數(shù)字信號(hào)處理_IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)資料

1、第六章 IIR數(shù)字(shz)濾波器設(shè)計(jì)IIR Digital Filter Design共七十頁第一節(jié) 數(shù)字(shz)濾波器的基本概念一、數(shù)字(shz)濾波器基本概念數(shù)字濾波器: 輸入輸出均為數(shù)字信號(hào)，經(jīng)過一定運(yùn)算 關(guān)系改變輸入信號(hào)所含頻率成分的相對(duì) 比例或者濾除某些頻率成分的器件。優(yōu)點(diǎn)： 精度高，穩(wěn)定，體積小，重量輕，靈活，不 要求阻抗匹配，能實(shí)現(xiàn)模擬濾波器(AF)無法 實(shí)現(xiàn)的特殊濾波功能。1. 數(shù)字濾波器的分類（回憶）2.數(shù)字濾波器的技術(shù)要求3. 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法概述共七十頁1、數(shù)字濾波器的分類 經(jīng)典濾波器：即一般濾波器（輸入信號(hào)中有用的頻 率成分和希望濾除的頻率成分各占有 不同的頻帶，

2、通過以合適的選頻濾波 器達(dá)到目的） 現(xiàn)代濾波器：如維納濾波器，卡爾曼濾波器，自適 應(yīng)濾波器等最佳濾波器（按隨機(jī)信號(hào) 內(nèi)部的統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律，從干擾(gnro)中最佳 提取信號(hào)）共七十頁經(jīng)典(jngdin)濾波器的幾種類型：共七十頁 數(shù)字(shz)濾波器從實(shí)現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或者從單位脈沖響應(yīng)分類，可以分成無限脈沖響應(yīng)(IIR)濾波器和有限脈沖響應(yīng)(FIR)濾波器。它們的系統(tǒng)函數(shù)分別為：IIR濾波器 FIR濾波器 共七十頁用一個(gè)因果(yngu)穩(wěn)定的離散LSI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)逼近此性能指標(biāo)按設(shè)計(jì)(shj)任務(wù)，確定濾波器性能要求，制定技術(shù)指標(biāo)利用有限精度算法實(shí)現(xiàn)此系統(tǒng)函數(shù)：如運(yùn)算結(jié)構(gòu)、字長(zhǎng)的選擇等實(shí)

3、際技術(shù)實(shí)現(xiàn)：軟件法、硬件法或DSP芯片法2、數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)過程共七十頁3、數(shù)字(shz)濾波器的技術(shù)要求 我們通常用的數(shù)字濾波器一般屬于選頻濾波器。假設(shè)數(shù)字濾波器的傳輸(chun sh)函數(shù)H(e j)用下式表示：幅頻特性|H(ej)|： 信號(hào)通過濾波器后的各頻率成分衰減情況。相頻特性()：各頻率成分通過濾波器后在時(shí)間上的延時(shí)情況。共七十頁理想(lxing)濾波器不可實(shí)現(xiàn)，只能以實(shí)際濾波器逼近通帶： 阻帶：過渡帶：阻帶截止頻率：通帶截止頻率：通帶容限：阻帶容限共七十頁 通帶內(nèi)和阻帶內(nèi)允許的衰減一般用dB數(shù)表示(biosh)，通帶內(nèi)允許的最大衰減用p表示，阻帶內(nèi)允許的最小衰減用s表示， p和s

4、分別定義為：上式中， 歸一化為1。共七十頁 用一因果穩(wěn)定的離散(lsn)LSI系統(tǒng)逼近給定的性能要求：s平面逼近：模擬(mn)濾波器的設(shè)計(jì)z平面逼近：數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)4、IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法 先設(shè)計(jì)模擬濾波器，再轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器 即為求濾波器的各系數(shù)：共七十頁第二節(jié) 模擬(mn)濾波器的設(shè)計(jì) 模擬濾波器的理論和設(shè)計(jì)(shj)方法已發(fā)展得相當(dāng)成熟，且有若干典型的模擬濾波器供我們選擇，如： 1) 巴特沃斯(Butterworth)濾波器 2) 切比雪夫(Chebyshev)濾波器 3) 橢圓(Ellipse)濾波器 4) 貝塞爾(Bessel)濾波器 這些濾波器都有嚴(yán)格的設(shè)計(jì)公式、現(xiàn)成的曲線

