分析力學(xué)思考題解答

1、第五章分析力學(xué)思考題解答5.1答:作.用于質(zhì)點(diǎn)上的力在任意虛位移中做的功即為虛功，而虛位移是假想的、 符合約束的、無(wú)限小的.即時(shí)位置變更，故虛功也是假想的、符合約束的、無(wú)限 小的.且與過程無(wú)關(guān)的功，它與真實(shí)的功完全是兩回事.從5w=z匚&r可知:i虛功與選用的坐標(biāo)系無(wú)關(guān)，這正是虛功與過程無(wú)關(guān)的反映；虛功對(duì)各虛位移中的 功是線性迭加，虛功對(duì)應(yīng)于虛位移的一次變分.在虛功的計(jì)算中應(yīng)注意：在任意 虛過程中假定隔離保持不變，這是虛位移無(wú)限小性的結(jié)果.虛功原理給出受約束質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件，比靜力學(xué)給出的剛體平衡條件有更普遍 的意義；再者，考慮到非慣性系中慣性力的虛功，利用虛功原理還可解決動(dòng)力學(xué) 問題，這是剛

2、體力學(xué)的平衡條件無(wú)法比擬的；另外，利用虛功原理解理想約束下 的質(zhì)點(diǎn)系的平衡問題時(shí)，由于約束反力自動(dòng)消去，可簡(jiǎn)便地球的平衡條件；最后 又有廣義坐標(biāo)和廣義力的引入得到廣義虛位移原理，使之在非純力學(xué)體系也能應(yīng) 用，增加了其普適性及使用過程中的靈活性.由于虛功方程中不含約束反力.故不 能求出約束反力，這是虛功原理的缺點(diǎn).但利用虛功原理并不是不能求出約束反 力，一般如下兩種方法：當(dāng)剛體受到的主動(dòng)力為已知時(shí)，解除某約束或某一方向 的約束代之以約束反力；再者，利用拉格朗日方程未定乘數(shù)法，景觀比較麻煩， 但能同時(shí)求出平衡條件和約束反力.5.2答因拉格朗日方程是從虛功原理推出的，而徐公原理只適用于具有理想約 束

3、的力學(xué)體系虛功方程中不含約束反力，故拉格朗日方程也只適用于具有理想約 束下的力學(xué)體系，氣不含約束力；再者拉格朗日方程是從力學(xué)體系動(dòng)能改變的 觀點(diǎn)討論體系的運(yùn)動(dòng)，而約束反作用力不能改變體系的動(dòng)能，故Oa不含約束反 作用力，最后，幾何約束下的力學(xué)體系其廣義坐標(biāo)數(shù)等于體系的自由度數(shù)，而幾 何約束限制力學(xué)體系的自由運(yùn)動(dòng)，使其自由度減小，這表明約束反作用力不對(duì)應(yīng) 有獨(dú)立的廣義坐標(biāo)，故Oa不含約束反作用力.這里討論的是完整系的拉格朗日方 程，對(duì)受有幾何約束的力學(xué)體系既非完整系，則必須借助拉格朗日未定乘數(shù)法對(duì) 拉格朗日方程進(jìn)行修正.廣義坐標(biāo)市確定質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系完整的獨(dú)立坐標(biāo)，它不一定是長(zhǎng)度，可以是角 度或其他

4、物理量，如面積、體積、電極化強(qiáng)度、磁化強(qiáng)度等.顯然廣義坐標(biāo)不一 定是長(zhǎng)度的量綱.在完整約束下，廣義坐標(biāo)數(shù)等于力學(xué)體系的自由度數(shù)；廣義力 明威力實(shí)際上不一定有力的量綱可以是力也可以是力矩或其他物理量，如壓強(qiáng)、 場(chǎng)強(qiáng)等等，廣義力還可以理解為；若讓廣義力對(duì)應(yīng)的廣義坐標(biāo)作單位值的改變， 且其余廣義坐標(biāo)不變，則廣義力的數(shù)值等于外力的功由 F -5r =9 5q =8W知，6喝 有功的量綱，據(jù)此關(guān)系已知其中一個(gè)量i ia aa ai=1a =1的量綱則可得到另一個(gè)量的量綱.若qa是長(zhǎng)度，則6a 一定是力，若6口是力矩，則 qa 一定是角度，若qa是體積，則6a 一定是壓強(qiáng)等.5.3答pa與qa不一定只相差

