材料力學(xué)：第2章 軸向拉伸與壓縮

1、第二章 軸向拉伸(和壓縮) 2-1軸向拉伸和壓縮的概念2-2內(nèi)力截面法軸力及軸力圖2-3應(yīng)力拉（壓）桿內(nèi)的應(yīng)力2-5拉（壓）桿的應(yīng)變能2-8應(yīng)力集中的概念2-4拉（壓）桿內(nèi)的變形胡克定律2-6材料在拉伸和壓縮時(shí)的力學(xué)性能2-7強(qiáng)度條件 安全系數(shù) 許用應(yīng)力12-1軸向拉伸和壓縮的概念22-1 軸向拉伸和壓縮的概念3 工程中有很多構(gòu)件，例如，鋼木組合架中的鋼拉桿(圖2-1)和做材料試驗(yàn)用的萬(wàn)能試驗(yàn)機(jī)的立柱等，除連接部分外都是等直桿，作用于桿上的外力(或外力合力)的作用線(xiàn)與桿軸線(xiàn)重合。等直桿在這種受力情況下，其主要變形是縱向伸長(zhǎng)或縮短。這種變形形式就是軸向拉伸或壓縮。這類(lèi)構(gòu)件稱(chēng)為拉(壓)桿。2-1

2、軸向拉伸和壓縮的概念1. 概念42-1 軸向拉伸和壓縮的概念實(shí)際拉(壓)桿的端部可以有各種連接方式。如果不考慮其端部的具體連接情況，則其計(jì)算簡(jiǎn)圖即如圖2-2a，b所示。計(jì)算簡(jiǎn)圖從幾何上講是等直桿：其受力情況是桿在兩端各受一集中力F作用，兩個(gè)F力大小相等，指向相反，且作用線(xiàn)與桿軸線(xiàn)重合2. 軸向拉壓的外力特點(diǎn)52-1 軸向拉伸和壓縮的概念軸向拉壓的變形特點(diǎn)：桿的變形主要是軸向伸縮。軸向拉伸：軸向伸長(zhǎng)，橫向縮短。軸向壓縮：軸向縮短，橫向變粗。3. 軸向拉壓的變形特點(diǎn)62-2內(nèi)力截面法軸力及軸力圖1內(nèi)力物體在受到外力作用而變形時(shí)，其內(nèi)部各質(zhì)點(diǎn)間的相對(duì)位置將有變化。與此同時(shí)，各質(zhì)點(diǎn)間相互作用的力也發(fā)生

3、了改變。相互作用力由于物體受到外力作用而引起的改變量，就是材料力學(xué)中所研究的內(nèi)力。換句話(huà)說(shuō)，由于已假設(shè)物體是均勻連續(xù)的可變形固體因此在物體內(nèi)部相鄰部分之間相互作用的內(nèi)力，實(shí)際上是一個(gè)連續(xù)分布的內(nèi)力系，而將分布內(nèi)力系的合成(力或力偶)，簡(jiǎn)稱(chēng)為內(nèi)力。72-2內(nèi)力截面法軸力及軸力圖1內(nèi)力也就是說(shuō)，內(nèi)力指由外力作用所引起的、物體內(nèi)部相鄰部分之間分布內(nèi)力系的合成（即：附加內(nèi)力）FF+FF原有內(nèi)力F附加內(nèi)力材料力學(xué)中的內(nèi)力82-2內(nèi)力截面法軸力及軸力圖 2截面法、軸力截面法：研究桿件的內(nèi)力時(shí)，必須用一平面將構(gòu)件假想地截開(kāi)成為兩段，使內(nèi)力暴露出來(lái)，然后研究其中一段的平衡，求得內(nèi)力的大小和方向。 設(shè)一等直竿在

4、兩端軸向拉力F的作用下處于平衡，欲求桿件橫截面m-m上的內(nèi)力(圖2-3)，研究此類(lèi)問(wèn)題可用截面法。FFmm圖2-392-2內(nèi)力截面法軸力及軸力圖 2截面法、軸力（1）截開(kāi)：在求內(nèi)力的截面m-m 處,假想地將桿截為兩部分；FFmm截面法是求構(gòu)件內(nèi)力的基本方法，一般可分為三個(gè)步驟為：截開(kāi)、代替和平衡。（常稱(chēng)：“截”、“棄”、“代”、“平”）102-2內(nèi)力截面法軸力及軸力圖（2）代替：將兩部分中的任一部分留下，并把棄去部分對(duì)留下部分的作用代之以作用在截開(kāi)面上的內(nèi)力（力或力偶）；FFNFFN 2截面法、軸力112-2內(nèi)力截面法軸力及軸力圖 2截面法、軸力（3）平衡：對(duì)留下的部分建立平衡方程，根據(jù)其上的

5、已知外力來(lái)計(jì)算在截開(kāi)面上的未知內(nèi)力。注意：截開(kāi)面上的內(nèi)力對(duì)留下部分而言屬外力。平衡方程：得式中：FN 為桿件任一橫截面 m-m上的內(nèi)力，與桿的軸線(xiàn)重合，即垂直于橫截面并通過(guò)其形心,稱(chēng)為軸力。軸力正負(fù)號(hào)規(guī)定：拉為正、壓為負(fù)122-2內(nèi)力截面法軸力及軸力圖 注意：靜力學(xué)中的力（或力偶)的可移性原理，在用截面法求內(nèi)力的過(guò)程中是有限制的。如圖a所示拉桿在自由端A承受集中力F，由截面法可得，桿任一橫截面mm或nn”上的軸力FN、均等于F(圖b，c）。 2截面法、軸力13 若將力F由自?xún)?nèi)端A至桿B點(diǎn)處(圖d)，則其AB段內(nèi)任一橫截面上的軸力都將等于零(圖e)而B(niǎo)C段內(nèi)任一橫截面n-n上的軸力仍等于F(圖f

