自動(dòng)控制理論第四版課后習(xí)題詳細(xì)解答答案夏德鈐翁貽方版名師制作優(yōu)質(zhì)教學(xué)資料

1、自動(dòng)控制理論 (夏德鈴)習(xí)題答案詳解尺N zzfe弟早2-1試求圖2-T-1所示RC網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)。Ri R(a)zi=CS =1, Z2 =R2,則傳遞函數(shù)為：rRCs 1CsUo(s)z2R1R2Cs R2Ui(s) 一 z1 z2 - R1R2Cs R1R2(b)設(shè)流過Ci、C2的電流分別為I1、I2 ,根據(jù)電路圖列出電壓方程:.1Ui(s)=l1(s)+Rl1(s) + l2(s)C1S1Uo(s) l2(s)C2s并且有11c l1(S)=(R2)l2(s)聯(lián)立三式可消去I1(s)與l2(s),則傳遞函數(shù)為:Uo(s) Ui(s)CsC2sRRzCGs2 +(RG +R1C2 + R

2、Cz)s + 12-2假設(shè)圖2-T-2的運(yùn)算放大器均為理想放大器，試寫出以Ui為輸入，Uo為輸出的傳遞函(a)由運(yùn)算放大器虛短、虛斷特性可知：C- + C0 , uc=Uj -Uo,R dt dt對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換得到UZTT) = sUi(s) sUo(s)RC故傳遞函數(shù)為U0(s) RCs 1 Ui(s) - RCs TOC o 1-5 h z dUc Ui -Uc -UcUcUo 0(b)由運(yùn)放虛短、虛斷特性有: 0 5 odt R 2 R 2 R 2R1rjf1聯(lián)立兩式消去Uc得到CR du02Ui2Ri dt R2 八 u0 = 0Ri對(duì)該式進(jìn)行拉氏變換得CR22國SU。社記U0二。

3、故此傳遞函數(shù)為U0(s) _ 4Ri 5(s) - R(RCs 4)dUcUc -U0UcUiUc(c)C十+=0,且 =_dtR1 / 2R1 / 2RRi 2聯(lián)立兩式可消去Uc得到對(duì)該式進(jìn)行拉氏變換得到CR2R故此傳遞函數(shù)為CRi2RdUi 2U02ui r dtRiR22sUi(s) U(s) Ui(s) =0RiRU0(s) _ Ri(RiCs 4)Ui(s)4R2-3試求圖2-T-3中以電樞電壓Ua為輸入量，以電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)角9為輸出量的微分方程式和傳 遞函數(shù)。解：設(shè)激磁磁通, =Kfif恒定 s = CmJUa s sLaJs2LafRaJsRaf型CeCm2 二2-4 一位置隨動(dòng)系統(tǒng)

4、的原理圖如圖2-T-4所示。電動(dòng)機(jī)通過傳動(dòng)鏈帶動(dòng)負(fù)載及電位器的滑動(dòng)觸點(diǎn)一起移動(dòng)，用電位器檢測(cè)負(fù)載運(yùn)動(dòng)的位移，圖中以c表示電位器滑動(dòng)觸點(diǎn)的位置。另r表不）即為該電位器用來給定負(fù)載運(yùn)動(dòng)的位移，此電位器的滑動(dòng)觸點(diǎn)的位置（圖中以 隨動(dòng)系統(tǒng)的參考輸入。兩電位器滑動(dòng)觸點(diǎn)間的電壓差 ue即是無慣性放大器（放大系數(shù)為Ka ）解:CsRs的輸入，放大器向直流電動(dòng)機(jī) M供電，電樞電壓為u,電流為I。電動(dòng)機(jī)的角位移為 8。KACm3 一 2 一一 60 一 一 C -iLaJS3+i Laf +RaJ S2+i Raf+-CeeCmd S+KaJe2n2-5圖2-T-5所示電路中，二極管是一個(gè)非線性元件，其電流id

5、與山間的關(guān)系為U Ud、id =10上父e0。26 -1 。假 設(shè)電路中的R = 103。，靜態(tài)工作點(diǎn)u0 =2.39V ,IJ3i0 =2.19父10 Ao試求在工作點(diǎn)（U0,i。）附近id = f U）的線性化方程。解：id -2.19 10 3 = 0.084 ud -0.22-6試寫出圖2-T-6所示系統(tǒng)的微分方程，并根據(jù)力一電壓的相似量畫出相似電路。解：分別對(duì)物塊 m（、m2受力分析可列出如下方程：dv1m1一r = F(t)+k2(y2 y1)f k1y1 dtdv2、m2= k2 (y2 - y1)dydy 2代入v =、V2 = 得學(xué)&(一 I*d2 y2 m2lF叫（丫2 -

