兩種原因。其一是裂尖附近由于應(yīng)力集中,裂尖的材料會(huì)發(fā)生不同程度的塑性變形，其二是裂紋尖端并不是理想的曲率無(wú)窮大的形狀，而總是有鈍化的。 Irwin 小范圍屈服理論4

16、8那么線彈性斷裂力學(xué)能否繼續(xù)使用呢？如果裂紋尖端的塑性區(qū)（或者說(shuō)偏離K場(chǎng)的區(qū)域）很?。ㄟ@種情況我們稱為小范圍屈服），從而對(duì)裂紋尖端場(chǎng)的總體影響不大。Irwin 通過(guò)研究認(rèn)為在該情況下應(yīng)力強(qiáng)度因子K 仍有意義，仍然可以認(rèn)為是K場(chǎng)主導(dǎo)著裂紋的行為。如塑性區(qū)尺寸比裂紋長(zhǎng)度小一個(gè)數(shù)量級(jí)，工程中一般仍用線彈性理論計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子，不過(guò)要對(duì)應(yīng)力強(qiáng)度因子進(jìn)行修正。4950小范圍屈服條件 在線彈性情況下，裂紋尖端場(chǎng)完全由應(yīng)力強(qiáng)度因子K來(lái)主導(dǎo)，稱為K主導(dǎo)區(qū)，其尺寸 取決于裂紋和構(gòu)件的幾何形狀。但如果考慮裂紋尖端的彈塑性性質(zhì)，則在裂紋尖端存在一個(gè)塑性區(qū)，其尺寸記為 ，顯然，隨著載荷的增大，越來(lái)越多的材料發(fā)生屈服，

17、即 越來(lái)越大。 Kr51塑性區(qū)的存在會(huì)改變其相鄰區(qū)域的場(chǎng)，使之偏離K場(chǎng)，這一明顯偏離K場(chǎng)，但仍屬于線彈性的區(qū)域?qū)⒘鸭獾乃苄詤^(qū)和K場(chǎng)連接起來(lái)，稱為過(guò)渡區(qū)。如果這一過(guò)渡區(qū)的尺寸與 相當(dāng)，同樣就不能再將K作為主導(dǎo)參數(shù)，K場(chǎng)即失去了其主導(dǎo)地位。因此，要認(rèn)為K仍然是裂紋斷裂形為的主導(dǎo)參數(shù)，必須滿足：建議的小范圍屈服條件 52Irwin 小范圍屈服理論53K主導(dǎo)區(qū)大小即 是與載荷沒(méi)有明顯關(guān)系的，而塑性區(qū)尺寸 是載荷的單調(diào)函數(shù)。隨著外載的增大，塑性區(qū)不斷長(zhǎng)大，并使K場(chǎng)失去其主導(dǎo)地位。工程處理上,一般認(rèn)為，當(dāng)外加載荷P小于0時(shí)可以認(rèn)為是小范圍屈服,其中是P0裂紋體達(dá)到全面屈服時(shí)的載荷。對(duì)于理想塑性材料，P0即

18、是塑性極限載荷。因此，當(dāng) 時(shí)認(rèn)為裂紋尖端場(chǎng)仍由 K場(chǎng)所主導(dǎo)，所有外載及幾何信息仍可通過(guò)K來(lái)反映，它決定著裂尖附近的塑性區(qū)尺寸和塑性變形的大小。54前面已指出，裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)是漸進(jìn)解，僅僅適合于裂紋尖端附近： 小范圍屈服是指： 塑性區(qū)形狀的估算： 作下列假定： （1）忽略裂紋尖端材料屈服后對(duì)塑性區(qū)外K場(chǎng)的影響； （2）材料為理想塑性，且遵循 Von-Mises 屈服條件。 Irwin 小范圍屈服理論55CRACK TIP PLASTICITYFirst approximation:Better approachesselected shape: better size estimationIrw

19、inDugdaleBetter shape but first order approximation for the sizeIrwin approach: stress redistribution; elastic plastic; plane stress56確定塑性區(qū)尺寸的Irwin理論 在不考慮裂紋尖端塑性影響的情況下，線彈性裂紋尖端的K場(chǎng)分布為：K場(chǎng)的表達(dá)式先假設(shè)裂紋尖端塑性區(qū)的存在不致改變其周圍的應(yīng)力場(chǎng)，不引起應(yīng)力松馳，即沒(méi)有過(guò)渡區(qū)的存在。則只要將上式代入屈服條件，即可以得到塑性區(qū)的尺寸和形狀。57Von Mises屈服條件 幾種最常用形式為一般形式：平面應(yīng)力：平面應(yīng)變：為偏斜