6、)，保持不變。2-2內(nèi)力截面法軸力及軸力圖 2截面法、軸力FN = 0142-2內(nèi)力截面法軸力及軸力圖 2截面法、軸力原因：這是因?yàn)榧辛由自由端A移至B點(diǎn)后，改變了桿件AB段的變形。而并不改變BC段的變形注意：將桿上的荷載用一個(gè)靜力等效的相當(dāng)力系來(lái)代替，在求內(nèi)力的過(guò)程中也有所限制153. 軸力圖2-2內(nèi)力截面法軸力及軸力圖 對(duì)于受到沿軸線(xiàn)的多個(gè)外力作用且處于平衡狀態(tài)的桿件，其個(gè)截面上的軸力的大小、方向（即拉或壓）將有差異。為直觀地表示各橫截面軸力變化的情況，通常以平行于桿軸線(xiàn)的坐標(biāo)表示橫截面的位置，以垂直與桿軸線(xiàn)的坐標(biāo)軸表示軸力的大小，將桿件橫截面軸力的變化用圖線(xiàn)表示出來(lái)。這種圖線(xiàn)稱(chēng)為軸力

7、圖。x+軸力圖 FN (x) 的圖象163. 軸力圖2-2 內(nèi)力截面法軸力及軸力圖特點(diǎn)：1）反映出軸力與截面位置變化的關(guān)系，較直觀；2）確定出最大軸力的數(shù)值及其所在橫截面的位置，即確定危險(xiǎn)截面位置，為強(qiáng)度計(jì)算提供依據(jù)；3）習(xí)慣上將正值的軸力畫(huà)在上側(cè)，負(fù)值的軸力畫(huà)在下側(cè)。172-2內(nèi)力截面法軸力及軸力圖例題2.1：已知 F1= 10 kN；F2 = 20 kN；F3 = 35 kN；F4 = 25kN；試畫(huà)出圖示桿件的軸力圖。F3F2F1F4ABCD112233解：第一步、計(jì)算桿件各段的軸力18FN1F1AB 段BC 段FN3F4FN2F1F22-2內(nèi)力截面法軸力及軸力圖CD 段19第二步、繪制

8、軸力圖 2-2內(nèi)力截面法軸力及軸力圖_20 x例2.2 作圖示桿件的軸力圖，并指出| FN |max | FN |max=60 kNFN2= -60kNFN1=30kN1130kNFN160kNFN圖 30kN解：1、計(jì)算桿件各段的軸力。AB 段BC 段2、繪制軸力圖。 90kN60kN30kNABC22112260kNFN2+-2-2內(nèi)力截面法軸力及軸力圖212-2內(nèi)力截面法軸力及軸力圖例題 2.3 一等直桿及其受力情況如圖a所示，試作桿的軸力圖。40kN 55kN 25kN 20kN 222-2內(nèi)力截面法軸力及軸力圖解：為運(yùn)算方便，首先求出支反力FR(圖b)。由整個(gè)桿的平衡方程 得 FR=

9、10kNF1=40 kN F2=55 kN F3=25 kN F4=20 kN A B C D E(b) Fx=0, -FR - F1 + F2 - F3 + F4 = 023 在求AB段內(nèi)任一橫截面上的軸力時(shí)。應(yīng)用截面法研究截開(kāi)后左段桿的平。假定軸力FN1為拉力(圖c)，由平衡方程求得AB段內(nèi)任一橫截面上的軸力2-2內(nèi)力截面法軸力及軸力圖結(jié)果為正值故FNl為拉力。FN1 = FR = 10 KNFN1FRAx24 同理，可求得BC段的軸力(圖d)為 FN2 = FR+F1 = 50kN； CD段內(nèi)的軸力FN3= -F3+F4 = -5kN 為壓力(圖e)； DE段內(nèi)的軸力FN4 = F4 =

10、 20kN。按作軸力圖的規(guī)則，作出桿的軸力圖如圖f所示。FN,max發(fā)生在BC段內(nèi)的任一橫截面上，其值為50 kN2-2內(nèi)力截面法軸力及軸力圖252-3應(yīng)力拉（壓）桿內(nèi)的應(yīng)力1. 應(yīng)力的概念應(yīng)力：指受力桿件某一橫截面上一點(diǎn)處的內(nèi)力集度（內(nèi)力分布的密集程度）FAM若考察受力桿截面上M點(diǎn)處應(yīng)力,可在M點(diǎn)周?chē)∫缓苄∶娣e ,設(shè) 面積上分布內(nèi)力的合力為 ,則 上內(nèi)力平均集度為:Pm = F/APm即A上的平均應(yīng)力26注意：截面M-M上的分布內(nèi)力常常不是均勻的，因此，平均應(yīng)力Pm的大小及方向都將隨所取微小面積A的大小而不同方法：若要計(jì)算分布內(nèi)力在M點(diǎn)處的集度，可令A(yù)無(wú)限縮小趨于零，求極限值：（2-1）式

11、中， ：為微小面積； ： 上的應(yīng)力合力 P：M點(diǎn)處總應(yīng)力（分布內(nèi)力集度） 27由于內(nèi)力合力F為矢量，因此，在M點(diǎn)處總應(yīng)力p也是個(gè)矢量，其方向既不與截面垂直，也不與切面相切pM28pM垂直于截面的應(yīng)力稱(chēng)為“正應(yīng)力”:正應(yīng)力的概念29位于截面內(nèi)的應(yīng)力稱(chēng)為“切應(yīng)力”: 切應(yīng)力的概念pM30應(yīng)力的基本特征：（1）必須明確截面及點(diǎn)的位置；相應(yīng)地，討論應(yīng)力時(shí)要（A）既要指明截面；（B）也要指明點(diǎn)（2）是矢量，既有數(shù)值大小(包括有關(guān)的單位)，又有方向 正應(yīng)力：拉為正（離開(kāi)截面為正），壓為負(fù)（指向截面為負(fù)） 切應(yīng)力：順時(shí)針為正；逆時(shí)針為負(fù)（3）單位：Pa(帕)和MPa(兆帕) ；1 MPa=106 Pa（4）