6、必）2-7圖2-T-7為插了一個(gè)溫度計(jì)的槽。槽內(nèi)溫度為4,溫度計(jì)顯示溫度為日。試求傳遞函數(shù)。（考慮溫度計(jì)有貯存熱的熱容&（s）C和限制熱流的熱阻 R）。解：根據(jù)能量守恒定律可列出如下方程：d i -C一 二-對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換得到CsG),(s)=0i(S) -0(s)則傳遞函數(shù)為C(s)R(s)(s (s) Q(s) - RCs 12-8試簡(jiǎn)化圖2-T-8所示的系統(tǒng)框圖，并求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)圖 2-T-8解：（a）化簡(jiǎn)過程如下G G2傳遞函數(shù)為C(s)G3(G G2)R(S) -1 G3G Hi)(b)化簡(jiǎn)過程如下R.Gi (G2G3 +G4)C(s)l+GiG2Hi +(G2G3+G4)(H

7、2 +GiH3)傳遞函數(shù)為C(s)二Gi(G2G3 G4)R(s) i GiG2Hi (G2G3 G4)(H2 GG3)C(s)2-9試簡(jiǎn)化圖2-T-9所示系統(tǒng)的框圖，并求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)R(s)解：化簡(jiǎn)過程如下R(s)0.7 s+0.42C(s)Z 5-；2s +(0.9+0.7k)s +(1.18+0.42k)s+0.52系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為C s 0.7s 0.42R s s30.9 0.7k s21.18 0.42k s 0.52圖 2-T-10系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為CsGG2G3G4R2（s）Rs 1 G2Hl -G1G2Hl G2G3H22 （設(shè)解：系統(tǒng)信號(hào)流程圖如圖所示。題2-11系統(tǒng)信號(hào)流

8、程圖C2 sRsCi s G1G2G3Rs -1G1G2G4-GG2G4G5H1H2G1G2G4G5G6H 21 G1G2G4 -G1G2G4G5H1H22-12求圖2-T-12所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù) C(s)R(s)解：(a)系統(tǒng)只有一個(gè)回環(huán)：Z L1 =cdh ,在節(jié)點(diǎn)R(s)和c(s)之間有四條前向通道，分別為：p = abcdef , F2=abcdi,P3 = agdef , P4 =agdi ,相應(yīng)的，有： & =A2 =& =S =1abcdef abcdi agdef agdi1 -cdhc(s) 1 .-、 Pkk =R(s)(b)系統(tǒng)共有三個(gè)回環(huán)，因此， L1 =R1clsR2

9、 c2 s R1C2s兩個(gè)互不接觸的回環(huán)只有一組，因此， z l2在節(jié)點(diǎn)R(s)和C(s)之間僅有一條前向通道:c(s)R(s) 1 - v L1 八 L2PrM =2-13確定圖2-T-13中系統(tǒng)的輸出c(s)。RC1sP1 =1R2c2slsc1 Rsc2R2RR2cle2sR1C1c2 s2,并且有2R1R2cle2s (R1G R2cl R2c2)s 1G1G2解：采用疊加原理，當(dāng)僅有 R(s)作用時(shí),G (s)R(s) 1 G2 H2 G1G2Hl當(dāng)僅有Di（s）作用時(shí),C2(s)G2D1(s)1 G2H2 G1G2Hl當(dāng)僅有D2（s）作用時(shí),C3(s)G2-D2(s)1 G2H 2

10、 G1G2Hl當(dāng)僅有D3（s）作用時(shí),C4(s)DyG1G2Hl1 G2H 2 G1G2Hl根據(jù)疊加原理得出C(s) =C1(s) C2(s) C3(s) C4 (s)=G1G2R(s) G2D1(s) -G2D2(s)-G1G2HlD3(s)1 - G2H2 G1G2HlAfV*弟二早3-1設(shè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為22R(S) S 2 ，nS、：n求此系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)誤差。 解：當(dāng)輸入為單位斜坡響應(yīng)時(shí)，有,、，一 1r(t)=t, R(s)=s12 s所以有C(s)=S分三種情況討論(1)當(dāng)G 1時(shí),S1,2 - - .2 -1 - nCt =t -2 n(2)當(dāng) 0 U 02 .(2 )

