玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)期末復(fù)習(xí)資料

1、第七章玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)（期末復(fù)習(xí)）、熱力學(xué)第一定律的統(tǒng)計(jì)解釋:dU dW dQai i dU aid iidai比較可知：dWaid i dQidaiii即：從統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)觀點(diǎn)看，做功：通過(guò)改變粒子能級(jí)引起內(nèi)能變化;傳熱：通過(guò)改變粒子分布引起內(nèi)能變化二、相關(guān)公式 1、非定域系及定域系的最概然分布ai ie2、配分函數(shù)：量子體系：乙ieiaiiieN-iie iIie半經(jīng)典體系：乙eq,p dqidq2dqrdpidp2 dprhr經(jīng)典體系：乙ho內(nèi)能:nZ1-N1物態(tài)方程:N 1nzi p定域系：自由能：F -NkT i nZ i嫡：S ki nm.bMK S Nk i nZii nZiq,p dq

2、idq2dqdpidp2dpho3、熱力學(xué)公式（熱力學(xué)函數(shù)的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式） 三、應(yīng)用：1、用玻耳茲曼分布推導(dǎo)單原子分子的理想氣體物態(tài)方程并 說(shuō)明所推導(dǎo)的物態(tài)方程對(duì)多原子分子的理想氣體也適用。2、能量均分定理能量均分定理的內(nèi)容能量均分定理的應(yīng)用：A、熟練掌握用能量均分定理求理想氣體（單原子分子，多 原子分子）內(nèi)能、熱容量。知道與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的一致性及存在 的問(wèn)題。B、知道經(jīng)典的固體模型，熟練掌握用能量均分定理求經(jīng)典 固體的內(nèi)能及定容熱容量。知道與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的一致性及存在 的問(wèn)題。3、定域系的量子統(tǒng)計(jì)理論：、愛(ài)因斯坦固體模型；、熟練掌握用量子統(tǒng)計(jì)理論求愛(ài)因斯坦固體的內(nèi)能及其熱容 量；、知道愛(ài)因斯坦固體模型

3、成功之處及其不足和原因。四、應(yīng)熟練掌握的有關(guān)計(jì)算1、求配分函數(shù)乙進(jìn)而求系統(tǒng)的熱力學(xué)性質(zhì)2、用S kln的證明及相關(guān)應(yīng)用四、解題指導(dǎo)1、求廣義力的基本公式 Y司的應(yīng)用；i y例1：根據(jù)公式Pai4，證明：對(duì)于極端相對(duì)論粒子，l V2 C 222x 1/2cp (Ax ny nz), nx ny nz 0, 1, 2,有p 1U。上述結(jié)論對(duì)玻爾茲曼、玻色、費(fèi)米分布均存立。3V證明：令A(yù) c2 c （nXn2n；）1/2, A J 因此得到1 A 1 A 3 V773寶尸 3V壓強(qiáng)ai 一V3V iai因內(nèi)能Ulal ,所以 p 2。3V證畢由于在求證過(guò)程中，并未涉及分布ai的具體形式，故上述結(jié)論對(duì)

4、玻爾茲曼、玻色、費(fèi)米分布均存立。2、嫡的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式及玻耳茲曼關(guān)系的應(yīng)用 例2試證明，對(duì)于遵從玻爾茲曼分布的系統(tǒng)，嫡函數(shù)可以表 示為S Nk Psln Psss a s式中Ps是總粒子處于量子態(tài)s的概率，Ps q k年，s 對(duì)粒子的所有量子態(tài)求和。對(duì)于滿足經(jīng)典極限條件的非定域系統(tǒng)，嫡的表達(dá)式有何不同？證明：對(duì)于定域系S Nk in ZiinZiNkS Ps1nzi XN*證法(1 )：NkNkPsinZiPsinZiNkPsinZi證法(2):inin N!故:ai in N匹in NasS kT inNkPs in 乙SasNkPsinZiSNk Psin Pss對(duì)于滿足玻耳茲曼分布的定域系i

5、n al!al ini N inas sPs sSai,aiin 一ias in NN!討論：對(duì)滿足對(duì)S Nk in 乙inZ iai ias in asal in alaii曳in Ns Nai in i N in Nas,in ass N或 S kinass一 in 一Nkk in M.BPsin PsPs in Ps1的非定域系kin N! Nk Psin Psskin N! NkPs in Ps例3:對(duì)如圖所示的夫倫克爾缺陷,k inS0N! NkPs in Ps So(1)假定正常位置和填隙位置數(shù)均為N,證明：由N個(gè)原子構(gòu)成的晶體，在晶體中形成n個(gè)缺位和填隙原子而具有的嫡等于S 2k