5、一個(gè)常數(shù)m，這要由問題的性質(zhì)、坐標(biāo)系的選取 形式及廣義坐標(biāo)的選用而定。直角坐標(biāo)系中質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)動(dòng)能 t =1 m(x2 +頂2 + z2)，若取y為廣義坐標(biāo)，則q =寧，而p =多=my = mq， TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark43 o Current Document 2yyoyy1相差一常數(shù)m，如定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體的動(dòng)能T = 216 2，取廣義坐標(biāo)qa=6，而p =烏=I6, p與q相差一常數(shù)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I，又如極坐標(biāo)系表示質(zhì)點(diǎn)的運(yùn) 6 0666動(dòng)動(dòng)能T = 1 m(r2+,262)，若取q =6 ，有q =9，而p =芻=mr26，二者2a66 06相差一

6、變數(shù)mr 2 ；若取q = r有q = r，而p =0T = mr二者相差一變數(shù)m .在 arr 0r自然坐標(biāo)系中T = 1 ms2，取q = s，有q = S = v，而p = ms，二者相差一變2aSS數(shù)m .從以上各例可看出：只有在廣義坐標(biāo)為長(zhǎng)度的情況下，pa與qa才相差一 常數(shù);在廣義坐標(biāo)為角量的情形下，pa與qa相差為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的量綱.pa為何比qa更富有物理意義呢？首先，pa對(duì)應(yīng)于動(dòng)力學(xué)量，他建立了系 統(tǒng)的狀態(tài)函數(shù)T、L或H與廣義速度、廣義坐標(biāo)的聯(lián)系，它的變化可直接反應(yīng) 系統(tǒng)狀態(tài)的改變，而qa是對(duì)應(yīng)于運(yùn)動(dòng)學(xué)量，不可直接反應(yīng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特征；再者，系統(tǒng)地拉格朗日函數(shù) L中不含某一廣義坐

7、標(biāo)q時(shí)，對(duì)應(yīng)的廣義動(dòng)量P. =* =常數(shù)，存在一循環(huán)積分，給解決問題帶來(lái)方便，而此時(shí)循環(huán)坐標(biāo)q對(duì) cq i應(yīng)的廣義速度q并不一定是常數(shù)，如平方反比引力場(chǎng)中L = 1 mG+0 2）+也， 2rL不含。，故有=章=海=常數(shù)但=。常數(shù)；最后，由哈密頓正則方程知P” qa是一組正則變量:哈密頓函數(shù)H中不含某個(gè)廣義坐標(biāo)q,時(shí)，對(duì)應(yīng)的廣義 動(dòng)量P,=常數(shù)，不含某個(gè)廣義動(dòng)量P,時(shí)，對(duì)應(yīng)的廣義坐標(biāo)qi =常數(shù)5.4答只有對(duì)于完整系，廣義坐標(biāo)數(shù)等于自由度數(shù)，才能消去所有的約束方程，式（5.3.13）a=1(d CT_、dt cq、acT+cqa+ Q qaa7各5q才能全部相互獨(dú)立，得到式（5.3.14），故

8、拉格朗日方程只適用于完整系， a非完整力學(xué)體系，描述體系的運(yùn)動(dòng)需要的廣義坐標(biāo)多于自由度數(shù)，各8qa不全部獨(dú)立，不能得到（5.3.14）式，但（5.3.13）式結(jié)合拉格朗日方程未定乘數(shù)法可用 于非完整系。5.6答力學(xué)體系在平衡位置附近的動(dòng)力學(xué)方程（5.4.4）得久期方程（本征值方 程）（5.4.6）式人2 + C弗| = 0，其中a, P= 1,2 . . S，久期方程的各根（本征值） 氣的性質(zhì)決定體系平衡位置附近的小振動(dòng)性質(zhì)。因從本征方程（5.4.6）式中可求出2S個(gè)的本征值氣（l = 1,22S），每一 個(gè)氣對(duì)應(yīng)一個(gè)獨(dú)立的常數(shù)故2S 2個(gè)常數(shù)中只有2S個(gè)是獨(dú)立的。5.7答多自由度體系的小振動(dòng)