12、截面上各點(diǎn)應(yīng)力與微分面積dA的乘積的合成為該截面上的內(nèi)力（ 即：Fs.dA求積分 ）31基本原則：拉（壓）桿橫截面上的內(nèi)力為軸力，其方向垂直于橫截面，且通過(guò)橫截面的形心，對(duì)橫截面上各點(diǎn)應(yīng)力與微面積dA之乘積進(jìn)行合成，即為該截面上的內(nèi)力顯然，截面上各點(diǎn)處的切應(yīng)力不可能合成為一個(gè)垂直于截面的軸力（原因：軸力垂直于切應(yīng)力），與軸力相應(yīng)的只可能是垂直于截面的正應(yīng)力考察桿件在受力后表面上的變形情況，并由表及里地做出桿件內(nèi)部變形情況的幾何假設(shè)，再根據(jù)力與變形間的物理關(guān)系得到應(yīng)力在截面上的變化規(guī)律，得到以?xún)?nèi)力表示的應(yīng)力計(jì)算公式 2-3 應(yīng)力拉（壓）桿內(nèi)的應(yīng)力2. 拉（壓）桿橫截面上的應(yīng)力322-3 應(yīng)力拉（

13、壓）桿內(nèi)的應(yīng)力2. 拉（壓）桿橫截面上的應(yīng)力 取一等直桿(圖a)，在其側(cè)面作相鄰的兩條橫向線(xiàn)ab和cd，然后在桿兩端施加一對(duì)軸向拉力F使桿發(fā)生變形。此時(shí)，可觀察到該兩橫向線(xiàn)移到ab和cd(圖b中的虛線(xiàn))。根據(jù)這一現(xiàn)象，設(shè)想橫向線(xiàn)代表?xiàng)U的橫截面、于是，可假設(shè)原為平面的橫截面在桿變形后仍為平面，稱(chēng)為平面假設(shè)。33 根據(jù)平面假設(shè)，拉桿變形后兩橫截面將沿桿軸線(xiàn)作相對(duì)平移，也就是說(shuō)，拉桿在其任意兩個(gè)橫截面之間縱向線(xiàn)段的伸長(zhǎng)變形是均勻的。 由于假設(shè)材料是均勻的，而桿的分布內(nèi)力集度又與桿縱向線(xiàn)段的變形相對(duì)應(yīng)，因而，拉桿在橫截面上的分布內(nèi)力也是均勻分布的，即橫截面上各點(diǎn)處的正應(yīng)力 都相等(見(jiàn)圖c，d)。F F

14、N34即得拉桿橫截面上正應(yīng)力 的計(jì)算公式(2-2)按靜力學(xué)求合力的概念，計(jì)算如下：FN = A dA = AdA = A FN：為軸力；A：桿的橫截面面積35對(duì)軸向壓縮的桿、上式同樣適用。由于前面已規(guī)定了軸力的正負(fù)號(hào)，由公式(2-2)可知，正應(yīng)力 也隨軸力FN而有正負(fù)之別：拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。相同原理下進(jìn)行計(jì)算36注意:上式是根據(jù)正應(yīng)力在桿橫截面上各點(diǎn)處相等這一結(jié)論而導(dǎo)出的,只在桿上離外力作用點(diǎn)較遠(yuǎn)的部分適用在外力作用點(diǎn)附近，由于桿端連接方式的不同，應(yīng)力情況較為復(fù)雜， 可使得 x FN = A dA = AdA = A 37正應(yīng)力和軸力FN 同號(hào)。即拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)公式的應(yīng)用條件：1

15、)直桿、2)桿的截面無(wú)突變、3)截面離載荷作用點(diǎn)有一定 的距離。382-3應(yīng)力拉（壓）桿內(nèi)的應(yīng)力圣維南（Saint-Venant）原理：外力作用于桿端的方式不同,只在距桿端距離不大于橫向尺寸的范圍內(nèi)影響較大，以外區(qū)域影響較小,可忽略不計(jì)圣維南原理已被大量實(shí)驗(yàn)證實(shí)，因此，在拉（壓）桿的應(yīng)力計(jì)算中，都以下式為準(zhǔn)： = FN / A2. 拉（壓）桿橫截面上的應(yīng)力39當(dāng)?shù)戎睏U受幾個(gè)軸向外力作用時(shí)由軸力圖可求得其最大軸力FN,max，代入上式即得桿內(nèi)的最大正應(yīng)力為：（2-3）最大軸力所在的橫截面稱(chēng)為危險(xiǎn)截面危險(xiǎn)截面上的正應(yīng)力稱(chēng)為最大工作應(yīng)力2. 拉（壓）桿橫截面上的應(yīng)力2-3應(yīng)力拉（壓）桿內(nèi)的應(yīng)力max

16、 = FN,max / A40例題2.4 一橫截面為正方形的磚柱分上、下兩段，其受力情況、各段長(zhǎng)度及橫截面尺寸如圖a所示。己知F50 kN，試求荷載引起的最大工作應(yīng)力由于磚柱為變截面桿，故須求出每段柱的橫截面上的正應(yīng)力；從而確定全柱的最大工作應(yīng)力。1,II兩段柱(圖a)橫截面上的正應(yīng)力，分別由軸力圖及橫截面尺寸算得為：1 = FN1/A1 =- 50103 N(0.24m)(0.24m)= - 0.87106 Pa = - 0.87 MPa解：首先作柱的軸力圖如圖b所示為壓應(yīng)力IIIA(a)(b)50 kN150 kN41由上述結(jié)果可見(jiàn)：磚柱的最大工作應(yīng)力在柱的下段（II段），其值為 -1.1

17、 MPa，是壓應(yīng)力IIIA(a)(b)2 = FN2/A2 =- 150103 N(0.37m)(0.37m)= - 1.1106 Pa = - 1.1 MPa壓應(yīng)力50 kN150 kN422-3應(yīng)力拉（壓）桿內(nèi)的應(yīng)力3. 拉（壓）桿斜截面上的應(yīng)力斜截面上的內(nèi)力F為 F = F 斜截面面積 A與橫截面面積A之間的關(guān)系為 A=A/cos總應(yīng)力：正應(yīng)力：切應(yīng)力：拉桿在橫截面（ = 0）上正應(yīng)力 = F/A 計(jì)算與橫截面成 角任一斜截面上的應(yīng)力F變形假設(shè)：平面假設(shè)仍成立，即斜截面變形后仍為平面。根據(jù)材料均勻性及平面假設(shè)，斜截面上各點(diǎn)處的總應(yīng)力p相等；于是可推論：43兩式表達(dá)了通過(guò)拉桿內(nèi)任一點(diǎn)處不同

