高三數(shù)學(xué)教案：拋物線經(jīng)典例題講解

1、高三數(shù)學(xué)教案：拋物線經(jīng)典例題講解【】鑒于大家對查字典數(shù)學(xué)網(wǎng)非常關(guān)注，小編在此為大家搜集整理了此文高三數(shù)學(xué)教案：拋物線經(jīng)典例題講解，供大家參考!本文題目：高三數(shù)學(xué)教案：拋物線經(jīng)典例題講解拋物線習(xí)題精選精講1拋物線二次曲線的和諧線橢圓與雙曲線都有兩種定義方法，可拋物線只有一種：到一個定點和一條定直線的間隔 相等的所有點的集合.其離心率e=1，這使它既與橢圓、雙曲線相依相伴，又鼎立在圓錐曲線之中.由于這個美妙的1，既使它享盡和諧之美，又生出多少華美的篇章.【例1】P為拋物線 上任一點，F(xiàn)為焦點，那么以PF為直徑的圓與y軸 相交 相切 相離 位置由P確定【解析】如圖，拋物線的焦點為 ，準線是.作PH

2、于H，交y軸于Q，那么 ，且 .作MNy軸于N那么MN是梯形PQOF的中位線， .故以PF為直徑的圓與y軸相切，選B.【評注】相似的問題對于橢圓和雙曲線來說，其結(jié)論那么分別是相離或相交的.2焦點弦?？汲Ｐ碌牧咙c弦有關(guān)拋物線的試題，許多都與它的焦點弦有關(guān).理解并掌握這個焦點弦的性質(zhì)，對破解這些試題是大有幫助的.【例2】 過拋物線 的焦點F作直線交拋物線于 兩點，求證：1 2【證明】1如圖設(shè)拋物線的準線為 ，作.兩式相加即得：2當ABx軸時，有成立;當AB與x軸不垂直時，設(shè)焦點弦AB的方程為： .代入拋物線方程：.化簡得：方程1之二根為x1，x2， .故不管弦AB與x軸是否垂直，恒有 成立.3切線

3、拋物線與函數(shù)有緣有關(guān)拋物線的許多試題，又與它的切線有關(guān).理解并掌握拋物線的切線方程，是解題者不可或缺的根本功.【例3】證明：過拋物線 上一點Mx0，y0的切線方程是：y0y=px+x0【證明】對方程 兩邊取導(dǎo)數(shù)：.由點斜式方程：y0y=px+x04定點與定值拋物線埋在深處的寶藏拋物線中存在許多不不易發(fā)現(xiàn)，卻容易為人忽略的定點和定值.掌握它們，在解題中常會有意想不到的收獲.例如：1.一動圓的圓心在拋物線 上，且動圓恒與直線 相切，那么此動圓必過定點 顯然.此題是例1的翻版，該圓必過拋物線的焦點，選B.2.拋物線 的通徑長為2p;3.設(shè)拋物線 過焦點的弦兩端分別為 ，那么：以下再舉一例【例4】設(shè)拋

4、物線 的焦點弦AB在其準線上的射影是A1B1，證明：以A1B1為直徑的圓必過一定點【分析】假定這條焦點弦就是拋物線的通徑，那么A1B1=AB=2p，而A1B1與AB的間隔 為p，可知該圓必過拋物線的焦點.由此我們猜測：一切這樣的圓都過拋物線的焦點.以下我們對AB的一般情形給于證明.【證明】如圖設(shè)焦點兩端分別為 ，那么：設(shè)拋物線的準線交x軸于C，那么這就說明：以A1B1為直徑的圓必過該拋物線的焦點. 通法 特法 妙法1解析法為對稱問題解困排難解析幾何是用代數(shù)的方法去研究幾何，所以它能解決純幾何方法不易解決的幾何問題如對稱問題等.【例5】07.四川文科卷.10題拋物線y=-x2+3上存在關(guān)于直線x

5、+y=0對稱的相異兩點A、B，那么|AB|等于 A.3 B.4 C.3 D.4【分析】直線AB必與直線x+y=0垂直，且線段AB的中點必在直線x+y=0上，因得解法如下.【解析】點A、B關(guān)于直線x+y=0對稱，設(shè)直線AB的方程為： . 由設(shè)方程1之兩根為x1，x2，那么 .設(shè)AB的中點為Mx0，y0，那么 .代入x+y=0：y0= .故有 .從而 .直線AB的方程為： .方程1成為： .解得：，從而 ，故得：A-2，-1，B1，2. ，選C.2幾何法為解析法添彩揚威雖然解析法使幾何學(xué)得到長足的開展，但伴之而來的卻是難以防止的繁雜計算，這又使得許多考生對解析幾何習(xí)題望而生畏.針對這種現(xiàn)狀，人們研