9、，每一廣義坐標(biāo)對(duì)應(yīng)于S個(gè)主頻率的諧振動(dòng)的疊加。 若通過坐標(biāo)間線性變換使得每一廣義坐標(biāo)僅對(duì)應(yīng)一個(gè)頻率的振動(dòng)，則變換后的坐 標(biāo)稱之為簡(jiǎn)正坐標(biāo)，對(duì)應(yīng)的頻率為簡(jiǎn)正頻率，每一簡(jiǎn)正坐標(biāo)對(duì)應(yīng)一個(gè)簡(jiǎn)正頻率， 而簡(jiǎn)正頻率數(shù)和力學(xué)體系的自由度數(shù)相等，故簡(jiǎn)正坐標(biāo)數(shù)等于自由度數(shù)。值得說的是，每一簡(jiǎn)正振動(dòng)為整個(gè)力學(xué)體系所共有，反映的是各質(zhì)點(diǎn)（整體）的振動(dòng)之一，其他坐標(biāo)都作為簡(jiǎn)正坐標(biāo)的線性函數(shù)，由S個(gè)簡(jiǎn)正振動(dòng)疊加而成。這種方法在統(tǒng)計(jì)物理，固體物理中都有運(yùn)用。5.8答對(duì)一完整的穩(wěn)定的力學(xué)體系在有阻尼的情況下，它們?cè)谄胶馕恢酶浇鼘⒆魉p運(yùn)動(dòng)。引入耗散函數(shù)F = 1 b q q2 ap a p a, P=1則阻力p _ 8F

10、_ Eb a-f - 一 乙 bap q pap=1力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)方程改為dTdVdFdqadq6qa a其中t = Ea q q2 apapa, P=1展開成泰勒級(jí)數(shù)V = 1 Ec q q2ap a pa, p=1F中是的函數(shù)，把在平衡位形區(qū)域Zp =bap)+(dbqr +高級(jí)項(xiàng)q,很小，只保留頭一項(xiàng)，則r=1 吃 J 0aap，。弗,cap均為常數(shù)。T, V, F代入運(yùn)動(dòng)方程得EG q + b q + c q )= 0, p = 1,2. Sccccap p ap p ap pp = 1=% e 代入上式得本征值方程、 ii a - 1,2 SI / Cajl = 0 p= 1,2 S

11、在V 0，F(xiàn) 2 4VT的小阻尼情況下，本征值人廣日l(shuí) +部N - 1,22S)，且r廣0振動(dòng)方程為q =ES e叫 A(必(f + i/ + A(g J f)eF=1,2 S ) pipl lip l ll=1顯然是按指數(shù)率的衰減振動(dòng)。5.9 答：因 L = L(q ,q ,t) (x = 1,2,.s)，故dL = Zx=1 *(drdLZdq +dqx，-| 2Ldq +dt =dtZ (p dq + p dq )+ 竺 dtx x x x2tx=1所以則而p t)t )1,p P并并d ( dT ) dT _dt dq ) dq-dL + Q ,(x = 1,2.s)adL由Pa =k

12、解得xdqxa = n ( p t)(x = 1,2,sq = q % , P ,1 , n 1 二x x P P P= 1,2,.s)di = Z- dq + - dq +竺 dt = dL TOC o 1-5 h z 1 dqdqx) dtdidL- dL dqdL=+ Z -x。dqdq1 dqdqdq5.10答：拉格朗日方程只適用于完整系，哈密頓正則方程有保守系拉格朗日方程 推出，故只能適用于完整的，保守的力學(xué)體系，對(duì)非保守體系(5.3.18)改寫為其中Qx為非有勢(shì)力，或?qū)憺閐 ( dL) dL八()遍苛 rw=Q, s)v a 7 a即Px = Qx +苛。經(jīng)勒讓德變換后用課本上同樣

