[PPT]結(jié)構(gòu)力學(xué)之矩陣位移法講義

1、6.3 矩陣位移法解平面剛架 一.離散化將結(jié)構(gòu)離散成單元的分割點(diǎn)稱作結(jié)點(diǎn).634512135642結(jié)點(diǎn)的選擇:轉(zhuǎn)折點(diǎn)、匯交點(diǎn)、支承點(diǎn)、 剛度變化、荷載作用點(diǎn)等整體編碼：?jiǎn)卧幋a、結(jié)點(diǎn)編碼、 結(jié)點(diǎn)位移編碼。（1,2,3）（4,5,6）（7,8,9）（10,11,12）（13,14,15）（16,17,18）坐標(biāo)系:整體(結(jié)構(gòu))坐標(biāo)系;XY局部(單元)坐標(biāo)系.曲桿結(jié)構(gòu):以直代曲.變截面桿結(jié)構(gòu):以等截面桿 代變截面桿 二.單元分析 建立單元桿端力和單元桿端位移的關(guān)系. 單元桿 端力單元分析的目的: 單元桿 端位移 單元桿端力和單元桿端位移的方向與局部坐標(biāo)系一致為正.e12 二.單元分析 則有:e12

2、若令:e12 二.單元分析 則有:e12若令:e12e12 二.單元分析 則有:若令:e12練習(xí): 試求單剛第 三列元素.e12 二.單元分析 則有:若令:e12練習(xí): 試求單剛第 三列元素.e12 二.單元分析單剛的性質(zhì):1.對(duì)稱矩陣2.奇異矩陣單剛的分塊矩陣表示: 二.單元分析單剛的性質(zhì):1.對(duì)稱矩陣2.奇異矩陣單剛的分塊矩陣表示: 三.坐標(biāo)轉(zhuǎn)換1.問(wèn)題的提出2.整體坐標(biāo)系下的桿端力與 局部坐標(biāo)系下的桿端力之 間的關(guān)系局部坐標(biāo)系下的桿端力整體坐標(biāo)系下的桿端力e122.整體坐標(biāo)系下的桿端力與 局部坐標(biāo)系下的桿端力之 間的關(guān)系e12簡(jiǎn)記為:其中單元 的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣e2.整體坐標(biāo)系下的桿端力與

3、局部坐標(biāo)系下的桿端力之 間的關(guān)系e12其中單元 的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣e可直接驗(yàn)證坐標(biāo)轉(zhuǎn)煥矩陣是一個(gè)正交矩陣.即對(duì)于桿端位移有相同的關(guān)系:3.整體坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃?整體坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠确匠唐渲?整體坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃?整體單剛)4.整體單剛的計(jì)算4.整體單剛的計(jì)算21已知:求:各單元整體單剛解:4.整體單剛的計(jì)算21已知:求:各單元整體單剛解:4.整體單剛的計(jì)算21解:利用物理意義求:令: 則有:2作業(yè):用此方法求2單元整體單剛其它元素. 四.整體分析(后處理法)1.結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系2(4,5,6)1(1,2,3) 3(7,8,9)12 結(jié)點(diǎn)力 結(jié)點(diǎn)位移2(4,5,6)1(1,2,3

4、) 3(7,8,9)12由結(jié)點(diǎn)1平衡條件: 四.整體分析(后處理法)1.結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系由變形協(xié)調(diào)條件,有122(4,5,6)1(1,2,3) 3(7,8,9)1212 四.整體分析(后處理法)1.結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系由變形協(xié)調(diào)條件,有由結(jié)點(diǎn)1平衡條件:由結(jié)點(diǎn)2平衡條件:2(4,5,6)1(1,2,3) 3(7,8,9)1212 四.整體分析(后處理法)1.結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系由變形協(xié)調(diào)條件,有由結(jié)點(diǎn)1平衡條件:由結(jié)點(diǎn)2平衡條件:由結(jié)點(diǎn)3平衡條件: 四.整體分析(后處理法)1.結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系由變形協(xié)調(diào)條件,有由結(jié)點(diǎn)1平衡條件:由結(jié)點(diǎn)2平衡條件:由結(jié)點(diǎn)3平衡條件:-結(jié)構(gòu)原始剛度