11、 Kp =lim G(s)=叫 Kv =lim sG(s) = K, Ka =lim s G(s) = 0;p s )0v s J0a s )0/c、-一2-K(3 ) K p = limG(s)=8，Kv =雪sG(s) =8, Ka = lim s G(s) =0 ; HYPERLINK l bookmark269 o Current Document K2(4 ) K p = limoG(s)，Kv = lim sG(s) =,Ka =limQs2G(s) =03-3設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=10s(0.1s 1)若輸入信號(hào)如下，求系統(tǒng)的給定穩(wěn)態(tài)誤差級(jí)數(shù)。1 _ 2(1)

12、r(t)=R), Mt)=R0+Rt, (3) r(t) = R0 + R1t+-R2t2解：首先求系統(tǒng)的給定誤差傳遞函數(shù)6cs嘯11 G(s)s(0.1s 1)20.1s s 10誤差系數(shù)可求得如下Cs(0.1s 1)_2_0.1s s 10C110(0.2s 1)(0.1s2 s 10)2=0.1C2= lim 旦s-Q ds22(0.1s ，s = lim -s-0s 10) -20(0.2s 1)2(0.1s2s 10)3r(t)=R0,此時(shí)有rs(t) = R,r；(t)=r；=0,于是穩(wěn)態(tài)誤差級(jí)數(shù)為esr (t )= C0rs(t) = 0 , t 2 0r (t) = R0 +

13、Rt ,此時(shí)有 rs (t) = R0 + Rt, rs(t) = R ,r；=0 ,于是穩(wěn)態(tài)誤差級(jí)數(shù)為esr(t)=C0rs(t)+C1rs(t)=0.1R1, t 之 0 TOC o 1-5 h z 1 _ 212r(t) =R+Rt+Rzt,此時(shí)有 rs(t) = R + Rt + R2t2, %(t) =R+R?t, HYPERLINK l bookmark172 o Current Document 22r；(t) =R2,于是穩(wěn)態(tài)誤差級(jí)數(shù)為C, .ekWM+CMtaRMhOIR+ROtN。3-4設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G (s)=1。s(0.1s 1)E(s)R(s)11 G

14、(s)C0C1= lim /e s =lim 呼1s- =0s 0 s，0 0.1s2 s 500d500(0.2s 1)= lim ，,e s =lim s 力 dss 力(0.1s2 s 500)21500以及C2= lim d：3s =|而100(0.俏2 s 2500)一10003(0外優(yōu)二 %s 0 ds2s 力(0.1s2 s 500)35002rs(t) = sin 5trs(t) = 5cos5trs(t) - -25sin 5t則穩(wěn)態(tài)誤差級(jí)數(shù)為eSr t = C0 - C 25 sin5t C1 5 -bos5t= 4.9 10 gin5t 1 102 - Cos5t3-6系

15、統(tǒng)的框圖如圖3-T-1a所示，試計(jì)算在單位斜坡輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差的終值。如在輸入端加入一比例微分環(huán)節(jié)(參見圖3-T-1b ),試證明當(dāng)適當(dāng)選取 a值后，系統(tǒng)跟蹤斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差可以消除。R(s)+C(s)s(s 2 n)a)若輸入為r(t)=sin5t,求此系統(tǒng)的給定穩(wěn)態(tài)誤差級(jí)數(shù)。解：首先求系統(tǒng)的給定誤差傳遞函數(shù)s(0.1s 1)20.1s s 500誤差系數(shù)可求得如下R(s)* 1 +asb)2 ns(s 2 ，n)C(s)圖 3-T-1解：系統(tǒng)在單位斜坡輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差為：esr2，加入比例一微分環(huán)節(jié)后nC s = R s 1 as -C s G s1 as G sCs=mRs =2s 2

16、 ns 2ES=RS-CS=Ss2 2 ：n：SRsesr = lim sE s = 2a-S ：- n可見取a =2,可使esr =0 n3-7單位反饋二階系統(tǒng)，已知其開環(huán)傳遞函數(shù)為.:G(s) = n.s(s 2n)從實(shí)驗(yàn)方法求得其零初始狀態(tài)下的階躍響應(yīng)如圖3-T-2所示。經(jīng)測(cè)量知，M p = 0.096 ,tp =0.2s。試確定傳遞函數(shù)中的參量及切n。p解：由圖可以判斷出 0 ，1 ,因此有rbFM p =exp(. -) 100%,1- 2tpJI - 2 -)n代入Mp =0.096, tp =0.2可求出C(s5 =0.598 0n =19.5883-8反饋控制系統(tǒng)的框圖如圖 3