13、的方法可推得非保守系中的哈 a密頓正則方程.dHqx=dT， TOC o 1-5 h z JxP =-|H + Q ,J = 1,2.s)x dqxIa5.11答：若哈密頓函數(shù)不顯含時(shí)間t,則H = H, P=常熟；對(duì)穩(wěn)定約束下的 力學(xué)體系，動(dòng)能不是速度的二次齊次函數(shù)，則H = T + V，是以哈密頓正則變量表 示的廣義總能量，因不穩(wěn)定約束的約束范例可以做功，但拉格朗日方程中不含約 束力，故有此差異，此時(shí)H并不是真正的能量；對(duì)穩(wěn)定的，保守的力學(xué)體系， 若H含t則H是能量但不為常熟。5.12答：泊松括號(hào)是一種縮寫符號(hào)，它表示己同一組正則變量為自變量的二函數(shù) 之間的關(guān)系。若平=平(匕，q偵，甲=甲

14、(匕，q偵,t) G= 1,2.s)，貝y血四小絲也1 q dpdp dq ?L ,H是物理學(xué)中最常用的泊松括號(hào)，用泊松括號(hào)可表示力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)正則方 程p = p , H q = lq , H ( = 1,2.s)用泊松括號(hào)的性質(zhì)復(fù)雜微分運(yùn)算問題化為簡(jiǎn)單的括號(hào)運(yùn)算，這種表示法在量子力 學(xué)，量子場(chǎng)論等課程中被廣泛應(yīng)用。每一正則方程必對(duì)應(yīng)一個(gè)運(yùn)動(dòng)積分，利用泊松括號(hào)從正則方程=積分平(p ,q ,t)= C ,V(p ,q ,t)= C可以推出另外一個(gè)積分b,w= C3，這一關(guān)系稱為泊松定理。5.13答：哈密頓原理是用變分的方法確定運(yùn)動(dòng)規(guī)律的，它是力學(xué)變分原理的積 分形式?；舅枷胧窃诿枋隽W(xué)體系

15、的S維空間中，用變分求極值的方法，從許 多條端點(diǎn)相同的曲線中挑選一條真是軌道確定體系的運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律。因?yàn)閷?duì)等時(shí)變分51 = 0，故變分符號(hào)5可置于積分號(hào)內(nèi)也可置于積分號(hào)外，而不 等時(shí)變分At。0，故全變分符號(hào)不能這樣。5.14答：力學(xué)體系的哈密頓函數(shù)H中是否有循環(huán)坐標(biāo)系或循環(huán)坐標(biāo)的數(shù)目與坐 標(biāo)系(或參變數(shù))的選取有關(guān)，故在正則方程形式不變的前提下，通過某種變數(shù) 變換找到新的函數(shù)H*，使之多出現(xiàn)一些循環(huán)坐標(biāo)，此即正則變換的目的及公用。 由于每一循環(huán)坐標(biāo)對(duì)應(yīng)一個(gè)運(yùn)動(dòng)積分，正則變換后可多得到一些運(yùn)動(dòng)積分，給解 決問題帶來(lái)方便，正則變換的關(guān)鍵是母函數(shù)的選取，其選取的原則是使H 中多 出現(xiàn)循環(huán)坐標(biāo)，但并

16、無(wú)一定的規(guī)律可循，要具體問題具體分析。5.15答：哈密頓正則方程是2s個(gè)一階微分方程的方程組，用泊松定理解之，由 而已知運(yùn)動(dòng)積分求出其余的運(yùn)動(dòng)積分往往是已知解的線性組合或橫等時(shí)，并不能 給出新的解；而用正則變換可多得到一些循環(huán)坐標(biāo)是正則方程立即有解，但母函 數(shù)的選取往往很困難，哈密頓一雅可畢理論的目的既是要彌補(bǔ)上述缺陷，通過一 個(gè)特殊的正則變換，使得用新變量p, Q偵,（a = 1,2.s）表示的哈密頓函數(shù)H * = 0， 此時(shí)p,Q全部為常數(shù)氣,吟,（i = 1,2.s），這樣哈密頓得主函數(shù)極為母函數(shù)，從 而解決母函數(shù)難以尋找的困難。5.16答：對(duì)（5.9.8）式若為不穩(wěn)定約束，只需以h代替