5、矩陣 四.整體分析(后處理法)1.結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系-結(jié)構(gòu)原始剛度矩陣2.結(jié)構(gòu)原始總剛的形成采用“對(duì)號(hào)入座”的方法2(4,5,6)1(1,2,3) 3(7,8,9)12 四.整體分析(后處理法)1.結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系2.結(jié)構(gòu)原始總剛的形成2(4,5,6)1(1,2,3) 3(7,8,9)123.單剛子塊在總剛中的分布規(guī)律主子塊-主對(duì)角線上的子塊.付子塊-非主對(duì)角線上的子塊.相關(guān)結(jié)點(diǎn)-有單元相連的結(jié)點(diǎn).相關(guān)單元-與結(jié)點(diǎn)相連的單元稱為 該結(jié)點(diǎn)的相關(guān)單元.規(guī)律:(1)若i,j為相關(guān)結(jié)點(diǎn), 為連接 i,j結(jié)點(diǎn)的單元單剛的相應(yīng)付 子塊;若不是相關(guān)結(jié)點(diǎn),(2)主子塊 為 i 結(jié)點(diǎn)的相關(guān)單 元單剛主

6、子塊之和. 四.整體分析(后處理法)1.結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系2.結(jié)構(gòu)原始總剛的形成2(4,5,6)1(1,2,3) 3(7,8,9)123.單剛子塊在總剛中的分布規(guī)律4.總剛中元素的物理意義 則有: 若令:練習(xí):求總剛中第四列元素2(4,5,6)1(1,2,3) 3(7,8,9)12 則有: 若令: 四.整體分析(后處理法)1.結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系2.結(jié)構(gòu)原始總剛的形成3.單剛子塊在總剛中的分布規(guī)律4.總剛中元素的物理意義練習(xí):求總剛中第四列元素 四.整體分析(后處理法)1.結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系2.結(jié)構(gòu)原始總剛的形成3.單剛子塊在總剛中的分布規(guī)律4.總剛中元素的物理意義(1).對(duì)稱性5.

7、原始總剛的性質(zhì)(2).奇異性(3).稀疏性 四.整體分析(后處理法)1.結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系2.結(jié)構(gòu)原始總剛的形成3.單剛子塊在總剛中的分布規(guī)律4.總剛中元素的物理意義5.原始總剛的性質(zhì)6.總剛的半帶存貯634512135642（1,2,3）（4,5,6）（7,8,9）（13,14,15）（10,11,12）（16,17,18） 作業(yè):求圖示結(jié)構(gòu)總剛度矩陣中元素1342（1,2,3）（4,5,6）（7,8,9）（10,11,12）EI、EA為常數(shù)，各桿長(zhǎng)度相同。 六.非結(jié)點(diǎn)荷載處理-單元固端力-單元等效結(jié)點(diǎn)荷載e 例.計(jì)算圖示結(jié)構(gòu)的等效結(jié)點(diǎn)荷載2(4,5,6)1(1,2,3) 3(7,8,9

8、)12 例.計(jì)算圖示結(jié)構(gòu)的等效結(jié)點(diǎn)荷載12(4,5,6)1(1,2,3) 3(7,8,9)12 例.計(jì)算圖示結(jié)構(gòu)的等效結(jié)點(diǎn)荷載2(4,5,6)1(1,2,3) 3(7,8,9)122 例.計(jì)算圖示結(jié)構(gòu)的等效結(jié)點(diǎn)荷載2(4,5,6)1(1,2,3) 3(7,8,9)12 例.計(jì)算圖示結(jié)構(gòu)的等效結(jié)點(diǎn)荷載2(4,5,6)1(1,2,3) 3(7,8,9)12按物理意義求解:1.劃分單元、編碼；2.形成結(jié)構(gòu)原始總剛；3.形成綜合結(jié)點(diǎn)荷載；4.引入邊界條件；5.解方程；6.求桿端力。 七.桿端力計(jì)算 八.計(jì)算步驟及程序流程程序流程開(kāi)始輸入初始數(shù)據(jù)形成原始總剛形成綜合結(jié)點(diǎn)荷載邊界處理解方程求桿端力并輸出結(jié)