18、方位斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力隨 角 而改變的規(guī)律通過(guò)某一點(diǎn)的所有不同方位截面上應(yīng)力的全部情況，稱(chēng)為該點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)FFF在所研究的拉桿中，如果一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)由其橫截面上的正應(yīng)力即可完全確定，這樣的應(yīng)力狀態(tài)稱(chēng)為單軸應(yīng)力狀態(tài)442-3應(yīng)力拉（壓）桿內(nèi)的應(yīng)力斜截面上正應(yīng)力和切應(yīng)力的正負(fù)規(guī)定： 正應(yīng)力：拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)；切應(yīng)力：繞研究對(duì)象順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正，反之為負(fù)。3. 拉（壓）桿斜截面上的應(yīng)力45顯然：1)通過(guò)拉桿內(nèi)某一點(diǎn)的橫截面上的正應(yīng)力，是通過(guò)該點(diǎn)的所有不同方位截面上正應(yīng)力中的最大值。 2) 通過(guò)拉桿內(nèi)某一點(diǎn)的與橫截面成45度的斜截面上的切應(yīng)力，是拉桿所有不同方位截面上切應(yīng)力中的最大值46

19、1. 縱向變形（軸向伸長(zhǎng)或縮短）縱向伸長(zhǎng)FFl2-4拉（壓）桿內(nèi)的變形胡克定律設(shè)拉桿的原長(zhǎng)為l，承受一對(duì)軸向拉力F的作用而伸長(zhǎng)后，其長(zhǎng)度增為l1，如圖，則桿的縱向伸長(zhǎng)為：472-4拉（壓）桿內(nèi)的變形胡克定律1. 縱向變形（軸向伸長(zhǎng)或縮短）每單位長(zhǎng)度的伸長(zhǎng)(或縮短)，稱(chēng)為線(xiàn)應(yīng)變，并用記號(hào)表示。符號(hào)：拉伸（），壓縮（） 適用范圍：均勻變形?？v向線(xiàn)應(yīng)變(2-4)482-4拉（壓）桿內(nèi)的變形胡克定律FFdhd1ll12.橫向應(yīng)變 橫向變形 橫向應(yīng)變符號(hào)：壓縮（），拉伸（） 492-4拉（壓）桿內(nèi)的變形胡克定律實(shí)驗(yàn)表明，在比例極限內(nèi)，桿的軸向變形l與外力F及桿長(zhǎng)l成正比，與橫截面積A成反比。即：3.胡克

20、定律引入比例常數(shù) E，則：（2-5 ）胡克定律E 稱(chēng)為彈性模量，是表示材料彈性性質(zhì)的一個(gè)常數(shù)。單位：MPa、GPa。彈性形變范圍50彈性模量E代表材料抵抗彈性變形的能力彈性模量E的數(shù)值由材料本身的性能確定，故因材料而異彈性模量E的數(shù)值不能計(jì)算得到，必須通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)定512-4拉（壓）桿內(nèi)的變形胡克定律3. 胡克定律EA 桿件的抗拉伸（壓縮）剛度。對(duì)于長(zhǎng)度相等且受力相同的拉桿，其拉伸剛度越大則拉桿的變形越小。 由于FFN，故上式可改寫(xiě)為：52顯然，軸力FN與變形l的正負(fù)號(hào)是相同的，即當(dāng)軸力FN是拉力為正時(shí)，求得的變形l 是伸長(zhǎng)也為正，反之亦然上式同樣適用于壓桿53得到胡克定律另一形式：（2-6 ）

21、2-4拉（壓）桿內(nèi)的變形胡克定律3. 胡克定律上式可改寫(xiě)為式中， 為桿內(nèi)任一點(diǎn)處的縱向線(xiàn)應(yīng)變； 為桿橫截面上的正應(yīng)力。應(yīng)力-應(yīng)變方程54552-4拉（壓）桿內(nèi)的變形胡克定律3. 胡克定律 式(26)是經(jīng)過(guò)改寫(xiě)后的胡克定律，它不僅適用于拉(壓)桿，而且還可以更普遍地用于所有的單軸應(yīng)力狀態(tài)，故通常又稱(chēng)其為單軸應(yīng)力狀態(tài)下的胡克定律。（2-6 ）564. 泊松比（或橫向變形因數(shù)）2-4拉（壓）桿內(nèi)的變形胡克定律 對(duì)于橫向線(xiàn)應(yīng)變，實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)拉(壓)稈內(nèi)的應(yīng)力不超過(guò)材料的比例極限時(shí)，它與縱向線(xiàn)應(yīng)變的絕對(duì)值之比為一常數(shù)，此比值稱(chēng)為橫向變形系數(shù)或泊松比。通常用表示，即（2-7 a ） 數(shù)值因材料而異，也是要

22、通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)定的。57考慮到兩應(yīng)變的正負(fù)號(hào)恒相反。故有：（2-7 b）4. 泊松比（或橫向變形因數(shù)）2-4拉（壓）桿內(nèi)的變形胡克定律上式說(shuō)明：一點(diǎn)處的橫向線(xiàn)應(yīng)變與該點(diǎn)處的縱向正應(yīng)力也成正比，但正負(fù)號(hào)相反。582-4拉（壓）桿內(nèi)的變形胡克定律 彈性模量E和泊松比 都是材料的彈性常數(shù)。下表中給以了一些材科的E和的約值。59例題2.5AB長(zhǎng)2m, 面積為200mm2。AC面積為250mm2。E=200GPa。F = 10kN。試求節(jié)點(diǎn)A的位移。解：1、計(jì)算軸力。（設(shè)斜桿為1桿，水平桿為2桿）取節(jié)點(diǎn)A為研究對(duì)象2、根據(jù)胡克定律計(jì)算桿的變形。AF300斜桿伸長(zhǎng)水平桿縮短2-4拉（壓）桿內(nèi)的變形胡克定律60