6、究出多種使計算量大幅度減少的優(yōu)秀方法，其中最有成效的就是幾何法.【例6】07.全國1卷.11題拋物線 的焦點為 ，準線為 ，經(jīng)過 且斜率為 的直線與拋物線在 軸上方的部分相交于點 ， ，垂足為 ，那么 的面積 A. B. C. D.【解析】如圖直線AF的斜率為 時AFX=60.AFK為正三角形.設(shè)準線 交x軸于M，那么且KFM=60， .選C.【評注】1平面幾何知識：邊長為a的正三角形的面積用公式 計算.2此題假如用解析法，需先列方程組求點A的坐標，再計算正三角形的邊長和面積.雖不是很難，但決沒有如上的幾何法簡單.3定義法追本求真的簡單一著許多解析幾何習(xí)題咋看起來很難.但假如返樸歸真，用最原始

7、的定義去做，反而特別簡單.【例7】07.湖北卷.7題雙曲線的左準線為 ，左焦點和右焦點分別為 和 ;拋物線 的線為 ，焦點為 與 的一個交點為 ，那么 等于 A. B. C. D.【分析】 這道題假如用解析法去做，計算會特別繁雜，而平面幾何知識又一時用不上，那么就從最原始的定義方面去尋找出路吧.如圖，我們先做必要的準備工作：設(shè)雙曲線的半焦距c，離心率為e，作 ，令.點M在拋物線上，這就是說： 的本質(zhì)是離心率e.其次， 與離心率e有什么關(guān)系?注意到：這樣，最后的答案就自然浮出水面了：由于 .選 A.4三角法本身也是一種解析三角學(xué)蘊藏著豐富的解題資源.利用三角手段，可以比較容易地將異名異角的三角函

8、數(shù)轉(zhuǎn)化為同名同角的三角函數(shù)，然后根據(jù)各種三角關(guān)系施行九九歸一到達解題目的.因此，在解析幾何解題中，恰當?shù)匾肴琴Y源，?？梢詳[脫困境，簡化計算.【例8】07.重慶文科.21題如圖，傾斜角為a的直線經(jīng)過拋物線 的焦點F，且與拋物線交于A、B兩點。求拋物線的焦點F的坐標及準線l的方程;假設(shè)a為銳角，作線段AB的垂直平分線m交x軸于點P，證明|FP|-|FP|cos2a為定值，并求此定值?！窘馕觥拷裹cF2，0，準線 .直線AB：代入1，整理得：設(shè)方程2之二根為y1，y2，那么 .設(shè)AB中點為AB的垂直平分線方程是： .令y=0，那么故于是|FP|-|FP|cos2a= ，故為定值.5消去法合理減負的

9、常用方法.防止解析幾何中的繁雜運算，是革新、創(chuàng)新的永久課題.其中最值得推薦的優(yōu)秀方法之一便是設(shè)而不求，它類似兵法上所說的不戰(zhàn)而屈人之兵.【例9】 是否存在同時滿足以下兩條件的直線 ：1 與拋物線 有兩個不同的交點A和B;2線段AB被直線 ：x+5y-5=0垂直平分.假設(shè)不存在，說明理由，假設(shè)存在，求出直線 的方程.【解析】假定在拋物線 上存在這樣的兩點線段AB被直線 ：x+5y-5=0垂直平分，且設(shè)線段AB的中點為 .代入x+5y-5=0得x=1.于是：AB中點為 .故存在符合題設(shè)條件的直線，其方程為：6探究法奔向數(shù)學(xué)方法的高深層次有一些解析幾何習(xí)題，初看起來好似樹高蔭深，叫樵夫難以下手.這時

10、就得冷靜分析，探究規(guī)律，不斷地猜測證明再猜測再證明.終于發(fā)現(xiàn)無限風(fēng)光在險峰.【例10】07.安徽卷.14題如圖，拋物線y=-x2+1與x軸的正半軸交于點A，將線段OA的n等分點從左至右依次記為P1,P2,Pn-1,過這些分點分別作x軸的垂線，與拋物線的交點依次為Q1，Q2，Qn-1，從而得到n-1個直角三角形Q1OP1, Q2P1P2, Qn-1Pn-1Pn-1,當n時，這些三角形的面積之和的極限為 .【解析】設(shè)OA上第k個分點為第k個三角形的面積為：故這些三角形的面積之和的極限拋物線定義的妙用對于拋物線有關(guān)問題的求解，假設(shè)能巧妙地應(yīng)用定義考慮，常能化繁為簡，優(yōu)化解題思路，進步思維才能?，F(xiàn)舉例