5、和圖表供設(shè)計(jì)人員使用。共七十頁1、模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)(shj)指標(biāo)及逼近方法模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)(shj)指標(biāo)有p, p, s和s。p和s分別稱為通帶截止頻率和阻帶截止頻率， p是通帶(0p)中的最大衰減系數(shù) s是阻帶s的最小衰減系數(shù)共七十頁c稱為(chn wi)3dB截止頻率：共七十頁 濾波器的技術(shù)指標(biāo)給定后，需要設(shè)計(jì)一個(gè)傳輸函數(shù)Ha(s)，希望其幅度平方函數(shù)滿足(mnz)給定的指標(biāo)p和s，一般濾波器的單位沖激響應(yīng)為實(shí)數(shù)，有：共七十頁2、巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)(shj)方法(1) 巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數(shù)(hnsh)|Ha(j)|2 用下式表示：N越大，越接近理想濾波器，N越大，

6、濾波器的實(shí)現(xiàn)也越復(fù)雜。特點(diǎn)：共七十頁(2)幅度(fd)平方函數(shù)極點(diǎn)分布及Ha(s)的構(gòu)成將幅度平方(pngfng)函數(shù)|Ha(j)|2寫成s的函數(shù)：上式表明，極點(diǎn)sk用下式表示： 為形成穩(wěn)定的濾波器，2N個(gè)極點(diǎn)中只取s平面左半平面的N個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成Ha(s)，而右半平面的N個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成Ha(-s)。Ha(s)的表示式為共七十頁設(shè)N=3，極點(diǎn)(jdin)有6個(gè)，它們分別為取s平面左半平面的極點(diǎn)(jdin)s0,s1,s2組成Ha(s)：共七十頁(3) 頻率(pnl)歸一化 由于各濾波器的幅頻特性不同，為使設(shè)計(jì)統(tǒng)一，將所有的頻率歸一化。這里采用(ciyng)對(duì)3dB截止頻率c歸一化，歸一化后的Ha(s)

7、表示為 式中，s/c=j/c。 令=/c，稱為歸一化頻率；令 p = j= j/c ， p =s/c稱為歸一化復(fù)變量，這樣歸一化巴特沃斯的傳輸函數(shù)為共七十頁式中，pk為歸一化極點(diǎn)(jdin)，用下式表示：帶入Ha(p)表達(dá)式，得到的Ha(p)的分母(fnm)是p的N階多項(xiàng)式，用下式表示：歸一化的傳輸函數(shù)系數(shù)Ha (p) 的系數(shù)以及極點(diǎn)可以查表得到。共七十頁表6.2.1 巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù)(cnsh) 共七十頁共七十頁共七十頁(4)階數(shù)N的確定(qudng) 階數(shù)N的大小主要影響幅度(fd)特性下降的速度，它應(yīng)該由技術(shù)指標(biāo)確定。將=p代入幅度平方函數(shù)中:共七十頁將=s代入幅度平方(pn

8、gfng)函數(shù)中:共七十頁用上式求出的N可能有小數(shù)部分(b fen)，應(yīng)取大于等于N的最小整數(shù)。共七十頁 關(guān)于3dB截止頻率c，如果技術(shù)指標(biāo)中沒有給出，可以(ky)按照下面兩式求出： 通常(tngchng)是用一個(gè)算出c，然后用另一個(gè)(反過來)來檢驗(yàn)。共七十頁總結(jié)以上(yshng)，低通巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì)步驟如下： 根據(jù)(gnj)技術(shù)指標(biāo)p,p,s, s，求出濾波器的階數(shù)N。(2) 求出歸一化極點(diǎn)pk，得到歸一化傳輸函數(shù)Ha(p)。 (3) 將Ha(p)去歸一化。將p=s/c代入Ha(p)，得到實(shí)際的濾波器 傳輸函數(shù)Ha(s)。共七十頁例： 已知通帶截止頻率fp=5kHz，通帶最大衰減p=2