20、應(yīng)力為主應(yīng)力屈服應(yīng)力58根據(jù)材料力學(xué)主應(yīng)力求解公式得到型裂紋的應(yīng)力公式 平面應(yīng)力 59Irwin 小范圍屈服理論可以得到塑性區(qū)尺寸rp 為： 對(duì)平面應(yīng)力情況 對(duì)平面應(yīng)變情況 在裂紋延長(zhǎng)線上塑性區(qū)尺寸ro為： 對(duì)平面應(yīng)力情況對(duì)平面應(yīng)變情況據(jù)上式畫出 曲線，如下圖中實(shí)線所示。這條閉合曲線表示裂尖附近塑性區(qū)的周邊形狀，曲線上各點(diǎn)的相當(dāng)應(yīng)力等于屈服極限，內(nèi)部各點(diǎn)超出屈服極限，未考慮應(yīng)力松弛效應(yīng)。60Irwin 小范圍屈服理論由圖可見(jiàn)，平面應(yīng)變的塑性區(qū)遠(yuǎn)比平面應(yīng)力的小，原因是：平面應(yīng)變狀態(tài)下，沿厚度方向約束所產(chǎn)生的 是拉應(yīng)力，在三向拉伸應(yīng)力狀態(tài)下，材料不易屈服而變脆。 61確定塑性區(qū)尺寸的Irwin理論

21、 62說(shuō)明平面應(yīng)力與平面應(yīng)變的塑性區(qū)形狀不同。這樣的形狀容易從其應(yīng)力狀態(tài)的差異想象出來(lái)。 平面應(yīng)變的塑性區(qū)尺寸（在同樣的 下）小于平面應(yīng)力的塑性區(qū)尺寸。例如， 平面應(yīng)變情況下的 僅是平面應(yīng)力的16%。這是因?yàn)樵谄矫鎽?yīng)變情況下，裂尖材料承受的是三軸拉伸應(yīng)力狀態(tài)，而Von Mises屈服條件（以及Tresca條件）認(rèn)為靜水應(yīng)力不影響屈服。63確定塑性區(qū)尺寸的Irwin理論 64First Order Aproximations of Plastic Zone Shapes Plastic zone shape from Von Mises yield criterionThrough-thickn

22、ess plastic zone in a plate of intermediate thicknessEmpirical Rules to estimating Plane Stress vs. Plane Strain conditions: y B y 1/10 B65利用Tresca屈服條件 在復(fù)雜受力下,當(dāng)最大切應(yīng)力等于材料彈性拉伸時(shí)的屈服切應(yīng)力,材料即屈服.比較發(fā)現(xiàn):平面應(yīng)變塑性區(qū)尺寸小,平面應(yīng)變處于三向拉伸狀態(tài)不易屈服.平面應(yīng)變的有效屈服應(yīng)力 比 高 塑性區(qū)中的最大應(yīng)力 平面應(yīng)變 平面應(yīng)力 Tresca屈服條件下的塑性區(qū)尺寸66Irwin 小范圍屈服理論可以得到塑性區(qū)尺寸rp

23、為： 67平面應(yīng)力平面應(yīng)變68Plastic zone shapes for sliding mode and tearing modes69It was mentioned that it is extremely difficult to properly describe size and shape of the plastic zone at the same time.Plastic zone appearance on the front surface, back surface and a normal section of a notched silicon iron sp

