概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)試題和答案

1、概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)試題及答案一、填空題： TOC o 1-5 h z 1、設(shè)A與B相互獨(dú)立，P(A)=-,P(B)=1,則P(B-A)=32“111解：P(BA)P(B)1P(A)(1-)-2332、設(shè)XU1,3(均勻分布)，則E(X2),D(2X)E(5X2)解：E(X)2;D(X)1/32E(X2)D(X)E(X)213/3D(2X)4D(X)4/3E(5X2)5E(X)210283、設(shè)隨機(jī)變量X服從指數(shù)分布，即XE(2),定義隨機(jī)變量2,X3Y1,X3則Y的分布列為1,X3解：Fy(Y)P(Yy)P(Y1)P(X3)c2xI2x2edxe00Fy(Y)P(Yy)P( 1 Y3 o 2x .

2、2e dx0Fy(Y)P(Y1) P(X 3)2x3.e 01 ey)P(1 Y 2)3 o 2x .2e dx0P(X2x e3)1 e6其中是與y無關(guān)的量4、設(shè)XB(200,0.1)YP(3),ZN(3,22)，且X,Y,Z相互獨(dú)立，則E(2X3YZ5)_D(2X3YZ5)解E(2X3YZ5)2E(X)3E(Y)E(Z)522000.1333533D(2X3YZ5)4D(X)9D(Y)D(Z)722741035、設(shè)總體XN(,2),Xi,X2,X3為來自X的樣本，？0.5Xi0.1x2ax3是未知參數(shù)的無偏估計(jì)，則a。解：因?yàn)槭菬o偏估計(jì)所以E(?)E(0.5x10.1x2ax3)0.5E(

3、x1)0.1E(x2)aE(x3)(0.50.1a)E(X)(0.50.1a)(0.50.1a)1a0.4 TOC o 1-5 h z 22.6、設(shè)XN(1,1),YN(2,2),X與Y相互獨(dú)立，且X與Y分別為X,Y的樣本均值，樣本容量分別為,，魚。若12,2已知，則檢驗(yàn)假設(shè)：H0:12；H1:12的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為。解：(XY)227、設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(,1),關(guān)于的二者必居其一的假設(shè)為H0：0;HpP2X20是22(5),且X與Y相互獨(dú)立,則下列分布錯(cuò)誤的是Ho真,H0表示假設(shè)Ho假,P(AHo)X2F(1,5)Yxt(5):Y/5拒絕域?yàn)锳,則犯第二類錯(cuò)誤的概C、P(AHo)D、P

4、(AHo)X-112P0.30.50.2X的分布列為:X Y2、設(shè)（X,Y）的聯(lián)合分布列為oQ1的邊緣分布列;解：a 1(3)1415判別X與Y是否獨(dú)立115X/Y123Fy(X)01/152/152/15Fy(0) 1/312/154/154/15Fy(1) 2/3Fx(Y)Fx(1) 1/5Fx (2) 2/5Fx(3) 2/5由表得 F(X,Y) Fy(X)Fx(Y)111即：F(0,1)Fy(0)Fx(1)F(0,2)Fy(0)Fx(2)F(0,2)Fy(0)Fx(3)3131525215_2152F(1,1)Fy(1)Fx(1)F(1,2)Fy(1)Fx(2)3152152154F(

5、1,3) Fy(1)Fx(3) 35415152X求：（1）Y=X2的分布列；（2）Zcos分布列；（3）E（X）,D（X）。2a2/152/15.(1)求常數(shù)a；(2)求(X,Y)2/154/154/15所以相互獨(dú)立3、設(shè)電源電壓XN（220,252）,且某種電子元件在下列三種情況下?lián)p壞的概率分別是0.1,0.001和0.2:(a)X不超過200伏；(b)X在200240伏之間；(c)X超過240伏。求：（1）電子元件損壞的概率（設(shè)：（0.8）0.8）;（2）某儀器裝配有50個(gè)這種電子元件，它們的工作狀態(tài)相互獨(dú)立，如果電壓X超不計(jì)算）過240時(shí)，求這50個(gè)電子元件中至少10個(gè)損壞的概率（要求

6、：只列式,解：1p(元件損壞)0.1p(x200)0.001p(2000.1x220小p(0)250.0010 x220p(025x240)0.2240220、八八)0.225p(xP(x240)240220250.10.1(0)0.520.0010.0010.8(0.8)0.5(0)0.2(0.8)0.20.80.2103P1p（原件損壞x240)0.2p(x240)0.16p(xk)k050 k9Pikkra1GoPi1k04、已知隨機(jī)變量X的分布密度f(x)k(2x0,x2),x(0,2)求,其他(1)系數(shù)k;(2)P1X3E(X)解:F(f(x)dx20k(2xx2)dxk(x23)4

7、k35、P(1E(3)31f(x)dx2314(2xx2)dx(x23)X)x)f(x)dx20(2x2.x)dx設(shè)二維隨機(jī)變量(XY)的聯(lián)合概率密度f (x, y)0,Axy2, 0y x,0fx(y)其他求：(1)A的值；X和Y的邊緣概率密度，并判別X和Y是否相互獨(dú)立?P(X,Y)D,其中D(x,y)xy1解：1xc由于F(,)00Axydydx1一所以一Ax401即：A332_2x24fy(X)3xydy。3xydyx21_232213223xydxy3xydx2yxy2y(1y)f(x,y)fx(y)fy(X)不獨(dú)立P(X,Y)D;D(x,y)xy112:0y3220yy123xydx