23、AF3002-4拉（壓）桿內(nèi)的變形胡克定律因變形后兩桿仍餃接在一起，所以必須滿(mǎn)足變形的幾何相容條件。因此，分別以B、C點(diǎn)為圓心，以?xún)蓷U伸長(zhǎng)后的長(zhǎng)度BA1、CA2為半徑作圓弧，它們的交點(diǎn)A(見(jiàn)左圖)即為A點(diǎn)的新位置。613、節(jié)點(diǎn)A的位移（以過(guò)A1、A2的切線(xiàn)代替圓弧）AF300622-5拉（壓）桿的應(yīng)變能1. 應(yīng)變能彈性體在受力后要發(fā)生變形，同時(shí)彈性體內(nèi)將積蓄能量例如鐘表的發(fā)條(彈性體)被擰緊(發(fā)生變形)以后，在它放松的過(guò)程中將帶動(dòng)齒輪系，使指針轉(zhuǎn)動(dòng)，這樣，發(fā)條就作了功。說(shuō)明擰緊了的發(fā)條具有作功的本領(lǐng)，這是因?yàn)榘l(fā)條在擰緊狀態(tài)下積蓄有能量為了獲得計(jì)算這種能量的依據(jù)， 現(xiàn)以受重力作用且僅發(fā)生彈性變形

24、的拉桿為例。利用能量守恒原理來(lái)推出上述關(guān)系63 設(shè)桿的上端固定，在其下端的小盤(pán)上逐漸地增加重量。每加一點(diǎn)重量，桿將相應(yīng)地有一點(diǎn)伸長(zhǎng)，已在盤(pán)上的重物也相應(yīng)地下沉，因而重物的位能將減少。由于重量是逐漸增加的。故在加載過(guò)程中，可認(rèn)為桿沒(méi)有動(dòng)能改變。 按能量守恒原理，略去其它微小的能量損耗不計(jì)，重物失去的位能將全部轉(zhuǎn)變?yōu)榉e蓄在桿內(nèi)的能量。因?yàn)闂U的變形是彈性變形，故在卸除荷裁以后這種能量又隨變形的消失而全部轉(zhuǎn)換為其它形式的能量。 這種伴隨著彈性變形的增減而改變的能量稱(chēng)為應(yīng)變能。642-5 拉（壓）桿的應(yīng)變能顯然，應(yīng)變能等于重物所失去的位能，而重物所失去的位能等于下沉所做的功，推廣到一般彈性體受靜荷載(不

25、一定是重力)作用的情況，可以認(rèn)為在彈性體的變形過(guò)程中，積蓄在彈性體內(nèi)的應(yīng)變能V在數(shù)值上等于外力所作的功W，即 V （應(yīng)變能） = W （外力所做的功）上式稱(chēng)為彈性體的“功-能原理”。應(yīng)變能V的單位為J（2-8 ）652-5拉（壓）桿的應(yīng)變能2. 應(yīng)變能密度 為推導(dǎo)拉桿應(yīng)變能的計(jì)算式，先求外力所作的功W。在靜荷載F的作用下,桿伸長(zhǎng)了L，這就是拉力F的作用點(diǎn)的位移。力F對(duì)此位移所作的功可以從F與L的關(guān)系圖線(xiàn)下的面積來(lái)計(jì)算。由于在彈性變形范圍內(nèi)F與L成線(xiàn)性關(guān)系，如圖所示，于是，可求得F力所作的功W為 662-5拉（壓）桿的應(yīng)變能利用能量守恒原理： V （應(yīng)變能） =W （外力所做的功）可得： （2-

26、9 ）672-5拉（壓）桿的應(yīng)變能2. 應(yīng)變能密度 由于在拉桿的各橫截面上所有點(diǎn)處的應(yīng)力均相同，故桿的單位體積內(nèi)所積蓄的應(yīng)變能，可由桿的應(yīng)變能V除以桿的體積V來(lái)計(jì)算。這種單位體積內(nèi)的應(yīng)變能，稱(chēng)為應(yīng)變能密度，并用v表示，于是應(yīng)變能密度的單位為Jm3。注意：這些公式只適用于線(xiàn)彈性范圍以?xún)?nèi)。（2-10 ）682-6材料在拉伸和壓縮時(shí)的力學(xué)性能力學(xué)性能：材料在外力作用下在變形、破壞方面的特性。都要通過(guò)實(shí)(試)驗(yàn)來(lái)測(cè)定關(guān)鍵試驗(yàn)條件：1、溫度(常溫20)（? 材料模量受溫度影響極大） 2、“靜”載（緩慢地加載）(? 保證彈性變形范圍檢測(cè)）3、標(biāo)準(zhǔn)試件（? 保證幾何形狀和受力符合軸向拉伸）一、材料的拉伸和壓

27、縮試驗(yàn)：最常見(jiàn)的力學(xué)性能實(shí)驗(yàn)上述條件下所測(cè)得的力學(xué)性能為常溫、靜荷載下材料拉伸（壓縮）力學(xué)性能69標(biāo)準(zhǔn)試件的制備對(duì)圓截面標(biāo)準(zhǔn)式樣：對(duì)矩形截面標(biāo)準(zhǔn)式樣：壓縮試件：l =（1.53）b避免實(shí)驗(yàn)過(guò)程壓彎拉伸試件：l = 10 或 5dd - 橫截面直徑壓縮試件：h = (13)d 拉伸試件：l = 或 工作段必須等直！70兩類(lèi)試驗(yàn)儀器：萬(wàn)能材料試驗(yàn)機(jī)；變形儀（常用引伸儀）。2-6材料在拉伸和壓縮時(shí)的力學(xué)性能萬(wàn)能試驗(yàn)機(jī)：是用來(lái)使試樣發(fā)生變形(伸長(zhǎng)或縮短)和測(cè)定試樣的抗力(即內(nèi)力)的。712、試驗(yàn)儀器：萬(wàn)能材料試驗(yàn)機(jī)；變形儀（常用引伸儀）。2-6材料在拉伸和壓縮時(shí)的力學(xué)性能變形儀：是用來(lái)量測(cè)試樣變形的將