11、說明如下。一、求軌跡或方程例1. 動點M的坐標滿足方程 ，那么動點M的軌跡是 A. 橢圓 B. 雙曲線 C. 拋物線 D. 以上都不對解：由題意得：即動點 到直線 的間隔 等于它到原點0，0的間隔 由拋物線定義可知：動點M的軌跡是以原點0，0為焦點，以直線 為準線的拋物線。應(yīng)選C。二、求參數(shù)的值例2. 拋物線的頂點在原點，焦點在y軸上，拋物線上一點 到焦點間隔 為5，求m的值。解：設(shè)拋物線方程為 ，準線方程：點M到焦點間隔 與到準線間隔 相等解得：拋物線方程為把 代入得：三、求角例3. 過拋物線焦點F的直線與拋物線交于A、B兩點，假設(shè)A、B在拋物線準線上的射影分別為 ，那么 _。A. 45 B

12、. 60 C. 90 D. 120圖1解：如圖1，由拋物線的定義知：那么由題意知：即應(yīng)選C。四、求三角形面積例4. 設(shè)O為拋物線的頂點，F(xiàn)為拋物線的焦點且PQ為過焦點的弦，假設(shè) ， 。求OPQ的面積。解析：如圖2，不妨設(shè)拋物線方程為 ，點 、點圖2那么由拋物線定義知：又 ，那么由 得：即五、求最值例5. 設(shè)P是拋物線 上的一個動點。1求點P到點A-1，1的間隔 與點P到直線 的間隔 之和的最小值;2假設(shè)B3，2，求 的最小值。解：1如圖3，易知拋物線的焦點為F1，0，準線是由拋物線的定義知：點P到直線 的間隔 等于點P到焦點F的間隔 。于是，問題轉(zhuǎn)化為：在曲線上求一點P，使點P到點A-1，1的

13、間隔 與點P到F1，0的間隔 之和最小。顯然，連結(jié)AF交曲線于P點，那么所求最小值為 ，即為 。圖32如圖4，自點B作BQ垂直準線于Q交拋物線于點 ，那么六、證明例6. 求證：以拋物線 過焦點的弦為直徑的圓，必與此拋物線的準線相切。證明：如圖5，設(shè)拋物線的準線為 ，過A、B兩點分別作AC、BD垂直于 ，垂足分別為C、D。取線段AB中點M，作MH垂直 于H。圖5由拋物線的定義有：ABDC是直角梯形即 為圓的半徑，而準線過半徑MH的外端且與半徑垂直，故此題得證。拋物線與面積問題拋物線與面積相結(jié)合的題目是近年來中考數(shù)學(xué)中常見的問題。解答此類問題時，要充分利用拋物線和面積的有關(guān)知識，重點把握相交坐標點

14、的位置及坐標點之間的間隔 ，得出相應(yīng)的線段長或高，從而求解。例1. 如圖1，二次函數(shù) 的圖像與x軸交于A、B兩點，其中A點坐標為-1，0。點C0，5、點D1，8在拋物線上，M為拋物線的頂點。圖11求拋物線的解析式;2求MCB的面積。解：1設(shè)拋物線的解析式為，根據(jù)題意得，解得所求的拋物線的解析式為2C點坐標為0，5，OC=5令 ，那么 ，解得B點坐標為5，0，OB=5頂點M的坐標為2，9過點M作MNAB于點N，那么ON=2，MN=9例2. 如圖2，面積為18的等腰直角三角形OAB的一條直角邊OA在x軸上，二次函數(shù) 的圖像過原點、A點和斜邊OB的中點M。圖21求出這個二次函數(shù)的解析式和對稱軸。2在

15、坐標軸上是否存一點P，使PMA中PA=PM，假如存在，寫出P點的坐標，假如不存在，說明理由。解：1等腰直角OAB的面積為18，OA=OB=6M是斜邊OB的中點，點A的坐標為6，0點M的坐標為3，3拋物線，解得解析式為 ，對稱軸為2答：在x軸、y軸上都存在點P，使PAM中PA=PM。P點在x軸上，且滿足PA=PM時，點P坐標為3，0。P點在y軸上，且滿足PA=PM時，點P坐標為0，-3。例3. 二次函數(shù) 的圖像一部分如圖3，它的頂點M在第二象限，且經(jīng)過點A1，0和點B0，1。圖31請判斷實數(shù)a的取值范圍，并說明理由。2設(shè)此二次函數(shù)的圖像與x軸的另一個交點為c，當AMC的面積為ABC面積的 倍時，