9、束 九.先處理法2(4,5,6)1(1,2,3) 3(7,8,9)1231231(0,0,1)2(0,2,3) 3(0,0,0)4(4,5,6) 后處理法先處理法總剛的形成:4(10,11,13) 九.先處理法1231(0,0,1)2(0,2,3) 3(0,0,0)4(4,5,6) -單元定位向量 九.先處理法-2單元定位向量1231(0,0,1)2(0,2,3) 3(0,0,0)4(4,5,6) 九.先處理法1231(0,0,1)2(0,2,3) 3(0,0,0)4(4,5,6) 十.不計(jì)軸變剛架的計(jì)算634512135642（0,0,0）（0,0,0）（1,2,3）（7,8,9）（4,5,

10、6）（10,11,12）計(jì)軸變時(shí)的結(jié)點(diǎn)位移編碼634512135642（0,0,0）（0,0,0）（1,0,2）（4,0,5）（1,0,3）（4,0,6）不計(jì)軸變時(shí)的結(jié)點(diǎn)位移編碼梁?jiǎn)卧膯蝿俥12梁?jiǎn)卧膯蝿俥12柱單元的單剛局部單剛與梁相同.e1111 例.不計(jì)軸變,作彎矩圖已知:各桿長(zhǎng)均為12m,線剛度均為121(0,0,0)2(0,0,0) 3(1,0,2)4(1,0,3) 123解: 例.不計(jì)軸變,作彎矩圖已知:各桿長(zhǎng)均為12m,線剛度均為121(0,0,0)2(0,0,0) 3(1,0,2)4(1,0,3) 123解:1(0,0,0)2(0,0,0) 3(1,0,2)4(1,0,3)

11、 123 例.不計(jì)軸變,作彎矩圖已知:各桿長(zhǎng)均為12m,線剛度均為12解:1(0,0,0)2(0,0,0) 3(1,0,2)4(1,0,3) 123利用總剛元素物理意義求總剛:同理可求:1(0,0,0)2(0,0,0) 3(1,0,2)4(1,0,3) 123已知:各桿長(zhǎng)均為12m,線剛度均為121(0,0,0)2(0,0,0) 3(1,0,2)4(1,0,3) 1231(0,0,0)2(0,0,0) 3(1,0,2)4(1,0,3) 123等效結(jié)點(diǎn)荷載的另一求法:各桿長(zhǎng)均為12m,線剛度均為121(0,0,0)2(0,0,0) 3(1,0,2)4(1,0,3) 123解方程求桿端力1(0,0

12、,0)2(0,0,0) 3(1,0,2)4(1,0,3) 1231(0,0,0)2(0,0,0) 3(1,0,2)4(1,0,3) 123202.8567.1387.14122.86M52.5022.5012.8617.5Q 對(duì)于圖98a所示的連續(xù)梁，位移法基本體系如圖98b所示。 圖98 位移法的基本未知量為節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角 他們可指定為任意值，在基本體系中用控制附加約束加以指定。他們組成整體結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)位移向量 ：（ ）T 與 對(duì)應(yīng)的力是附加約束的力偶 它們組成整體結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)力向量F 94連續(xù)梁的整體剛度矩陣 在傳統(tǒng)作法中，分別考慮每個(gè)結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角 獨(dú)自引起的節(jié)點(diǎn)力偶，如圖99a bc所示。圖99 疊加