28、微小的變形放大，能在所需的精度范圍內(nèi)量測(cè)試樣的變形。722-6材料在拉伸和壓縮時(shí)的力學(xué)性能二、低碳鋼試件的拉伸圖(PL圖)及其力學(xué)性能 低碳鋼是工程上最廣泛使用的材料，同時(shí)，低碳鋼試祥在拉伸試驗(yàn)中所表現(xiàn)出的變形與抗力間的關(guān)系也比較典型。 一般萬(wàn)能試驗(yàn)機(jī)可以自動(dòng)給出試樣在試驗(yàn)過(guò)程中工作段的伸長(zhǎng)與抗力間定量的關(guān)系曲線(xiàn)。曲線(xiàn)以橫坐標(biāo)代表試樣工作段的伸長(zhǎng)L ，而以縱坐標(biāo)代表萬(wàn)能試驗(yàn)機(jī)上的荷載F。稱(chēng)為試樣的拉伸圖。fFOleabcd732-6材料在拉伸和壓縮時(shí)的力學(xué)性能 由圖可見(jiàn)，低碳鋼在整個(gè)拉伸試驗(yàn)過(guò)程中，其工作段的伸長(zhǎng)量與荷載間的關(guān)系大致可分為以下四個(gè)階段。階段I 試樣的變形完全是彈性的，全部卸除荷

29、載后，試祥將恢復(fù)其原長(zhǎng)，這一階段稱(chēng)為彈性階段。低碳鋼試樣在此階段內(nèi)，其伸長(zhǎng)段與荷載之間成正比關(guān)系，即式742-6材料在拉伸和壓縮時(shí)的力學(xué)性能階段 試樣的伸長(zhǎng)量急劇地增加，而荷載讀數(shù)卻在很小的范圍內(nèi)波動(dòng)。即試樣的荷載基本不變而試樣卻不斷伸長(zhǎng)。這一現(xiàn)象稱(chēng)為屈服，這一階段則稱(chēng)為屈服階段。此時(shí)出現(xiàn)的變形，是不可恢復(fù)的塑性變形。在試樣表面將可看到大約與軸線(xiàn)成45。方向的條紋(圖b)，是由材料沿試樣的最大切應(yīng)力面發(fā)生滑移而出現(xiàn)的，稱(chēng)為滑移線(xiàn)。與橫截面成45度的斜截面上的切應(yīng)力，是所有不同方位截面上切應(yīng)力中的最大值752-6材料在拉伸和壓縮時(shí)的力學(xué)性能階段 試祥經(jīng)過(guò)屈服階段后，若要使其繼續(xù)伸長(zhǎng)，由于材料在塑

30、性變形過(guò)程中不斷發(fā)生強(qiáng)化。因而試樣中的抗力不斷增長(zhǎng),這一階段稱(chēng)為強(qiáng)化階段。 在強(qiáng)化階段中試樣的變形主要是塑性變形，所以要比在彈性階段內(nèi)試樣的變形大得多。橫向尺寸明顯變小76階段IV 試樣伸長(zhǎng)到一定程度后，荷載讀數(shù)反而逐漸降低。此時(shí)可以看到試樣某一段內(nèi)的橫截面面積顯著地收縮，出現(xiàn)如圖c所示的“縮頸”現(xiàn)象。 在試樣繼續(xù)伸長(zhǎng)(主要是“縮頸”部分的伸長(zhǎng))的過(guò)程小，由于“縮頸”部分的橫截面向積急劇縮小。因此，荷載讀數(shù)(即試樣的抗力)反而降低，一直到試樣被拉斷。這一階段稱(chēng)為局部變形階段。2-6材料在拉伸和壓縮時(shí)的力學(xué)性能772-6材料在拉伸和壓縮時(shí)的力學(xué)性能 若在強(qiáng)化階段中停止加載，并逐漸卸除荷載，則可看

31、到，在這一過(guò)程中荷載與試樣的伸長(zhǎng)之間遵循直線(xiàn)關(guān)系，該直線(xiàn)bc與彈性階段內(nèi)的直線(xiàn)O近乎平行。卸載時(shí)荷載與伸長(zhǎng)量之間遵照直線(xiàn)關(guān)系的規(guī)律稱(chēng)為材料的卸載規(guī)律。 78 強(qiáng)化階段中，試樣變形包括彈性變形le和塑性變形l p 兩部分，在卸載過(guò)程中，彈性變形逐漸消失，只留下塑性變形。 如果卸載后立即再加荷載，則荷載與伸長(zhǎng)量間基本上仍遵循著卸載時(shí)的同一直線(xiàn)關(guān)系，一直到開(kāi)始卸載時(shí)的荷載為止。再往后則大體上遵循著原來(lái)拉伸圖的曲線(xiàn)關(guān)系。792-6材料在拉伸和壓縮時(shí)的力學(xué)性能 若對(duì)試樣預(yù)先施加軸向拉力，使之達(dá)到強(qiáng)化階段，然后卸載(例如左下圖中的b點(diǎn)處卸載)，則當(dāng)再加荷載時(shí)，試樣在線(xiàn)彈性范圍內(nèi)所能承受的最大荷載將增大，而

32、試樣所能經(jīng)受的塑性變形降低(右圖)。這一現(xiàn)象稱(chēng)為材料的冷作硬化。l802-6材料在拉伸和壓縮時(shí)的力學(xué)性能 在工程上常利用冷作硬化來(lái)提高鋼筋和綱纜繩等構(gòu)件在線(xiàn)彈性范圍內(nèi)所能承受的最大荷載。值得注意的是，若試樣拉伸至強(qiáng)化階段后卸載，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后再受拉，則其線(xiàn)彈性范圍的最大荷載還有所提高，如左下圖中虛線(xiàn)cb所示。這種現(xiàn)象稱(chēng)為冷作時(shí)效。影響冷作時(shí)效的兩個(gè)因素：1、卸載后至加載的時(shí)間間隔2、式樣所處溫度81注意：拉伸圖與試樣的幾何尺寸有關(guān)，即縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)均與試樣尺寸有關(guān)，只能代表某試樣的力學(xué)性能。為了消除試樣尺寸的影響，把拉力F 除以試樣的原始面積A，得正應(yīng)力；同時(shí)把l 除以試樣工作段的原始長(zhǎng)度l