17、-T-3所示，要求Rs_+ g帆G(s TOC o 1-5 h z (1)由單位階躍函數(shù)輸入引起的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為零。半(2)整個(gè)系統(tǒng)的特征方程為 s3 +4s2 +6s+4 = 0圖3-T-3求三階開環(huán)傳遞函數(shù) G(s),使得同時(shí)滿足上述要求。解：設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)為 HYPERLINK l bookmark26 o Current Document C(s)K 二= 3；2； -R(s) s k1s k2s k3根據(jù)條件(1) e5r = lim 1 = 3s +s k = 0可知：k3 = 0 ； s 01 G(s)s3 k1s2 k2s k3 K根據(jù)條件(2) D(s) =s3 +4s2 +

18、6s + 4 = 0可知：k1=4, k2=6, K=4。所以有4s s2 4s 63-9 一單位反饋控制的三階系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s),如要求 TOC o 1-5 h z (1)由單位斜坡函數(shù)輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差等于2.0。(2)三階系統(tǒng)的一對(duì)主導(dǎo)極點(diǎn)為s1,s2 = 1 j1。求同時(shí)滿足上述條件的系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)。解：按照條件(2)可寫出系統(tǒng)的特征方程232(s 1 - j)(s 1 j)(s a) -(s 2s 2)(s a)=s (2 a)s (2 2a)s 2a =0將上式與1 +G(s) =0比較，可得系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s) = TV2a(2 a)s (2 2a)1

19、根據(jù)條件(1),可得12aKv = = 0.5 =3r2 2a解得a =1 ,于是由系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=2sS2 3s 413-10已知單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=Ks( s 1)試求在下列條件下系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)之超調(diào)量和調(diào)整時(shí)間。K=4.5=1s(2) K=1,7=1s(3) K=0.16,E=1s解：系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的象函數(shù)為C(s) = R(s)G(s)=Ks2( s 1)(1)將K =4.5, 1 =1s代入式中可求出 6n =2.12rad /s , 0 =0.24,為欠阻尼系統(tǒng), 因此得出M p = 46% , ts = 7.86s(2%), 5.90s(5

20、%)(2)將K=1, E=1s代入式中可求出con=1rad/s,。= 0.5 ,為欠阻尼系統(tǒng)，因此 得出M p =16.3% , ts =8s(2%) s , 6s(5%)(3)將K =0.16, E=1s代入式中可求出con=0.4rad/s, 。= 1.25 ,過阻尼，無最大超調(diào)量。因此只有ts =15s。3-11系統(tǒng)的框圖如圖 3-T-4所示，t求當(dāng)a=0時(shí)，系統(tǒng)的之值。如要求，是確定 a的值。(1)當(dāng)a=0時(shí)，則系統(tǒng)傳傳遞函數(shù)為 G(s) = 8，其中/ = J8 = 2w”，2Gn =2 , s2 2s 8 n所以有,=0.354。80n不變時(shí)，系統(tǒng)傳函數(shù)為G(s)=，,要求：=0

21、.7,則有s (8a 2)s 822n = 2(4a +1),所以可求得求得 a = 0.25。z=1的零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)單位3-12已知兩個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，如果兩者的參量均相等，試分析脈沖響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)的影響。1.單位脈沖響應(yīng)(a)無零點(diǎn)時(shí)(b)有零點(diǎn)z = 1時(shí)e- nt sin 1 - 2 nt, t _ 0,1-2 HYPERLINK l bookmark63 o Current Document 22k2q1nsin V1 一， ct + arctg j1J比較上述兩種情況，可見有零點(diǎn)z = -1時(shí)，單位脈沖響應(yīng)的振幅較無零點(diǎn)時(shí)小，而且產(chǎn)生相移，相移角為arctg2.單位階躍響應(yīng)(a)無

22、零點(diǎn)時(shí)(b)1一；2有零點(diǎn)z = -1時(shí)e- nt sin；2,21 -.1- nt arctg：t-0加了3-13c t )=1.1 -2 ,n - - -n2I/TC )sin q1 J nt -arctg- ,(t 之 0)z = _1的零點(diǎn)之后，超調(diào)量 M p和超調(diào)時(shí)間tp都小于沒有零點(diǎn)的情況。p p單位反饋控制系統(tǒng)的框圖如圖3-T-5所示。假設(shè)未加入外作用信號(hào)時(shí)，系統(tǒng)處于零初始狀態(tài)。如果不考慮擾動(dòng)，當(dāng)參考輸入為階躍函數(shù)形式的速度信號(hào)時(shí)，試解釋其響應(yīng)為何 必然存在超調(diào)現(xiàn)象？單位反饋控制系統(tǒng)的框圖如圖3-T-5所示。假設(shè)未加入外作用信號(hào)時(shí)，系統(tǒng)中存在比例積分環(huán)節(jié)Ki(s+1),當(dāng)誤差信號(hào)

