江蘇省常州市2020屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)(理)試題含解析

1、江蘇省常州市2020屆第一學(xué)期期中考試高三(理)數(shù)學(xué)試題2019. 11第I卷(必做題，共160分)一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分，請將答案填寫在答題卷相應(yīng)的位置 上.)1.已知集合 A= x x 2 , B= 2, 1, 0, 2,則 AI B=答案： - 1, 0考點(diǎn)：集合交集運(yùn)算解析： A= x|x 2 ,A= (-2, 2),又. B= 2, - 1 , 0, 2,AI B= - 1 , 0.函數(shù)y log2(7 6x x2)的定義域是 .答案:(T, 7)考點(diǎn)：函數(shù)的定義域解析：由題意得：7 6x x2 0,解得-1vxv 7,故原函數(shù)的定義域是(-1, 7).我

2、國古代數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立的“割圓術(shù)”可以估算圓周率兀，理論上能把兀的值計(jì)算到任意精度.祖沖之繼承并發(fā)展了 “割圓術(shù)”，將兀的值精確到小數(shù)點(diǎn)后七位，其結(jié)果領(lǐng)先世界一千多年.“割圓術(shù)”的第一步是計(jì)算單位圓內(nèi)接正六邊形的面積則S6=答案:3.3考點(diǎn)：正多邊形面積解析：由題意知，該正六邊形為1,是由6個(gè)全等的邊長為1的等邊三角形構(gòu)成， 故面積為:S66.設(shè)曲線y ax ln(x 1)在點(diǎn)(0, 0)處的切線方程為 y 2x ,則a=答案：3考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義解析：: y ax ln(x 1)由切線方程為y 2x,可知2 a 1,故a=3.uuru.已知點(diǎn)A(1, 3), B(4, -1),則與向量AB同

3、方向的單位向量的坐標(biāo)是 答案：(3,4)55考點(diǎn)：單位向量的坐標(biāo)表示解析：點(diǎn) A(1 , 3), B(4, - 1),uuruurAB (3 , - 4) , AB 5 ,uuur則圖H(3, |AB56.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng) x0時(shí)，f(x)eax,若f(ln3) 9,則a= .答案：-2考點(diǎn)：奇函數(shù)的性質(zhì)解析：f (x)是定義在R上的奇函數(shù)，.1f(ln3)f(ln3)aln1(e 3)解得a= - 2.已知關(guān)于x的不等式絲j 0的解集是(，-1) U ( 1 ,x 12),則實(shí)數(shù)a的值為答案：-2考點(diǎn)：分式不等式1解析：由題息知a0,且一 a.已知a, b為單位向量，且

4、1拓c一 ,故 a= _ 2.2r rr 一ra b 0 ,若 c J5 a答案:.5考點(diǎn)：利用數(shù)量積求向量夾角r-rr r r解析：: c J5a 2b , a b 0 ,r fT2 rrr2c V5a 4。5a b 4bJ9、5a22ab瓜rcos= r, .rHHJ59.已知函數(shù) f (x) Asin( x ) (A0,0, V兀)是奇函數(shù)，且f(x)的最小正周期為兀，將y f(x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍(縱坐標(biāo)不變)，所得圖3象對應(yīng)的函數(shù)為g(x).若g() 33,則f (萬).答案：、2考點(diǎn)：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)解析：.函數(shù) f (x) Asin( x ) (A0,0,

5、 v兀)是奇函數(shù)，= 0,又 f (x)的最小正周期為兀，=2,即 f(x) Asin 2x將y f (x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得g(x)則 g (x) Asin x g(-) BA Asin 一 花,解得 a= 2,故 f(x) 2sin2x, 333. f (丁)2sin(2 ) 我.88又2xi10.函數(shù)y f(x)定義域?yàn)镽, f(x 1)為偶函數(shù)，且對 x1 x2 1,滿足 fxv0,若f (2) =1,則不等式f(log2x) 1的解集為.答案：(1 , 4)考點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的結(jié)合解析： f (x 1)為偶函數(shù)y f (x)的對稱軸為x= 1f (x2)

6、 f (x1)c;對 x1 x2 1 ,滿足 一L2J0,x2 Xif(x)在(，1)上遞減，又f(x)對稱軸為x=1,則f (x)在(1 ,)上遞增,f(log2X)1, f (2)=1,轉(zhuǎn)化為 0V log2 x 2, y1,2y (x 2) 2(y 1)4 2.2(x-2)(y-1)當(dāng)且僅當(dāng)uuur uuur uuuADDC , AE1 uuu -EB 2uuin uuur若 BD AC 5uuu uuir，則 CE AB6平面向量數(shù)量積12.如圖,在ABC中,AB= 3, AC= 2,答案:考點(diǎn):解析:uuur uuir1 uuur因?yàn)锽D AC 5,所以(一AC 21 uui2AB)