33、，再作圖，所得曲線(xiàn)即與試樣的尺寸無(wú)關(guān)，方可以代表材料的力學(xué)性能，稱(chēng)為應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)或-曲線(xiàn)。 = F / A82特別注意，圖中： 1、低碳鋼的應(yīng)力是以相應(yīng)的內(nèi)力除以試樣橫截面的原面積所得（縱坐標(biāo)），而實(shí)際上超過(guò)屈服階段以后，試樣直徑已顯著縮小，以原始面積求得的面積并不代表試樣橫截面上的真實(shí)應(yīng)力，實(shí)質(zhì)上是名義應(yīng)力（稱(chēng)為工程應(yīng)力） 2、超過(guò)屈服階段之后，試樣長(zhǎng)度顯著增加，以試樣工作段的伸長(zhǎng)量除以試樣的原長(zhǎng)而得的應(yīng)變（橫坐標(biāo)）不代表試樣真實(shí)應(yīng)變，因而是名義應(yīng)變(工程應(yīng)變) = F / A83四個(gè)階段1、彈性階段ob材料的比例極限：a點(diǎn)是符合胡克定律的最高限應(yīng)力；材料的彈性極限：b點(diǎn)是卸載后不發(fā)生塑性

34、變形的極限應(yīng)力。2、屈服階段bc屈服高限：最高點(diǎn)應(yīng)力（加載速度等很多因素對(duì)其影響大）屈服低限：最低點(diǎn)應(yīng)力（較穩(wěn)定）屈服極限：屈服低限。3、強(qiáng)化階段ce強(qiáng)度極限：取試樣名義應(yīng)力的最大值。常稱(chēng)為材料的拉伸強(qiáng)度4、局部變形階段ef2-6材料在拉伸和壓縮時(shí)的力學(xué)性能對(duì)于低碳鋼而言，極限應(yīng)力s及b是衡量材料強(qiáng)度的重要指標(biāo)實(shí)際區(qū)別不大，統(tǒng)稱(chēng)彈性極限84 試樣拉斷后，彈性變形消失，塑性變形保留，試樣的長(zhǎng)度由 l 變?yōu)?l1，橫截面積原為 A ，斷口處的最小橫截面積為 A1 斷面收縮率 伸長(zhǎng)率 5%的材料，稱(chēng)作塑性材料； 5%)，它們和低碳鋼一樣都屬于塑性材料88OseA0.2%Ps0.2三、其它金屬材料拉伸

35、時(shí)的力學(xué)性能無(wú)明顯屈服階段的，規(guī)定以塑性應(yīng)變ep = 0.2% 所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力作為名義屈服極限(即屈服強(qiáng)度)，記作sp0.2 2-6材料在拉伸和壓縮時(shí)的力學(xué)性能此直線(xiàn)與彈性變形階段的直線(xiàn)平行8990三、其它金屬材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能 另外一類(lèi)典型材料的共同特點(diǎn)是伸長(zhǎng)率均很小，稱(chēng)為脆性材料。通常以伸長(zhǎng)率 25作為定義脆性材料的界限。圖示的就是脆性材料灰口鑄鐵在拉伸時(shí)的-曲線(xiàn)。從很低的應(yīng)力開(kāi)始就不是直線(xiàn)，但直到拉斷時(shí)試樣的變形都非常小，沒(méi)有屈服階段、強(qiáng)化階段、局部變形階段。2-6材料在拉伸和壓縮時(shí)的力學(xué)性能在工程計(jì)算中，通常取總應(yīng)變?yōu)?.1時(shí)， -曲線(xiàn)的割線(xiàn)(圖中的虛線(xiàn))斜率來(lái)確定其彈性模量，稱(chēng)為割線(xiàn)

36、彈性模量。912-6材料在拉伸和壓縮時(shí)的力學(xué)性能四、 金屬材料壓縮時(shí)的力學(xué)性能常溫、靜載、標(biāo)準(zhǔn)試樣1. 試件和實(shí)驗(yàn)條件922-6材料在拉伸和壓縮時(shí)的力學(xué)性能2. 低碳鋼壓縮 s低碳鋼壓縮應(yīng)力應(yīng)變曲線(xiàn)低碳鋼壓縮時(shí)的彈性模量E、屈服極限s都與拉伸時(shí)大致相同屈服階段后，試件越壓越扁，橫截面面積不斷增大，試件不可能被壓斷，因此得不到壓縮時(shí)的強(qiáng)度極限Oe 低碳鋼拉伸應(yīng)力應(yīng)變曲線(xiàn)932-6材料在拉伸和壓縮時(shí)的力學(xué)性能3.鑄鐵壓縮時(shí)的-曲線(xiàn)與塑性材料不同，脆性材料在壓縮和拉伸時(shí)的力學(xué)件能有較大的區(qū)別。例如灰口鑄鐵在拉伸(虛線(xiàn))和壓縮(實(shí)線(xiàn))時(shí)的-曲線(xiàn)受壓時(shí)破壞情況：沿與軸線(xiàn)大致成5055傾角的斜截面發(fā)生錯(cuò)動(dòng)