23、e(t)=0時(shí)，由于積分作用，該環(huán)節(jié)的輸出保持不變，故 s系統(tǒng)輸出繼續(xù)增長(zhǎng)，知道出現(xiàn) e(t )0時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定。(2) K0時(shí)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。(3) 0K 0便有二個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)位于右半 s平面。所以無論 K取何值，系統(tǒng)都不穩(wěn)定。圖44-5曲4 系統(tǒng)相機(jī)逑圖A-4-4 題4-3系統(tǒng)常規(guī)根軌跡(2) G(s) =K1 s 1s2 3 s 2實(shí)軸L2, -1 上有根軌跡，乜=90：oa = -0.5,分離點(diǎn)為(0, j0 )；常規(guī)根軌跡如圖A-4-4 (b)所示。從根軌跡圖看，加了零點(diǎn) z = 1后，無論K取何值，系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。4-4設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)H(s)Ki(s 2)-2 Z 7s(

24、s 2s a)試?yán)L制下列條件下系統(tǒng)的常規(guī)根軌跡(1) a=1 (2) a=1.185 (3)a=3/=90一，仃a=0,分離點(diǎn)為( 0.38,0),常(1) a=1時(shí)，實(shí)軸( 2,0】上有根軌跡,規(guī)根軌跡如圖圖 A-4-5 (1)Root Locus-1Real Axisaa m圖 A-4-5 (1)Root Locus4圖 A-4-5 (2)(0, 士 j ),-6Root Locus-2-1.；-1.6-1.4-1.2-1-0.8Real Axis-0.6-0.4-0.26 4 2 O-2-4CTXA vraDya ml圖 A-4-5 ( 3)Ki(S 1),4-5求開環(huán)傳遞函數(shù)為 G(s

25、)H (s) = 2的系統(tǒng)在下列條件下的根軌跡(1) a=10 (2)s (s a)a=9 (3) a=8 a=3(1)實(shí)軸10,1】上有根軌跡，Q =90：oa=Y.5,分離點(diǎn)為(0, j0),與虛軸交點(diǎn)為j0(K1 =0卜常規(guī)根軌跡大致圖形如圖A-4-6 (1)Root Locus10 TOC o 1-5 h z I，fT 3(ppT8u6一,4-rS2.A n01-a m -2 .4 -6 -rJ8310 1EE11EL11-10-9-8-7-6-5-4-3-2-10Real Axis圖 A-4-6 (1)(2)實(shí)軸 匚9,-1上有根軌跡，Q =90：3 = Y，分離點(diǎn)為(0, j0 )

26、，與虛軸交點(diǎn)為j0(K1 =0卜常規(guī)根軌跡大致圖形如圖A-4-6 (2)Root Locus-6Real Axisn a mx A圖 A-4-6 (2)(3)實(shí)軸L8, 1】上有根軌跡，中a = 90 :仃a = 3.5 ,分離點(diǎn)為(0, j0 ),與虛軸交點(diǎn)為j0(K1 =0 )。常規(guī)根軌跡大致圖形如圖A-4-6 (3)Root Locus圖 A-4-6 ( 3)(4)實(shí)軸 匚3, 1】上有根軌跡，Pa =90：oa =1 ,分離點(diǎn)為(0, j0 ),與虛軸交點(diǎn)為j0(Ki =0 )。常規(guī)根軌跡大致圖形如圖A-4-6 (4)Root LocusCTXA vraH aa mlReal Axis

27、圖 A-4-6 (4)4-7設(shè)系統(tǒng)的框圖如圖 4-T-2所示，試?yán)L制以a為變量的根軌跡，并要求：(1)求無局部反 饋時(shí)系統(tǒng)單位斜坡響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差，阻尼比及調(diào)整時(shí)間。(2)討論a=2時(shí)局部反饋對(duì)系性能的影響。(3)確定臨界阻尼時(shí)的 a值。系統(tǒng)特征方程為2s 1 +.2 s 1 = 0以a為可變參數(shù)，可將特征方程改寫為2s s 1從而得到等效開環(huán)傳遞函數(shù)c ， 、sGeq(S)= 2 彳s s 1根據(jù)繪制常規(guī)根軌跡的方法，可求得實(shí)軸(-如Q】上有根軌跡=180a =-1,分離點(diǎn)為(1, j0 ),出射角為 9P =1150：參數(shù)根軌跡如圖 A-4-7所示。圖A-4-7題4-7系統(tǒng)參數(shù)根軌跡無局部反