13、得結(jié)點(diǎn)力偶 ；如下（922） 記為：（924）（923）式（922）或(923)稱為整體剛度方程，K稱為整體剛度矩陣。1.單元集成法的力學(xué)模型和基本概念 傳統(tǒng)位移法求結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)F時(shí)，分別考慮每個(gè)結(jié)點(diǎn)位移對(duì)F的單獨(dú)貢獻(xiàn)（采用圖99中的力學(xué)模型），然后進(jìn)行疊加。 單元集成法求F時(shí)，分別考慮每個(gè)單元對(duì)F的單獨(dú)貢獻(xiàn)，然后進(jìn)行疊加其特點(diǎn)就是“由單元直接集成”。 首先，考慮單元的貢獻(xiàn)，力學(xué)模型見(jiàn)圖910。整個(gè)結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)力是由單元單獨(dú)產(chǎn)生的，記為 F=(F1 F2 F3)T圖910F1表示單元對(duì)結(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn)力F的貢獻(xiàn)。F1和F2可由單元的單元?jiǎng)偠染仃噆算出。已知F30 （a）k （925）得： （b）由（a）和

14、（b）得：（926）記為FK （927）=其中 K （928）K表示單元對(duì)剛度矩陣提供的貢獻(xiàn)，稱為單元的貢獻(xiàn)矩陣。其次，考慮單元的貢獻(xiàn)。力學(xué)模型見(jiàn)圖911所示。 圖911已知 k （929）故得 記為F=K （930）（931）其中 K （932）K稱為單元的貢獻(xiàn)矩陣。 將式（927）和式（931）疊加，得： F=F+F=(k+k) （933）由此得出整體剛度矩陣K為K=K+K= （934）單元集成法求整體剛度矩陣的步驟可表示為 其中： 為單元?jiǎng)偠染仃嚕?單元貢獻(xiàn)矩陣，K為整體剛度矩陣2.按照單元定位向量由 求 注意以下3點(diǎn)： 1)結(jié)點(diǎn)位移（或結(jié)點(diǎn)力）有兩種編碼：在整體分析中，結(jié)點(diǎn)位移在結(jié)構(gòu)中

15、統(tǒng)一進(jìn)行編碼，稱為總碼。在單元分析中，每個(gè)單元的兩個(gè)結(jié)點(diǎn)位移各自編碼為（1）和（2），稱為局部編碼。（見(jiàn)下圖912） （a）（b）圖9122)注意每個(gè)單元的結(jié)點(diǎn)位移分量?jī)煞N編碼之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，具體見(jiàn)下表： 單元對(duì)應(yīng)關(guān)系單元定位向量局部碼總碼（1）1（2）2（1）2（2）33)注意單元?jiǎng)偠染仃?和單元貢獻(xiàn)矩陣 中元素的排列方式,見(jiàn)下表 在單元?jiǎng)偠?矩陣 中在單元貢獻(xiàn)矩陣 中 換碼元素的原行碼(i)原列碼（j）換成新行碼新列碼（i） （j） 重排座原排在(i)行（j）的元素改在 行 列單元單元?jiǎng)偠染仃噯卧ㄎ幌蛄繂卧暙I(xiàn)矩陣（1）（2）（1）4i1 2i1（2）2i1 4i1 (1) (2) 1

16、2 3（1）1 4i1 2i1 0（2）2 2i1 4i1 0 3 0 0 0（1）（2）（1）4i2 2i2（2）2i2 4i2 (1) (2) 1 2 3 1 0 0 0（1） 2 0 4i2 2i2（2）3 0 2i2 4i2總之，由 求 的問(wèn)題實(shí)質(zhì)上就是 中的元素在 中如何定位的問(wèn)題。定位規(guī)則是： （936）參見(jiàn)下表: 3.單元集成法的實(shí)施方案 單元集成法形成K的過(guò)程： 1)先將K置零，這時(shí)K=0 2)將k的元素在K中按定位 并進(jìn)行累加，這時(shí)，K=K 3)將k的元素在K中按定位 并進(jìn)行累加，這時(shí)，K=K+K按此作法對(duì)所有單元循環(huán)一遍，最后得到現(xiàn)以圖98a所示連續(xù)梁為例，說(shuō)明上過(guò)程： 將