37、而破壞94比較這兩條曲線(xiàn)可以看出：(1)鑄鐵在壓縮時(shí)無(wú)論是強(qiáng)度極限還是伸長(zhǎng)率都比在拉伸時(shí)要大得多，因而這種材料宜用作受壓構(gòu)件(2)鑄鐵無(wú)論在拉伸或壓縮時(shí)，其-曲線(xiàn)中的直線(xiàn)部分都很短，因此，只能認(rèn)為是近似地符合胡克定律無(wú)實(shí)質(zhì)性彈性形變95 總結(jié)：根據(jù)材料在常溫、靜荷載下拉伸試驗(yàn)所得的伸長(zhǎng)率大小，將材料區(qū)分為塑性材料和脆性材料。這兩類(lèi)材料在力學(xué)性能上的主要差異是： 塑性材料在斷裂時(shí)的變形較大，塑性指標(biāo)(伸長(zhǎng)率和斷面收縮率)較高，抗拉斷的能力較好，其常用的強(qiáng)度指標(biāo)是屈服極限，而且在拉伸和壓縮時(shí)的屈服極限值相同； 脆性材料在斷裂前的變形較小，塑性指標(biāo)較低，其強(qiáng)度指標(biāo)是強(qiáng)度極限，而且其拉伸強(qiáng)度(b)遠(yuǎn)低

38、于壓縮強(qiáng)度(bc) 。 96但是，材料是塑性的還是脆性的,隨材料所處的溫度、應(yīng)變率、應(yīng)力狀態(tài)等條件的變化而不同。 例如：具有尖銳切槽的低碳鋼試樣，在軸向拉伸時(shí)將在切槽處發(fā)生突然的脆性斷裂；而在很大的外壓作用下，鑄鐵試樣在軸向拉伸時(shí)也將發(fā)生大的塑性變形和縮頸現(xiàn)象972-6材料在拉伸和壓縮時(shí)的力學(xué)性能五、幾種非金屬材料的力學(xué)性能1)混凝土（水泥、石子和砂經(jīng)水合作用而成）石子尺寸遠(yuǎn)小于構(gòu)件尺寸，材料力學(xué)上看作近似勻質(zhì)，屬各向同性材料。屬脆性材料，一般用于抗壓構(gòu)件2）木材（存在方向性木紋）垂直和平行于木紋方向力學(xué)性能具有很大的方向性，屬各向異性材料。3）玻璃鋼（玻璃纖維與熱固性樹(shù)脂粘合成的復(fù)合材料）沿

39、纖維取向方向強(qiáng)度大，屬各向異性材料。優(yōu)點(diǎn)：重量輕，比強(qiáng)度高，工藝簡(jiǎn)單，耐腐蝕，抗振性能好982-7 強(qiáng)度條件 安全系數(shù) 許用應(yīng)力1.拉壓桿的強(qiáng)度條件 在得到拉(壓)桿的最大工作應(yīng)力后，并不能判斷桿件是否會(huì)因強(qiáng)度不足而發(fā)生破壞。只有把桿件的最大工作應(yīng)力與材料的強(qiáng)度指標(biāo)聯(lián)系起來(lái)，才能作出判斷。材料力學(xué)中為便于說(shuō)明問(wèn)題，將材料的兩個(gè)強(qiáng)度指標(biāo)s（屈服點(diǎn)應(yīng)力，針對(duì)塑性材料）和b（拉伸強(qiáng)度，針對(duì)脆性材料）統(tǒng)稱(chēng)為極限應(yīng)力，并用u表示。為確保拉(壓)桿不至于因強(qiáng)度不足而破壞，桿件的最大工作應(yīng)力max 應(yīng)小于材料的極限應(yīng)力u992-7強(qiáng)度條件 安全系數(shù) 許用應(yīng)力1. 拉壓桿的強(qiáng)度條件顯然，可規(guī)定最大工作應(yīng)力ma

40、x為極限應(yīng)力u的若干分之一，并稱(chēng)之為材料在拉伸(壓縮)時(shí)的許用應(yīng)力，以表示,即n是一個(gè)大于1的因數(shù)，稱(chēng)為安全因數(shù)(或安全系數(shù))。（2-11 ）100確保拉(壓)桿不因強(qiáng)度不足而破壞的強(qiáng)度條件為：不超過(guò)許用應(yīng)力 , 即：2-7強(qiáng)度條件 安全系數(shù) 許用應(yīng)力根據(jù)強(qiáng)度條件可進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算：強(qiáng)度校核 (判斷構(gòu)件是否破壞)設(shè)計(jì)截面 (構(gòu)件截面多大時(shí)，才不會(huì)破壞)求許可載荷 (構(gòu)件最大承載能力)（2-12 ）（2-13 ）max max FN,max/A sAFN,maxsN,maxFA1012. 許用應(yīng)力的選用工作應(yīng)力AFN,max=s對(duì)于塑性材料,因顯著塑性變形時(shí)影響正常工作，故取屈服應(yīng)力u （屈服極限）

41、為極限應(yīng)力,即: u= s 或 p0.2 注: p0.2為塑性材料沒(méi)有屈服階段時(shí)的情況(例:鋁合金),因?yàn)榇藭r(shí)規(guī)定p0.2（0.2%塑性應(yīng)變時(shí)應(yīng)力）為材料的屈服應(yīng)力塑性材料的許用應(yīng)力故:n：安全系數(shù)極限應(yīng)力u102對(duì)于脆性材料,由于它直到破壞為止都不會(huì)產(chǎn)生明顯的塑性變形，只有在斷裂才傷失正常工作能力，應(yīng)取拉伸(壓縮)強(qiáng)度bt（bc） （強(qiáng)度極限）為極限應(yīng)力u ，即:u= bt 或 bc 脆性材料的許用應(yīng)力故:103確定安全系數(shù)要兼顧經(jīng)濟(jì)與安全，考慮以下幾方面： 理論與實(shí)際差別：材料非均質(zhì)連續(xù)性、超載、加工制造不準(zhǔn)確性、工作條件與實(shí)驗(yàn)條件差異、計(jì)算模型過(guò)于理想化。 足夠的安全儲(chǔ)備：根據(jù)構(gòu)件與結(jié)構(gòu)的重要性。脆性材料破壞以斷裂為標(biāo)志，而塑性材料破壞以發(fā)生一定程度塑性變形為標(biāo)志，顯然危險(xiǎn)性不同，因此塑性材料可取較小n值、而脆性材料應(yīng)取較大的n值。 安全系數(shù)的取值：安全系數(shù)是由多種因素決定的。各種材料在不同工作條件下的安全系數(shù)及許用應(yīng)力，可