24、ecimen in plane stress70應(yīng)力松弛的修正在上面的分析中，我們假設(shè)塑性區(qū)不影響其周圍的應(yīng)力分布。即未考慮塑性區(qū)內(nèi)塑性變形引起的應(yīng)力松弛，即應(yīng)力再分布影響。這樣，就相當(dāng)于將奇異的K場(chǎng)在裂紋前的塑性區(qū)的簡(jiǎn)單地用Von Mises屈服應(yīng)力代替。因此，上面給出的塑性區(qū)尺寸的解顯然無(wú)法滿足總體靜力平衡方程。Irwin認(rèn)為，我們可以將塑性區(qū)尺寸的增大到某一值，使總體的靜力平衡方程得到滿足。71如圖所示，虛線 表示線彈性裂紋尖端場(chǎng)即K場(chǎng)，曲線 表示考慮塑性區(qū)引起應(yīng)力松馳后的應(yīng)力分布，其中近似認(rèn)為 是 段的簡(jiǎn)單平衡。在小范圍屈服條件下，認(rèn)為 下方的面積等于 下方的面積。因此，要使裂紋前方延

25、長(zhǎng)線上的應(yīng)力與外載相平衡，就要求應(yīng)力松馳后的曲線 與線彈性的K場(chǎng)下面 的面積相等，即： 應(yīng)力松弛的修正72對(duì)于平面應(yīng)力情況，當(dāng) 跟據(jù)Mises條件 ，即單向拉伸時(shí)的屈服極限。 把 ， 代入上面的積分，得到在考慮應(yīng)力可見(jiàn)，應(yīng)力松弛使塑性區(qū)尺寸增加一倍。松馳條件下，平面應(yīng)力I型裂紋尖端的塑性區(qū)尺寸應(yīng)力松弛的修正73同理，對(duì)于平面應(yīng)變情況，當(dāng) ， 據(jù)Mises條件 ，把 代入上面的積分，可以得到在考慮應(yīng)力松馳時(shí)，平面應(yīng)變 I型可見(jiàn)，平面應(yīng)變狀態(tài)下，若考慮塑性區(qū)應(yīng)力松弛影響，塑性區(qū)尺寸同樣增加一倍。上述結(jié)果，是偏安全的近似解。裂紋的尖端塑性區(qū)尺寸為應(yīng)力松弛的修正74關(guān)于塑性區(qū)的尺寸和形狀，兩點(diǎn)補(bǔ)充說(shuō)明

26、：分析沒(méi)有考慮材料強(qiáng)化,材料強(qiáng)化使裂紋尖端塑性區(qū)的尺寸變小,對(duì)于設(shè)計(jì)是偏于安全的.一種非常簡(jiǎn)化的分析，實(shí)際上裂紋尖端的塑性區(qū)尺寸和形狀與上面的結(jié)果都有所偏差。在平面應(yīng)力情況下，還有其他的塑性區(qū)形狀，如窄條屈服區(qū)。在三維情況下，例如核電站的壓力容器和管道中的一個(gè)穿透裂紋，塑性區(qū)是一個(gè)三維的復(fù)雜形狀。75考慮應(yīng)力松弛修正后的K在考慮塑性區(qū)修正后，裂紋前方的應(yīng)力場(chǎng)變成了的 分布，也就是說(shuō)在塑性區(qū)以外的應(yīng)力場(chǎng)相等于向前移動(dòng)了（ ）的距離。因?yàn)?，所以Irwin建議將裂紋尺寸進(jìn)行如下的修正:等效裂紋的尖端在屈服區(qū)的中心，它由修正裂尖的K場(chǎng)所包圍。如果在線彈性情況下，K表示為: 等效裂紋尺寸或當(dāng)量裂紋尺寸

27、 處稱為物理裂紋尖端， 處稱為虛設(shè)裂紋尖端 修正后76 稱為等效裂紋長(zhǎng)度等效裂紋模型法指以 代替原裂紋長(zhǎng)，對(duì)應(yīng)力強(qiáng)度因子進(jìn)行修正。這說(shuō)明，塑性區(qū)的存在相當(dāng)于裂紋長(zhǎng)度增加，即裂紋體的柔度增加，因而裂紋的應(yīng)變能釋放率也增加。在引入小范圍屈服情況下等效裂紋長(zhǎng)度的概念后，線彈性斷裂力學(xué)中的應(yīng)力強(qiáng)度因子理論仍然有效。只要將應(yīng)力強(qiáng)度因子K中的裂紋長(zhǎng)度用等效裂紋長(zhǎng)度代替即可等效裂紋長(zhǎng)度與應(yīng)力強(qiáng)度因子77等效裂紋長(zhǎng)度與應(yīng)力強(qiáng)度因子應(yīng)力強(qiáng)度因子 裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)強(qiáng)弱的標(biāo)志。 取等效裂紋長(zhǎng)度 ，令等效裂尖附近應(yīng)力場(chǎng)的線彈性理論分布曲線在原裂紋塑性區(qū)邊界C1 即在 處的應(yīng)力等于 又因?yàn)?，所以有 應(yīng)力松弛后的應(yīng)力強(qiáng)度