17、k集成后，得到： 在此基礎(chǔ)上將k集成得最終結(jié)果： 例92 試求圖913a所示連續(xù)梁得整體剛度矩陣K 解 （1）結(jié)點(diǎn)位移分量總碼（見(jiàn)圖913a）圖913（2）各單元得定位向量 （3）單元集成過(guò)程 單元單元?jiǎng)偠染仃嚢磫卧ㄎ幌蛄繐Q碼 集成過(guò)程中得階段結(jié)果 （1）（2）（1）4i1 2i1（2）2i1 4i1（1）1（2）2 1 2 3（1）1 4i1 2i1 0（2）2 2i1 4i1 0 3 0 0 0 （1）（2）（1）4i2 2i2（2）2i2 4i2(1)2(2)3 1 2 3（1）1 4i1 2i1 0（2）2 2i1 4i1+(4i2) 2i2 3 0 2i2 4i2 （1）（2）（1

18、）4i3 2i3 （ 2）2i3 4i3(1)3(2)0(2)0 1 2 3（1）1 4i1 2i1 0（2）2 2i1 4i1+(4i2) 2i2 3 0 2i2 4i2+4i 4.整體剛度矩陣的性質(zhì) （1）整體剛度系數(shù)的意義 K中的元素 稱為整體剛度系數(shù)。它表示當(dāng)?shù)趈個(gè)結(jié)點(diǎn)位移分量 （其他結(jié)點(diǎn)位移分量為零）時(shí)所產(chǎn)生的第i個(gè)結(jié)點(diǎn)力(2)K是對(duì)稱矩陣 (3)按本節(jié)方法計(jì)算連續(xù)梁時(shí)，K時(shí)可逆矩陣。圖98a所示為下圖914為例的反問(wèn)題力學(xué)模型。當(dāng)F為指定值時(shí)，均可得 的唯一解，故 是存在的。圖914對(duì)下圖915，可導(dǎo)出其整體剛度矩陣： 圖915（937）（4）K是稀疏矩陣和帶狀矩陣。 思考題 (1

19、).連續(xù)梁的總剛為何應(yīng)是一個(gè)三對(duì)角矩陣? (2).連續(xù)梁?jiǎn)蝿偤涂倓偸瞧娈愡€是非奇異矩陣?為什么？ 5.計(jì)算桿端力計(jì)算結(jié)點(diǎn)位移計(jì)算桿端力例: 計(jì)算圖示梁,作彎矩圖解: 1.離散化12123(1)(2)(3)2.計(jì)算總剛,總荷3.解方程,求位移4.求桿端力67/21/23M作業(yè):1.作圖示結(jié)構(gòu)彎矩圖2.計(jì)算圖示梁總剛中元素l2l3l2llEI2EI3EI4EI5EI3.思考題：荷載不作用于結(jié)點(diǎn)上時(shí)怎么辦?6.5 矩陣位移法解平面桁架 一.離散化XY6345121(1,2)2(3,4)3(5,6)4(7,8)5(7,8)6(9,10)7(11,12)8(13,14)9(15,16)10(17,18)

20、7891011121314151617 二.局部坐標(biāo)系下單元?jiǎng)偠确匠?二.局部坐標(biāo)系下單元?jiǎng)偠确匠蘣12局部坐標(biāo)系單元?jiǎng)偠确匠叹植繂蝿?三.整體坐標(biāo)系下單元?jiǎng)偠确匠?整體部坐標(biāo)系單元?jiǎng)偠确匠?整體單剛e 四.整體分析-整體單剛整體分析及求桿端力與剛架類(lèi)似.例:矩陣位移法求圖示桁架各桿軸力.4m3m已知:EA=6 0 , P=100解:3121(0,0)2(0,0)3(0,0)4(1,2)-整體單剛4m3m3121(0,0)2(0,0)3(0,0)4(1,2)-整體單剛4m3m3121(0,0)2(0,0)3(0,0)4(1,2)4m3m3121(0,0)2(0,0)3(0,0)4(1,2)4m