17、E即可，故對(duì)（5.9.8）式 分離變量后推出的（5.9.12）中也只需以h代E即可用于不穩(wěn)定約束。正則方程 利用哈一雅理論后得到結(jié)果十分普遍，可同時(shí)得出運(yùn)動(dòng)規(guī)律，軌道級(jí)動(dòng)量，故比 拉格朗日方程優(yōu)越。5.17答：經(jīng)典“牛頓力學(xué)”常用于幾何的觀點(diǎn)，運(yùn)用形象化思維的方式，研究力學(xué) 體系的受力情況及運(yùn)動(dòng)情況，然后通過運(yùn)動(dòng)非常及時(shí)物體的受力與運(yùn)動(dòng)變化間的 相互聯(lián)系和前因后果。這種方法形象，直觀，物理意義鮮明，被廣泛應(yīng)用于工程 實(shí)際。但由于它著眼于力，速度，加速度等矢量，給解決復(fù)雜的力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng) 問題帶來(lái)許多不便；再者，它僅僅局限于純力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)分析，其理論與方法 難以建立與其它學(xué)科的聯(lián)系。5.18答

18、：十九世紀(jì)發(fā)展起來(lái)的“分析力學(xué)方法彌補(bǔ)了上述缺陷，它用純數(shù)學(xué)分析 的方法用更具有概括性的抽象思維方式，從力學(xué)體系的一切可能的運(yùn)動(dòng)中挑選出 實(shí)際運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。這種方法盡管物理意義不如牛頓力學(xué)方法鮮明，但它給人們解 決復(fù)雜力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)問題提供了有一方法；再者，由于廣義坐標(biāo)，廣義力的引 入使其理論在其它學(xué)科中也能廣泛的應(yīng)用。建立了經(jīng)典物理學(xué)向近代物理學(xué)過渡 的橋梁。下面通過分析力學(xué)與牛頓力學(xué)理論及方法的比較扼要闡述分析力學(xué)的優(yōu)越 性。牛頓力學(xué)的著眼點(diǎn)是力，實(shí)際力學(xué)體系除受到促使其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)改變的主動(dòng) 力，往往還存在很多限制其運(yùn)動(dòng)的約束條件體現(xiàn)這些約束的約束反作用力都要作 為未知數(shù)出現(xiàn)于運(yùn)動(dòng)微分方程，使

19、未知量增加給解算帶來(lái)許多麻煩；分析力學(xué)著 眼于功和能在一定條件下，常常可以不考慮約束反作用力。如在理想條件下，用 虛位移原理解決力學(xué)體系的平衡問題可撇開眾多的未知未知約束力，直接得出平 衡條件，比用牛頓力學(xué)中剛體受力的平衡方程方便得多；達(dá)朗伯虛位移原理 解決力學(xué)體系的動(dòng)力學(xué)問題，由于虛功的概念、廣義坐標(biāo)的引入，也可撇開約束 力得解，比用牛頓方程即由此推出的動(dòng)量定理，動(dòng)量矩定理方便;拉格朗日方程、 哈密頓原理即由此得到的分析力學(xué)一系列方程均具這一優(yōu)點(diǎn)。從一分為二的觀點(diǎn) 來(lái)看，這也是分析力學(xué)的缺點(diǎn)不能求出約束反作用力。當(dāng)把待求的約束反力 或做功的約束反力作為主動(dòng)力來(lái)看，分析力學(xué)的理論修改后仍能應(yīng)用