6、 inN!n!(N n)!(2)設(shè)原子在填隙位置和正常位置的能量差為u，試由自由能F nu TS為極小證明在溫度為T時(shí)，缺位和填隙原子數(shù)為n Ne u/2kT(設(shè) n N )證明：(1)當(dāng)形成缺陷時(shí)，由現(xiàn)幾個(gè)缺陷的各種占據(jù)方式就對(duì)應(yīng)不同的微觀狀態(tài)，N個(gè)正常位置由現(xiàn) n個(gè)空位的可能方 式數(shù)為N!/n!(N n)!,同樣離開(kāi)正常位置的n個(gè)原子去占據(jù) N個(gè)間隙位置的方式數(shù)也為N!/n!(N n)!,從而形成n個(gè)空位并有n個(gè)間隙位置為n個(gè)原子占據(jù)的方式數(shù)即微觀態(tài)數(shù)N!/n!(N n)! 2 ,由此求得嫡-N!S kin 2k lnn!(N n)!(2)系統(tǒng)的自由能F nu TS,取無(wú)缺陷時(shí)的晶體自由能

7、為零時(shí)，平衡態(tài)時(shí)系統(tǒng)的自由能為極小。將自由能 F對(duì)缺陷 數(shù)n求一階導(dǎo)數(shù)并令其為零，求得缺位和填隙原子數(shù)為n Ne u/2kT(設(shè) n N)3、求配分函數(shù)，確定體系熱力學(xué)性質(zhì)例4:已知粒子遵從玻爾茲曼分布，能量表示式為 1/2 /2 _2 ,(PxPy Pz) axbx2m其中，a、b為常數(shù)，求粒子的平均能量。解：方法一：由配分函數(shù)求dxdydzdp xdpydpz1(pX py p|) ax2 bxZie 3 - e mdxdydzdp xdpydpzh3h3Ah72 axbxdx32-b22e奇e2b一x2adx1nzi ln Bln Zib2e 4a2lnb24a-b 2kT4ab - x

8、 2ab24adxb24ab22e 4ae方法二由玻爾茲曼分布公式求由玻爾茲曼分布，粒子坐標(biāo)在dxdydz ,動(dòng)量在dpxdpydpz 范圍的概率為1dW eZidxdydzdpxdpydpzdxdydzdpxdpydpzh3h3由此求得一個(gè)粒子平均能量積分范圍為：x, y, z V;px, py, pz代入積分，利用 函數(shù),最后得到方法三1 / 2(px2mb22kT 4a用能量均分定理求；（pi p2 p；） ax2 bx2m22b 2 b TOC o 1-5 h z pypz) a(x 2；)石 能量表示式中，按照能量均分定律，每一平方項(xiàng)的平均值為 $T ,在上式中，對(duì)變量的平方項(xiàng)有 4

9、項(xiàng)，于是,I,2,21 /_ 2_ 2_ 2b、2bb丁(px py pz) a(x )2kT2m2a4a4a例5、試求雙原子分子理想氣體的振動(dòng)嫡解：雙原子分子原子間的振動(dòng)在溫度不太高時(shí)可視為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振動(dòng)能量為n (n g)hn 0,1,2單個(gè)分子的振動(dòng)配分函數(shù)h /27n e TOC o 1-5 h z 乙 e ;h-n 01 e1h1nzi- h ln(1 e )雙原子分子理想氣體的振動(dòng)嫡/(e h 1) ln(1 eh )ln ZS Nkln Z11 Nk h令v/Thv為振動(dòng)特征溫度,則上式寫為S NkT exp( v/T) 1ln(1v/Te )3N例6、試求愛(ài)因斯坦固體的嫡。解：

10、據(jù)愛(ài)因斯坦模型，理想固體中原子的熱運(yùn)動(dòng)可以視為 個(gè)獨(dú)立諧振子的振動(dòng)，且各振子頻率都相同并設(shè)為常數(shù) 固體中一個(gè)振子能量為:l0、1、21n （n 萬(wàn)），一個(gè)振子配分函數(shù)Zn1en 0固體中共3 N個(gè)諧振子，由此得到固體的嫡11mle )1nziS 3Nk1n 乙 -3Nk-e例7、定域系統(tǒng)含有 N個(gè)近獨(dú)立粒子，每個(gè)粒子有兩個(gè)非簡(jiǎn)并能級(jí)i和2,求溫度為T的熱平衡態(tài)下系統(tǒng)的內(nèi)能和嫡， 在 高、低溫極限下將結(jié)果化簡(jiǎn)，并加解釋。解：1個(gè)粒子的配分函數(shù)為Z121（21）-1i e e e 1 e 1nZ11 1n1 e （2 1）求得系統(tǒng)的內(nèi)能和嫡分別為N( 21)S Nk1n Z11nZ1Nk 1n1 e ( 2 1)(21 )(21)e討論:當(dāng)