28、因子。 78平面應(yīng)力下 ，有代入上式，并近似設(shè) 得 平面應(yīng)變下，按 則 等效裂紋長(zhǎng)度與應(yīng)力強(qiáng)度因子裂紋的計(jì)算邊界正好在塑性區(qū)的中心 79另外，若按一般采用的公式 則： 繼而按等效裂紋長(zhǎng)度計(jì)算等效應(yīng)力強(qiáng)度因子 ，一般工程應(yīng)用中，取 ，又因 ，用等效裂長(zhǎng) 代替 ，則有：對(duì)于平面應(yīng)力情況，代入相應(yīng)的 ，得等效裂紋長(zhǎng)度與應(yīng)力強(qiáng)度因子80同理可得平面應(yīng)變狀態(tài)下應(yīng)力強(qiáng)度因子 可見(jiàn)兩種狀態(tài)下應(yīng)力強(qiáng)度因子都擴(kuò)大。上述結(jié)論都是近似的，我們假設(shè)了 ，且未考慮等效裂長(zhǎng)對(duì)形狀因子Y的影響。對(duì)于復(fù)雜問(wèn)題要用逐次逼近法求 ，具體步驟見(jiàn)書。等效裂紋長(zhǎng)度與應(yīng)力強(qiáng)度因子81前面我們已經(jīng)有 I 型裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子 KI 的表達(dá)式

29、 其中Y(g，a) 稱為幾何影響因子。引入小范圍屈服情況下的等效裂紋長(zhǎng)度， 由于而塑性區(qū)長(zhǎng)度 ro又依賴于應(yīng)力強(qiáng)度因子 KI，所以，考慮小范圍屈服修正后的應(yīng)力強(qiáng)度因子需要迭代計(jì)算。 Irwin的上述理論是在小范圍屈服的條件下建立的，即要求:等效裂紋長(zhǎng)度與應(yīng)力強(qiáng)度因子82如何而來(lái)？因?yàn)槠矫鎽?yīng)變下，沿板厚在第三向拉應(yīng)力 ,三向拉伸應(yīng)力作用下,材料不易屈服,即材料的有效屈服應(yīng)力 比單向拉伸屈服應(yīng)力要高,而平面應(yīng)力條件下,有效屈服應(yīng)力 . 下面進(jìn)行證明：設(shè) 是最大主應(yīng)力, , ,代入mises準(zhǔn)則設(shè)塑性約束系數(shù) ,代入上式有83對(duì)型裂紋平面應(yīng)變: 在x軸上, 若取 ,則 ,即對(duì)平面應(yīng)力84把塑性區(qū)中最

30、大應(yīng)力 叫做有效屈服應(yīng)力用 表示,表面平面應(yīng)變?cè)?的平面上,屈服區(qū)內(nèi)最大應(yīng)力 是 的三倍.實(shí)際一般試件表面是處于平面應(yīng)力,只有中心部分才是平面應(yīng)變,故平均約束系數(shù) ,實(shí)驗(yàn)測(cè)定 ,用環(huán)形切口圓棒試件所做的拉伸試驗(yàn),在三向拉伸狀態(tài)下：一般取 ,85復(fù)習(xí)-線彈性斷裂力學(xué) 線彈性材料的斷裂準(zhǔn)則-應(yīng)力強(qiáng)度因子斷裂準(zhǔn)則： 條件：塑性區(qū)比K場(chǎng)區(qū)小得多，而K場(chǎng)區(qū)又比裂紋長(zhǎng)度小得多86用柔度法確定臨界應(yīng)變能釋放率 柔度：變形與載荷的比值 總應(yīng)變能柔度： 應(yīng)變能釋放率： 臨界應(yīng)變能釋放率：復(fù)習(xí)-線彈性斷裂力學(xué)87Linear Elastic Crack-tip Fields Mode I:(general case)88Mode III:Mode II:89Angular distributions of crack-tip stresses for the three modes (rectangular: left; polar:right)Details of the applied loading enters only