9、dB，阻帶截止頻率fs=12kHz，阻帶最小衰減s=30dB，按照以上(yshng)技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器。解： (1) 確定(qudng)階數(shù)N：共七十頁(2) 求極點(diǎn)(jdin)：歸一化傳輸(chun sh)函數(shù)為共七十頁 上式分母可以展開成為五階多項(xiàng)式，或者將共軛極點(diǎn)放在一起，形成因式分解(yn sh fn ji)形式。不如直接查表簡(jiǎn)單，由N=5，直接查表得到：極點(diǎn)(jdin)：-0.3090j0.9511、-0.8090j0.5878、 -1.0000其中： b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361共七十頁(3) 為將H

10、a(p)去歸一化，先求3dB截止頻率c。將p=s/c代入Ha(p)中得到(d do)：檢驗(yàn)(jinyn)： 可以看出，滿足s=30dB 的真實(shí)fs在10.525kHz處，與12kHz比，還有富裕量。共七十頁Matlab的實(shí)現(xiàn)(shxin)調(diào)用的函數(shù)見教材P160 ：buttap, buttord, butter設(shè)計(jì)(shj)程序見教材P161 共七十頁第三節(jié) 用脈沖響應(yīng)不變法(bin f) 設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器 利用模擬(mn)濾波器來設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，就是從已知的模擬(mn)濾波器傳遞函數(shù)Ha(s)設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。 因此，它歸根結(jié)底是一個(gè)由S平面映射到Z平面的變換，這個(gè)變

11、換通常是復(fù)變函數(shù)的映射變換，為了保證轉(zhuǎn)換后的H(z)穩(wěn)定且滿足技術(shù)要求，這個(gè)映射變換必須滿足以下兩條基本要求。共七十頁(2)數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)模仿模擬濾波器的頻 響，s平面的虛軸映射為z平面的單位圓，相應(yīng)(xingyng)的頻率之間成線性關(guān)系。 因果(yngu)穩(wěn)定的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，仍 是因果穩(wěn)定的。即 S平面的左半平面必須映射到Z平面單位圓的內(nèi)部。兩條基本要求：工程上常用的轉(zhuǎn)換方法：脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法共七十頁一、脈沖響應(yīng)不變法(bin f)的轉(zhuǎn)換原理核心(hxn)原理： 通過對(duì)連續(xù)函數(shù)ha(t)等間隔采樣得到離散序列ha(nT)。令h(n)= ha(nT) ，T為采樣

12、間隔。它是一種時(shí)域上的轉(zhuǎn)換方法。轉(zhuǎn)換步驟：共七十頁設(shè)模擬(mn)濾波器的傳輸函數(shù)為Ha(s),相應(yīng)的單位沖激響應(yīng)是ha(t) 設(shè)模擬濾波器Ha(s)只有單階極點(diǎn)，且分母多項(xiàng)式的階次高于分子多項(xiàng)式的階次，將Ha(s)用部分(b fen)分式表示： 式中si為Ha(s)的單階極點(diǎn)。將Ha(s)進(jìn)行逆拉氏變換得到ha(t)：共七十頁 式中u(t)是單位階躍函數(shù)(hnsh)。對(duì)ha(t)進(jìn)行等間隔采樣，采樣間隔為T，得到：對(duì)上式進(jìn)行Z變換，得到數(shù)字(shz)濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)： 共七十頁設(shè)ha(t)的采樣信號(hào)用 表示，二、S平面(pngmin)和Z平面之間的映射關(guān)系拉氏變換(binhun)：共七