28、饋時(shí)(U=0 ),單位速度輸入信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為esr =1 ;阻尼比為。=0.5；調(diào)節(jié)時(shí)間為ts=6s(5%)口 =0.2時(shí)，esr =1.2, U =0.6, ts =5s(5%)比較可見，當(dāng)加入局部反饋之后，阻尼比變大，調(diào)節(jié)時(shí)間減小，但穩(wěn)態(tài)誤差加大。當(dāng)a =1時(shí)，系統(tǒng)處于臨界阻尼狀態(tài)，此時(shí)系統(tǒng)有二重閉環(huán)極點(diǎn)s1,2 = -1。4-8根據(jù)下列正反饋回路的開環(huán)傳遞函數(shù)，繪制其根軌跡的大致圖形。(1)實(shí)軸(笛，一2仙匚1,十由府根軌跡，Q =90：a =-2,虛軸交點(diǎn)為 aa(0, j0.911Ki =5.375 )。常規(guī)根軌跡大致圖形如圖A-4-8 (3)4-9繪出圖4-T-3所示滯后系

29、統(tǒng)的主根軌跡，并確定能使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。主根軌跡如圖A-4-9所示。系統(tǒng)穩(wěn)定的 K值范圍是0父K 14.38。圖A-4-9 題4-9系統(tǒng)主根軌跡Ke-s4-10若已知一個(gè)滯后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s )H (s )=，試?yán)L制此系統(tǒng)的主根軌s跡。Ke 一由 G (s H (s )=知sK1 =0時(shí)系統(tǒng)的根軌跡從開環(huán)極點(diǎn)P1 =0和仃=* 出發(fā)，實(shí)軸(-比,0】上有根軌跡，主根1),一,、， 冗兀 一一軌跡分離點(diǎn)-一，j0 I；與虛軸父點(diǎn) 士 j,臨界 K值。王根軌跡如圖 A-4-10所不。一 J，2丁圖 A-4-10(2)4-11上題中的開環(huán)傳遞函數(shù)可用下列近似公式表示(1) G(sH(s

30、)= K0 TS) sK 1 - % i!2 G s H s =J 1s1 + s I2 JK (3) G(s H (s )= K 試?yán)L制以上三種情況的根跡，并和題 s s 14-10的根軌跡進(jìn)行比較，討論采用近似式的可能性。(1) G sH s =口巴)的根軌跡如圖A-4-11 (1)所示。s圖 A-4-11 (1)G(s)H(s)= K4帶)根軌跡s(2) G(sH(s)=sXs)I 2 J分離點(diǎn)-2(-1), j0 ；會(huì)合點(diǎn)2(1 + 22 )2,j0 ;與虛軸交點(diǎn)士 j 界穩(wěn)定K值為2。根軌跡如圖A-4-11 (2)所示。T圖 A-4-11 (2)G(SH(S)=KJ)根軌跡 si (

31、. /2)sK(3) G(sH(S )=- s s 11分離點(diǎn) 1一，根軌跡如圖 A-4-11 (3)所不。一K 圖 A-4-11 (3)G (s H (s )=根軌跡s s 1討論：當(dāng)七較小時(shí)，且 K在某一范圍內(nèi)時(shí)，可取近似式K 。右七較大，取上述近似s s 1式誤差就大，此時(shí)應(yīng)取近似式K 1- s 1 2 J(T、s1+-s I 2 J4-12已知控制系統(tǒng)的框圖如圖4-T-4所示，圖中G（s） =K1(s 5)(s -5)、s 2，G2 (s)=。s試?yán)L制閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根軌跡，并加簡(jiǎn)要說明。系統(tǒng)的根軌跡如圖 A-4-12所示。圖 A-4-12_K1(s a)4-13設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)

32、傳遞函數(shù)為G(s)= 芋-，確定a的值，使根軌跡圖分別具s2(s a)有0,1,2個(gè)分離點(diǎn)，畫出這三種情況根軌跡圖。111當(dāng)0a時(shí)，沒有分離點(diǎn)。999系統(tǒng)的根軌跡族如圖 A-4-13所示。圖 A-4-13第五章5-1已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試?yán)L制其開環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)圖1(1) G s = s s 1 1解：幅頻特性：A( ) h,1，門 2相頻特性： ()-90 - arctg列表取點(diǎn)并計(jì)算。0.51.01.52.05.010.0A( )1.790.7070.370.2240.0390.0095白白GOO()-116.6-135-146.3-153.4-168.7-174.2系統(tǒng)的極

33、坐標(biāo)圖如下:(2) G s =1 s 1 2s解：幅頻特性:1A()=22.114相頻特性:()=arctg。一 arctg 2 -列表取點(diǎn)并計(jì)算。000.20.50.81.02.05.0A()10.910.630.4140.3170.1720.0195()0-15.6-71.6-96.7-108.4-139.4-162.96系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖如下：s s 1 2s 1解：幅頻特性:A()相頻特性:-900 - arctg - arctg2列表取點(diǎn)并計(jì)算。00.20.30.5125A()4.552.741.270.3170.0540.0039()-105.6-137.6-161-198.4-229