7、 AC 5,即AC 2uur uuruur uurAB ACuuir uur代入可得：AB AC 3,uuu uur 1 uur uuu uuui 則 CEAB (-AB AC) AB13.已知 A B C為 ABC的內(nèi)角，若1 UUU2 -AB 3uurABuur 1AC 332(3) 6.3tanA + tanB = 0,則角C的取值范圍為答案:考點(diǎn):解析:(0，6誘導(dǎo)公式，兩角和的正切公式，基本不等式，正切函數(shù)的圖像與性質(zhì) 因?yàn)?tanA +tanB =0,可知A、B中一個(gè)銳角，一個(gè)鈍角，則角C必為銳角八 tanA tanB tanC 一2tanA2tanA tanB 1 3tan A

8、10 ,則tanA 0, A為銳角tan C2 tan A3tan2A 13tan A tan A,當(dāng)且僅當(dāng)tan A 取“=”，3314.若對任意的x 1 , e2,都有3aln x(a 1)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是答案：-1,3 e考點(diǎn)：函數(shù)與不等式(恒成立問題)解析：: 3alnx (a 1)x對任意的x 1 , e2恒成立，3ln x xa 1對任意的x 1 , e 恒成立，x3ln x x ，、3(1 In x) -接下來研允 p(x) ,則 p (x) 2,列表如下:xx又 p(1)1，p(e)當(dāng)a0時(shí),當(dāng)a=0時(shí),當(dāng)a0時(shí),3ln x x(a) maxx0 1成立；3ln

9、x x(a)maxx3 eea 1,解得 0 a e3 ea 1 ,解得 1 a 0.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是二、解答題(本大題共 6小題，共計(jì)90分.請?jiān)诖痤}紙指定區(qū)域內(nèi)作答，解答應(yīng)寫出文字x1， e)e(e, e2p(x)+0一p(x)Z2說明，證明過程或演算步驟.)15.(本題滿分14分)已知函數(shù) f(x) J3sin2x 2sin 2 x .(1)求f (x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間;(2)求f(x)在區(qū)間0,一上的最大值.215.解T (IVfx) = V3sm2r + 2nn2x = 43sin2x + I - coslx=2(sin2x - |cq52x) + 1 m 2s

10、in(2x -力+ L工/(工)的小正周期r - g =博， 令2fcir 2x 62 + C2 - be - 160 2bC 2 TOC o 1-5 h z 由于而=巫生，故而2 =逆土里亞=9, 24則3產(chǎn)沼=9 =產(chǎn)+ 2+尻=3德-得be 10 115MBe J be5m4 = ： x 10 x f方法三1（極化式）AB AC- ABACcosA =（AD + DB）245.錯(cuò)售價(jià)格為5元/千克時(shí)t每日利潤最大.13分答：(I) p關(guān)于工的函數(shù)解析式為J(一為-5,94x415(2)銷售價(jià)格為5元/千克時(shí)r每日利潤最大.所獲利潤，(最大.14分.(本題滿分16分)已知點(diǎn)A(- 1, 0

11、) , B(0, - 1),傾斜角為 的直線OP與單位圓在第一象限的部分交于點(diǎn)P, PA與y軸交于點(diǎn)N, PB與x軸交于點(diǎn)M.uuu uuuuuiruuauuuimr(2)設(shè) PO xPM(1)設(shè) PN nPA , PM mPB,試用表示 mW n；uuuyPN (x, y R),試用表示 x+y;(3)求x+y的最小值.所以柳S1H *CQS gl f sin * l+cos *1隊(duì)解：(1)如圖1因?yàn)镕為傾斜角為。的苴線0P與單位照在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)又因?yàn)橐耘cy軸交千點(diǎn)M PB與工軸交于點(diǎn)M故由六次，聲施將.D,因?yàn)槭?f), 乂(7, 0) f ff(0t又因?yàn)楹蜕嫌?旃=工增+即現(xiàn)由