8、dy(2y1)dy2(322421/232r2yx02yy1dy2(96142y13Sy)646、有一大批糖果.現(xiàn)從中隨機(jī)抽取214,210,213設(shè)袋裝糖果的重量分布為正態(tài)的.6袋，稱得重量(以克計(jì))如下:216,212,213(1)若已知21,求總體均值的置信度為0.95的置信區(qū)間;(2)解:213；sJ；(X213)221(xz0.025/6,xz0,025(2131.961/.6,213(212.2,213.8)/、,6)1.961八6)2(Xt0.025S/,6,Xt0.025(5)S/6)(2130.982/.6,2130.982/.6)(212,198,213.816)7、設(shè)總體

9、XN(,2)的樣本的一組觀察值為：10,8,12,10。(1)求方差2的置信度為0.95的置信區(qū)間;能否據(jù)此樣本認(rèn)為該總體的數(shù)學(xué)期望為11 (0.05) ?因?yàn)槲粗〗y(tǒng)計(jì)量_2(n 1)S 2(n 1)相應(yīng)地,2的置信區(qū)間為由已知n=41 0.95(n 1)2(n 1)S2(-2；(n 1)220.05,查表：0.975(3) 0.216,(n 1)S2 )12 (n 1)22(n21)0.025(3) 9.348,以及4(1012 10) 10S2(XiX)所求2(n 1)S2j(n 1)29.3480.86,(n1)S212.(n21)80.21637.042 .的置信區(qū)間為(0.86,

10、 37.04)(2)檢驗(yàn)假設(shè)：H0:011H1:檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量(2未知，采用t檢驗(yàn))：txt(n1)s/n顯著性水平為0.05的拒絕域?yàn)椋篜xt(n1)t0025(3)s/n2查表：1025(3)3.1824,于是1.22473.1824故接受H0,即認(rèn)為11。x (公斤/厘米2),8.某地地震臺(tái)根據(jù)對(duì)地應(yīng)力(電感)測(cè)量資料計(jì)算出最大壓應(yīng)力值發(fā)現(xiàn)其與地震震級(jí)y(M有關(guān)系。試由下列觀察數(shù)據(jù)：x:1.22344.8y:2.833.23.74.3求y對(duì)x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程。解：xy0.966可以假設(shè)線性回歸方程為y0.4009;2.19由最小一乘法可得Y0.4009X2.199.將兩信息分別編碼為A和B傳遞

11、出來，接收站收到時(shí)，A被誤收作B的概率為0.02,而B被誤收作A的概率為0.01.信息A與B傳遞的頻繁程度為2:.若接收站收到的信息是A,試問原發(fā)信息是A的概率是多少？【解】設(shè)人=原發(fā)信息是A,則=原發(fā)信息是BC=收到信息是丹，則=收到信息是B由貝葉斯公式，得P(AC)P(A)P(CA)P(A)P(C|A)P(A)P(CA)2/30.982/30.981/30.010.9949210.(1)設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為RX=k=a,k!其中k=0,1,2,，入0為常數(shù)，試確定常數(shù)a.(2)設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為PX=k=a/N,k=1,2,，N,試確定常數(shù)a.【解】(1)由分布律的性質(zhì)知k1P(Xk

12、)aa般k0k0k!(2)由分布律的性質(zhì)知NN1P(Xk)ak1k1N11.某教科書出版了2000冊(cè),因裝訂等原因造成錯(cuò)誤的概率為0.001,試求在這2000冊(cè)書中恰有5冊(cè)錯(cuò)誤的概率.【解】令X為2000冊(cè)書中錯(cuò)誤的冊(cè)數(shù)，則Xb(2000,0.001).利用泊松近似計(jì)算np20000.0012e225P(X5)0.00185!12.有2500名同一年齡和同社會(huì)階層的人參加了保險(xiǎn)公司的人壽保險(xiǎn).在一年中每個(gè)人死亡的概率為0.002,每個(gè)參加保險(xiǎn)的人在1月1日須交12元保險(xiǎn)費(fèi)，而在死亡時(shí)家屬可從保險(xiǎn)公司領(lǐng)取2000元賠償金.求：(1)保險(xiǎn)公司虧本的概率；(2)保險(xiǎn)公司獲利分別不少于10000元、2

13、0000元的概率.【解】以“年”為單位來考慮.在1月1日，保險(xiǎn)公司總收入為2500X12=30000元.設(shè)1年中死亡人數(shù)為X,則Xb(2500,0.002),則所求概率為P(2000X30000)P(X15)1P(X14)由于n很大，p很小，入=np=5,故用泊松近似，有14e55kP(X15)10.000069k0k!P(保險(xiǎn)公司獲利不少于10000)P(300002000X10000)P(X10)10e55k0.986305k0k!即保險(xiǎn)公司獲利不少于10000元的概率在98犯上P(保險(xiǎn)公司獲利不少于20000)P(300002000X20000)P(X5)5e55k0.615961k0k!即保險(xiǎn)公司獲利不少于20000元的概率約為