34、.4-253系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖如下:1s2 1 s 1 2s解：幅頻特性:A(;：:)二 -2 V f J1 4 2相頻特性：()=-1800 -arctg -arctg2 .列表取點(diǎn)并計(jì)算。0.20.250.30.50.60.81A()22.7513.87.862.520.530.650.317：()-195.6-220.6-227.6-251.6-261.6-276.7-288.4系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖如下:5-2試?yán)L制上題中各系統(tǒng)的開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性（伯德圖）Gs 二大解：系統(tǒng)為I型，伯德圖起始斜率為 20dB/dec,在8=1s，處與L侔）=20lgK =0相交。1i 環(huán)衛(wèi)的父接頻率 81 =1s

35、，斜率下降20dB/dec ,變?yōu)?40dB/dec。s 1系統(tǒng)的伯德圖如圖所示1G s =1 s 1 2s解：伯德圖起始為 0dB線，的交接頻率以 =-sA ,斜率下降20dB/dec ,變?yōu)?0dB/dec。1 2s21 山-一、.一、一的父接頻率 82 =1s ,斜率下降20dB/dec ,變?yōu)橐?0dB/dec。1 s系統(tǒng)的伯德圖如圖所示。(3) G s =4-hlH 1Mtrw 一1s s 1 2s 1解：系統(tǒng)為I型，伯德圖起始斜率為20dB/dec ,其延長(zhǎng)線在 =1處與L()=20lgK =0相交。 TOC o 1-5 h z 1 11的交接頻率 01 = s ,斜率下降20dB

36、/dec ,變?yōu)?0dB/dec。 HYPERLINK l bookmark342 o Current Document 1 2s21 一 一的父接頻率 g2 =1s ,斜率下降20dB/dec ,變?yōu)?0dB/dec。1 s系統(tǒng)的伯德圖如圖所示。(4) G s =12。-s 1 s 1 2s解：系統(tǒng)為 錯(cuò)誤！未找到引用源。型，伯德圖起始斜率為 40dB/dec ,其延長(zhǎng)線在 切=1處 與 L(s)=20lgK =0 相交;的交接頻率 以 =1s,，斜率下降20dB/dec ,變?yōu)?0dB/dec。1 2s21 山_.一、.一、一的父接頻率 82 =1s ,斜率下降20dB/dec ,變?yōu)橐?

37、0dB/dec。1 s系統(tǒng)的伯德圖如圖所示。105-3設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G s =s 0.1s 1 0.5s 1試?yán)L制系統(tǒng)的內(nèi)奎斯特圖和伯德圖，并求相角裕度和增益裕度。 10解：幅頻特性： A()： 一. .1 (0.1 )2 ,1 (0.5 )2相頻特性()-90 -arctg0.1 - - arctg0.5 .13 if00.51.01.52.03.05.010.0A()17.38.95.33.51.770.670.24：()-106.89-122.3-135.4-146.3-163-184.76-213.7錯(cuò)誤！未找到引用源。系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖如圖所示。令中(s )=1800,解

38、得 0g =4.47 sKg1A ( .g)= 1.2,增益裕度:GM= 20lgKg =1.58dB。錯(cuò)誤！未找到引用源。伯德圖起始斜率為-20dB/dec,經(jīng)過點(diǎn)co =1s,，L(co) = 20lg K = 20。4. ._1.切=1s 處斜率下降為-40 dB/dec,切=10s 處斜率下將為-60dB/dec。系統(tǒng)的伯德圖如下圖所示。令A(yù)()=1得剪切頻率 0c = 4.08s,相角裕度PM=3.94deg。5-5已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=12s(1 s)-in110IDICFrequency (rad/sec)10用MATLAB繪制系統(tǒng)的伯德圖，確定 L儂)=0的

39、頻率8c，和對(duì)應(yīng)的相角 中(0c)。解：命令如下： s=tf(s); G=1/(s*(1+s)A2); margin(G2);Bdqb DiagramGm fi.02 dB (st 1 rad/sac) ( Pm 21 4 deg ad 0 682 rad/sec)1QQ SD0-50-100-150-90程序執(zhí)行結(jié)果如上，可從圖中直接讀出所求值。5-6根據(jù)下列開環(huán)頻率特性，用 MATLAB繪制系統(tǒng)的伯德圖，并用奈氏穩(wěn)定判據(jù)判 斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。(1)G(j )H(j )10(j )(0.1j 1)(0.2j . 1)解：命令如下： s=tf(s); G=10/(s*(0.1*s+1)*(0.2