13、十頁 上式表示采樣信號(hào)的拉氏變換(binhun)與相應(yīng)的序列的Z變換之間的映射關(guān)系可用下式表示：共七十頁 j S平面Z平面RezjImz=0 (s平面虛軸) r=1 (z平面單位圓)0 (s左半平面) r0 (s右半平面) r1 (z平面單位圓外部) r與的關(guān)系(gun x)共七十頁 與的關(guān)系(gun x)： = T =0 (s平面(pngmin)實(shí)軸) =0 (z平面正實(shí)軸) = 0 =0T (s平面平行于實(shí)軸的直線) (z平面始于原點(diǎn)，輻角為0T的輻射線) ：從 -/T /T ：從 - (s平面為2/T的一個(gè)水平帶) (z平面輻角轉(zhuǎn)了一周，覆蓋整個(gè)z平面) Z平面jImzRezj S平面-

14、/T/T3/T-3/T多值映射 共七十頁將s=j代入上式，得 我們知道模擬信號(hào)ha(t)的傅里葉變換Ha(j)和其采樣信號(hào) 的傅里葉變換 之間的關(guān)系滿足： 存在(cnzi)的問題：混疊失真共七十頁數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)(pn l xin yn)是模擬濾波器頻率響應(yīng)(pn l xin yn)的周期延拓。 只有當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)是限帶的，且?guī)抻谡郫B頻率以內(nèi)(y ni)時(shí)，才能使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率以內(nèi)(y ni)重現(xiàn)模擬濾波器的頻率響應(yīng)，而不產(chǎn)生混疊失真。即：|共七十頁 但是，任何一個(gè)實(shí)際的模擬濾波器頻率響應(yīng)(pn l xin yn)都不是嚴(yán)格限帶的（非理想）， 變換后就會(huì)產(chǎn)生周期延

15、拓分量的頻譜交疊，即產(chǎn)生頻率響應(yīng)(pn l xin yn)的混疊失真。這時(shí)數(shù)字濾波器的頻響就不同于原模擬濾波器的頻響，而是有一定的失真。當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)(pn l xin yn)在折疊頻率以上處衰減越大、越快時(shí)，變換后頻率響應(yīng)(pn l xin yn)混疊失真就越小。這時(shí)，采用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器才能得到良好的效果。共七十頁脈沖響應(yīng)不變法的頻率(pnl)混疊現(xiàn)象共七十頁優(yōu)點(diǎn)(yudin)： 脈沖響應(yīng)不變法(bin f)使得數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)完 全模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)，也就是時(shí)域逼 近良好。 模擬頻率和數(shù)字頻率之間呈線性關(guān)系=T。 因而，一個(gè)線性相位的模擬濾波器（例

16、如貝塞爾濾 波器）通過脈沖響應(yīng)不變法得到的仍然是一個(gè)線性 相位的數(shù)字濾波器。共七十頁缺點(diǎn)(qudin)： 有頻率響應(yīng)的混疊效應(yīng)。 所以(suy)， 脈沖響應(yīng)不變 法只適用于限帶的模擬濾波器(例如，衰減特性 很好的低通或帶通濾波器)，而且高頻衰減越快 ，混疊效應(yīng)越小。 對(duì)于高通和帶阻濾波器，由于它們?cè)诟哳l部分 不衰減， 因此會(huì)產(chǎn)生混疊現(xiàn)象。共七十頁第四節(jié) 用雙線性變換法 設(shè)計(jì)(shj)IIR數(shù)字低通濾波器一、變換(binhun)原理 了解決上一節(jié)的混疊問題，我們應(yīng)想辦法讓S到Z域的映射為單值映射。方法： 先采用線性壓縮的方法，將模擬角頻率壓縮至折疊頻率以內(nèi)。即： 若： ： - 0 , 壓縮后得到

17、1 1：-/T 0 /T 共七十頁非線性壓縮SS1單值映射S1Z共七十頁找Z與S的關(guān)系(gun x)：共七十頁一般來說，為使AF與DF的某一頻率有對(duì)應(yīng)(duyng)關(guān)系，可引入常數(shù)C： 變換常數(shù)(chngsh)C的選?。?常數(shù)C用來調(diào)節(jié)頻率間的對(duì)應(yīng)關(guān)系： 若希望AF與DF在低頻處有較為確切的對(duì)應(yīng)關(guān)系， 可以選擇：共七十頁 解釋(jish)：在低頻(dpn)處有較為確切的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即要求低頻(dpn)處：當(dāng)1較小時(shí)，處于低頻處，此時(shí)有：而和1的對(duì)應(yīng)公式為：共七十頁二、優(yōu)點(diǎn)(yudin)、問題及其解決辦法 1、優(yōu)點(diǎn)(yudin)：解決了混疊問題 2、問題：共七十頁 3、解決(jiju)：通過(tn