16、求a的值。解：1由圖象可知： ;圖象過點0，1，所以c=1;圖象過點1，0，那么 ;當 時，應(yīng)有 ，那么當 代入得 ，即所以，實數(shù)a的取值范圍為 。2此時函數(shù) ，要使可求得 。例4. 如圖4，在同一直角坐標系內(nèi)，假如x軸與一次函數(shù) 的圖象以及分別過C1，0、D4，0兩點且平行于y軸的兩條直線所圍成的圖形ABDC的面積為7。圖41求K的值;2求過F、C、D三點的拋物線的解析式;3線段CD上的一個動點P從點D出發(fā)，以1單位/秒的速度沿DC的方向挪動點P不重合于點C，過P點作直線PQCD交EF于Q。當P從點D出發(fā)t秒后，求四邊形PQFC的面積S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并確定t的取值范圍。解：1點A、B

17、在一次函數(shù) 的圖象上，且四邊形ABDC的面積為72由F0，4，C1，0，D4，0得3PD=1t=tOP=4-t即 。拋物線1拋物線D：y2=4x的焦點與橢圓Q： 的右焦點F1重合，且點 在橢圓Q上。求橢圓Q的方程及其離心率;假設(shè)傾斜角為45的直線l過橢圓Q的左焦點F2，且與橢圓相交于A，B兩點，求ABF1的面積。解：由題意知，拋物線 的焦點為1，0橢圓Q的右焦點F1的坐標為1，0。 又點 在橢圓Q上， 即 由，解得 橢圓Q的方程為 離心離由知F2-1，0直線l的方程為 設(shè)由方程組 消y整理，得又點F1到直線l的間隔 2如下圖，拋物線y2=4x的頂點為O，點A的坐標為5，0，傾斜角為 的直線l與

18、線段OA相交不經(jīng)過點O或點A且交拋物線于M、N兩點，求AMN面積最大時直線l的方程，并求AMN的最大面積解法一 由題意，可設(shè)l的方程為y=x+m,其中-5-4x+m2=0 直線l與拋物線有兩個不同交點M、N，方程的判別式=2m-42-4m2=161-m0,解得m1,又-5設(shè)Mx1,y1,Nx2,y2那么x1+x2=4-2m，x1x2=m2,|MN|=4 點A到直線l的間隔 為d=S=25+m ,從而S2=41-m5+m2=22-2m5+m5+m2 3=128S8 ,當且僅當2-2m=5+m,即m=-1時取等號 故直線l的方程為y=x-1，AMN的最大面積為8解法二 由題意，可設(shè)l與x軸相交于B

19、m,0, l的方程為x = y +m,其中0由方程組 ,消去x,得y 2-4 y -4m=0 直線l與拋物線有兩個不同交點M、N，方程的判別式=-42+16m=161+m0必成立,設(shè)Mx1,y1,Nx2,y2那么y 1+ y 2=4，y 1y 2=-4m,S= =4 =4S8 ,當且僅當 即m=1時取等號故直線l的方程為y=x-1，AMN的最大面積為83O為坐標原點，P 為 軸上一動點，過P作直線交拋物線 于A、B兩點，設(shè)SAOB= ，試問： 為何值時，t獲得最小值，并求出最小值。解：交AB與 軸不重疊時，設(shè)AB的方程為合 消y可得：設(shè)A B 那么 ， 交AB與x軸重疊時，上述結(jié)論仍然成立又當

20、 時 取=， 綜上 當要練說，得練聽。聽是說的前提，聽得準確，才有條件正確模擬，才能不斷地掌握高一級程度的語言。我在教學(xué)中，注意聽說結(jié)合，訓(xùn)練幼兒聽的才能，課堂上，我特別重視老師的語言，我對幼兒說話，注意聲音清楚，上下起伏，抑揚有致，富有吸引力，這樣能引起幼兒的注意。當我發(fā)現(xiàn)有的幼兒不專心聽別人發(fā)言時，就隨時表揚那些靜聽的幼兒，或是讓他重復(fù)別人說過的內(nèi)容，抓住教育時機，要求他們專心聽，用心記。平時我還通過各種興趣活動，培養(yǎng)幼兒邊聽邊記，邊聽邊想，邊聽邊說的才能，如聽詞對詞，聽詞句說意思，聽句子辯正誤，聽故事講述故事，聽謎語猜謎底，聽智力故事，動腦筋，出主意，聽兒歌上句，接兒歌下句等，這樣幼兒學(xué)得生動活潑，輕松愉快，既訓(xùn)練了聽的才能，強化了記憶，又開展了思維，為說打下了根底。要練說，先練膽。說話膽小是幼兒語言開展的障礙。不少幼兒當眾說話時顯得害怕：有的結(jié)巴重復(fù)，面紅耳赤；有的聲音極低，自講自聽；有的低頭不語，扯衣服，扭身子。總之，說話時外部表現(xiàn)不自然。我抓住練膽這個關(guān)鍵，面向全體，偏向差生。一是和幼兒建立和諧的語言交流關(guān)系。每當和幼兒講話時，我總是笑臉相迎，聲音親切，動作親昵，消除幼兒畏懼心理，讓他能主動的、