12、于兒ot時(shí)共線，所以，+即=】，即與+尸cos 同理由f網(wǎng)十語一用諭+而 由干出0. N共線,所以mm+尸,sin 81 + sin &8分將乂 U+bg+乂0+鼾，外得(1+儂+通打+皿由內(nèi)尸=1 +亡3 Q +1 +$訪# .從而x+y2 +cos & + sin &1 +cos 歲 + si n 8SSn+771+m5汨(g+十)-T4分當(dāng)8=彳時(shí)，工+尸取得最小值也一一19.（本題滿分16分）、, 一2x m , 八 1已知：定義在 R上的函數(shù)f（x） x m的極大值為-.x2 22（1）求實(shí)數(shù)m的值；（2）若關(guān)于x的不等式f2（x） （2a 2） f（x） a2 2a 0有且只有一個(gè)

13、整數(shù)解，求 實(shí)數(shù)a的取值范圍.19.解*11）函數(shù)”工）的定義域?yàn)镽.（工-y（一；方程/一切某-2 = 0的& =小二+80.故方程X?一所工-2 = 0懺兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根（八2）則當(dāng)J|）U（心,E）時(shí)，/（X） 0 ;故/（力在（-8,$）,（公,+8）單調(diào)遞減.在1“ 2r nt1士. 必設(shè)* W 當(dāng)工（菁,與）時(shí)，/&） 0,（玉/J單調(diào)遞增，4分/ / r J = 1/./（2-（勿一吁2匚2卜由于數(shù)/（切=；的極大值為:.2x2 一m _ 1即,x/ + 2 2 ，解得,=2, Jrmff? = 1七一血2 = 07* _ 1（2）由（1）可得，/（工）=與二L,5 x3+2故

14、當(dāng) x；時(shí)，/（x）0；當(dāng) H =又/（x）在（一8,-1卜（2,十8）單調(diào)迎 由于2）= / 川）=9 /（3）=f-2）可得1 2 , 6分|/(占人。故實(shí)數(shù)m的值為1 -7分忖, /(x) = 0；當(dāng)時(shí). /(x)0 *i減，在(一1,2 聿調(diào)遞中* 9分STT,/，5 ti J (0 1 - - - J 分口-2 或,/(2)之口-A2)時(shí)5一 0).則rco = ; - (x + l)ez + 1 = (x + 1)(；-產(chǎn))，9 分令雙幻二；-。則mf(x)=-爰一 0 m(l) 。滿足m(q) = 0* 即k。= 當(dāng)NE(0.勾)時(shí)，m(X) 0. f(x) 0：當(dāng)(q，+8)時(shí)

15、，m(x) 0, fx) 2,設(shè)bk為(a1，a2,，ak)的最大項(xiàng)，其中k= l , 2,，n.記數(shù)組(bi, b2 ,，bn)為 B.例如，A=(1 , 2, 3)時(shí)，B= (1 ,2,3); A= (2,1, 3)時(shí)，B = (2, 2, 3).若數(shù)組B中的不同元素個(gè)數(shù)為 2.(1)若n=4,求所有n元有序?qū)崝?shù)組 A= ( a1, a2,，an)的個(gè)數(shù)；(2)求所有n元有序?qū)崝?shù)組A= ( a1, a2,，an)的個(gè)數(shù).解：（1）因?yàn)閿?shù)組佃也,也）中的不同元素個(gè)數(shù)為2，所以叼為1,2,3中的任意一個(gè)，即4只能為叫或/或?yàn)?當(dāng)外 ;4時(shí)，則（/,%,4）是1,2.3的任意.一個(gè)排列，總數(shù)有W =6個(gè)工一1分當(dāng)q=4時(shí)，剜（q,%,q）是1,2,3的一個(gè)排列且/%，故/為（21,4,3）或當(dāng)口產(chǎn)4時(shí)，則是1,2J的一個(gè)持列，且% %，故/為（2,143）或（3142）或（工2,4.1） ,曲數(shù)有3個(gè)2分當(dāng)q =4時(shí)，則（馬，的,用）是L2,3的任意一個(gè)排列，且q 出，%，故/為（3.124）或（321,4）.總數(shù)有2個(gè)；3分蹤上.有序?qū)崝?shù)組,Q）的個(gè)數(shù)為6 + 3 + 2 = 11.4分C2）因?yàn)閿?shù)組估也,也）中的不同元素個(gè)數(shù)為2，所以4為1,2,.-1中的任意一個(gè).當(dāng)q =成時(shí),數(shù)加+ 1,淖-1在/中必須位于制之后而在加與月之間只能出現(xiàn)L附一1中的某些數(shù).所以