20、。牛頓力學(xué)用矢量的方法研究力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)，著眼于力、加速度、速度等 矢量，而矢量具有方向性、相對(duì)性，在坐標(biāo)變換中很費(fèi)事，故牛頓力學(xué)的動(dòng)力學(xué) 方程都與參考系極坐標(biāo)系的選取有關(guān)；分析力學(xué)用標(biāo)量描述力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)及變 化規(guī)律，著眼于功和能廣義坐標(biāo)和廣義速度等一系列標(biāo)量，標(biāo)量便于變換及疊加， 標(biāo)量形式的運(yùn)動(dòng)方程也是便于寫出的，且由于廣義坐標(biāo)和廣義力的引入，是指超 出立憲的范圍也能應(yīng)用，給參變量的選用也帶來(lái)了許多方便，提高了靈活性。如 用拉格朗日方程，哈密頓原理或哈密頓正則方程推證極坐標(biāo)系，球坐標(biāo)系的質(zhì)點(diǎn) 運(yùn)動(dòng)方程，比用牛頓力學(xué)的方法簡(jiǎn)便，但分析力學(xué)不如牛頓力學(xué)方法直觀物理意 義也不如牛頓力學(xué)方法清晰。

21、牛頓力學(xué)的動(dòng)量守恒定律動(dòng)量矩守恒定律總是以牛頓第三定律為先決條件 的；而分析力學(xué)中循環(huán)坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的廣義動(dòng)量守恒原理并不以牛頓第三定律為先決 條件，其先決條件是拉格朗日函數(shù)或哈密頓函數(shù)中不含某廣義坐標(biāo)。若拉格朗日 函數(shù)中不含某廣義坐標(biāo)，則對(duì)應(yīng)于拉格朗日動(dòng)力學(xué)的廣義動(dòng)量守恒；若哈密頓函 數(shù)中不含某廣義坐標(biāo)，則對(duì)應(yīng)于哈密頓動(dòng)力學(xué)的廣義動(dòng)量守恒。牛頓動(dòng)力學(xué)的動(dòng) 量守恒定律，動(dòng)量矩守恒定律都是廣義動(dòng)量守恒原理對(duì)應(yīng)的某循環(huán)坐標(biāo)下的特例。 恩西力學(xué)的理論更具有概括性，廣義動(dòng)量守恒原理具有更普遍的意義。牛頓力學(xué)研究力學(xué)問題也用到共和能的概念，但其功能關(guān)系動(dòng)能定理，功 能原理，機(jī)械能守恒定律等，只不過提供了力學(xué)體

22、系運(yùn)動(dòng)的某一方面特征，它的 注意力集中于實(shí)際實(shí)現(xiàn)，而在實(shí)際實(shí)現(xiàn)的運(yùn)動(dòng)中，功能關(guān)系只能給出一個(gè)獨(dú)立的 方程不能提供完全的解；分析力學(xué)則不然，它不只是注意實(shí)際實(shí)現(xiàn)的運(yùn)動(dòng)，而是 以力學(xué)體系的一切可能存在的運(yùn)動(dòng)中挑選出真實(shí)的運(yùn)動(dòng)，故分析力學(xué)中的功能關(guān) 系指的是一切可能出現(xiàn)的運(yùn)動(dòng)中的功能關(guān)系，比實(shí)際實(shí)現(xiàn)的運(yùn)動(dòng)中的功能關(guān)系要 豐富的多，它可以給出一組與力學(xué)體系自由度數(shù)相等的運(yùn)動(dòng)方程，足以確定體系 的運(yùn)動(dòng)。如用牛頓力學(xué)中的功能關(guān)系機(jī)械能守恒定律研究拋體運(yùn)動(dòng)（不計(jì)空 氣阻力），只能給出一個(gè)獨(dú)立的方程，不能提供完全的解；而用拉格朗日方程則 可以給出與自由度數(shù)相等的兩個(gè)獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)方程，足以解決其運(yùn)動(dòng)。牛頓力學(xué)機(jī)械能守恒定律中的勢(shì)能對(duì)應(yīng)于所有的勢(shì)力，包括主