18、ggu)頻率預(yù)畸來解決SZ指標(biāo)轉(zhuǎn)換預(yù)畸指標(biāo)轉(zhuǎn)換不預(yù)畸SZ產(chǎn)生畸變不產(chǎn)生畸變共七十頁預(yù)畸變特征雙線性變換時(shí)頻率的預(yù)畸變共七十頁 利用模擬(mn)濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器的步驟。確定(qudng)數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：p、p、s、s將數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器的 技術(shù)指標(biāo)：如果采用脈沖響應(yīng)不變法，邊界頻率的轉(zhuǎn)換關(guān)系為如果采用雙線性變換法，邊界頻率的轉(zhuǎn)換關(guān)系為(3) 按照模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器Ha(s)。(4) 將模擬濾波器Ha(s)，從s平面轉(zhuǎn)換到z平面，得到數(shù)字低通 濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)。共七十頁例：設(shè)計(jì)低通數(shù)字濾波器，要求在通帶內(nèi)頻率(pnl)

19、低于0.2rad時(shí)， 容許幅度誤差在1dB以內(nèi)；在頻率0.3到之間的阻帶衰 減大于15dB。指定模擬濾波器采用巴特沃斯低通濾波器。 試分別用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法設(shè)計(jì)濾波器。解： (1) 用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)(shj)數(shù)字低通濾波器。 數(shù)字低通的技術(shù)指標(biāo)為 p=0.2rad, p=1dB; s=0.3rad, s=15dB 模擬低通的技術(shù)指標(biāo)為 T=1s,p=0.2rad/s, p=1dB; s=0.3rad/s, s=15dB共七十頁設(shè)計(jì)(shj)巴特沃斯低通濾波器。先計(jì)算階數(shù)N及3dB截止頻率c。共七十頁根據(jù)階數(shù)N=6，查表得到歸一化傳輸(chun sh)函數(shù)為：由式：得到(d do

20、)：c=0.7032rad/s 最后，去歸一化，將p=s/c代入Ha(p)中，得到實(shí)際的傳輸函數(shù)Ha(s)共七十頁用脈沖響應(yīng)不變法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成H(z)。首先將Ha(s)進(jìn)行部分 分式分解(fnji)，然后再轉(zhuǎn)換 z=esT。共七十頁(2) 用雙線性變換法設(shè)計(jì)(shj)數(shù)字低通濾波器。 數(shù)字(shz)低通技術(shù)指標(biāo)仍為 p=0.2rad, p=1dB; s=0.3rad, s=15dB 模擬低通的技術(shù)指標(biāo)為共七十頁 設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器。階數(shù)N計(jì)算(j sun)如下： 取N=6。并求得：c=0.7662rad/s共七十頁 根據(jù)N=6，查表6.2.1得到(d do)的歸一化傳輸函數(shù)Ha(p)

21、與脈沖響應(yīng)不變法得到的相同。為去歸一化，將p=s/c代入Ha(p)，得實(shí)際的Ha(s) 用雙線性變換法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字(shz)濾波器H(z)共七十頁%deign a butterwoth digital lowpass filterwp=0.2*pi;ws=0.3*pi;Rp=1;Rs=15;Ts=1;Nn=128;Wp=wp/Ts;Ws=ws/Ts;N,Wn=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,s);z,p,k=buttap(N);Bap,Aap=zp2tf(z,p,k);b,a=lp2lp(b,a,Wn);bz,az=impinvar(b,a,1/Ts);freqz(bz,az,Nn,1/Ts);共七十頁共七十頁%Design a Butterw