40、*s+1); margin(G);Bode。日中 amGm 工 3.62 d日(at 7.07 rad/sec), Pm = 11.4 deg (at 6.72 radfeec)o1o 5So o z & 9Ju - 一(63口) swEud2jFrequency (radfeec)10如圖，相角裕度和增益裕度都為正，系統(tǒng)穩(wěn)定。 Gj)Hj)=22(j ) (0.1 j - 1)(10j 1)解：命令如下： s=tf(s); G=2/(sA2)*(0.1*s+1)*(10*s+1); margin(G);200-200100Bode DiagramGm Inf , Pm - -83 6 deg

41、 (at 0.582 rad/sec)口001- 072名衛(wèi)匚由工-3DQ-1S0(6牲)氏mud-3qdini10101010wFrequency (rad/sec)后10如圖，增益裕度無窮大，相角裕度-83,系統(tǒng)不穩(wěn)定。5-7已知最小相位系統(tǒng)的開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性的漸近線如圖所示，試寫出系統(tǒng)的開環(huán)傳 遞函數(shù)，并匯出對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)相頻曲線的大致圖形。(a)解：低頻段由201g K=10 得，K =T101 ,O =2S處，斜率下降120dB/dec,對(duì)應(yīng)慣性環(huán)節(jié)0.5s 1 由上可得，傳遞函數(shù)G s =,100.5s 1 相頻特性中=-arctg 0.5。匯出系統(tǒng)的相頻特性曲線如下圖所示。1(b)解

42、：低頻段斜率為-20dB/dec,對(duì)應(yīng)積分環(huán)節(jié)。s TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark91 o Current Document 16 =2 s處，斜率下降20dB/dec,對(duì)應(yīng)慣性環(huán)節(jié) 0.5s 1K HYPERLINK l bookmark411 o Current Document 在剪切頻率0c =2.8s處， K =1,解得K =4.8 c722- c /10.5 - c4 8傳遞函數(shù)為：G(s) =48s(0.5s 1)1(c)低頻段余率為-40dB/dec,為兩個(gè)積分環(huán)下的疊加 ;s以=0.5s,處，斜率上升 20dB/dec,對(duì)應(yīng)一階微分環(huán)節(jié)

43、2s+ 1;-1102 =2s處，斜率下降20dB/dec,對(duì)應(yīng)一階慣性環(huán)節(jié) 0.5s 1傳遞函數(shù)形式為:G(s)=K(2s 1)-2s (0.5s 1)圖中所示Bode圖的低頻段可用傳遞函數(shù)為K/s2來描述，則其幅頻特性為 K/切2。取對(duì)數(shù),得 L1(s) =20lgK -20lgs2。同理，Bode圖中斜率為-20dB/dec的中頻段可用 K1/s來描述，則其對(duì)數(shù)幅頻特性為L(zhǎng)2(0) =20lgK1 20lgco。由圖有，L2(0c) =0dB,則有 K1 =c。再看圖，由 L。=L2(%)可解得K =露 &c =0.5綜上，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=s2(0.5s 1)(參考李友善做法

44、)系統(tǒng)相頻特性：邛(切)=-180 +arctg 2切-arctg 0.5。曲線如下:二-二3G5-8 設(shè)系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)圖如圖5-T-2所示，試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。(a)解：系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定，奈氏圖包圍(-1, 0j)點(diǎn)一次，PW0,所以閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。(b)解：正負(fù)穿越各一次，P=2 (N+-N-) =0,閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。(c)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。(d)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。，一 2e-s5-9根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) G(s)H(s)=繪制系統(tǒng)的伯德圖，并確s(1 s)(1 0.5s)定能使系統(tǒng)穩(wěn)定之最大T值范圍。解： =0時(shí)，經(jīng)誤差修正后的伯德圖如圖所示。 從伯德圖可見系統(tǒng)的剪切頻率0c =1.15s”,在剪切頻率處系統(tǒng)的相角為(c) - -90 一 arctg c 一 arctg0.5 c - -168.9由上式，滯后環(huán)節(jié)在剪切頻頻處最大率可有11.1二的相角滯后，即180T冗= 11.1解得t = 0.1686s 。因此使系統(tǒng)穩(wěn)定的最大 t值范圍為0 E e 40 :并保持原有的開環(huán)增益。解：原系統(tǒng)的相角裕度為 =20 =。計(jì) 算 未 校 正 系 統(tǒng) 中 對(duì) 應(yīng) 相 角 裕 度 為%