21、3m3121(0,0)2(0,0)3(0,0)4(1,2)(壓力)(拉力)(拉力) 五.組合結(jié)構(gòu)的計(jì)算采用兩種單元,其它過(guò)程與前類(lèi)似.例:矩陣位移法求圖示桁架各桿軸力.已知:EA=6 0 , P=100解:1111231(0,0)2(0,0,0)3(1,2,3)4(0,0,0) 五.組合結(jié)構(gòu)的計(jì)算采用兩種單元,其它過(guò)程與前類(lèi)似.例:矩陣位移法求圖示桁架各桿軸力.已知:EA=6 0 , P=100解:1111231(0,0)2(0,0,0)3(1,2,3)4(0,0,0) 五.組合結(jié)構(gòu)的計(jì)算采用兩種單元,其它過(guò)程與前類(lèi)似.例:矩陣位移法求圖示桁架各桿軸力.已知:EA=6 0 , P=100解:1

22、111231(0,0)2(0,0,0)3(1,2,3)4(0,0,0)1111231(0,0)2(0,0,0)3(1,2,3)4(0,0,0)桿端力計(jì)算與前相同1111231(0,0)2(0,0,0)3(1,2,3)4(0,0,0)桿端力計(jì)算與前相同123作業(yè):1.對(duì)圖示結(jié)構(gòu)作結(jié)點(diǎn)位移編碼(先處理),并寫(xiě)出各單元的單元定位向量.451245362. 215頁(yè) 6-2練l/2l/2CQMNMPMiM1MPZ2=1Z1=1 矩陣位移法習(xí)題討論 一.離散化1.不計(jì)軸變時(shí)先處理法的結(jié)點(diǎn)位移編碼XY1234(0,0,1)(0,2,3)(0,2,4)(0,0,0)2. 計(jì)軸變時(shí)先處理法的 結(jié)點(diǎn)位移編碼12

23、345(0,0,1)(2,3,4)(5,6,7)(0,8,0)(9,0,10) 二. 單元分析1.單元?jiǎng)偠确匠瘫硎臼裁戳恐g的關(guān)系方程?2.單元?jiǎng)偠染仃?自由式單元)是什么樣的矩陣?3.單剛元素 的物理意義是什么?4.坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣是一個(gè)什么樣的矩陣?5.局部坐標(biāo)系下的桿端位移與整體坐標(biāo)下的有何關(guān)系?6.單元?jiǎng)偠染仃嚲瞧娈惥仃噯?7.試寫(xiě)出自由式單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣. 二. 單元分析8.求圖示結(jié)構(gòu)2單元的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣中的元素12aaa 二. 單元分析9.試寫(xiě)出桁架單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣中的第二行元素.ee 三. 整體分析1.結(jié)構(gòu)剛度方程 是整體結(jié)構(gòu)所應(yīng)滿足的變形 協(xié)調(diào)條件嗎?2.總剛元素 的物理意義是什

24、么?3.試寫(xiě)出圖示剛架2單元的單元定位向量.XY1(1,0,2)2(0,3,4)3(5,6,7)4(0,0,0)2131(1,2,3)2(4,5,6)3(7,8,9)4(10,11,12)2134.圖示結(jié)構(gòu)2單元的整體單剛元素 應(yīng)放在總剛的什么位置? 三. 整體分析1(1,2,3)2(4,5,6)3(7,8,9)4(10,11,12)2134.圖示結(jié)構(gòu)2單元的整體單剛元素 應(yīng)放在總剛的什么位置?第5行第6列1(1,2)2(3,4)3(5,6)4(7,8)llXY 三. 整體分析5.試求總剛元素 EA=常數(shù)6.先處理法求圖示結(jié)構(gòu)總剛 (不計(jì)軸變)EIEIEIlll 三. 整體分析6.先處理法求圖示結(jié)構(gòu)總剛 (不計(jì)軸變)EIEIEIlll1(0,0,0)2(0,0,0)3(0,0,0)4(1,0,0)5(